彈性力學習題庫課件

1、彈性力學習題庫第1章第2章第3章第1章 習題1-21-41-71-8習題 1-2一般的混凝土構件和鋼筋混凝土構件能否作為理想彈性體？一般的巖質地基和土質地基能否作為理想彈性體？答：一般的混凝土構件可以作為理想的彈性體，而鋼筋混凝土構件不可以作為理想的彈性體；一般的巖質地基不可以作為理想彈性體，而土質地基可以作為理想的 彈性體。習題 1-4應力和面力的符號規(guī)定有什么區(qū)別？答：應力的符號規(guī)定：當作用面的外法線指向坐標軸的正方向時（即正面時），這個面上的應力（不論是正應力還是切應力）以沿坐標軸的正方向為正，沿坐標軸的負方向為負。相反，當作用面的外法線指向坐標軸的負方向時（即負面時）這個面上的應力就以

2、沿坐標軸的負向為正，正向為負。面力的符號規(guī)定：當面力的指向沿坐標軸的正方向時為正，沿坐標軸的負方向時為負。 試分別畫出正面和負面上的正的應力和正的面力的方向。負面正面習題 1-4 試分別畫出正面和負面上的正的應力和正的面力的方向。負面正面應力和面力的符號規(guī)定有什么區(qū)別？習題 1-7試畫出圖1-4中矩形薄板的正的體力，面力和應力的方向。習題 1-8試畫出圖1-5中的三角形薄板的正的面力和體力的方向。第2章 題庫例題習題第2章 例題2.12.22.32.42.62.72.82.9習題課例如果某一問題中， ，只存在平面應力分量 ，且它們不沿z方向變化，僅為x、y的函數，試考慮此問題是否就是平面應力問

3、題？例 2.1.1答：平面應力問題，就是作用在物體上的外力，約束沿 z 向均不變化，只有平面應力分量 ，且僅為 x，y 的函數的彈性力學問題，因此，此問題是平面應力問題。圖 2-14例 2.1.2（本章習題21）如圖214，試分析說明，在不受任何面力作用的空間體表面附近的薄層中，其應力狀態(tài)接近于平面應力的情況。答：在不受任何面力作用的空間體表面附近的薄層中，可以認為在該薄層的上下表面都無面力，且在薄層內所有各點都有 ，只存在平面應力分量 ，且它們不沿z方向變化，僅為x、y的函數?？梢哉J定此問題是平面應力問題。z如圖所示的幾種受力體是否是平面問題？若是，則是平面應力問題，還是平面應變問題？平面應

4、力問題平面應變問題非平面問題例 2.1.3例2.2.1：如圖所示單位寬度薄板懸梁，跨度為l，其上表面承受三角形分布載荷作用，體力不計。試根據材料力學中的應力表達式，由平衡微分方程導出另兩個應力分量。例 2.2.1解:(1)將 代入平衡微分方程第一式(2)將 代入平衡微分方程第二式45xyO30ABC例2.3.1：在負載結構中，某點O處的等厚平行四面體各面的受力情況如圖所示（平面應力狀態(tài)）。試求（1）主應力的大小及方向（2）沿與水平面成30傾角的微面上的全應力和正應力。 例 2.3.1CB面上先求應力分量 ：45xyO30ABC例 2.3.1先求應力分量 ：AB面上:方向向量:45xyO30AB

5、C（1）求主應力的大小及方向例 2.3.145xyO30ABC（2）沿與水平面成30傾角的微面上的全應力和正應力。 例 2.3.1例2.4.1：當應變?yōu)槌Ａ繒r，ex =a, ey =b , gxy =c ，試求對應的位移分量。例 2.4.1例2.4.1：當應變?yōu)槌Ａ繒r，ex =a, ey =b , gxy =c ，試求對應的位移分量。例 2.4.1例2.4.1：當應變?yōu)槌Ａ繒r，ex =a, ey =b , gxy =c ，試求對應的位移分量。例 2.4.1例 2.6.1試列出圖示問題的邊界條件。(2)xyahhq(1)例 2.6.1(3)xyahhq例 2.6.1(4)xyahhq例 2.6.

6、2試列出圖示問題的邊界條件。左邊界：右邊界：上邊界：下邊界：例 2.6.2左邊界：例 2.6.2右邊界：例 2.6.2上邊界：例 2.6.2下邊界：例 2.6.3ABCxyhp(x)p0lN(1)AB段（y = 0）：代入邊界條件公式，有試列出圖示問題的邊界條件。例 2.6.3ABCxyhp(x)p0lN(2)BC段（x = l）：例 2.6.3ABCxyhp(x)p0lN(3)AC段（y =x tan ）:例2.7.1圖示矩形截面水壩，其右側受靜水壓力，頂部受集中力作用。試寫出水壩的應力邊界條件。左側面：代入應力邊界條件公式例2.7.1右側面：代入應力邊界條件公式，有例2.7.1上端面：為次

7、要邊界，可由圣維南原理求解。xy取圖示微元體，由微元體的平衡求得，例2.7.1上端面：為次要邊界，可由圣維南原理求解。xy取圖示微元體，由微元體的平衡求得，例2.7.1上端面：為次要邊界，可由圣維南原理求解。xy取圖示微元體，由微元體的平衡求得，例2.7.1上端面：注意：必須按正向假設！如圖所示，列出其邊界條件（固定邊不寫）。左右邊界：上邊界：例 2.7.2習題2-9（1）在主要邊界 上，應精確滿足下列邊界條件：例 2.7.3在小邊界（次要邊界） 上，能精確滿足下列邊界條件:習題2-9（1）例 2.7.3在小邊界（次要邊界） 上，有位移邊界條件：習題2-9（1）例 2.7.3這兩個位移邊界條件

8、可以用圣維南原理，改用三個積分的應力邊界條件來代替，當板厚=1時，習題2-9（2）下邊界：例 2.7.3上邊界:習題2-9（2）左邊界例 2.7.3習題2-9（2）右邊界例 2.7.3例2.8.1習題2-11： 檢驗平面問題中的位移分量是否為正確解答的條件是什么？（1）用位移表示的平衡微分方程（2-18）（2）用位移表示的位移邊界條件（2-14）（3）或用位移表示的應力邊界條件（2-19）【答】1、將問題作為一維問題處理。有 u=0 , v = v(y)泊松比m=0，代入用位移表示的平衡微分方程，第一式自然滿足，第二式變?yōu)樵O如圖(a)所示的桿件，在y方向的上端固定，下端自由，受自重體力fx=0

9、， fy =rg（r為桿的密度，g為重力加速度）的作用。試用位移法求解此問題。求解上述常微分方程，積分得例 2.8.22、根據邊界條件來確定常數 A 和 B 上下邊的邊界條件為： v(y)|y=0=0 和 sy |y=h=0分別代入位移函數及式（2-17）的第二式可求得待定常數 A=rgh/E 和 B=0。從而有：Chapter 2.83、代入幾何方程（2-8）求應變 eyChapter 2.84、代入用位移表示的物理方程（2-17）求應力 sy 圖(b)所示的桿件例 2.8.2(b)位移：應變：應力：1、用位移表示的平衡微分方程圖(b)所示的桿件求解上述常微分方程，積分得例 2.8.2(b)

10、2、由邊界條件求常數項圖(b)所示的桿件例 2.8.2(b)上下邊的邊界條件為： v(y)|y=0=0 和 v(y) |y=h=03、代入幾何方程（2-8）求應變 ey，Chapter 2.84、代入用位移表示的物理方程（2-17）求應力 sy 下面給出平面應力問題（單連通域）的應力場和應變場，試分別判斷它們是否為可能的應力場與應變場（不計體力）。Chapter 2.9例 2.9.1（1）（a）（2）（b）Chapter 2.9解（1）將式（a）代入平衡方程：滿足（2-2）（a）Chapter 2.9將式（a）代入相容方程：式（a）不是一組可能的應力場。（a）Chapter 2.9（b）（2）

11、將式（b）代入應變表示的相容方程：式（b）滿足相容方程，（b）為可能的應變分量。在無體力的情況下，試考慮下列平面問題的應力分量是否可能存在？ sx =A(x2+y2)，sy = B(x2+y2) ，txy=Cxy解：彈性體的應力，在單連體中必須滿足（1）平衡微分方程（2）應力表示的相容方程（3）應力邊界條件1、為了滿足平衡微分方程，代入可得： A = B = -C/2Chapter 2.9例 2.9.22、為了滿足相容方程，代入可得：AB = 0顯然上述兩組條件是矛盾的，故此組應力分量不存在。Chapter 2.9例2.9.3圖示矩形截面懸臂梁，在自由端受集中力 P 作用，不計體力。試根據材料

12、力學公式，寫出彎曲應力 和剪應力 的表達式，并取擠壓應力 ，然后說明這些表達式是否代表正確解?！窘狻坎牧狭W解答：是否滿足三個條件：（1）平衡方程？（2）相容方程？（3）邊界條件？（a）（1）代入平衡微分方程：顯然，平衡微分方程滿足。滿足相容方程。（2）代入相容方程：滿足（3）驗證應力分量是否滿足邊界條件：上、下側邊界：滿足（3）驗證應力分量是否滿足邊界條件：近似滿足左側邊界： 滿足（3）驗證應力分量是否滿足邊界條件：近似滿足右側邊界：由圣維南原理：結論：式(a)為正確解所以材料力學所得應力表達式為正確解。第2章 習題課如圖所示的幾種受力體是否是平面問題？若是，則是平面應力問題，還是平面應變問

13、題？zz下列幾種受力體中，哪個可以考慮為平面應力(應變)問題？習題2-16：設已求得一點處的應力分量，試求題 2.2(a) (b) (c) (d) 題 2.3試寫出下圖所示各平面物體的位移邊界條件（用直角坐標）。(a) (b) x=0, y= -h/2, u=0 x=0, y=h/2, u=0, v=0 x=0, y= 0, u=0, v=0 x=l, y= 0, u=0, v=0 x=l, y=h/2, v=0題 2.4試寫出圖示平面物體的應力邊界條件?！窘狻款} 2.5試考慮下列平面問題的應變分量是否可能存在：其中：A、B、C 為常數。(a) (b) (c) 判斷是否滿足相容方程（2-20）

14、(a)相容； (b)須滿足B=0,2A=C; (c) 不相容。只有C=0，則題 2.6(1)在無體力情況下（單連通域） ，試考慮下列應力分量是否可能在彈性體中存在：(2)【解】彈性體的應力，在單連體中必須滿足:（1）平衡微分方程（2）應力表示的相容方程（3）應力邊界條件（1）式不滿足平衡微分方程（2）式，由平衡微分方程得A=B= -C/2, 相容方程得A+B=0,兩者矛盾。第2章 習題2-92-142-18習題 2-14（a）【解】彈性體的應力，在單連體中必須滿足:（1）平衡微分方程（2）應力表示的相容方程（3）應力邊界條件(1) 檢驗是否滿足平衡微分方程（2-2）將應力分量代入方程（2-2）

15、，得等式左右均等于0。故該應力分量滿足平衡微分方程。(2)檢驗是否滿足應力表示的相容方程結論：該應力分量滿足平衡微分方程，但不滿足相容方程，因此，該應力分量不是圖示問題的解答。體力為常數時，應力表示的相容方程為：將應力分量代入上式，得等式左邊=故該應力分量不滿足相容方程。第3章 題庫3.13.23.33.43.5習題課例3.1.1判斷 能否作為求解平面問題的應力函數?？梢姡?能滿足相容方程，可作為應力函數。解：解：按逆解法 1、將代入相容方程，可知其是滿足的。因此，它有可能成為該問題的解。2、將代入式（224），得出應力分量：例3.1.2習題3-63、由邊界形狀和應力分量反推出邊界上的面力：在

16、主要邊界上：因此，在y=h/2的邊界面上，無任何面力作用，即在 x=0, l 的次要邊界上：各邊界面上的面力分布如圖所示：在x=0,l 的次要邊界上，其主失量和主矩如下：因此上述應力函數可解決懸臂梁在自由端受集中力F 作用的問題習題3-2例3.2.1習題3-17例3.3.1習題3-12解：按半逆解法 例3.4.1習題3-10解：按半逆解法 1、將代入相容方程，可知其是滿足的。2、將代入式（2-24），得出應力分量：例3.4.23、考察邊界條件在主要邊界上，應精確滿足式（215）：第一式自然滿足，由第二式有：（a）在次要邊界x=0上，只給出了面力的主失量和主矩，應用圣維南原理，用三個積分邊界條件

17、代替：由此得：（b）結合(a)、(b)求解：代入應力分量，得：如果區(qū)域內的平衡微分方程和相容方程已經滿足，且除了最后一個小邊界外，其余的應力邊界條件也都分別滿足。則可以推論出，最后一個小邊界上的三個積分應力邊界條件（即主失量和主矩條件）必然是滿足的。推論【解】采用半逆解法。（1）判斷應力函數是否滿足相容方程將應力函數例題3.5.1代入相容方程其中很顯然滿足相容方程。習題 3-11（2）求解應力分量表達式（3）考察邊界條件：在主要邊界上，在次要邊界圣維南原理代替滿足不滿足（4）把各應力分量代入邊界條件，得應力分量為第3章 習題課習題3-1【解答】彈性力學問題屬于數學物理方程中的邊值問題，而要使邊

18、界條件完全得到滿足，往往遇到很大的困難。這時，圣維南原理可為簡化局部邊界上的應力邊界條件提供很大的方便。將物體一小部分邊界上的面力換成分布不同，但靜力等效（主矢量、主矩均相同），只影響近處的應力分布，對遠處的應力影響可以忽略不計。如果在占邊界絕大部分的主要邊界上用三個應力邊界條件來代替精確的邊界條件，式（2-15），就會影響大部分區(qū)域的應力分布，會使問題的解答具有更大的近似性。習題3-3【解答】在m個主要的邊界上，每個邊界應有兩個精確的應力邊界條件，如式（2-15）。在n個次要邊界上，每邊的應力邊界條件若不能精確滿足式（2-15），可以用三個靜力等效的積分邊界條件來替代兩個精確的應力邊界條件。例：已知函數=a(x4 -y4)，試檢查它能否作為應力函數？若能，試求出應力分量（不計體力），并求出如圖所示矩形薄板邊界上的面力。逆解法例 1、將=a(x4-y4)代入相容方程，可知其是滿足的。因此，它有可能作為應力函數。2、將代入式（2-24），得出應力分量：解：按逆解法3、由邊界形狀和應力分量反推出邊界上的面力：在主要邊界上：在次要邊界上：如圖所示，矩形截面長柱體（長度 h