工程流體力學(xué)教學(xué)作者周乃君流體力學(xué)粘性流體運(yùn)動(dòng)方程及其基本解課件

1、第八章 粘性流體運(yùn)動(dòng)方程及其基本解內(nèi)容提要：流體微團(tuán)的運(yùn)動(dòng)形式與速度分解定理粘性流體的應(yīng)力狀態(tài)廣義牛頓內(nèi)摩擦定理（本構(gòu)關(guān)系）Navier-Stokes方程 主要討論層流問(wèn)題二維層流精確解18.1 問(wèn)題的提出旋轉(zhuǎn)容器中液體的粘性效應(yīng)柱體繞流28.2 雷諾輸運(yùn)定理與連續(xù)性方程對(duì)于一般物理量（如密度，動(dòng)量，能量）雷諾輸運(yùn)定理：運(yùn)動(dòng)著的流體微團(tuán)的某一物理量對(duì)時(shí)間的變化率等于單位時(shí)間內(nèi)控制體中所含該物理量的增量與通過(guò)控制面流出相應(yīng)物理量之和。連續(xù)性方程：31、流體微團(tuán)運(yùn)動(dòng)的基本形式 流體微團(tuán)在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，將發(fā)生剛體運(yùn)動(dòng)（平動(dòng)和轉(zhuǎn)動(dòng)） 與變形運(yùn)動(dòng)（線變形和角變形運(yùn)動(dòng)）平動(dòng)轉(zhuǎn)動(dòng)線變形角變形8.3 速度分解定

2、理（Helmholtz定理）42、速度分解定理 德國(guó)物理學(xué)家 Helmholtz（1821-1894）1858年提出的流場(chǎng)速度的分解定理，正確區(qū)分了流體微團(tuán)的運(yùn)動(dòng)形式。設(shè)在流場(chǎng)中，相距微量的任意兩點(diǎn)，按泰勒級(jí)數(shù)展開給出分解。在 速度為 在 點(diǎn)處，速度為5以x方向速度分量為例，由泰勒級(jí)數(shù)展開，有將上式分別加、減下列兩項(xiàng)得到：6如果令：綜合起來(lái)，有：7對(duì)于y,z方向的速度分量，也可得到寫成矢量形式：其中，第一項(xiàng)表示微團(tuán)的平動(dòng)速度， 第二項(xiàng)表示微團(tuán)轉(zhuǎn)動(dòng)引起的， 第三項(xiàng)表示微團(tuán)變形（線變形和角變形）引起的。8定義如下：流體微團(tuán)平動(dòng)速度：流體微團(tuán)線變形速度：流體微團(tuán)角變形速度（剪切變形速度）：流體微團(tuán)旋

3、轉(zhuǎn)角速度：9流體質(zhì)點(diǎn)的渦量定義為表示流體質(zhì)點(diǎn)繞自身軸旋轉(zhuǎn)角速度的2倍。并由渦量是否為零，定義無(wú)旋流動(dòng)與有旋運(yùn)動(dòng)。4、變形率矩陣（或變形率張量，或應(yīng)變率張量） 在速度分解定理中，最后一項(xiàng)是由流體微團(tuán)變形引起的，其中 稱為變形率矩陣，或變形率張量。該項(xiàng)與流體微團(tuán)的粘性應(yīng)力存在直接關(guān)系。3、有旋運(yùn)動(dòng)與無(wú)旋運(yùn)動(dòng)10定義流體微團(tuán)的變形率矩陣該矩陣是個(gè)對(duì)稱矩陣，每個(gè)分量的大小與坐標(biāo)系的選擇有關(guān)，但有三個(gè)量是與坐標(biāo)系選擇無(wú)關(guān)的不變量。它們是：11其中對(duì)于第一不變量，具有明確的物理意義。表示速度場(chǎng)的散度，或流體微團(tuán)的相對(duì)體積膨脹率。125.速度梯度分解速度梯度是一個(gè)二階張量Sij即為變形率張量（ ij，應(yīng)變率

4、張量），ij稱為旋轉(zhuǎn)張量。13 流體處于靜止?fàn)顟B(tài)，只能承受壓力，幾乎不能承受拉力和剪力，不具有抵抗剪切變形的能力。理想流體在運(yùn)動(dòng)狀態(tài)下，流體質(zhì)點(diǎn)之間可以存在相對(duì)運(yùn)動(dòng)，但不具有抵抗剪切變形的能力。因此，作用于流體內(nèi)部任意面上的力只有正向力，無(wú)切向力。 粘性流體在運(yùn)動(dòng)狀態(tài)下，流體質(zhì)點(diǎn)之間可以存在相對(duì)運(yùn)動(dòng)，流體具有抵抗剪切變形的能力。因此，作用于流體內(nèi)部任意面上力既有正向力，也有切向力。 1、理想流體和粘性流體作用面受力差別8.4 粘性流體的受力分析142、粘性流體中的應(yīng)力狀態(tài) 在粘性流體運(yùn)動(dòng)中，由于存在切向力，過(guò)任意一點(diǎn)單位面積上的表面力就不一定垂直于作用面，且各個(gè)方向的大小也不一定相等。因此，作

5、用于任意方向微元面積上合應(yīng)力可分解為法向應(yīng)力和切向應(yīng)力。如果作用面的法線方向與坐標(biāo)軸重合，則合應(yīng)力可分解為三個(gè)分量，其中垂直于作用面的為法應(yīng)力，另外兩個(gè)與作用面相切為切應(yīng)力，分別平行于另外兩個(gè)坐標(biāo)軸，為切應(yīng)力在坐標(biāo)軸向的投影分量。15 由此可見，用兩個(gè)下標(biāo)可把各個(gè)應(yīng)力分量的作用面方位和投影方向表示清楚。其中第一個(gè)下標(biāo)表示作用面的法線方向，第二個(gè)下標(biāo)表示應(yīng)力分量的投影方向。如，對(duì)于x面的合應(yīng)力可表示為 y面的合應(yīng)力表達(dá)式為 z面的合應(yīng)力表達(dá)式為16 如果在同一點(diǎn)上給定三個(gè)相互垂直坐標(biāo)面上的應(yīng)力，那么過(guò)該點(diǎn)任意方向作用面上的應(yīng)力可通過(guò)坐標(biāo)變換唯一確定。因此，我們把三個(gè)坐標(biāo)面上的九個(gè)應(yīng)力分量稱為該點(diǎn)

6、的應(yīng)力狀態(tài)，由這九個(gè)應(yīng)力分量組成的矩陣稱為應(yīng)力矩陣（或應(yīng)力張量）。根據(jù)剪力互等定理，在這九分量中，只有六個(gè)是獨(dú)立的，其中三法向應(yīng)力和三個(gè)切向應(yīng)力。這個(gè)應(yīng)力矩陣如同變形率矩陣一樣，是個(gè)對(duì)稱矩陣。17（1）在理想流體中，不存在切應(yīng)力，三個(gè)法向應(yīng)力相等，等于該點(diǎn)壓強(qiáng)的負(fù)值。即（2）在粘性流體中，任意一點(diǎn)的任何三個(gè)相互垂直面上的法向應(yīng)力之和一個(gè)不變量，并定義此不變量的平均值為該點(diǎn)的平均壓強(qiáng)的負(fù)值。即（3）在粘性流體中，任意面上的切應(yīng)力一般不為零。188.5 動(dòng)量方程積分形式的理想流體動(dòng)量方程：積分形式的粘性流體動(dòng)量方程：微分形式的粘性流體動(dòng)量方程：198.6 本構(gòu)方程如圖，微元體每個(gè)面上有正應(yīng)力和切應(yīng)

7、力。第一個(gè)角標(biāo)指垂直于每軸的面，第二個(gè)角標(biāo)指應(yīng)力方向（坐標(biāo)軸上的投影）共有9個(gè)量，構(gòu)成二階張量應(yīng)力張量： 為研究粘性流體的運(yùn)動(dòng)，我們需要找到應(yīng)力與應(yīng)變率的關(guān)系本構(gòu)關(guān)系 作用于微元上的應(yīng)力20廣義牛頓內(nèi)摩擦定理（本構(gòu)關(guān)系）1、牛頓內(nèi)摩擦定理啟發(fā) 牛頓內(nèi)摩擦定理得到，粘性流體作直線層狀流動(dòng)時(shí)，流層之間的切應(yīng)力與速度梯度成正比。即： 如果用變形率矩陣和應(yīng)力矩陣表示，有：說(shuō)明應(yīng)力矩陣與變形率矩陣成正比。對(duì)于一般的三維流動(dòng)，Stokes（1845年）通過(guò)引入三條假定，將牛頓內(nèi)摩擦定律進(jìn)行推廣，提出廣義牛頓內(nèi)摩擦定理。212、Stokes假設(shè)（1845年）（1）流體是連續(xù)的，它的應(yīng)力矩陣與變形率矩陣成線性

8、關(guān)系，與流體的平動(dòng)和轉(zhuǎn)動(dòng)無(wú)關(guān)。（2）流體是各向同性的，其應(yīng)力與變形率的關(guān)系與坐標(biāo)系的選擇和位置無(wú)關(guān)。（3）當(dāng)流體靜止時(shí)，變形率為零，流體中的應(yīng)力為流體靜壓強(qiáng)。 由第三條件假定可知，在靜止?fàn)顟B(tài)下，流體的應(yīng)力只有正應(yīng)力，無(wú)切應(yīng)力。即：22 因此，在靜止?fàn)顟B(tài)下，流體的應(yīng)力狀態(tài)為 根據(jù)第一條假定，并受第三條假定的啟發(fā)，可將應(yīng)力矩陣與變形率矩陣寫成如下線性關(guān)系式（本構(gòu)關(guān)系）。 式中，系數(shù)a、b是與坐標(biāo)選擇無(wú)關(guān)的標(biāo)量。參照牛頓內(nèi)摩擦定理，系數(shù)a只取決于流體的物理性質(zhì)，可取：23 由于系數(shù)b與坐標(biāo)系的轉(zhuǎn)動(dòng)無(wú)關(guān)，因此可以推斷，要保持應(yīng)力與變形率成線性關(guān)系，系數(shù)b只能由應(yīng)力矩陣與變形率矩陣中的那些線性不變量構(gòu)成

9、。即令：式中，b1，b2，b3為待定系數(shù)。將a、b代入，有：取等式兩邊矩陣主對(duì)角線上的三個(gè)分量之和，可得出：24歸并同類項(xiàng)，得到：在靜止?fàn)顟B(tài)下，速度的散度為零，且有：于是，有： 由于b1和b3均為常數(shù)，且要求p0在靜止?fàn)顟B(tài)的任何情況下均成立，則 然后代入第一式中，有25定義流體壓強(qiáng)為其中稱為虛擬粘性系數(shù)（容變/膨脹粘性系數(shù)）。則本構(gòu)關(guān)系為：上式即為廣義牛頓內(nèi)摩擦定理（亦為牛頓流體的本構(gòu)方程，constructive equation）26對(duì)于絕大部分牛頓流體（包括氣體和液體）流動(dòng)，虛擬粘性系數(shù)0，可以不予考慮，只有在少數(shù)特殊情況下，比如激波層內(nèi)，0。所以一般情況下，本構(gòu)關(guān)系可簡(jiǎn)化為：用指標(biāo)形式

10、，上式可表示為27對(duì)于不可壓縮流體,有：如果用坐標(biāo)系表示，有：粘性切應(yīng)力：法向應(yīng)力：2829本構(gòu)關(guān)系：應(yīng)力與變形速率之間的關(guān)系 對(duì)于剪切流動(dòng)的簡(jiǎn)單情況，牛頓內(nèi)摩擦定律：對(duì)于剪切流動(dòng)的復(fù)雜情況，牛頓內(nèi)摩擦定律：根據(jù)各向同性假設(shè)有x，y，z三個(gè)切向應(yīng)力：30根據(jù)斯托克斯假設(shè)，在粘性不可壓流體中x,y,z三個(gè)法向應(yīng)力的表達(dá)式為：將上述三式相加，并根據(jù)連續(xù)性方程得到：對(duì)于靜止流體：8.7 N-S方程 如圖微元體，每個(gè)面上正應(yīng)力沿外法線方向，切應(yīng)力沿坐標(biāo)軸正向，現(xiàn)分析z方向上表面力正應(yīng)力切應(yīng)力作用于微元上的應(yīng)力ABCDHEFG3132質(zhì)量力：作用于微元上的應(yīng)力ABCDHEFG3334不可壓縮流體，由連續(xù)

11、性方程得：35基本方程組： 定解條件未知數(shù)：u,v,w,p四個(gè)，故方程組封閉，給定定解條件，理論上可求得唯一解?？墒牵捎谑欠蔷€性、強(qiáng)耦合偏微分方程組，求解非常困難，通常根據(jù)實(shí)際問(wèn)題進(jìn)行簡(jiǎn)化后，可求一些簡(jiǎn)單問(wèn)題的解。注：理想流體歐拉運(yùn)動(dòng)方程就是N-S方程的一種簡(jiǎn)化。36 上述N-S方程和連續(xù)方程適用于不可壓流動(dòng)，對(duì)于可壓縮流動(dòng)，還需要加上狀態(tài)方程和能量守恒方程才能封閉，再加上定解條件，數(shù)學(xué)上可以求解，但僅對(duì)層流有效；對(duì)于湍流，通常還需要建立湍流模型進(jìn)行求解。 N-S方程的邊界條件和初始條件 數(shù)學(xué)上，N-S方程是三個(gè)橢圓型二階偏微分方程聯(lián)立的方程組，其邊界條件應(yīng)是在一個(gè)封閉邊界上的狄利克雷或諾伊

12、曼條件。 從物理學(xué)方面講，對(duì)于連續(xù)介質(zhì)流體與固體的交界面，實(shí)驗(yàn)得到的粘性流動(dòng)的邊界條件是：流體與固體間無(wú)穿透且無(wú)相對(duì)滑動(dòng)，即un = Un，ut = Utn和t分別表示法向和切向。37 在流場(chǎng)無(wú)窮遠(yuǎn)處，流速為零或常數(shù)。需考慮流場(chǎng)中熱效應(yīng)時(shí)，熱邊界條件為：在邊界處，溫度T為常數(shù)或溫度梯度T/n為常數(shù)。 在兩種不同流體的分界面，若它們均為液體，則分界面兩側(cè)流體的速度、壓強(qiáng)和溫度都相等：u1 = u2，p1 = p2，T1 = T2摩擦力和通過(guò)分界面的熱傳導(dǎo)量也相等： 若界面兩側(cè)分別是液體和氣體，如液體自由表面，則其運(yùn)動(dòng)學(xué)條件為：在自由表面上的流體質(zhì)點(diǎn)永遠(yuǎn)都處于自由表面上；動(dòng)力學(xué)條件為：交界面處的法向應(yīng)力、切向應(yīng)力連續(xù)。38398.9 二維平面層流解 一、庫(kù)塔流動(dòng)（Couette Flow） 如圖，平板在水面上運(yùn)動(dòng)，假設(shè)：二維，定常不可壓，層流，不計(jì)重力。對(duì)基本方程組根據(jù)問(wèn)題性質(zhì)做適當(dāng)簡(jiǎn)化后，直接求出的解稱精確解。至今大約有二十多個(gè)，它們是其他解法的重要基礎(chǔ)。4041(1) 簡(jiǎn)單庫(kù)塔流動(dòng)無(wú)壓差流動(dòng)，上板以u(píng)0運(yùn)動(dòng)其解為：42壓差流動(dòng)(順壓梯度)其解為：(2) 平面泊肅葉流動(dòng)平面泊肅葉流動(dòng)43(3)其解為：為上述