關(guān)于曲線繪圖及運動控制問題的研究報告

1、關(guān)于曲線繪圖與運動控制問題的研究：碩朱聰聰禹雪珂學(xué)號：201722060220172106102017210609專業(yè)：研究生組題目：關(guān)于曲線繪圖與運動控制問題的研究摘要隨著計算機的廣泛應(yīng)用，計算機輔助繪圖在當(dāng)今社會已成為計算機輔助設(shè)計的根底。本文的建模題目就是利用數(shù)學(xué)建模的方法來研究計算機繪圖以及運動控制的原理。針對問題一，首先根據(jù)題意建立了滿足條件的三階貝塞爾曲線模型，讓屏幕上的4點在一條光滑又簡單的曲線上。然后根據(jù)模型計算出由以下4點A1,1,B1,3,C3,3,D2,2構(gòu)成的參數(shù)方程，運用matlab編程，繪出了相應(yīng)的曲線。,、一.一113針對問題二的第一步，先把所給的參數(shù)方程的參數(shù)作

2、4等分，即t0,-,-,-,1,424然后用matlab編程繪圖，驗證出了當(dāng)參數(shù)作4等分時，這些點對應(yīng)的曲線弧長并不是4等分的。對于弧長n等分的問題，隨后利用微積分的原理建立了求弧長的公式模型。在弧長公式的根底上，進展弧長等分。利用這個模型，求出每段弧長對應(yīng)的參數(shù)t,結(jié)合所給的參數(shù)方程，最后利用編程繪制出了曲線的弧長4等分和10等分圖像。關(guān)鍵詞：貝塞爾曲線；微積分；MATLAB繪圖-word.zl-一.問題重述目前計算機輔助繪圖已成為計算機輔助設(shè)計的根底，本文的問題就是利用數(shù)學(xué)建模的方法來研究計算機繪圖以及運動控制的根本原理。問題1:繪圖在計算機屏幕上隨機地畫出Axi,yi,BX2,y2,CX

3、3,y3和口乂邛利用這4個點的信息繪制出一條曲線，其中讓A為曲線的起點，D為曲線的終點，B和C為控制點。曲線在起點A處，以BA方向為切線方向，在終點D處，以CD方向為切線方向。xxt使用參數(shù)方程,0t1來描述這條曲線，但滿足上述條件的曲線有無窮條，yyt請增加一些條件，使它表示一條曲線，并且具有形式簡單如多項式、曲線光滑如連續(xù)可微和美觀等特點。根據(jù)建立的模型寫出由以下4點A1,1,B1,3,C3,3,D2,2構(gòu)成曲線的參數(shù)方程，并繪出這條曲線同時在圖上標(biāo)注這4個點，和相應(yīng)的切線。問題2:運動控制計算機輔助設(shè)計在一些情況下，需要對沿著指定的運動途徑的空xxt間位置進展準(zhǔn)確的控制，而參數(shù)方程,0t

4、1給出的曲線一般是達不到這一效yyt果。也就是說，假設(shè)將參數(shù)t作n等分，而對應(yīng)的曲線弧長并不是n等分的。例如：需要控制的曲線由以下參數(shù)方程表示xt0.50.3t3.9t24.7t3小23,0t1.(1-1)yt1.50.3t0.9t22.7t3113假設(shè)將參數(shù)t作4等分，即t0,1,2,3,1,而這些點對應(yīng)的曲線弧長并不是4等分424的，此題需要繪圖驗證這一點，并給出將弧長作n等分的數(shù)學(xué)模型或計算公式。根據(jù)建立的數(shù)學(xué)模型，將參數(shù)方程(1-1)所繪出曲線的弧長4等分和10等分。繪出參數(shù)方程(1-1)的控制曲線，并標(biāo)注出弧長4等分和10等分的等分點二.問題分析對于問題一，是讓我們對計算機屏幕上的隨

5、機4點滿足的參數(shù)方程添加一些條件，使得繪出的曲線只有一條，且具有一定的特點。根據(jù)搜集的信息，首先我們建立了三階貝塞爾曲線方程的模型，這個模型是多項式，繪出的曲線具有形式簡單，曲線光滑和美觀等特點。然后根據(jù)模型求出了A1,1,B1,3,C3,3,D2,24點滿足的曲線的參數(shù)方程，并用matlab軟件繪制出了相應(yīng)的曲線。對于問題二，要求我們在參數(shù)n等分的情況下，給出將弧長n等分的數(shù)學(xué)模型。根據(jù)題意我們已經(jīng)知道了需要控制的曲線的參數(shù)方程，利用微積分的方法，給出了求曲線弧長的計算公式，在此根底上對弧長進展n等分。根據(jù)建立的模型，利用matlab軟件繪制出將參數(shù)方程(1-1)所繪出曲線的弧長4等分和10

6、等分的圖像。三.模型假設(shè)1假設(shè)計算機屏幕上的隨機4點沒有重合。.假設(shè)計算機正常運行。.假設(shè)用matlab運行的誤差忽略不計。四.符號說明參數(shù)t定點Po.Pi控制點P3島參數(shù)方程的系數(shù)%，%，cr總弧長s每段的弧長五.模型的建立與求解理論準(zhǔn)備貝塞爾曲線簡介貝塞爾曲線，又稱貝茲曲線或貝濟埃曲線，是應(yīng)用于二維圖形應(yīng)用程序的數(shù)學(xué)曲線。一般的矢量圖形軟件通過它來準(zhǔn)確畫出曲線，貝茲曲線由線段與節(jié)點組成，節(jié)點是可拖動的支點，線段像可伸縮的皮筋，它是計算機圖形學(xué)中相當(dāng)重要的參數(shù)曲線。貝塞爾曲線是根據(jù)4個位置任意的點坐標(biāo)繪制出的一條光滑曲線，我們把這4個點設(shè)為和，貝塞爾曲線必定通過首尾兩個端點，中間的兩個點雖然

7、未必要通過，但卻起著牽制曲線形狀路徑的作用，稱為控制點。通過調(diào)整控制點，貝塞爾曲線的形狀會發(fā)生變化beisaier.gif貝塞爾曲線的參數(shù)表示當(dāng)控制點不同時，貝塞爾曲線的方程就不同。在這里，可以簡單的分為一階、二階、三階、和高階貝塞爾曲線。下面對其參數(shù)方程進展簡單的介紹。A.一階貝塞爾曲線給定點P0、P1,線性貝茲曲線只是一條兩點之間的直線。這條線由下式給出：且其等同于線性插值。B.二階貝塞爾曲線二次方貝茲曲線的路徑由給定點P0、P1、P2的函數(shù)Bt追蹤：=產(chǎn)為+2HI-力一+ge0ATrueType字型就運用了以貝茲樣條組成的二次貝茲曲線。C.三階貝塞爾曲線P0、P1、P2、P3四個點在平面

8、或在三維空間中定義了三次方貝茲曲線。曲線起始于P0走向P1,并從P2的方向來到P&一般不會經(jīng)過P1或P2;這兩個點只是在那里提供方向資訊。P0和P1之間的間距，決定了曲線在轉(zhuǎn)而趨進P3之前，走向P2方向的“長度有多長。曲線的參數(shù)形式為：Ml-r)3+3flt(l-e)2+(1-te0,1現(xiàn)代的成象系統(tǒng)，如PostScriptAsymptote和Metafont,運用了以貝茲樣條組成的三次貝茲曲線，用來描繪曲線輪廓。D.一般參數(shù)公式則力;卜小仆成吁g給定點P0、P1、Pn,其貝茲曲線即：.JInPh(1T/)Q1it-Lin如上公式可如下遞歸表達：用表示由點P0、P1、Pn所決定的貝茲曲線。貝塞

9、爾曲線的性質(zhì)貝塞爾曲線把組合參數(shù)曲線構(gòu)造成在連接處具有直到n階連續(xù)，即n階連續(xù)可微，這類光滑度稱之為nC或n階參數(shù)連續(xù)性。并且組合曲線在連接處滿足不同于nC的某一組約束條件，具有n階幾何連續(xù)性，問題一模型的建立根據(jù)題目所給，要使參數(shù)方程并且具有形式簡單如多項式、曲線光滑如連續(xù)可微和美觀等特點，我們建立了三階貝塞爾曲線方程的模型：E=+(1一產(chǎn)+3再產(chǎn)如果一條曲線的參數(shù)方程，系數(shù)都，兩個方程的參數(shù)為，且它的值位于0,1之間,表現(xiàn)形式如下所示：由于這條曲線的起點為,我們可以用以下公式求出剩余三個點的坐標(biāo)C-4二叼+3%r5=r24-+-Y%=3+弓+%+口N經(jīng)過觀察，不管方程的和所什么，一共有6個

10、未知數(shù)，并且總能找到6個等式，其是的。也就是說，上面的方法是完全可逆的，因此可以根據(jù)4個點坐標(biāo)來反求曲線參數(shù)方程的系數(shù)，經(jīng)過變換，可得到以下式子:所以，對于坐標(biāo)任意的4個點，總能構(gòu)建一條貝塞爾曲線，并可通過以上算法求出其參數(shù)方程。問題一的求解根據(jù)建立的模型，將A1,1,B1,3,C3,3,D2,2代入三階貝塞爾曲線模型中，得到所以得到的參數(shù)方程為x(t)=i5113+6It2+011+1曠6)=11/+6根據(jù)計算結(jié)果，利用MATLAB寫出程序見附錄1，繪出這條曲線同時在圖上標(biāo)注出四點點，和相應(yīng)的切線，其中A為曲線的起點，D為曲線的終點，B和C為控制點.曲線在起點A處，以BA方向為切線方向，在終

11、點D處，以CD方向為切線方向.如以下圖：5.3問題二模型的建立問題2中，需要控制的曲線的參數(shù)方程，當(dāng)參數(shù)t作n等分時，要使曲線弧長是n等分，這時我們應(yīng)利用微積分的方法，給出求曲線弧長的計算公式，在此根底上建立對弧長進展n等分的數(shù)學(xué)模型。假設(shè)曲線弧的參數(shù)方程如下:儼=掣Yt（y=yYtY那么弧長元素弧微分為:ds=VYjdx）2+tfyY2所求弧長為因此得到將弧長進展n等分的公式模型:n22(t)出Sin2(t)(t)dtS2n(n1).2(t)2(t)Sn2n計算出n等分點的到起始點的弧長,利用Matlab可以求出每個等分點對應(yīng)的參數(shù)t從而可繪出n等分的對應(yīng)圖像。5.4問題二的求解首先對于參數(shù)

12、方程0 t 1.假設(shè)將參數(shù)t作4等分,0.50.3t3.9t24.7t31.50.3t0.9t22.7t3113.即t0,1,1,3,1時，經(jīng)過matlab軟件編程繪制圖像，發(fā)現(xiàn)并驗證了這些點對應(yīng)的曲線424弧長并不是4等分的。繪制的圖形如下：從圖5.4-1中可以看出當(dāng)參數(shù)t作4等分時，對應(yīng)的弧長并不是4等分的。xt0503t39t247t3對于參數(shù)方程0.523,0t1.將其代入建立的模型之中，yt1.50.3t0.9t22.7t3運用matlab編程求出弧長S為2.495Z假設(shè)將弧長進展4等分，每段的弧長s為0.6238再次運用Matlab編程，用的四等分點的弧長s反過來求出對應(yīng)的參數(shù)t,

13、數(shù)據(jù)如表格所示:弧長s參數(shù)ts0=0.0000t0=0.0005=0.6238t1=0.550s2=1.2476t2=0.800-S3=2.3348t3=0.918S4=2.4952t4=1.000進而繪制出將弧長進展4等分的圖像，并將4等分的等分點用紅色圓圈在圖上進展了標(biāo)注，如圖：同理，運用模型可將曲線10等分?？汕蟪?0等分之后每段的弧長為0.2490運用Matlab求出了所有等分點參數(shù)t的取值?；￠Ls參數(shù)ts0=0.000t0=0.0000S1=0.249t1=0.2402S2=0.499t2=0.4324S3=0.748t3=0.6310S4=0.998t4=0.7332S5=1.24

14、8t5=0.8007S6=1.497t6=0.8532S7=1.747t7=0.8972S8=1.996t8=0.9353Sg=2.245t9=0.9691S10=2.495t10=1.0000并繪制出了將弧長進展10等分的圖像，并對弧長10等分的等分點進展了標(biāo)注。六.模型評價模型一的評價優(yōu)點1模型簡單，通過一個貝塞爾曲線模型給出了屏幕上任意4點需要滿足的條件,利用限制條件繪制出了美觀的圖像，便于觀察。2該模型的原理淺顯易懂，計算過程不復(fù)雜，適用性比擬強缺點由于所給的數(shù)據(jù)較少，繪制出的圖像不是特別準(zhǔn)確，存在一定的誤差。模型二的評價優(yōu)點1模型簡單，原理淺顯易懂，思路明確，直奔主題。2利用了微積分

15、求弧長，化曲為直，簡化了計算過程。缺點在計算n等分點時，過程較為繁瑣，復(fù)雜。參考文獻1衛(wèi)國，MATLAB程序設(shè)計與應(yīng)用第二版M.：高等教育，2006.2龔純,王正林編.MATLAB語言常用算法程序集.：電子工業(yè),2008. TOC o 1-5 h z 3王正林等編.MATLAB/Simulink與控制系統(tǒng)仿真第2版.：電子工業(yè),20084夏瑋等編.MATLAB控制系統(tǒng)仿真與實例詳解.：人民郵電.2008.5靜等編.MATLAB在控制系統(tǒng)中的應(yīng)用.：電子工業(yè),2007方康玲編,過程控制及其MATLAB實現(xiàn)（第2版）.：電子工業(yè),2013附錄問題1t=0:0.01:1;x=-5*tA3+6*tA2

16、+1;y=tA3-6*tA2+6*t+1;plot(x,y,-b);holdonx0=1;1;3;2y0=1;3;3;2;plot(x0,y0,Ar)x1=1;1;y1=1;3;plot(x1,y1,-g)t=0:0.01:1;x=-5*t.A3+6*t.A2+1;y=t.A3-6*t.A2+6*t+1;plot(x,y,-b);holdonx0=1;1;3;2;y0=1;3;3;2;plot(x0,y0,Ar)x2=3;2;y2=3;2;plot(x2,y2,-g)問題二1驗證當(dāng)參數(shù)作4等分，即時，這些點對應(yīng)的弧長不是4等分的程序：t=0:0.01:0.25x=0.5+0.3.*t+3.9.

17、*t.*t-4.7.*tA3;y=1.5+03*t+0.9.*t.*t-27*tA3;plot(x,y,*:b);holdont=0.25:0.01:0.5x=0.5+0.3.*t+3.9.*t.*t-4.7.*t.A3;y=1.5+0.3.*t+0.9.*t.*t-2.7.*t.A3;plot(x,y,*:r);holdont=0.5:0.01:0.75x2=0.5+0.3.*t+3.9.*t.*t-4.7.*t.A3;y2=1.5+0.3.*t+0.9.*t.*t-2.7.*t.A3;plot(x2,y2,*:g);holdont=0.75:0.01:1x3=0.5+0.3.*t+3.9.

18、*t.*t-4.7.*t.A3;y3=1.5+0.3.*t+0.9.*t.*t-2.7.*t.A3;plot(x3,y3,*:k);2由的參數(shù)方程求出的總弧長的程序：functionf=ft(t)f=sqrt(0.3+7.8.*t-14.1*tA2)A2+(0.3+1.8.*t-8.1.*tA2)A2);endS=quad(ft,0,1)S=2.49523由的參數(shù)方程繪制出弧長4等分的程序：t=0:0.01:1x=0.5+0.3.*t+3.9.*t.*t-4.7.*t.A3;y=1.5+0.3.*t+0.9.*t.*t-2.7.*t.A3;plot(x,y,-b);holdont0=0.55;0.8;0.918;x0=0.5+0.3.*t0+3.9.*t0.*t0-4.7.*t0.A3;y0=1.5+0.3.*t0+0.9.*t0.*t0-2.7.*t0.A3;plot(x0