彈性力學(xué)習(xí)題庫(kù)課件

1、彈性力學(xué)習(xí)題庫(kù)第1章第2章第3章第1章 習(xí)題1-21-41-71-8習(xí)題 1-2一般的混凝土構(gòu)件和鋼筋混凝土構(gòu)件能否作為理想彈性體？一般的巖質(zhì)地基和土質(zhì)地基能否作為理想彈性體？答：一般的混凝土構(gòu)件可以作為理想的彈性體，而鋼筋混凝土構(gòu)件不可以作為理想的彈性體；一般的巖質(zhì)地基不可以作為理想彈性體，而土質(zhì)地基可以作為理想的 彈性體。習(xí)題 1-4應(yīng)力和面力的符號(hào)規(guī)定有什么區(qū)別？答：應(yīng)力的符號(hào)規(guī)定：當(dāng)作用面的外法線指向坐標(biāo)軸的正方向時(shí)（即正面時(shí)），這個(gè)面上的應(yīng)力（不論是正應(yīng)力還是切應(yīng)力）以沿坐標(biāo)軸的正方向?yàn)檎?，沿坐?biāo)軸的負(fù)方向?yàn)樨?fù)。相反，當(dāng)作用面的外法線指向坐標(biāo)軸的負(fù)方向時(shí)（即負(fù)面時(shí)）這個(gè)面上的應(yīng)力就以

2、沿坐標(biāo)軸的負(fù)向?yàn)檎?，正向?yàn)樨?fù)。面力的符號(hào)規(guī)定：當(dāng)面力的指向沿坐標(biāo)軸的正方向時(shí)為正，沿坐標(biāo)軸的負(fù)方向時(shí)為負(fù)。 試分別畫(huà)出正面和負(fù)面上的正的應(yīng)力和正的面力的方向。負(fù)面正面習(xí)題 1-4 試分別畫(huà)出正面和負(fù)面上的正的應(yīng)力和正的面力的方向。負(fù)面正面應(yīng)力和面力的符號(hào)規(guī)定有什么區(qū)別？習(xí)題 1-7試畫(huà)出圖1-4中矩形薄板的正的體力，面力和應(yīng)力的方向。習(xí)題 1-8試畫(huà)出圖1-5中的三角形薄板的正的面力和體力的方向。第2章 題庫(kù)例題習(xí)題第2章 例題2.12.22.32.42.62.72.82.9習(xí)題課例如果某一問(wèn)題中， ，只存在平面應(yīng)力分量 ，且它們不沿z方向變化，僅為x、y的函數(shù)，試考慮此問(wèn)題是否就是平面應(yīng)力問(wèn)

3、題？例 2.1.1答：平面應(yīng)力問(wèn)題，就是作用在物體上的外力，約束沿 z 向均不變化，只有平面應(yīng)力分量 ，且僅為 x，y 的函數(shù)的彈性力學(xué)問(wèn)題，因此，此問(wèn)題是平面應(yīng)力問(wèn)題。圖 2-14例 2.1.2（本章習(xí)題21）如圖214，試分析說(shuō)明，在不受任何面力作用的空間體表面附近的薄層中，其應(yīng)力狀態(tài)接近于平面應(yīng)力的情況。答：在不受任何面力作用的空間體表面附近的薄層中，可以認(rèn)為在該薄層的上下表面都無(wú)面力，且在薄層內(nèi)所有各點(diǎn)都有 ，只存在平面應(yīng)力分量 ，且它們不沿z方向變化，僅為x、y的函數(shù)?？梢哉J(rèn)定此問(wèn)題是平面應(yīng)力問(wèn)題。z如圖所示的幾種受力體是否是平面問(wèn)題？若是，則是平面應(yīng)力問(wèn)題，還是平面應(yīng)變問(wèn)題？平面應(yīng)

4、力問(wèn)題平面應(yīng)變問(wèn)題非平面問(wèn)題例 2.1.3例2.2.1：如圖所示單位寬度薄板懸梁，跨度為l，其上表面承受三角形分布載荷作用，體力不計(jì)。試根據(jù)材料力學(xué)中的應(yīng)力表達(dá)式，由平衡微分方程導(dǎo)出另兩個(gè)應(yīng)力分量。例 2.2.1解:(1)將 代入平衡微分方程第一式(2)將 代入平衡微分方程第二式45xyO30ABC例2.3.1：在負(fù)載結(jié)構(gòu)中，某點(diǎn)O處的等厚平行四面體各面的受力情況如圖所示（平面應(yīng)力狀態(tài)）。試求（1）主應(yīng)力的大小及方向（2）沿與水平面成30傾角的微面上的全應(yīng)力和正應(yīng)力。 例 2.3.1CB面上先求應(yīng)力分量 ：45xyO30ABC例 2.3.1先求應(yīng)力分量 ：AB面上:方向向量:45xyO30AB

5、C（1）求主應(yīng)力的大小及方向例 2.3.145xyO30ABC（2）沿與水平面成30傾角的微面上的全應(yīng)力和正應(yīng)力。 例 2.3.1例2.4.1：當(dāng)應(yīng)變?yōu)槌Ａ繒r(shí)，ex =a, ey =b , gxy =c ，試求對(duì)應(yīng)的位移分量。例 2.4.1例2.4.1：當(dāng)應(yīng)變?yōu)槌Ａ繒r(shí)，ex =a, ey =b , gxy =c ，試求對(duì)應(yīng)的位移分量。例 2.4.1例2.4.1：當(dāng)應(yīng)變?yōu)槌Ａ繒r(shí)，ex =a, ey =b , gxy =c ，試求對(duì)應(yīng)的位移分量。例 2.4.1例 2.6.1試列出圖示問(wèn)題的邊界條件。(2)xyahhq(1)例 2.6.1(3)xyahhq例 2.6.1(4)xyahhq例 2.6.

6、2試列出圖示問(wèn)題的邊界條件。左邊界：右邊界：上邊界：下邊界：例 2.6.2左邊界：例 2.6.2右邊界：例 2.6.2上邊界：例 2.6.2下邊界：例 2.6.3ABCxyhp(x)p0lN(1)AB段（y = 0）：代入邊界條件公式，有試列出圖示問(wèn)題的邊界條件。例 2.6.3ABCxyhp(x)p0lN(2)BC段（x = l）：例 2.6.3ABCxyhp(x)p0lN(3)AC段（y =x tan ）:例2.7.1圖示矩形截面水壩，其右側(cè)受靜水壓力，頂部受集中力作用。試寫(xiě)出水壩的應(yīng)力邊界條件。左側(cè)面：代入應(yīng)力邊界條件公式例2.7.1右側(cè)面：代入應(yīng)力邊界條件公式，有例2.7.1上端面：為次

7、要邊界，可由圣維南原理求解。xy取圖示微元體，由微元體的平衡求得，例2.7.1上端面：為次要邊界，可由圣維南原理求解。xy取圖示微元體，由微元體的平衡求得，例2.7.1上端面：為次要邊界，可由圣維南原理求解。xy取圖示微元體，由微元體的平衡求得，例2.7.1上端面：注意：必須按正向假設(shè)！如圖所示，列出其邊界條件（固定邊不寫(xiě)）。左右邊界：上邊界：例 2.7.2習(xí)題2-9（1）在主要邊界 上，應(yīng)精確滿(mǎn)足下列邊界條件：例 2.7.3在小邊界（次要邊界） 上，能精確滿(mǎn)足下列邊界條件:習(xí)題2-9（1）例 2.7.3在小邊界（次要邊界） 上，有位移邊界條件：習(xí)題2-9（1）例 2.7.3這兩個(gè)位移邊界條件

8、可以用圣維南原理，改用三個(gè)積分的應(yīng)力邊界條件來(lái)代替，當(dāng)板厚=1時(shí)，習(xí)題2-9（2）下邊界：例 2.7.3上邊界:習(xí)題2-9（2）左邊界例 2.7.3習(xí)題2-9（2）右邊界例 2.7.3例2.8.1習(xí)題2-11： 檢驗(yàn)平面問(wèn)題中的位移分量是否為正確解答的條件是什么？（1）用位移表示的平衡微分方程（2-18）（2）用位移表示的位移邊界條件（2-14）（3）或用位移表示的應(yīng)力邊界條件（2-19）【答】1、將問(wèn)題作為一維問(wèn)題處理。有 u=0 , v = v(y)泊松比m=0，代入用位移表示的平衡微分方程，第一式自然滿(mǎn)足，第二式變?yōu)樵O(shè)如圖(a)所示的桿件，在y方向的上端固定，下端自由，受自重體力fx=0

9、， fy =rg（r為桿的密度，g為重力加速度）的作用。試用位移法求解此問(wèn)題。求解上述常微分方程，積分得例 2.8.22、根據(jù)邊界條件來(lái)確定常數(shù) A 和 B 上下邊的邊界條件為： v(y)|y=0=0 和 sy |y=h=0分別代入位移函數(shù)及式（2-17）的第二式可求得待定常數(shù) A=rgh/E 和 B=0。從而有：Chapter 2.83、代入幾何方程（2-8）求應(yīng)變 eyChapter 2.84、代入用位移表示的物理方程（2-17）求應(yīng)力 sy 圖(b)所示的桿件例 2.8.2(b)位移：應(yīng)變：應(yīng)力：1、用位移表示的平衡微分方程圖(b)所示的桿件求解上述常微分方程，積分得例 2.8.2(b)

10、2、由邊界條件求常數(shù)項(xiàng)圖(b)所示的桿件例 2.8.2(b)上下邊的邊界條件為： v(y)|y=0=0 和 v(y) |y=h=03、代入幾何方程（2-8）求應(yīng)變 ey，Chapter 2.84、代入用位移表示的物理方程（2-17）求應(yīng)力 sy 下面給出平面應(yīng)力問(wèn)題（單連通域）的應(yīng)力場(chǎng)和應(yīng)變場(chǎng)，試分別判斷它們是否為可能的應(yīng)力場(chǎng)與應(yīng)變場(chǎng)（不計(jì)體力）。Chapter 2.9例 2.9.1（1）（a）（2）（b）Chapter 2.9解（1）將式（a）代入平衡方程：滿(mǎn)足（2-2）（a）Chapter 2.9將式（a）代入相容方程：式（a）不是一組可能的應(yīng)力場(chǎng)。（a）Chapter 2.9（b）（2）

11、將式（b）代入應(yīng)變表示的相容方程：式（b）滿(mǎn)足相容方程，（b）為可能的應(yīng)變分量。在無(wú)體力的情況下，試考慮下列平面問(wèn)題的應(yīng)力分量是否可能存在？ sx =A(x2+y2)，sy = B(x2+y2) ，txy=Cxy解：彈性體的應(yīng)力，在單連體中必須滿(mǎn)足（1）平衡微分方程（2）應(yīng)力表示的相容方程（3）應(yīng)力邊界條件1、為了滿(mǎn)足平衡微分方程，代入可得： A = B = -C/2Chapter 2.9例 2.9.22、為了滿(mǎn)足相容方程，代入可得：AB = 0顯然上述兩組條件是矛盾的，故此組應(yīng)力分量不存在。Chapter 2.9例2.9.3圖示矩形截面懸臂梁，在自由端受集中力 P 作用，不計(jì)體力。試根據(jù)材料

12、力學(xué)公式，寫(xiě)出彎曲應(yīng)力 和剪應(yīng)力 的表達(dá)式，并取擠壓應(yīng)力 ，然后說(shuō)明這些表達(dá)式是否代表正確解?！窘狻坎牧狭W(xué)解答：是否滿(mǎn)足三個(gè)條件：（1）平衡方程？（2）相容方程？（3）邊界條件？（a）（1）代入平衡微分方程：顯然，平衡微分方程滿(mǎn)足。滿(mǎn)足相容方程。（2）代入相容方程：滿(mǎn)足（3）驗(yàn)證應(yīng)力分量是否滿(mǎn)足邊界條件：上、下側(cè)邊界：滿(mǎn)足（3）驗(yàn)證應(yīng)力分量是否滿(mǎn)足邊界條件：近似滿(mǎn)足左側(cè)邊界： 滿(mǎn)足（3）驗(yàn)證應(yīng)力分量是否滿(mǎn)足邊界條件：近似滿(mǎn)足右側(cè)邊界：由圣維南原理：結(jié)論：式(a)為正確解所以材料力學(xué)所得應(yīng)力表達(dá)式為正確解。第2章 習(xí)題課如圖所示的幾種受力體是否是平面問(wèn)題？若是，則是平面應(yīng)力問(wèn)題，還是平面應(yīng)變問(wèn)

13、題？zz下列幾種受力體中，哪個(gè)可以考慮為平面應(yīng)力(應(yīng)變)問(wèn)題？習(xí)題2-16：設(shè)已求得一點(diǎn)處的應(yīng)力分量，試求題 2.2(a) (b) (c) (d) 題 2.3試寫(xiě)出下圖所示各平面物體的位移邊界條件（用直角坐標(biāo)）。(a) (b) x=0, y= -h/2, u=0 x=0, y=h/2, u=0, v=0 x=0, y= 0, u=0, v=0 x=l, y= 0, u=0, v=0 x=l, y=h/2, v=0題 2.4試寫(xiě)出圖示平面物體的應(yīng)力邊界條件?！窘狻款} 2.5試考慮下列平面問(wèn)題的應(yīng)變分量是否可能存在：其中：A、B、C 為常數(shù)。(a) (b) (c) 判斷是否滿(mǎn)足相容方程（2-20）

14、(a)相容； (b)須滿(mǎn)足B=0,2A=C; (c) 不相容。只有C=0，則題 2.6(1)在無(wú)體力情況下（單連通域） ，試考慮下列應(yīng)力分量是否可能在彈性體中存在：(2)【解】彈性體的應(yīng)力，在單連體中必須滿(mǎn)足:（1）平衡微分方程（2）應(yīng)力表示的相容方程（3）應(yīng)力邊界條件（1）式不滿(mǎn)足平衡微分方程（2）式，由平衡微分方程得A=B= -C/2, 相容方程得A+B=0,兩者矛盾。第2章 習(xí)題2-92-142-18習(xí)題 2-14（a）【解】彈性體的應(yīng)力，在單連體中必須滿(mǎn)足:（1）平衡微分方程（2）應(yīng)力表示的相容方程（3）應(yīng)力邊界條件(1) 檢驗(yàn)是否滿(mǎn)足平衡微分方程（2-2）將應(yīng)力分量代入方程（2-2）

15、，得等式左右均等于0。故該應(yīng)力分量滿(mǎn)足平衡微分方程。(2)檢驗(yàn)是否滿(mǎn)足應(yīng)力表示的相容方程結(jié)論：該應(yīng)力分量滿(mǎn)足平衡微分方程，但不滿(mǎn)足相容方程，因此，該應(yīng)力分量不是圖示問(wèn)題的解答。體力為常數(shù)時(shí)，應(yīng)力表示的相容方程為：將應(yīng)力分量代入上式，得等式左邊=故該應(yīng)力分量不滿(mǎn)足相容方程。第3章 題庫(kù)3.13.23.33.43.5習(xí)題課例3.1.1判斷 能否作為求解平面問(wèn)題的應(yīng)力函數(shù)?？梢?jiàn)， 能滿(mǎn)足相容方程，可作為應(yīng)力函數(shù)。解：解：按逆解法 1、將代入相容方程，可知其是滿(mǎn)足的。因此，它有可能成為該問(wèn)題的解。2、將代入式（224），得出應(yīng)力分量：例3.1.2習(xí)題3-63、由邊界形狀和應(yīng)力分量反推出邊界上的面力：在

16、主要邊界上：因此，在y=h/2的邊界面上，無(wú)任何面力作用，即在 x=0, l 的次要邊界上：各邊界面上的面力分布如圖所示：在x=0,l 的次要邊界上，其主失量和主矩如下：因此上述應(yīng)力函數(shù)可解決懸臂梁在自由端受集中力F 作用的問(wèn)題習(xí)題3-2例3.2.1習(xí)題3-17例3.3.1習(xí)題3-12解：按半逆解法 例3.4.1習(xí)題3-10解：按半逆解法 1、將代入相容方程，可知其是滿(mǎn)足的。2、將代入式（2-24），得出應(yīng)力分量：例3.4.23、考察邊界條件在主要邊界上，應(yīng)精確滿(mǎn)足式（215）：第一式自然滿(mǎn)足，由第二式有：（a）在次要邊界x=0上，只給出了面力的主失量和主矩，應(yīng)用圣維南原理，用三個(gè)積分邊界條件

17、代替：由此得：（b）結(jié)合(a)、(b)求解：代入應(yīng)力分量，得：如果區(qū)域內(nèi)的平衡微分方程和相容方程已經(jīng)滿(mǎn)足，且除了最后一個(gè)小邊界外，其余的應(yīng)力邊界條件也都分別滿(mǎn)足。則可以推論出，最后一個(gè)小邊界上的三個(gè)積分應(yīng)力邊界條件（即主失量和主矩條件）必然是滿(mǎn)足的。推論【解】采用半逆解法。（1）判斷應(yīng)力函數(shù)是否滿(mǎn)足相容方程將應(yīng)力函數(shù)例題3.5.1代入相容方程其中很顯然滿(mǎn)足相容方程。習(xí)題 3-11（2）求解應(yīng)力分量表達(dá)式（3）考察邊界條件：在主要邊界上，在次要邊界圣維南原理代替滿(mǎn)足不滿(mǎn)足（4）把各應(yīng)力分量代入邊界條件，得應(yīng)力分量為第3章 習(xí)題課習(xí)題3-1【解答】彈性力學(xué)問(wèn)題屬于數(shù)學(xué)物理方程中的邊值問(wèn)題，而要使邊

18、界條件完全得到滿(mǎn)足，往往遇到很大的困難。這時(shí)，圣維南原理可為簡(jiǎn)化局部邊界上的應(yīng)力邊界條件提供很大的方便。將物體一小部分邊界上的面力換成分布不同，但靜力等效（主矢量、主矩均相同），只影響近處的應(yīng)力分布，對(duì)遠(yuǎn)處的應(yīng)力影響可以忽略不計(jì)。如果在占邊界絕大部分的主要邊界上用三個(gè)應(yīng)力邊界條件來(lái)代替精確的邊界條件，式（2-15），就會(huì)影響大部分區(qū)域的應(yīng)力分布，會(huì)使問(wèn)題的解答具有更大的近似性。習(xí)題3-3【解答】在m個(gè)主要的邊界上，每個(gè)邊界應(yīng)有兩個(gè)精確的應(yīng)力邊界條件，如式（2-15）。在n個(gè)次要邊界上，每邊的應(yīng)力邊界條件若不能精確滿(mǎn)足式（2-15），可以用三個(gè)靜力等效的積分邊界條件來(lái)替代兩個(gè)精確的應(yīng)力邊界條件。例：已知函數(shù)=a(x4 -y4)，試檢查它能否作為應(yīng)力函數(shù)？若能，試求出應(yīng)力分量（不計(jì)體力），并求出如圖所示矩形薄板邊界上的面力。逆解法例 1、將=a(x4-y4)代入相容方程，可知其是滿(mǎn)足的。因此，它有可能作為應(yīng)力函數(shù)。2、將代入式（2-24），得出應(yīng)力分量：解：按逆解法3、由邊界形狀和應(yīng)力分量反推出邊界上的面力：在主要邊界上：在次要邊界上：如圖所示，矩形截面長(zhǎng)柱體（長(zhǎng)度 h