2018-2019學(xué)年高二數(shù)學(xué)蘇教版選修2-1講義第1部分 第3章 3.1 3.1.3 空間向量基本定理含答案解析

1、.3.1.3空間向量基本定理對應(yīng)學(xué)生用書P53空間向量基本定理“某次反恐演習(xí)中，一特別行動(dòng)小組獲悉：恐怖分子”將“人質(zhì)”隱藏在市華聯(lián)超市往南1000m，再往東600m處的某大廈5樓(每層樓高3.5m)，行動(dòng)小組迅速趕到目的地，完成解救“人質(zhì)”的任務(wù)人質(zhì)”的隱藏地由華聯(lián)超市“南1000m”、“東600m”、“5樓”這三個(gè)量確定，設(shè)e1是向南的單位向量，e2是向東的單位向量，e3是向上的單位向量問題：請把“人質(zhì)”的位置用向量p表示出來提示：p1000e1600e214e3.1空間向量基本定理如果三個(gè)向量e1，e2，e3不共面，那么對空間任一向量p，存在惟一的有序?qū)崝?shù)組(x，y，z)，使pxe1ye

2、2ze3.2推論設(shè)O、A、B、C是不共面的四點(diǎn)，則對空間任意一點(diǎn)P，都存在惟一的有序?qū)崝?shù)組(x，y，z)，使得OPxOAyOBzOC.基底空間任何一個(gè)向量，都可以用空間任意三個(gè)向量惟一表示嗎？提示：不一定，由空間向量基本定理知，只有三個(gè)向量e1，e2，e3不共面時(shí)，空間任何一向量才可以用e1，e2，e3惟一表示，否則不可能表示1基底和基向量如果三個(gè)向量e1、e2、e3不共面，那么空間的每一個(gè)向量都可由向量e1、e2、e3線性表示，我們把e1，e2，e3稱為空間的一個(gè)基底，e1，e2，e3叫做基向量2正交基底和單位正交基底如果空間一個(gè)基底的三個(gè)基向量是兩兩互相垂直，那么這個(gè)基底叫做正交基底特別地

3、，當(dāng)一個(gè)正交基底的三個(gè)基向量都是單位向量時(shí)，稱這個(gè)基底為單位正交基底，通常用i，j，k表示1空間向量基本定理表明，用空間三個(gè)不共面向量組a，b，c可以線性表示出空間的任意一個(gè)向量，而且表示的結(jié)果是惟一的2空間中的基底是不惟一的，空間中任意三個(gè)不共面向量均可作為空間向量的基底對應(yīng)學(xué)生用書P54基底的概念例1若a，b，c是空間的一個(gè)基底試判斷ab，bc，ca能否作為該空間的一個(gè)基底思路點(diǎn)撥判斷ab，bc，ca是否共面，若不共面，則可作為一個(gè)基底，否則，不能作為一個(gè)基底精解詳析假設(shè)ab，bc，ca共面，則存在實(shí)數(shù)、使得ab(bc)(ca)，abba()c.a，b，c為基底，a，b，c不共面1，1，此

4、方程組無解，ab，bc，ca不共面0.ab，bc，ca可以作為空間的一個(gè)基底一點(diǎn)通空間中任何三個(gè)不共面的向量都可以構(gòu)成空間的一個(gè)基底，所以空間中的基底有無窮多個(gè)但是空間中的基底一旦選定，某一向量對這一基底的線性表示只有一種，即在基底a，b，c下，存在惟一的有序?qū)崝?shù)組(x，y，z)，使得pxaybzc.證明三個(gè)向量能否構(gòu)成空間的一個(gè)基底，就是證明三個(gè)向量是否不共面，證明三個(gè)向量不共面常用反證法并結(jié)合共面向量定理來證明1設(shè)xab，ybc，zca，且a，b，c是空間的一個(gè)基底給出下列向量組：a，b，x，x，y，z，b，c，z，x，y，abc其中可以作為空間的基底的向量組有_個(gè)bcy解析：如圖所設(shè)aA

5、B，AA，AD，則xAB，AD，zAC，abc111AC1.由A，B1，D，C四點(diǎn)不共面可知向量x，y，z也不共面同理可知c也不共面，可以作為空間的基底因?yàn)閤ab，故a，b，x共面，答案：3b，c，z和x，y，ab故不能作為基底2已知e1，e2，e3是空間的一個(gè)基底，且OAe12e2e3，OB3e1e22e3，OCe1e2e3，試判斷OA，OB，OC能否作為空間的一個(gè)基底？若能，試以此基底表示向量OD2e1e23e3；若不能，請說明理由解：假設(shè)OA、OB、OC共面，由向量共面的充要條件知，存在實(shí)數(shù)x、y使OAxOByOC成立e12e2e3x(3e1e22e3)y(e1e2e3)(3xy)e1(

6、xy)e2(2xy)e3.e1，e2，e3是空間的一個(gè)基底，e1，e2，e3不共面，3xy1，xy2，此方程組無解，精解詳析GHOHOG，OH2OD，OH(OBOC)(bc)，OGOAAGOA2AD2xy1，即不存在實(shí)數(shù)x、y使OAxOByOC，OA，OB，OC不共面故OA，OB，OC能作為空間的一個(gè)基底，設(shè)ODpOAqOBzOC，則有2e1e23e3p(e12e2e3)q(3e1e22e3)z(e1e2e3)(p3qz)e1(2pqz)e2(p2qz)e3.e1，e2，e3為空間的一個(gè)基底，p3qz2，p17，2pqz1，解得q5，p2qz3，z30.OD17OA5OB30OC.用基底表示向

7、量例2如圖所示，空間四邊形OABC中，G、H分別是ABC、a，OBb，OCc，試用向量a、b、c表示向量GH.思路點(diǎn)撥GHOHOG用OD表示OH用OB、AG表示OG用AD表示AG用OD、OA表示AD用32113233OBC的重心，設(shè)OAOC表示OD，用OA、OB、OC表示ODOA(ODOA)OA(OBOC)a(bc)，GH(bc)a(bc)a，即GHa.(2)AEAAAEAAACAA(ABAD)AAABADADABAAx，y，z1.2121333211331111333313一點(diǎn)通用基底表示向量的方法及注意的問題：(1)結(jié)合已知條件與所求結(jié)論，觀察圖形，就近表示所需向量(2)對照目標(biāo)，將不符合

8、目標(biāo)要求的向量作為新的所需向量，如此繼續(xù)下去，直到所有向量都符合目標(biāo)要求為止(3)在進(jìn)行向量的拆分過程中要正確使用三角形法則及平行四邊形法則3.如圖，已知正方體ABCDABCD，點(diǎn)E是上底面ABCD的中心，求下列各式中x、y、z的值(1)BDxADyABzAA；(2)AExADyABzAA.解：(1)BDBDDDBABCDDABADAA，又BDxADyABzAA，x1，y1，z1.121211221122又AExADyABzAA1122bc4如圖，四棱錐POABC的底面為一矩形，PO平面OABC，設(shè)OAa，OCb，OPc，E，F(xiàn)分別是PC和PB的中點(diǎn)，試用a，表示：BF，BE，AE，EF.解：

9、連接BO，則BFBP(BOOP)(cba)abc.BEBCCEaCPa(COOP)abc.AEAPPEAOOP(POOC)ac(cb)abc.EFCBOA1a111111222222111122221111222211222.空間向量基本定理的應(yīng)用例3證明：平行六面體的對角線交于一點(diǎn)，并且在交點(diǎn)互相平分思路點(diǎn)撥利用空間向量基本定理，只要證明四條對角線的中點(diǎn)與A點(diǎn)所構(gòu)成的向量的線性表示是同一種形式即可則AOAC(ABBCCC)(ABADAA)，精解詳析如圖所示，平行六面體ABCDA1B1C1D1，設(shè)點(diǎn)O121121121設(shè)P，M，N分別是BD1，CA1，DB1的中點(diǎn)，是AC1的中點(diǎn)，則APABB

10、PABBD121AB(BAADDD)AB(ABADAA)(ABADAA1)，2同理可證：AM(ABADAA)，AN(ABADAA)1211112111221由此可知，O，P，M，N四點(diǎn)重合故平行六面體的對角線相交于一點(diǎn)，且在交點(diǎn)處互相平分一點(diǎn)通用空間向量基本定理證明立體幾何問題的步驟：(1)作出空間幾何體的圖形；(2)將立體幾何問題轉(zhuǎn)化為空間向量問題，選取一組不共面的向量作基底；(3)用基向量將其它向量表示出來；(4)利用向量的性質(zhì)得到向量的關(guān)系，進(jìn)而得到幾何結(jié)論5求證：在平行六面體ABCDA1B1C1D1中，ACAB1AD12AC1.證明：因?yàn)槠叫辛骟w的六個(gè)面均為平行四邊形，所以ACABA

11、D，ABABAA，ADADAA，1111ACABAD11(ABAD)(ABAA)(ADAA)1112(ABADAA)，1又AACC，ADBC，11ABADAAABBCCCAC，111ACABAD2AC.1116如圖，M、N分別是四面體O-ABC的邊OA、BC的中點(diǎn)，P、Q是MN的三等分點(diǎn)，用向量OA、OB、OC表示OP和OQ.解：OPOMMPOAMNOA(ONOM)OA(ONOA)OA(OBOC)OAOBOC.OQOMMQOAMNOA(ONOM)OA(ONOA)OA(OBOC)OAOBOC.1223121212323212111163263311231111123232111111332366

12、1空間向量基本定理表明，用空間三個(gè)不共面的已知向量組a，b，c可以線性表示出空間任意一個(gè)向量，而且表示的結(jié)果是惟一的2空間任意三個(gè)不共面的向量a、b、c皆可構(gòu)成空間向量的一個(gè)基底，因此，基底有無數(shù)個(gè)，所以基底往往選擇具有特殊關(guān)系的三個(gè)不共面向量作為基底3由于0可視為與任意一個(gè)非零向量共線，與任意兩個(gè)非零向量共面，所以，三個(gè)基向量中，就隱含著它們都不是0.若AE1OD1空間中的四個(gè)向量a，b，c，d最多能構(gòu)成基底的個(gè)數(shù)是_解析：當(dāng)四個(gè)向量任何三個(gè)向量都不共面時(shí)，每三個(gè)就可構(gòu)成一個(gè)基底，共有4組答案：42.如圖所示，設(shè)O為ABCD所在平面外任意一點(diǎn)，E為OC的中點(diǎn)，對應(yīng)課時(shí)跟蹤訓(xùn)練(二十)2OCO

13、A(ODDC)OAODABOAOD(OBOA)OAODOBOA，x，y.22解析：如圖，OG(OMON)OM(OBOC)OAOBOC(OAOBOC)答案：(OAOBOC)即x1，y，z.xOByOA，則x_，y_.解析：AEOEOA121211221122113222132213答案：3已知空間四邊形OABC，其對角線為AC、OB，M、N分別是OA、BC的中點(diǎn)，點(diǎn)G是MN的中點(diǎn)，取OA，OB，OC為基底，則OG_.1211122211144414144平行六面體ABCDABCD中，若ACxAB2yBC3zCC，則xyz_.解析：ACABBCCCxAB2yBC3zCC，x1,2y1，3z1，11

14、23xyz1.6.1172367答案：5設(shè)a、b、c是三個(gè)不共面向量，現(xiàn)從ab，ab，ac，bc，abc中選出一個(gè)使其與a、b構(gòu)成空間向量的一個(gè)基底，則可以選擇的向量為_(填寫序號)解析：根據(jù)基底的定義，a，b，c不共面，ac，bc，abc都能與a，b構(gòu)成基底答案：6若ae1e2e3，be1e2e3，ce1e2e3，de12e23e3，dabc，求、的值解：由題意a、b、c為三個(gè)不共面的向量，所以由空間向量定理可知必然存在惟一的有序?qū)崝?shù)對，使dabc，d(e1e2e3)(e1e2e3)(e1e2e3)()e1()e2()e3.又de12e23e3，1，2，3，52，解得1，12點(diǎn)，且，12，設(shè)ABa，ADb，AAc，試用a，b，MAAC(ab)1ND1AD1(bc)，ANADDNADNDb(bc)(c2b)，7.如圖所示，平行六面體ABCDA1B1C1D1中，M，N分別是ACAM1ANMC2ND1解：如圖所示，連接AN，則MNMAAN由ABCD是平行四邊形，可知ACABADab，1333131133所以MNMAA