2022.04.06方法精講-數(shù)量3劉凱（筆記）

1、方法精講-數(shù)量 3（筆記）主講教師：劉凱授課時(shí)間：2022.04.06.方法精講-數(shù)量 3（筆記）學(xué)習(xí)任務(wù)：1.課程內(nèi)容：經(jīng)濟(jì)利潤(rùn)問(wèn)題、最值問(wèn)題2.授課時(shí)長(zhǎng)：3 小時(shí)3.對(duì)應(yīng)講義：161 頁(yè)166 頁(yè)4.重點(diǎn)內(nèi)容：（1）掌握與售價(jià)、成本、利潤(rùn)、折扣、利潤(rùn)率等相關(guān)的公式（2）掌握在經(jīng)濟(jì)利潤(rùn)問(wèn)題中的分段計(jì)費(fèi)問(wèn)題、函數(shù)最值問(wèn)題（3）掌握最不利構(gòu)造、構(gòu)造數(shù)列和多集合反向構(gòu)造問(wèn)題的題型特征及解題方法第六節(jié) 經(jīng)濟(jì)利潤(rùn)問(wèn)題一、基礎(chǔ)經(jīng)濟(jì)【知識(shí)點(diǎn)】經(jīng)濟(jì)利潤(rùn)問(wèn)題：平均每年考查 12 題。難點(diǎn)在于公式，公式一定要掌握好，根據(jù)公式找等量關(guān)系，列方程或者賦值。1.常用公式：（1）利潤(rùn)=售價(jià)-進(jìn)價(jià)，如花 10 元買(mǎi)、20

2、 元賣，賺了 10 元，這 10 元就是利潤(rùn)；如花 100 元買(mǎi)、110 元賣出去，也賺了 10 元錢(qián)。（2）利潤(rùn)率=利潤(rùn)/進(jìn)價(jià)?；?10 元買(mǎi)、20 元賣，賺了 10 元，利潤(rùn)率為 10/10=100%；花 100 元買(mǎi)、110 元賣出去，也賺了 10 元錢(qián)，利潤(rùn)率為 10/100=10%，前者利潤(rùn)率更高，投資前者。資料分析中，利潤(rùn)率=利潤(rùn)/收入。因?yàn)橘Y料分析考查的是銷售利潤(rùn)率（也叫收入利潤(rùn)率）；數(shù)量關(guān)系考查的是成本利潤(rùn)率。（3）售價(jià)=進(jìn)價(jià)*（1+利潤(rùn)率）：根據(jù)前兩個(gè)公式推導(dǎo)而來(lái)，利潤(rùn)=售價(jià)-進(jìn)價(jià)售價(jià)=進(jìn)價(jià)+利潤(rùn)=進(jìn)價(jià)+進(jìn)價(jià)*利潤(rùn)率=進(jìn)價(jià)*（1+利潤(rùn)率）。（4）折扣=折后價(jià)/折前價(jià)，打八折就

3、是 0.8=折后/折前。（5）總價(jià)=單價(jià)*數(shù)量；總利潤(rùn)=單個(gè)利潤(rùn)*數(shù)量=總收入-總進(jìn)價(jià)。12.進(jìn)價(jià)、定價(jià)、售價(jià)概念區(qū)分：（1）一件商品，進(jìn)價(jià)（成本）為 50 元，定價(jià) 100 元，實(shí)際銷售過(guò)程中，打 8 折出售。（2）在數(shù)量關(guān)系中，除非明確有其他成本，否則默認(rèn)進(jìn)價(jià)就是成本。（3）已知“打 8 折出售”，則售價(jià)=定價(jià)*0.8=100*0.8=80 元。定價(jià)不一定是售價(jià)，如果不打折，售價(jià)就是定價(jià)。3.?？碱愋停海?）基礎(chǔ)經(jīng)濟(jì)（考查多）。（2）分段計(jì)費(fèi)（次之）。（3）函數(shù)最值（考查少，近五年沒(méi)有考查；但是聯(lián)考、江蘇考查較多）。4.基礎(chǔ)經(jīng)濟(jì)解題方法選擇：（1）已知具體價(jià)格，求具體價(jià)格（利潤(rùn)、成本、售價(jià)

4、）：列式、列方程。（2）已知比例，求比例（利潤(rùn)率，折扣）：賦值法。【例 1】（2021 浙江）超市采購(gòu)一批食用油，其中玉米油每桶進(jìn)價(jià)比花生油低 20%，若花生油利潤(rùn)定為進(jìn)價(jià)的 24%，玉米油利潤(rùn)定為進(jìn)價(jià)的 30%，則花生油比玉米油每桶售價(jià)高 10 元。問(wèn)玉米油每桶比花生油進(jìn)價(jià)低多少元？A.10 B.15C.24 D.25【解析】例 1.經(jīng)濟(jì)利潤(rùn)問(wèn)題，列表格分析。已知“花生油比玉米油每桶售價(jià)高 10 元”，有具體數(shù)據(jù)，不賦值，設(shè)未知數(shù)求解。設(shè)花生油進(jìn)價(jià)為 100 x，已知“其中玉米油每桶進(jìn)價(jià)比花生油低 20%”，則玉米油進(jìn)價(jià)=100*（1-20%）=80 x；已知“若花生油利潤(rùn)定為進(jìn)價(jià)的 24%

5、”，則花生油利潤(rùn)=100 x*24%=24x；已知“玉米油利潤(rùn)定為進(jìn)價(jià)的 30%”，玉米油利潤(rùn)=80 x*30%=24x。進(jìn)價(jià)+利潤(rùn)=售價(jià)，花生油售價(jià)=124x，玉米油售價(jià)=104x，已知“花生油比玉米油每桶售價(jià)高 10 元”，列式：124x-104x=1020 x=10，問(wèn)“玉米油每桶比花生油進(jìn)價(jià)低多少元”，即80 x-100 x=-20 x=-10，對(duì)應(yīng) A 項(xiàng)。【選 A】2【注意】進(jìn)價(jià)=售價(jià)-利潤(rùn)，利潤(rùn)相同，售價(jià)高多少，則進(jìn)價(jià)就高多少。利潤(rùn)都是 24x，故售價(jià)高 10 元，則進(jìn)價(jià)也高 10 元，即玉米油每桶比花生油進(jìn)價(jià)低 10元，對(duì)應(yīng) A 項(xiàng)?！纠?2】（2021 廣東）某幫扶項(xiàng)目以每公

6、斤 9 元的價(jià)格從農(nóng)民手中收購(gòu)了一批蘋(píng)果，并以每公斤 12 元（包郵）的價(jià)格在網(wǎng)上銷售。售出總量的 80%后，價(jià)格下調(diào)為每公斤 10 元（包郵）。運(yùn)費(fèi)成本為每公斤 0.1 元。全部售完后，扣除收購(gòu)成本和運(yùn)費(fèi)的總收益為 2.5 萬(wàn)元，問(wèn)這批蘋(píng)果為多少噸？A.5 B.10C.15 D.20【解析】例 2.給出具體數(shù)據(jù)，求具體數(shù)據(jù)，不能賦值，列方程解方程，最關(guān)鍵的是找等量關(guān)系，已知“扣除收購(gòu)成本和運(yùn)費(fèi)的總收益為 2.5 萬(wàn)元”，列式：總收入-總成本-總運(yùn)費(fèi)=25000。前面單位均為公斤，只有問(wèn)題問(wèn)噸，為避免出現(xiàn)小數(shù)，設(shè)共有 10 x 公斤，根據(jù)題意，列式：12*（10 x*80%）+10*（10 x

7、*20%）-9*10 x-0.1*10 x=25000，化簡(jiǎn)：96x+20 x-91x=2500025x=25000，解得 x=1000公斤，所求=10 x 公斤=10*1000 公斤=10 噸，對(duì)應(yīng) B 項(xiàng)。【選 B】3【注意】1.如果挖坑，會(huì)將題干中的單位改為斤，求出來(lái) 10000 斤=5000 公斤=5 噸。2.也可以列式：（12-9-0.1）*8x+（10-9-0.1）*2x=25000，計(jì)算量較大?！纠?3】（2022 北京）商店銷售某種商品，先按定價(jià)賣了 300 件，打七五折賣了 200 件，后在此基礎(chǔ)上再打八折賣完了剩下的 100 件，總利潤(rùn)為總成本的2/3。單件成本相當(dāng)于單件定

8、價(jià)的：A.57% B.54%C.51% D.48%【解析】例 3.方法一：沒(méi)有給出成本和定價(jià)，只給出數(shù)量，考慮賦值。題干描述均與定價(jià)有關(guān)，賦值定價(jià)為 100，設(shè)單件成本為 x，已知“總收入-總成本= 總 利 潤(rùn) ” ， 根 據(jù) 題 意 列 式 ： （ 100*300+100*0.75*200+100*0.75*0.8*100 ）-600 x=600 x*（2/3），化簡(jiǎn)：51000=1000 x，解得 x=51，所求=51/100=51%，對(duì)應(yīng) C 項(xiàng)。方法二：設(shè)單件定價(jià)為 m，單件成本為 n，已知“總收入-總成本=總利潤(rùn)”，根據(jù)題意列式：300m+0.75m*200+0.6m*100-600

9、n=600n*（2/3），化簡(jiǎn)：510m=1000nn/m=510/1000=51%，對(duì)應(yīng) C 項(xiàng)?！具x C】4二、分段計(jì)費(fèi)【知識(shí)點(diǎn)】分段計(jì)費(fèi)：1.題型判定：生活中水電費(fèi)、出租車計(jì)費(fèi)、稅費(fèi)等，每段計(jì)費(fèi)不同。問(wèn)：在不同收費(fèi)標(biāo)準(zhǔn)下，一共需要的費(fèi)用？2.計(jì)算方法：（1）按標(biāo)準(zhǔn)，分開(kāi)。（2）計(jì)算后，匯總。3.補(bǔ)例：某地出租車收費(fèi)標(biāo)準(zhǔn)為：3 公里內(nèi)起步價(jià) 8 元；超出 3 公里的部分，每公里 2 元。小明打車坐了 12 公里，共花費(fèi)多少錢(qián)？答：畫(huà)圖分析，共坐 12 公里，超過(guò)了 3 公里，先收 8 元，超過(guò)的部分每公里 2 元，列式：8+（12-3）*2=26?！纠?1】（2021 河北）假設(shè)個(gè)人出版著

10、作所得稿費(fèi)納稅方法如下：（1）稿費(fèi)不超過(guò) 800 元不納稅；（2）超過(guò) 800 元但不超過(guò) 4000 元的部分納稅 10%；（3）超過(guò) 4000 元的部分納稅 15%。已知張教授出版一部著作，納稅 620 元，則張教授的這筆稿費(fèi)是多少元？A.9000 B.80005C.7000 D.6000【解析】例 1.觀察選項(xiàng)，稿費(fèi)超過(guò) 4000。畫(huà)圖分析，設(shè)稿費(fèi)為 x，列式：0+（4000-800）*10%+（x-4000）*15%=620，化簡(jiǎn)：x-4000=2000，解得 x=6000，對(duì)應(yīng) D 項(xiàng)?！具x D】【注意】如果擅長(zhǎng)代入排除，也可以代入排除?！纠?2】（2021 成都事業(yè)單位）某城市天然氣

11、實(shí)行階梯收費(fèi)，第一階梯氣量為 0500 立方米戶表（每年），氣價(jià)為 1.89 元立方米；第二階梯氣量為501700 立方米戶表（每年），氣價(jià)為 2.27 元立方米；第三階梯氣量為 701立方米戶表（每年），氣價(jià)為 2.84 元立方米。如果某用戶兩年共繳天然氣費(fèi) 3082 元，問(wèn)該用戶兩年最多用了多少立方米天然氣？A.1400 B.1500C.1600 D.1700【解析】例 2.畫(huà)圖分析，要用天然氣最多，則單價(jià)越便宜越好，先從便宜的開(kāi)始用起。問(wèn)兩年，先看一年，便宜的都用完，花了 1.89*500+2.27*200=（1.9-0.01）*500+454=950-5+454=1399 元，兩年花

12、1399*2=2798 元，不足 3082元，還差 3082-2798=284 元。便宜的都用完了，只能用最貴的了，284/2.84=100立方米，故一共用了 700*2+100=1500 立方米，對(duì)應(yīng) B 項(xiàng)。【選 B】6【拓展】（2019 四川下）某商場(chǎng)做促銷活動(dòng)，一次性購(gòu)物不超過(guò) 500 元的打九折優(yōu)惠；超過(guò) 500 元的，其中 500 元打九折優(yōu)惠，超過(guò) 500 元部分打八折優(yōu)惠。小張購(gòu)買(mǎi)的商品需付款 490 元，小李購(gòu)買(mǎi)的商品比原價(jià)優(yōu)惠了 120 元。如兩人一起結(jié)賬，比分別結(jié)賬可節(jié)省多少元錢(qián)？A.10 B.20C.30 D.50【解析】拓展.本題分為兩段進(jìn)行收費(fèi)，畫(huà)圖分析。已知小張購(gòu)

13、買(mǎi)的商品需付款 490 元，若原價(jià)正好為 500 元，500*0.9=450 元490 元，故小張的原價(jià)大于 500 元；已知小李購(gòu)買(mǎi)的商品比原價(jià)優(yōu)惠了 120 元，若原價(jià)正好為 500 元，則打 9 折、優(yōu)惠 1 折，為 500*0.1=50 元120 元，故小李的原價(jià)大于 500 元。合并付費(fèi)后，總有 1 個(gè)人 500 元以下的部分需要打 9 折，假設(shè)小張的 500元 9 折仍舊打 9 折，即不變；小李的 500 元 9 折超過(guò)了 500 元，此時(shí)需要打 8折；兩人原來(lái)超過(guò) 500 元打 8 折的部分仍舊打 8 折，即不變。故只有小李的 500元發(fā)生了變化，原來(lái)打 9 折，現(xiàn)在打 8 折，

14、即節(jié)省 1 折，列式：500*（0.9-0.8）=500*0.1=50 元，對(duì)應(yīng) D 項(xiàng)?！具x D】7【注意】1.課堂正確率 36%。2.考場(chǎng)上不需要畫(huà)圖分析。兩個(gè)都超過(guò) 500，明顯省了 1 個(gè) 500 元。3.如果想要練習(xí)，可以做一下 2013 年聯(lián)考題（湖北、湖南、黑龍江、福建、江西等都是參加聯(lián)考的），與 2019 四川下半年。三、函數(shù)最值【知識(shí)點(diǎn)】函數(shù)最值：1.判定題型：?jiǎn)蝺r(jià)和銷量此消彼長(zhǎng)，問(wèn)何時(shí)總價(jià)/總利潤(rùn)最高？2.計(jì)算方法（兩點(diǎn)式）：（1）設(shè)提價(jià)次數(shù)為 x。（2）令總價(jià)/總利潤(rùn)為 0，解得 x1、x2。（3）當(dāng) x=（x1+x2）/2 時(shí)，取得最值?！纠?1】（2018 聯(lián)考）某苗

15、木公司準(zhǔn)備出售一批苗木，如果每株以 4 元出售，可賣出 20 萬(wàn)株，若苗木單價(jià)每提高 0.4 元，就會(huì)少賣 10000 株。問(wèn)在最佳定價(jià)的情況下，該公司最大收入是多少萬(wàn)元？A.60 B.80C.90 D.100【解析】例 1.已知“每株以 4 元出售，可賣出 20 萬(wàn)株”，收入=4*20=80，問(wèn)最大收入，排除 A、B 項(xiàng)。出現(xiàn)此消彼長(zhǎng)，問(wèn)最大收入，為函數(shù)最值問(wèn)題。根據(jù)題意列式：總收入=每個(gè)收入*銷量，設(shè)一共提價(jià) x 次，代入數(shù)據(jù)：總收入=8（4+0.4x）*（20 萬(wàn)-1 萬(wàn) x），為一元二次函數(shù)（y=ax+bx+c）。初中有兩種解法，其一為配方法，但比較慢，需要展開(kāi)后再配方；其二為找對(duì)稱軸

16、x=-2a/b，也需要展開(kāi)；高中學(xué)習(xí)了求導(dǎo)，當(dāng)導(dǎo)數(shù)=0 時(shí)可以取到最值，也需要展開(kāi)。從圖像入手，一元二次方程圖像為拋物線，a0 則為開(kāi)口向下的拋物線，找到兩個(gè)根即可，若兩個(gè)根為 x1 和 x2，則對(duì)稱軸 x=（x1+x2）/2。令總收入（y）=0，即 4+0.4x=0 x1=-4/0.4=-10，20 萬(wàn)-1 萬(wàn) x=0 x2=20。當(dāng) x=（x1+x2）/2=（-10+20）/2=5 時(shí)，取得最值。問(wèn)最大收入，代入數(shù)據(jù)：（4+0.4*5）*（20 萬(wàn)-1 萬(wàn)*5）=6*15萬(wàn)=90 萬(wàn)元，對(duì)應(yīng) C 項(xiàng)?！具x C】【注意】梳理：1.看條件列式子：兩括號(hào)相乘，設(shè)提價(jià) x 次，（4+0.4x）*（

17、20 萬(wàn)-1 萬(wàn) x）。2.求出使算式等于 0 的兩個(gè) x 的值，解得 x1=-10，x2=20。3.計(jì)算兩個(gè) x 的平均值，進(jìn)而得到問(wèn)題所求，x=（x1+x2）/2=（-10+20）/2=5?！纠?2】（2020 天津事業(yè)單位）某電腦商城出售 10 種價(jià)格檔位的電腦。最低價(jià)格檔位的電腦每月可售出 120 臺(tái)，每臺(tái)可獲利 160 元。每提升一個(gè)價(jià)格檔位，則月銷量就會(huì)減少 10 臺(tái)，但單臺(tái)利潤(rùn)可增加 40 元。若某月該電腦商城只出售某一價(jià)格檔位的電腦，問(wèn)當(dāng)月可獲得的最大利潤(rùn)是多少元？A.24000 B.25600C.27040 D.28000【解析】例 2.價(jià)格和數(shù)量此消彼長(zhǎng)，問(wèn)利潤(rùn)最大，函數(shù)最

18、值問(wèn)題。設(shè)提檔9次數(shù)為 x，利潤(rùn)=單利*量=（160+40 x）*（120-10 x），令兩括號(hào)=0，x1=-4，x2=12，當(dāng) x=（-4+12）/2=4，可以獲得最大利潤(rùn)，此時(shí)利潤(rùn)=（160+40*4）*（120-10*4）=320*80=25600；尾數(shù)法：末兩位為 00，尾數(shù) 2*尾數(shù) 8=尾數(shù) 6，末三位為 600，對(duì)應(yīng) B 項(xiàng)?！具x B】【拓展】（2019 重慶法檢）某網(wǎng)站銷售 10 個(gè)不同檔次的襯衣，其中最高檔的每年銷售 500 件，每件利潤(rùn)為 300 元。往下每降低 1 個(gè)檔次，每年銷量增加1000 件，每件利潤(rùn)降低 30 元。問(wèn)年總利潤(rùn)最高的 3 個(gè)檔次的襯衣，全年銷量之和為

19、多少萬(wàn)件？A.1.05 B.1.50C.1.65 D.1.80【解析】拓展.利潤(rùn)、銷量此消彼長(zhǎng)，函數(shù)最值問(wèn)題。設(shè)降低 x 個(gè)檔位，利潤(rùn)最高，根據(jù)題意列式：總利潤(rùn)=單利*量=（300-30 x）*（500+1000 x），令兩括號(hào)=0，x1=10，x2=-0.5，則當(dāng) x=（10-0.5）/2=4.75 時(shí)取得最值。最接近對(duì)稱軸的是 5，次接近的是 4，第三接近的是 6，故三個(gè)檔次分別為降 4、5、6 個(gè)檔次，銷量=500+1000*4+500+1000*5+500+1000*6=15000+150=1.65 萬(wàn)，對(duì)應(yīng) C 項(xiàng)?！具xC】10【注意】課堂正確率 56%。【注意】經(jīng)濟(jì)利潤(rùn)問(wèn)題：每年

20、12 題。1.基礎(chǔ)經(jīng)濟(jì)（考查多）：（1）常見(jiàn)公式：利潤(rùn)=售價(jià)-進(jìn)價(jià)。利潤(rùn)率=利潤(rùn)/進(jìn)價(jià)。折扣=折后價(jià)/折前價(jià)?？們r(jià)=單價(jià)*數(shù)量。（2）解題方法：方程法、賦值法。2.分段計(jì)費(fèi)（次之）：（1）常見(jiàn)題型：水電費(fèi)、出租車費(fèi)、稅費(fèi)等。11（2）解題方法：分段計(jì)算、匯總求和。3.函數(shù)最值（考查很少）：掌握三步走即可：寫(xiě)為兩括號(hào)相乘；令函數(shù)值等于 0；當(dāng) x 為兩個(gè)根的平均數(shù)時(shí)取得最值。（1）特征：?jiǎn)蝺r(jià)和數(shù)量此消彼長(zhǎng)。（2）方法：兩點(diǎn)式。第七節(jié) 最值問(wèn)題【注意】考查類型：如果邏輯很好，最值問(wèn)題不難；最值問(wèn)題有點(diǎn)繞，如果能繞明白，最值問(wèn)題就是送分題。平均 12 年考 1 題。1.最不利構(gòu)造（考查相對(duì)多）。2.

21、構(gòu)造數(shù)列（考查相對(duì)多）。3.多集合反向構(gòu)造（考查少；廣東、深圳比較喜歡考查；今年江蘇考查 1題）。一、最不利構(gòu)造【知識(shí)點(diǎn)】最不利構(gòu)造：1.題型特征：至少保證（一定）。2.方法：最不利的情況+1。3.引例：袋子中裝有 6 個(gè)紅球，8 個(gè)白球，10 個(gè)黃球。問(wèn)：（1）至少取出（ ）個(gè)，才能保證有紅球？答：至少保證，為最不利構(gòu)造問(wèn)題。最不利的情況是“求而不得（最壞的情況）”。要紅球，偏不給紅球，先給 8 個(gè)白球，10 個(gè)黃球，最后再取 1 個(gè)一定是紅球，8+10+1=19。注意：a.取 1 個(gè)就有可能是紅球，但要的不是“可能”，是“一定”。b.第 1 次就取得紅球，屬于“最有利的情況”。c.把最壞的

22、情況考慮完了，只有再加 1，才能成功。比如前面取了 18 個(gè)，沒(méi)有紅球，再加 1，才能取到紅球。（2）至少取出（ ）個(gè)，才能保證有 3 個(gè)同色的球？12答：要 3 個(gè)同色的球，只給 2 個(gè)同色球。共 3 類（紅球、白球、黃球），每類給 2 個(gè)，再加 1，所求=2+2+2+1=7。注意：最不利構(gòu)造也叫抽屜原理；形象一點(diǎn)，也叫“氣死人原理”。（3）至少取出（ ）個(gè)，才能保證有 8 個(gè)同色的球？答：共 3 類（紅球、白球、黃球），每一類球給 7 個(gè)，紅球只有 6 個(gè)，不夠全取，白球和黃球都可以取 7 個(gè)，再加 1，所求=6+7+7+1=21。（4）梳理：（1）為獨(dú)立型，比較簡(jiǎn)單。（2）和（3）為分類

23、型。4.分類型最不利構(gòu)造三步走：（1）分類。（2）每類離成功差 1，不夠全取。（3）再加 1。【例 1】（2020 聯(lián)考）某會(huì)展中心布置會(huì)場(chǎng)，從花卉市場(chǎng)購(gòu)買(mǎi)郁金香、月季花、牡丹花三種花卉各 20 盆，每盆均用紙箱打包好裝車運(yùn)送至?xí)怪行?，再由工人搬運(yùn)至布展區(qū)。問(wèn)至少要搬出多少盆花卉才能保證搬出的鮮花中一定有郁金香？A.20 B.21C.40 D.41【解析】例 1.至少保證，為最不利構(gòu)造問(wèn)題。找“求而不得”的情況，給 20 盆牡丹和 20 盆月季，最后再給 1 盆一定是郁金香，所求=20+20+1=41，對(duì)應(yīng) D 項(xiàng)?！具x D】【例 2】（2017 遼寧公安）某高校舉辦次讀書(shū)會(huì)共有 37 位同

24、學(xué)報(bào)名參加，其中中文、歷史、哲學(xué)專業(yè)各有 10 位同學(xué)報(bào)名參加此次讀書(shū)會(huì)，另外還有 4 位化學(xué)專業(yè)學(xué)生和 3 位物理專業(yè)學(xué)生也報(bào)名參加此次讀書(shū)會(huì)，那么一次至少選出多少位學(xué)生，將能保證選出的學(xué)生中至少有 5 位學(xué)生是同一專業(yè)的？A.17 B.20C.19 D.39【解析】例 2.出現(xiàn)至少保證，為最不利構(gòu)造問(wèn)題，三步走。（1）13分類：分為中文、歷史、哲學(xué)、化學(xué)、物理。（2）每類離成功差 1，不夠全取。中文、歷史、哲學(xué)、化學(xué)取 4 個(gè)，物理不夠全取，取 3 個(gè)。（3）再加 1：所求=4+4+4+4+3+1=20，對(duì)應(yīng) B 項(xiàng)?！具x B】【題目溯源 1】（2015 河北）有軟件設(shè)計(jì)專業(yè)學(xué)生 90 人

25、，市場(chǎng)營(yíng)銷專業(yè)學(xué)生 80 人，財(cái)務(wù)管理專業(yè)學(xué)生 20 人及人力資源管理專業(yè)學(xué)生 16 人參加求職招聘會(huì)，問(wèn)至少有多少人找到工作就一定保證有 30 名找到工作的人專業(yè)相同？A.59 B.75C.79 D.95【解析】題目溯源 1.本題根據(jù) 2012 年國(guó)考改編。至少保證，為最不利構(gòu)造問(wèn)題，三步走。（1）分類：分為軟件設(shè)計(jì)、市場(chǎng)營(yíng)銷、財(cái)務(wù)管理、人力資源四類；（2）每類離成功差 1，不夠全取。每類給 29 人，其中財(cái)務(wù)管理和人力資源不夠全??；（3）再加 1：29+29+20+16+1，尾數(shù)法計(jì)算，尾數(shù)為 5，因 29+29+20=78，說(shuō)明 75 太小，選擇 D 項(xiàng)?！具x D】【題目溯源 2】（20

26、12 國(guó)考）有 300 名求職者參加高端人才專場(chǎng)招聘會(huì)，其中軟件設(shè)計(jì)類、市場(chǎng)營(yíng)銷類、財(cái)務(wù)管理類和人力資源管理類分別有 100、80、70和 50 人。問(wèn)至少有多少人找到工作，才能保證一定有 70 名找到工作的人專業(yè)相同：A.71 B.119C.258 D.277【解析】題目溯源 2.與上題的四個(gè)專業(yè)相同，數(shù)據(jù)改變了。至少保證，最不利構(gòu)造問(wèn)題。（1）分為軟件設(shè)計(jì)類、市場(chǎng)營(yíng)銷類、財(cái)務(wù)管理類和人力資源管理四類；（2）每類離成功差 1，其中人力資源管理不夠全??；（3）再加 1，69+69+69+50+1，尾數(shù)為 8，僅 C 項(xiàng)符合?！具x C】【題目溯源 3】（2014 山東）在 2011 年世界產(chǎn)權(quán)組

27、織公布的公司全球?qū)＠暾?qǐng)排名中，中國(guó)中興公司提交了 2826 項(xiàng)專利申請(qǐng)，日本松下公司申請(qǐng)了 2463項(xiàng)，中國(guó)華為公司申請(qǐng)了 1831 項(xiàng)，分別排名前 3 位，從這三個(gè)公司申請(qǐng)的專利14中至少拿出多少項(xiàng)專利，才能保證拿出的專利一定有 2110 項(xiàng)是同一公司申請(qǐng)的專利：A.6049 B.6050C.6327 D.6328【解析】題目溯源 3.至少保證，為最不利構(gòu)造問(wèn)題。（1）分類：分為中興、松下、華為三類。（2）每類離成功差 1，其中華為不夠全取。（3）再加1，2109+2109+1831+1，選項(xiàng)尾數(shù)各不相同，可以用尾數(shù)法，尾數(shù)為 0，對(duì)應(yīng) B項(xiàng)。【選 B】【注意】加 1 一定不能忘。佛祖問(wèn)阿

28、南：“你有多愛(ài)這個(gè)女子？”阿南回答說(shuō)：“我愿化作石橋，經(jīng)五百年風(fēng)吹、五百年日曬、五百年雨淋，但求此女子從橋上經(jīng)過(guò)。”前面的“五百年風(fēng)吹、五百年日曬、五百年雨淋”共 1500 年都是為了“女子從橋上經(jīng)過(guò)”，只有女子從橋上經(jīng)過(guò)（+1）才能成功，如果只有前面1500，沒(méi)有后面的“+1”就會(huì)失敗。二、構(gòu)造數(shù)列【知識(shí)點(diǎn)】構(gòu)造數(shù)列：1.題型特征：最最，排名第幾最。比如體重最輕的最輕/最重多少斤？體重最重的最重/最輕多少斤？排名第二的最多是多少？排名第三的最少是多少？2.方法：排序定位反推其他加和求解?！纠?1】（2022 上海）某單位進(jìn)行了一次績(jī)效考評(píng)打分，滿分為 100 分。有5 位員工的平均分為 90

29、 分，而且他們的分?jǐn)?shù)各不相同，其中分?jǐn)?shù)最低的員工得分為 77 分，那么排第二名的員工至少得多少分？（員工分?jǐn)?shù)取整數(shù)）A.90 B.92C.94 D.96【解析】例 1.問(wèn)排名第二的最少，為構(gòu)造數(shù)列問(wèn)題。（1）排序定位，5 位員工，構(gòu)造第一名至第五名（由多到少排序）；求第二名，設(shè)第二名為 x，已知15第五名為 77 分。（2）反推其它，要第二名最少，總分固定（和固定為 90*5），則其他人要盡可能多，第一名最多為 100，根據(jù)“他們的分?jǐn)?shù)各不相同”，則第三名最多為 x-1，第四名最多為 x-2。（3）加和求解，100+x+（x-1）+（x-2）+77=90*5100+3x+74=90*53x+1

30、74=45058+x=150 x=92?！具x B】【例 2】（2020 聯(lián)考）從某物流園區(qū)開(kāi)出 6 輛貨車，這 6 輛貨車的平均裝貨量為 62 噸。已知每輛貨車載重量各不相同且均為整數(shù)，最重的裝載了 71 噸，最輕的裝載了 54 噸。問(wèn)這 6 輛貨車中裝貨第三重的卡車最少要裝多少噸？A.59 B.60C.61 D.62【解析】例 2.問(wèn)排名第三的最少，為構(gòu)造數(shù)列問(wèn)題。（1）排序定位，由多到少構(gòu)造第一名至第六名。求第三名，設(shè)第三名為 x，已知第一名為 71，第六名為 54。（2）反推其它，要第三名最少（用向下的箭頭表示），和是固定的，則其他車要盡可能多，（比有錢(qián)要和最有錢(qián)的比，故和第一名比），要

31、求“每輛貨車載重量各不相同且均為整數(shù)”，則第二名最多為 70，第四名最多為 x-1，第五名 最 多 為 x-2 。 （ 3 ） 加 和 求 解 ， 71+70+x+ （ x-1 ） + （ x-2 ） +54=62*6 71+70+3x+51=62*6192+3x=62*6x+64=124x=60。【選 B】16【注意】盡可能多要和前面的比。如果改為第三名最多，則反推其他車盡可能少，（比窮要和最窮的人比）則第五名最少為 55，第四名最少為 56，第二名最少為 x+1?！纠?3】（2021 廣東）某街道服務(wù)中心的 80 名職工通過(guò)相互投票選出 6 名年度優(yōu)秀職工，每人都只投一票，最終 A、B、C

32、、D、E、F 這 6 人當(dāng)選。已知 A票數(shù)最多，共獲得 20 張選票；B、C 兩人的票數(shù)相同，并列第 2；D、E 兩人票數(shù)也相同，并列第 3；F 獲得 10 張選票，排在第 4。那么 B、C 獲得的選票最多為多少?gòu)垼緼.11 B.12C.13 D.14【解析】例 3.“B、C 獲得的選票最多為多少?gòu)垺眴?wèn)排名第二的最多，為構(gòu)造數(shù)列問(wèn)題。（1）排序定位，由多到少構(gòu)造第一名至第六名，第一名為 A，有20 票；B、C 并列第二；D、E 并列第三；第四名 F，有 10 票。求 B、C，設(shè) B=C=x。（2）反推其他，要 B、C 盡可能多，總和固定，則其他要盡可能少，（比窮要和最窮的比，即和最后一名比），

33、D、E 最少也要比 10 大，則最少為 11。（3）加和求解，20+2x+22+10=802x=28x=14。【選 D】【例 4】（2019 江西法檢）某高校計(jì)劃招聘 81 名博士，擬分配到 13 個(gè)不同的院系，假定院系 A 分得的博士人數(shù)比其他院系都多，那么院系 A 分得的博士人17數(shù)至少有多少名？A.6 B.7C.8 D.9【解析】例 4.“院系 A 分得的博士人數(shù)比其他院系都多”說(shuō)明院系 A 是第一名，問(wèn)第一名最少，為構(gòu)造數(shù)列問(wèn)題。方法一：（1）排序定位，由多到少構(gòu)造第一名至第十三名，求院系 A，設(shè)第一名為 x。（2）反推其他，要第一名最少，則其他院系要盡可能多，第二名最多為 x-1，不

34、能更多；題干沒(méi)有說(shuō)“各不相同”，則第三名可以和第二名并列，故第二名至第十三名均為 x-1。（3）加和求解，x+12*（x-1）=8113x=93 2 2 2x=93/13=7 ，至少是 7 ，不能更小了，即結(jié)果7 ，則最小取 8。 13 13 13方法二：平均分布的思維。要第一名最少，則大家盡可能平均，第一名多一點(diǎn)。81/13=63，院系 A 先分 6 人，還剩 3 人，如果院系 A 分 1 人，有 7 人，還剩 2 人分到其他院系，則其他有的院系至少有 7 個(gè)人，不能保證最多；如果院系 A 分 2 人，此時(shí)有 8 人，還剩 1 人分到其他院系，則其他有的院系至多 7 人，可以保證院系 A 最

35、多，故為 8 人?！具x C】18【注意】1.口訣“多退少補(bǔ)”，看到“至少”則需要“補(bǔ)”（進(jìn)位）。比如求最多，解得 x=8.9，最多是 8.9，結(jié)果8.9，取 8（符合“多退”）。2.方法二更快，但是有坑，需要分析?！绢}目溯源】（2013 國(guó)考）某單位 2011 年招聘了 65 名畢業(yè)生，擬分配到該單位的 7 個(gè)不同部門(mén)，假設(shè)行政部門(mén)分得的畢業(yè)生人數(shù)比其他部門(mén)都多，問(wèn)行政部門(mén)分得的畢業(yè)生人數(shù)至少為多少名：A.10 B.11C.12 D.13【解析】題目溯源.行政部門(mén)為第一名，問(wèn)第一名最少，為構(gòu)造數(shù)列問(wèn)題。利用平均分的思維，65/7=92，行政部門(mén)先分 9 人，剩下 2 人，如果給行政部門(mén) 1 人

36、，不能保證是最多，其他部門(mén)也可能有 10 人，故要給行政部門(mén) 2 人，為 11 人。【選 B】【注意】1.考試中遇到真題、原題的可能性有，但是比較??；遇到類似的題目比較經(jīng)常。2.例 1例 3 不能用平均分的思維，是因?yàn)槠骄植家笫菦](méi)有各不相同的條件，如果有則不能用。19三、多集合反向構(gòu)造【知識(shí)點(diǎn)】多集合反向構(gòu)造：1.題型特征：都滿足的最少/至少。往往給 3、4 個(gè)集合。2.方法：反向求和作差。3.引例：有 100 人，其中白的 80 人，富的 70 人，美的 60 人，問(wèn)“白富美”至少有多少人？（1）答：如果正向找很難找，則找白富美的反面，不白的人數(shù)=100-80=20人；不富的人數(shù)=100

37、-70=30 人，不美的人數(shù)=100-60=40 人?？瞻讌^(qū)域代表的是白富美，要白富美最少，類似和定最值，總和一定，白富美人數(shù)=100*20*30*40=10人。（2）注：不重合的時(shí)候白富美可以保證至少，如果有交叉，空白區(qū)域的面積會(huì)減少，即白富美的人數(shù)會(huì)減少，因此三個(gè)圓都不重合的時(shí)候?yàn)榘赘幻雷钌俚那闆r。20【例 1】（2021 廣東選調(diào)）某單位在網(wǎng)上辦公系統(tǒng)傳閱了 15 份文件，甲閱讀了 9 份，乙閱讀了 12 份，丙閱讀了 10 份，則甲、乙、丙三人共同閱讀過(guò)的文件至少有多少份？A.0 B.1C.2 D.3【解析】例 1.問(wèn)都滿足的最少，為多集合反向構(gòu)造問(wèn)題。（1）反向，非甲閱讀=15-9=

38、6；非乙閱讀=15-12=3；非丙閱讀=15-10=5 份。（2）加和，6+3+5=14。（3）作差，15-14=1 份?！具x B】【例 2】（2022 江蘇）某機(jī)構(gòu)對(duì)全運(yùn)會(huì)收視情況進(jìn)行調(diào)查，在 1000 名受訪者中，觀看過(guò)乒乓球比賽的占 87%，觀看過(guò)跳水比賽的占 75%，觀看過(guò)田徑比賽的占 69%。這 1000 名受訪者中，乒乓球、跳水和田徑比賽都觀看過(guò)的至少有：A.310 人 B.440 人C.620 人 D.690 人【解析】例 2.問(wèn)都滿足的最少，為多集合反向構(gòu)造問(wèn)題。（1）反向，非乒乓 球 =1000-1000*87%=130 ； 非 跳 水 =1000-1000*75%=250

39、； 非 田 徑=1000-1000*69%=310。（2）加和，130+250+310=690。（3）作差，1000-690=310?！具x A】【例 3】（2021 西安事業(yè)單位）某中學(xué)有 68%的同學(xué)參加體育興趣小組、有75%的同學(xué)參加語(yǔ)文興趣小組、有 74%的同學(xué)參加數(shù)學(xué)興趣小組，則該校學(xué)生中同時(shí)參加這三個(gè)興趣小組的同學(xué)所占百分比至少是：A.19% B.17%C.21% D.15%【解析】例 3.本題和例 2 類似，問(wèn)都滿足的最少，為多集合反向構(gòu)造問(wèn)題。（1）反向，非體育=1-68%=32%；非語(yǔ)文=1-75%=25%；非數(shù)學(xué)=1-74%=26%。（2）加和，32%+25%+26%=83%。（3）作差，1-83%=17%?！具x B】21【注意】最值問(wèn)題：最值問(wèn)題通常 1