計量理論課課件disizhang

1、第4章 非線性模型的線性化 4.1 變量間的非線性關(guān)系4.2 線性化方法 4.3 不可線性化非線性模型的線性化估計方法4.1變量間的非線性關(guān)系 4.1.1 線性模型的含義 4.1.2 非線性模型的含義4.1.1 線性模型的含義（1）變量的線性（2）參數(shù)的線性4.1.2 非線性模型的含義（1）變量的非線性（2）參數(shù)的非線性5.1.2 非線性模型的類型第一種：與不存在線性關(guān)系，但與未知參數(shù)存在線性關(guān)系。例如：4.1.2 非線性模型的含義第二種：與解釋變量不存在線性關(guān)系，與 未知參數(shù)也不存在線性關(guān)系。例如：4.1.2 非線性模型的含義第三種：與不存在線性關(guān)系，與未知參數(shù)也不存在線性關(guān)系，而且也不能通

2、過適當(dāng)?shù)淖儞Q將其化為標(biāo)準(zhǔn)的線性回歸模型。4.2 線性化方法4.2.1 對數(shù)線性模型4.2.2 半對數(shù)模型 4.2.3 雙曲函數(shù)模型4.2.4 多項式回歸模型 4.2.5 S型曲線模型4.2.1 對數(shù)線性模型考察：Yi=AXiB2在這個模型中，變量Xi是非線性的，但可通過變換表示成另一種形式。兩邊取自然對數(shù)：Yi=A+B2Xi令A(yù)=B1則：Yi=B1+B2Xi4.2.1 對數(shù)線性模型為了估計，可將模型寫為：Yi=B1+B2Xi+ui稱為雙對數(shù)模型（因為兩變量都以對數(shù)形式出現(xiàn)），或?qū)?shù)線性模型現(xiàn)令Y*i=Yi， X*i =Xi 則上式可寫為： Y*i =B1+B2 X*i +ui4.2.1 對數(shù)線

3、性模型如果它滿足古典線性回歸模型的基本假定，則很容易用普通最小二乘法來估計它，并且得到的估計量是最優(yōu)線性無偏估計量。三變量對數(shù)模型表示如下：Yi=B1+B2X2i+B3X3i+ui在這個模型中，偏斜率系數(shù)B1 、 B2又稱為彈性系數(shù)。即：B2是Y對X2的彈性。（在X3為常量時，X2每變動1%，Y變化的百分比，由于此時X3為常量，所以我們稱此彈性為偏彈性。類似的，B3是Y對X3的彈性。）4.2.1 對數(shù)線性模型雙對數(shù)模型應(yīng)用非常廣泛，其原因在于，它有一個特性：斜率B2度量了Y對X的彈性，即給X一個很小的變動所引起的Y的變動的百分比。定義E=Y的變動%/X的變動%因此，如果代表了商品的需求量，代表

4、了單位價格，則就是需求的價格彈性。注： 即是對的彈性。 4.2.1 對數(shù)線性模型需求量Y價格XYX4913.89180.00005523.80670.69314433.78421.09863943.66361.38633853.63761.60943763.61091.79183473.52641.94593383.49652.07943093.40122.197229103.36722.3026OLS回歸結(jié)果如下：lnYi=3.9617-0.2272lnXise=(0.0416)(0.0250)t=(95.233)(-9.0880) R2=0.9116從回歸結(jié)果可知，價格彈性約為-0.23，

5、表明提高1個百分點，平均而言，需求量將下降0.23個百分點。這里3.9617沒有什么具體的經(jīng)濟(jì)含義：R2=0.9166表示lnX解釋了變量lnY的91%的變動。4.2.1 對數(shù)線性模型觀察復(fù)利計算公式：Yt=Y0(1+r)tY0本金 Yt第t期的Y值 日利率 t時期將上式變形，對等式兩邊取對數(shù)，得：lnYt=lnY0+tln(1+r)令lnY0=B1，B2=ln(1+r) 則lnYt=B1+B2t若引進(jìn)隨機誤差項，得到：lnYi=B1+B2 Xi +Ui半對數(shù)模型或?qū)?shù)線性模型4.2.2 半對數(shù)模型 4.2.2 半對數(shù)模型 現(xiàn)考慮下面模型：Yi=B1+B2LnXi+Ui對數(shù)線性模型例如： 雙曲

6、函數(shù)模型這個模型的一個顯著特征：X無限增大，1/X接近于0，Y將逐漸接近B1漸進(jìn)值或極值。4.2.3 雙曲函數(shù)模型4.2.3 雙曲函數(shù)模型YB10XB10B204.2.3 雙曲函數(shù)模型Y0B1XB10B20Yi=B0+ B1Xi+B2X2i+ BnXni+ Ui注意：在這類多項式函數(shù)中，等式右邊只有一個解釋變量，卻以不同的次冪出現(xiàn)，因而，可把它們看作多元回歸模型。4.2.4 多項式回歸模型 4.25 S型曲線模型移項變換： 令： 原式變?yōu)椋?4.3不可線性化的非線性模型的估計如果非線性回歸模型無論采取什么樣的變換都不可能實現(xiàn)線性化，則稱之為不可線性化的非線性回歸模型常用非線性估計方法有三種：第

7、一種方法是直接搜索法第二種方法是直接優(yōu)化化第三種方法迭代線性化法第一種方法：直接搜索法基本思路：將模型的每一個參數(shù)都選擇一組數(shù)值，代入殘差平方和達(dá)到最小的哪一組參數(shù)值組合，即作為未知參數(shù)的估計值。適用性評價：估計參數(shù)少可行；估計參數(shù)多不可行。第二種方法：直接優(yōu)化法基本思路：根據(jù)殘差平方和極小的必要條件，得出正規(guī)方程組，解正規(guī)方程組，得到未知參數(shù)的估計值。適用性評價：計算上難度大，很少采用。第三種方法：迭代線性化法假設(shè)非線性回歸模型的一般形式為： 估計式： 殘差平方和： 這種方法的基本思想是，首先通過泰勒級數(shù)展開，將模型的非線性函數(shù)在某一組初始參數(shù)估計值附近線性化，然后對這一線性化的函數(shù)應(yīng)用普通

8、最小二乘法，得到一組新的參數(shù)估計值。接著是使非線性函數(shù)在新的參數(shù)的估計值附近線性化，對新的線性化模型應(yīng)用普通最小二乘法，又得到一組新的參數(shù)估計值。不斷重復(fù)上述過程，直至參數(shù)估計值收斂為止。即第L+1組參數(shù)估計值與第L組參數(shù)估計值沒有明顯差別為止。 第三種方法：迭代線性化法不可線性化的非線性模型一般形式：Yi=f（Xi，）+u式中，f是非線性函數(shù)， Xi=（x1i，x2i，xki），=（1，2，k） u為隨機擾動項第三種方法：迭代線性化法相對應(yīng)的殘差平方和：S（）=第三種方法：迭代線性化法迭代法的基本步驟：第一步，將上式在處 進(jìn)行泰勒級數(shù)展開，取二階近似得：第三種方法：迭代線性化法第二步：由于最小二乘法的根本是求殘差最小，根據(jù)極值理論，對上式求關(guān)于 的導(dǎo)數(shù)，并令其為0，得：第三種方法：迭代線性化法移項得：第三種方法：迭代線性化法第三步：將上式得出的 作為第一次迭代估計值，重復(fù)上述步驟，知道收斂為止。注意一：在應(yīng)用迭代線性化時，迭代過程有可能不收斂。這與參數(shù)初始值的選擇有關(guān)，如果出現(xiàn)這種情況，就需要換一組參數(shù)初始值。第三種方法：迭代線性化法注意二：迭代