小波變換基礎(chǔ)以及haar小波.資料課件

1、圖像處理與識(shí)別小波變換及應(yīng)用小波發(fā)展Haar小波小波去噪展望小波發(fā)展小波分析（Wavelets Analysis）是20世紀(jì)80年代中后期逐漸發(fā)展起來的一種新的數(shù)學(xué)分析方法，它既具有豐富的數(shù)學(xué)理論意義，又具有廣泛的工程應(yīng)用價(jià)值。廣泛應(yīng)用在信號處理、圖像處理、語音分析以及其他非線性科學(xué)領(lǐng)域.小波分析是對傅立葉分析（Fourier Analysis）理論最輝煌的繼承、總結(jié)和重大突破.小波與傅里葉的區(qū)別傅立葉分析中，以單個(gè)變量（時(shí)間或頻率）的函數(shù)表示信號，因此，不能同時(shí)作時(shí)域頻域分析.小波分析中，利用聯(lián)合時(shí)間尺度函數(shù)分析信號，通過平移和伸縮構(gòu)造小波基，由于小波同時(shí)具有時(shí)間平移和多尺度分辨率的特點(diǎn)，可

2、以同時(shí)進(jìn)行時(shí)頻域分析.傅里葉變換這幅圖可形象的表示傅里葉變換的不足之處。如上圖，最上邊的是頻率始終不變的平穩(wěn)信號。而下邊兩個(gè)則是頻率隨著時(shí)間改變的非平穩(wěn)信號，它們同樣包含和最上信號相同頻率的四個(gè)成分。做FFT后，我們發(fā)現(xiàn)這三個(gè)時(shí)域上有巨大差異的信號，頻譜（幅值譜）卻非常一致。尤其是下邊兩個(gè)非平穩(wěn)信號，我們從頻譜上無法區(qū)分它們，因?yàn)樗鼈儼乃膫€(gè)頻率的信號的成分確實(shí)是一樣的，只是出現(xiàn)的先后順序不同?？梢姡道锶~變換處理非平穩(wěn)信號有天生缺陷。它只能獲取一段信號總體上包含哪些頻率的成分，但是對各成分出現(xiàn)的時(shí)刻并無所知。因此時(shí)域相差很大的兩個(gè)信號，可能頻譜圖一樣。短時(shí)傅里葉變換（STFT） 如果我們還

3、想知道各個(gè)成分出現(xiàn)的時(shí)間 ？一個(gè)簡單可行的方法就是加窗。把整個(gè)時(shí)域過程分解成無數(shù)個(gè)等長的小過程，每個(gè)小過程近似平穩(wěn)，再傅里葉變換，就知道在哪個(gè)時(shí)間點(diǎn)上出現(xiàn)了什么頻率了。 那么問題又來了？我們選擇多大的窗口合適呢？窗太窄，窗內(nèi)的信號太短，會(huì)導(dǎo)致頻率分析不夠精準(zhǔn)，頻率分辨率差。窗太寬，時(shí)域上又不夠精細(xì)，時(shí)間分辨率低。這也是一對不可兼得的矛盾體。我們不知道在某個(gè)瞬間哪個(gè)頻率分量存在，我們知道的只能是在一個(gè)時(shí)間段內(nèi)某個(gè)頻帶的分量存在。 短時(shí)傅立葉變換(STFT)的核心就是加窗，然后滑動(dòng)求得聯(lián)合時(shí)頻分布.當(dāng)窗口函數(shù)g(t)確定后，STFT的時(shí)頻窗口就固定不變，與頻率無關(guān). STFT是一種單一分辨率的分析

4、，若要改變分辨率，則必須重新選定窗函數(shù)g(t) .我們不能同時(shí)獲取信號絕對精準(zhǔn)的時(shí)刻和頻率。對于非穩(wěn)信號，信號變化劇烈時(shí)，主頻是高頻，要求有較高的時(shí)間分辨率( 要小)，信號變化平緩時(shí)，主頻是低頻，要求有較高的頻率分辨率(要小). STFT不能同時(shí)兼顧兩者.小波分析是時(shí)間和頻率的局域變換，采用多分辨率分析的思想，非均勻地劃分時(shí)頻空間.通過伸縮和平移對信號進(jìn)行多尺度細(xì)化，可以在不同尺度上來觀察信號.對低頻部分采取較高的頻率分辨率和較低的時(shí)間分辨率，在高頻部分采取較高的時(shí)間分辨率和較低的頻率分辨率.逐漸精細(xì)的時(shí)域步長，可以聚焦到被分析信號的任意細(xì)節(jié)，因而它比傅立葉分析更適合處理非平穩(wěn)信號，被譽(yù)為“數(shù)

5、學(xué)顯微鏡”. 三角函數(shù)sin(nt)構(gòu)成一組完備正交基，所以信號f(t)可以用三角函數(shù)表示傅里葉變換.Fourier_series_and_transform (1).gif 小波函數(shù)能夠構(gòu)成一組完備正交基，所以信號f(t)也可以用小波函數(shù)表示小波變換.小波變換 如果e1(t), e2(t), e3(t), , en(t)構(gòu)成一組完備正交基, 則任何信號f(t)可以表示成：為什么叫小波？小波分析所用的波稱為小波，小波的能量有限，有限長且會(huì)衰減，集中在某一點(diǎn)附近. 即小波是一種能量在時(shí)域非常集中的波. 小波對于分析瞬時(shí)時(shí)變信號非常有用. 它有效地從信號中提取信息，通過伸縮和平移等運(yùn)算對信號進(jìn)行多

6、尺度細(xì)化分析.從公式可以看出，不同于傅里葉變換，變量只有頻率，小波變換有兩個(gè)變量：尺度a和平移量 。尺度a控制小波函數(shù)的伸縮，平移量控制小波函數(shù)的平移。尺度就對應(yīng)于頻率（反比），平移量就對應(yīng)于時(shí)間。 某一個(gè)尺度下乘出來的結(jié)果，就可以理解成信號所包含的當(dāng)前尺度對應(yīng)頻率成分有多少。其實(shí)這樣相乘積分也就是計(jì)算信號與基函數(shù)的相似程度。 則稱(t)為一個(gè)小波母函數(shù). 設(shè)函數(shù) ，若其FT滿足條件:CWT（連續(xù)小波變換）(t) L1(R)意味著小波函數(shù)具有衰減性.(t) L2(R)意味著小波函數(shù)的能量有限.(t) 滿足意味著小波函數(shù)具有波動(dòng)性.將母函數(shù)(t)作伸縮(伸縮因子為a)和平移(平移因子為b)變換，

7、a，bR，且a0，得到一個(gè)函數(shù)簇a,b(t).稱a,b(t)為連續(xù)小波.式中的變量a反映函數(shù)的尺度(或?qū)挾?，變量b檢測沿t軸的平移位置. 為什么系數(shù)有個(gè)？為了保證在不同尺度a時(shí)，的能量相同 。(t)是母小波，a,b(t)是由(t)作伸縮和平移得到的連續(xù)小波，對任意信號f(t)L2(R)，有連續(xù)小波變換：連續(xù)小波反變換：其中，a稱“尺度因子”，b稱“平移因子”.連續(xù)小波變換的性質(zhì)線性 平移 頻域特性等內(nèi)積特性能量守恒特性具有可變的時(shí)間頻率窗 連續(xù)小波的窗口面積是不隨參數(shù)a，b而變化的，即時(shí)頻窗口的形狀變化，而窗口面積固定不變. CWT具有很大的冗余性，恢復(fù)信號的重構(gòu)方式不是唯一的，小波函數(shù)也可

8、以有很多選擇，可以是非正交的的小波。 為了減少冗余度，我們可以對尺度因子a和平移因子b按二進(jìn)的方式進(jìn)行離散化。相應(yīng)的小波變換就是離散小波變換.DWT（離散小波變換）進(jìn)行二進(jìn)制離散，得到離散小波變換：f(t)的離散小波變換為：其逆變換為：離散小波變換的性質(zhì)：隨j的變化，j,k (t)在頻域上處于不同的頻段，隨k的變化， j,k (t)在時(shí)域上處于不同的時(shí)段，所以離散小波變換是一種信號的時(shí)間頻率分析.尺度j增大時(shí)， j,k (t)在時(shí)域上伸展，在頻域上收縮，中心頻率降低，變換的時(shí)域分辨率降低，頻域分辨率提高.每一個(gè)小波基函數(shù)j,k (t)對應(yīng)一個(gè)小波系數(shù)Wf (j,k)，在FT中，則是通過對時(shí)間的

9、全域積分得到頻譜函數(shù). 把全空間L2(R)按照分辨率(2j)先分解成一系列嵌套的閉子空間序列(尺度空間) Vj, jZ.如果滿足下面五條，則稱集合Vj，jZ為L2(R)的一個(gè)多分辨分析(MRA ).多分辨率分析( MRA ) : 單調(diào)性：平移不變性：二進(jìn)制伸縮相關(guān)性： 逼近：(5)正交基存在性：存在V0，使得(t n)（nZ）是V0的正交基由多分辨率分析的定義，多分辨率分析的一系列尺度空間是由同一尺度函數(shù)在不同尺度下張成的，由于Vj空間相互包含，不具有正交性。下面討論如何構(gòu)造L2(R)的正交小波(t) 。由于Vj , jZ不是L2(R)的正交分解，所以不能從j,k(t)得到L2(R)的規(guī)范正交

10、基，為了使f(t)L2(R)中的函數(shù)能在新的正交基下展開，MRA通過正交補(bǔ)的辦法，從Vj , jZ構(gòu)造出L2(R)的正交小波子空間Wj, jZ，使得L2(R)得到正交分解.L2(R)的塔式分解如下：稱“小波空間”.稱“尺度空間”.Haar小波下邊就用最簡單的基函數(shù)Haar函數(shù)來舉例：用這個(gè)來表示V0空間。若需要分析高頻信號，則可以對haar小波進(jìn)行二進(jìn)壓縮，再平移組合來近似模擬原始信號。即：若需要分析更高頻信號，則可以對haar小波進(jìn)行多次二進(jìn)壓縮，再平移來近似模擬原始信號。即Vj：用這個(gè)來表示V1空間。根據(jù)實(shí)際頻率情況來選擇壓縮大小，也就是選擇j。頻率越大，對應(yīng)的j就越大，反之越小。由上三式

11、可知，它們之間是有一定包含關(guān)系的：即函數(shù)集：是Vj的一個(gè)標(biāo)準(zhǔn)正交基。圖中的尖峰就表示噪聲部分，也是我們想要去除的部分，隨著j的增大，分辨率越高，就越接近噪聲成分，由haar小波可知，它所表示的寬度為所以，為了濾除噪聲部分，我們需要很高的分辨率，也就需要很大的j，但在低頻部分，我們不需要太高的分辨率，就可以表示信號，所以我們需要一種孤立的屬于Vj的但不屬于Vj-1的尖峰函數(shù)，這就是小波函數(shù).(t)是V1的成員，可以表示成：(t)與V0正交，即對所有整數(shù)k：小波函數(shù)的構(gòu)造方法就是把Vj分解成Vj-1及其正交補(bǔ).首先確定V0的正交補(bǔ)：因?yàn)閂0是由函數(shù) (t)及其平移系列所構(gòu)成，以希望V0的正交補(bǔ)也是

12、由某個(gè)函數(shù) (t)及其平移系列所構(gòu)成.Haar小波函數(shù)：當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)f1(t)與V0正交. 即f1(t)與每一個(gè) (t-m)，mZ正交. 令W0是由下列函數(shù)構(gòu)成的空間：說明當(dāng)且僅當(dāng)V1中某一函數(shù)具有形式時(shí)，該 函數(shù)與V0正交.W0是V0的正交補(bǔ)，即V1=V0W0 Wj是由函數(shù)構(gòu)成的空間.不斷分解VjVj-1，得到Wj是Vj的正交補(bǔ)，有Vj分解為V0與Wl的直和(0 l j).當(dāng) l足夠大時(shí)，Wl表示的尖峰與信號中的噪聲相似. 為了濾除噪聲，可以把這些項(xiàng)設(shè)定為0，其余部分表示的信號與原信號非常相近，就可消除噪聲。用階梯函數(shù) f j 近似表示原函數(shù) f即對信號進(jìn)行采樣。Haar分解偶部基部小波空間尺

13、度空間Haar重構(gòu)重構(gòu)的目的就是把 f 重新表示成同理:總結(jié)：小波去噪 一般地，有用信號通常表現(xiàn)為低頻信號或是一些比較平穩(wěn)的信號，而噪聲信號則通常表現(xiàn)為高頻信號. 根據(jù)噪聲與信號在不同尺度（不同頻率）上的小波譜具有不同表現(xiàn)的特點(diǎn)，將噪聲小波譜占主導(dǎo)地位的那些尺度上的噪聲小波分量去掉，這樣，保留下來的小波譜基本上就是原信號的小波譜，然后利用小波重構(gòu)算法恢復(fù)原信號.小波去噪可以分為三個(gè)步驟:信號分解：選擇一個(gè)小波基函數(shù)并確定分解的層次，對原始信號進(jìn)行小波分解，則噪聲部分通常包含在高頻系數(shù)中.量化處理：對小波分解每一層高頻系數(shù)，選擇一個(gè)門限閾值進(jìn)行閾值量化處理.信號重構(gòu)：根據(jù)小波分解的低頻系數(shù)和經(jīng)量化處理后的高頻系數(shù)，用小波重構(gòu)算法進(jìn)行信號的小波重構(gòu).展望 小波分析與神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)都是新一代計(jì)算智能信息處理技術(shù)的主要組成部分。小波變換是一個(gè)時(shí)間域和頻率域的局部變換，利用對小波函數(shù)的伸縮平移運(yùn)算對信號進(jìn)行不同尺度下的分析，可以有效地從信號中提取有用信息。它克服了傳統(tǒng)傅里葉變換不能同時(shí)進(jìn)行時(shí)頻分析的缺陷，因而成為