從數(shù)學美看合情推理的評價功能

1、PAGE PAGE 4從數(shù)學美看合情推理的評價功能陸正美基金項目：教育部人文社會科學研究規(guī)劃基金數(shù)學教師基于教學的學科知識水平發(fā)展研究”(13YJA880043)；江蘇省教育科學“十二五”規(guī)劃項目“基于概念圖的數(shù)學研究性教學策略研究”（D/2011/01/086）（江蘇省如東縣掘港高級中學 226400）義務教育數(shù)學課程標準十分重視學生合情推理能力的培養(yǎng)，義務教育數(shù)學課程標準（2011年版）提出“在觀察、實驗、猜想、驗證等活動中發(fā)展合情推理能力”（第二學段），“在多種形式的數(shù)學活動中，發(fā)展合情推理和演繹推理能力”（第三學段）。 1義務教育數(shù)學課程標準（2011年版）解讀M.北京：北京師范大學出

2、版社.2012，06.105.關于合情推理的涵義，眾說紛紜，陳水平研究認為，考察合情推理的內(nèi)涵可以從以下三個方面來進行：一是從邏輯學的角度出發(fā)來進行；二是從數(shù)學方法論角度出發(fā)來研究；三是從數(shù)學教育角度來考察。2陳水平.合情推理在數(shù)學學習建構中的作用J.數(shù)學教育學報.1998,08.10. 本文傾向于把合情推理歸入科學方法范疇，并采用外延式的定義，認為合情推理是由歸納、類比、觀察、實驗、聯(lián)想、猜測、直覺、數(shù)學美等一系列科學發(fā)現(xiàn)的手段、方法所構成方法的總稱。關于合情推理的功能，很多學者都進行過非常深入的研究。研究結果可以歸結為三個方面：其一，合情推理具有探索發(fā)現(xiàn)功能；其二，合情推理具有選擇功能；其

3、三，合情推理具有評價功能。3張燕華.論合情推理在發(fā)展學生論證推理中的作用J.數(shù)學教學通訊（中等教育）.2013,02.本文將著重從數(shù)學美角度來探討合情推理的評價功能。為什么要從數(shù)學美角度來談合情推理的評價功能呢？究其緣由，一是數(shù)學美本身就是一種合情推理方法，而且是一種十分重要的合情推理方法；二是數(shù)學美的評價功能目前還很少有人關注。因此，從數(shù)學美這一視角來探討合情推理的評價功能不僅具有一定的新穎性，而且可以喚起人們對數(shù)學美的關注。數(shù)學美的內(nèi)涵關于數(shù)學美的內(nèi)涵有多種不同說法，徐本順和殷啟正在數(shù)學中的美學方法一書中指出，數(shù)學美是一種人的本質(zhì)力量通過宜人的數(shù)學思維結構的呈現(xiàn)。鐘志華教授認為，數(shù)學美是數(shù)

4、學內(nèi)部各部分之間以及數(shù)學與自然（其它學科）及人的認識之間和諧程度的反映。4鐘志華.模式觀與數(shù)學方法論M.北京：化學工業(yè)出版社.2010,12.5寧連華，張逸潔.基于數(shù)學美的數(shù)學文化傳播研究J.數(shù)學之友，2011，（24）：1-3.這兩種說法雖然表面上看大相徑庭 ，但仔細分析卻發(fā)現(xiàn)，其實兩者都揭示了數(shù)學美的一個共同本質(zhì)，那就是數(shù)學美反映了人對數(shù)學與人、自然以及其它學科之間所存在的合理關系的一種認識。因此，從這種意義上說，數(shù)學美就是一種特殊的合情推理。數(shù)學美的評價功能2.1 數(shù)學美是評價數(shù)學理論和數(shù)學語言的重要準則數(shù)學發(fā)展歷史表明，數(shù)學美學原則應該是理論選擇的重要依據(jù)，如果某一數(shù)學理論或數(shù)學語言符

5、合數(shù)學美的一系列標準，那么這個理論和語言系統(tǒng)就具更大的生命力，它就能得到流傳和發(fā)展，否則就會被遺棄和淘汰。一般來說，統(tǒng)一性和簡單性是評價數(shù)學理論的兩個重要美學標準。如果能夠從某個學科領域找到最少量的原始概念和原始命題，并且由此出發(fā)，可以用邏輯演繹的方法導出這一學科的一切概念和一切命題，那么這些原始概念和原始命題，對于這門學科來說，就是數(shù)學家尋求這門學科統(tǒng)一的基礎，也是數(shù)學家所追求的境界。再比如，牛頓與萊布尼茨同時發(fā)明了微積分，并用不同的符號體系來表述微積分，但最終牛頓的符號體系被淘汰了，而萊布尼茨的符號體系則沿用至今，究其根源就是因為萊布尼茨的符號體系更符合數(shù)學美這一準則。2.2數(shù)學美是評價解

6、題方法和結果的重要標準數(shù)學美可以評價解題方法的優(yōu)劣程度。例1：已知：，求+的值。分析：本題最容易想到的方法是采用換元法將、分別看作四個未知數(shù)、，然后再解關于、的四元一次方程組，這種方法雖然很容易想到，但解題過程卻非常復雜。而有的人卻從四個方程井然有序、充滿美感的形式下，想到立足于這四個方程組成的整體，把、看作常量，而把、這四個數(shù)看成是關于的方程：的四個根。然后再對這個方程去分母并整理成：-(+) +=0，由四次方程的韋達定理得：+=+，即+=8+7+6+5+4+3+2+1=36，從以上兩種解題方法的對比中可以發(fā)現(xiàn)，前者繁瑣、凌亂、機械，后者簡潔、整齊、優(yōu)美，誰優(yōu)誰劣，一目了然。另一方面，數(shù)學美

7、可以評價解題結果是否合理。例2：給定雙曲線，過點（1,1）能否作直線，使與所給雙曲線交于，兩點，且B是線段的中點？這樣的直線如果存在，求出它的方程；如果不存在說明理由。分析：假定滿足題設條件的直線存在，則可設m的斜率為（即的斜率存在，若不然，的方程為，與雙曲線只有一個交點，這與已知有兩個交點，矛盾），則直線的方程為，由于B為的中點，可設 ，于是由點，在雙曲線上知兩式相減解得，即直線的方程為，下面再檢驗這個結論是否正確，將其代入雙曲線方程中化簡得。因為，故該方程無實數(shù)解，這與和雙曲線交于兩點，矛盾，因此滿足題設的直線不存在。評注：本題的解法另辟蹊徑，采用反向思維的方法，先假設滿足題目條件的對象存在，并據(jù)此推理得到某個結論，再由題目條件與已知的知識檢驗這個結論，相符則說明所求對象存在，相悖則不存在。這種方法充分體現(xiàn)了數(shù)學的奇異美，是奇異美在解題結論合理性判斷過程中的巧妙運用?？偠灾?，數(shù)學美作為一種重要的合情推理形式，無論在數(shù)學發(fā)現(xiàn)還是數(shù)學學習中都具有獨到的評價功能，正確認識數(shù)學美的評價功能不僅可以促進數(shù)學更好地向前發(fā)展，而且可以促進學習者數(shù)學