Matrix線性變換

1、一、線性變換的概念1. 定義 1.11 (P.220)要點(diǎn)：(i) T是Vn(F)中的變換： T：Vn(F)Vn(F)。 (ii) T具有線性性： T()=T()T() T(k)=kT()從一般性的角度給出的定義13 線性變換1例題1 Vn(F)中的相似變換T ：是F中的數(shù), Vn(F), T()= 。特例： =1 , T 是恒等變換, =0 , T是零變換。 可以在任何線性空間中 定義相似變換!例題2 Fn中的變換 TA：設(shè)A Fnn是一個(gè)給定的 矩陣, XFn, TA(X)=AX。例題3 Pn X中的微分變換：22. 線性變換的性質(zhì)：(i)T(0)=0(ii) T(-)=-T()(iii)

2、3. 線性變換的象空間和零空間 P.226 設(shè)線性變換 T：Vn(F)Vn(F), 象空間 R(T)=： Vn(F), =T() 零空間 N(T)=：Vn(F) , T() =0 定義： T 的秩=dim R(T)； T 的零度=dim N(T)線性變換保持線性相關(guān)性不變！3例題27 求Fn線性空間中的變換TA:Y=AX的象空間和零空間。R(TA)=R(A)；N(TA)=N(A)44. 線性變換的運(yùn)算設(shè)T1, T2都是空間Vn(F)中的線性變換, 常見的用它們構(gòu)成的新的變換：(i) T1T2 Vn(F), (T1T2)()=T1()T2()(ii) T1T2 Vn(F), (T1T2)()=T

3、1(T2()(iii) kT Vn(F), (kT)()=k(T()(iv) 若T 是可逆變換, T1 T1()= 當(dāng)且僅當(dāng)T()=。定義5 1. 線性變換的矩陣與變換的坐標(biāo)式Vn(F)上線性變換的特點(diǎn)分析：定義變換T 確定基中向量的象T(i)。定義T(i) 確定它在基下i的坐標(biāo)A i 。定義變換T 確定矩陣A=A1, A2, , An(i) A 為變換矩陣(ii) 變換的坐標(biāo)式：Y=AX(iii) 應(yīng)用意義二、 線性變換的矩陣表示6例題1 對(duì)線性變換 : P4 X P4 X, 求D在基1, X, X2, X3下的變換矩陣。2 求向量 在變換D下的象。7 2. 線性變換運(yùn)算的矩陣對(duì)應(yīng)：設(shè)Vn(

4、F)上的線性變換T1, T2, 它們?cè)谕唤M基下的矩陣：T1A1；T2A2(i) (T1T2) (A1A2)(ii) (T1T2) A1A2(iii) (kT) kA(iv) T1 A183. 不同基下的變換矩陣兩組基：1, 2, , n , 1, 2, , n , (12 n)=(12 n)CT(1 2 n)=(1 2 n)AT(1 2 n)=(1 2 n)B 同一個(gè)線性變換在不同基下的矩陣是相似的B=C1AC1239 設(shè)單位向量u=(2/3, -2/3, -1/3), 給定R3上的線性變換 P(x)= x -(x, u)u, 求P在自然基e1, e2, e3下的變換矩陣。求P在標(biāo)準(zhǔn)正交基u

5、, e2, e3下的變換矩陣。10三、不變子空間問(wèn)題的背景：變換矩陣的化簡(jiǎn)和空間的分解的對(duì)應(yīng)關(guān)系1. 不變子空間的概念矩陣簡(jiǎn)化要求空間分解的特點(diǎn)不變子空間的定義(p229, 定義6.2-3)2. 不變子空間的判別W是T的不變子空間 W T() W。特別：W=L 1, 2, , m, P230, 例題8 W是T的不變子空間 T(i)W 。 T是W上的線性變換T(W)W。11R3上的正交投影P： P(x)= x(x, u)u, 其中u是單位向量。 證明： L(u)和 u =x ：(x, u)=0 是P的不變子空間。P在L(u)上是零變換, 在 u 上是恒等變換！123. 空間分解與矩陣分解Vn(F

6、)=WU, W, U是T的不變子空間 , W=L 1, , r, U= r + 1 , , n則T1, , r, r + 1 , , nVn(F)=U1U2 Uk, 則T矩陣Ai 的階數(shù)=dim Ui13四、 正交變換和酉變換討論內(nèi)積空間V；(, ) 中最重要的一類變換。1. 定義(P238, 定義6.3-2)2. 正交(酉)變換的充要條件： (定理6.3-1, P238)T是內(nèi)積空間V(F)上的線性變換, 則下列命題等價(jià)：T是正交變換T保持向量的長(zhǎng)度不變T把V(F)的標(biāo)準(zhǔn)正交基變成標(biāo)準(zhǔn)正交基T在標(biāo)準(zhǔn)正交基下的矩陣是正交矩陣3. 正交矩陣和酉矩陣的性質(zhì) 正交矩陣C：CTC=I 酉矩陣U： UH

7、U=I (P.60)14常見的基本正交變換：平面上的旋轉(zhuǎn)幾何描述：繞坐標(biāo)原點(diǎn), 逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)一個(gè) 角。變換矩陣：在自然基下, R3空間中的鏡像變換定義：S(x)= x 2(x, u)u。變換矩陣與幾何意義 空間中的旋轉(zhuǎn)幾何描述：繞空間中過(guò)原點(diǎn)的 一根直線L, 旋轉(zhuǎn)一 個(gè)角。變換矩陣15例題1 求R3中繞過(guò)原點(diǎn)、以 u=(1, 1, 1)T為正向的直線, 順u方向看去是逆時(shí)針的旋轉(zhuǎn)變換T在R3中自然基下的變換矩陣。16五、線性空間Vn(F) Vm(F)的線性變換1. 定義 1.16 (P.220)要點(diǎn)：(i)Vn(F), =T() Vm(F) (ii) T具有線性性： T(12)=T(1)T(2) T(k)=kT()172. T的變換矩陣： T：Vn(F) Vm(F)設(shè)1, 2, , n 是空間Vn(F)