專題03 中點(diǎn)弦問題（教師版）-【高考總復(fù)習(xí)】2022高考數(shù)學(xué)滿分突破之解析幾何篇

1、專題02 中點(diǎn)弦問題（設(shè)而不求與點(diǎn)差法）【突破滿分?jǐn)?shù)學(xué)之秒殺技巧與答題模板】：第一步：若，是橢圓上不重合的兩點(diǎn)，則，第二步：兩式相減得，第三步：是直線的斜率，是線段的中點(diǎn)，化簡可得，此種方法為點(diǎn)差法。 特別提醒：若是橢圓上不垂直于x軸的兩點(diǎn)，是的中點(diǎn)，為橢圓的中心，則直線與的斜率之積為定值【考點(diǎn)精選例題精析】：例1.已知雙曲線為該雙曲線的右焦點(diǎn)，過的直線交該雙曲線于兩點(diǎn)，且的中點(diǎn)，則該雙曲線的方程為 .【答案】：.【解析】解法一：中點(diǎn)弦問題一般采用點(diǎn)差法.，設(shè)兩式作差得即，所以雙曲線方程為.解法二：設(shè)直線，消去，可得所以，所以雙曲線方程為例2.已知拋物線的一條弦恰好以為中點(diǎn)，則弦所在直線的方程

2、是（ ） A. B. C. D. 【答案】B【解析】由題意得：設(shè)，都在拋物線上，直線還經(jīng)過，所以直線方程為例3已知橢圓，點(diǎn)為左焦點(diǎn)，點(diǎn)為下頂點(diǎn)，平行于的直線交橢圓于兩點(diǎn)，且的中點(diǎn)為，則橢圓的離心率為ABCD【答案】A【分析】設(shè)A（，），B（，），因為A、B在橢圓上將兩式相減可得直線AB的斜率與直線OM的斜率的關(guān)系，建立關(guān)于a，b，c的方程，從而求出所求；【詳解】設(shè)A（，），B（，），又的中點(diǎn)為，則又因為A、B在橢圓上所以兩式相減，得：,，平方可得, =,，故選A.【點(diǎn)睛】本題主要考查了點(diǎn)差法求斜率，以及橢圓的幾何性質(zhì)，同時考查了運(yùn)算求解的能力，屬于中檔題例4已知橢圓的左右焦點(diǎn)分別為，過左焦點(diǎn)作

3、斜率為2的直線與橢圓交于兩點(diǎn)，的中點(diǎn)是，為坐標(biāo)原點(diǎn)，若直線的斜率為，則的值是A2BCD【答案】D【分析】設(shè)A（x1，y1），B（x2，y2），根據(jù)點(diǎn)差法和中點(diǎn)坐標(biāo)公式和斜率公式可得，結(jié)合條件可得結(jié)果.【詳解】設(shè)A（x1，y1），B（x2，y2），則，1，兩式相減可得（x1x2）（x1+x2）（y1y2）（y1+y2）0，P為線段AB的中點(diǎn)，2xpx1+x2，2ypy1+y2，又kAB2，即，故選D【點(diǎn)睛】本題考查了橢圓的簡單性質(zhì)，點(diǎn)差法，直線的斜率，考查了運(yùn)算能力和轉(zhuǎn)化能力，屬于中檔題.例5橢圓與直線交于、兩點(diǎn)，過原點(diǎn)與線段中點(diǎn)的直線的斜率為，則的值為ABCD【答案】C【分析】設(shè)出、兩點(diǎn)的坐標(biāo)

4、，把直線方程和橢圓方程聯(lián)立后利用根與系數(shù)關(guān)系得到、兩點(diǎn)的橫縱坐標(biāo)的和，則、中點(diǎn)坐標(biāo)可求，由斜率公式列式可得的值【詳解】設(shè)點(diǎn)，聯(lián)立，得：， ，設(shè)是線段的中點(diǎn)，（）直線的斜率為則,代入滿足0（0，0）故選C【點(diǎn)睛】本題考查了直線與圓錐曲線的關(guān)系，考查了一元二次方程的根與系數(shù)關(guān)系，考查了斜率公式的應(yīng)用，屬于中檔題例6已知橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為，過左焦點(diǎn)作斜率為2的直線與橢圓交于A，B兩點(diǎn)，P是AB的中點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，若直線OP的斜率為，則a的值是_.【答案】2【分析】由已知條件可知，AB的中點(diǎn)為P，所以使用點(diǎn)差法求得直線AB的斜率與中點(diǎn)的關(guān)系，利用OP的斜率為即可求得a的值【詳解】橢圓，所以焦點(diǎn)在

5、x軸上因為過左焦點(diǎn)作的直線斜率為2， P是AB的中點(diǎn)，設(shè)，將A、B坐標(biāo)代入橢圓方程，可得 ，兩式相減，化簡得，即進(jìn)一步化簡得，代入解得a=2【點(diǎn)睛】本題考查了直線與橢圓的位置關(guān)系，點(diǎn)差法在解決弦中點(diǎn)問題的應(yīng)用，屬于中檔題例7已知橢圓的一個頂點(diǎn)為，離心率，直線交橢圓于兩點(diǎn)，如果的重心恰好為橢圓的右焦點(diǎn)，直線方程為_【答案】【解析】由題意得，又，解得橢圓的方程為橢圓右焦點(diǎn)的坐標(biāo)為，設(shè)線段的中點(diǎn)為，由三角形重心的性質(zhì)知，從而，解得，所以點(diǎn)Q的坐標(biāo)為設(shè)，則，且，以上兩式相減得，故直線的方程為，即答案：點(diǎn)睛：弦中點(diǎn)問題的解決方法（1）用“點(diǎn)差法”求解弦中點(diǎn)問題的解題步驟設(shè)點(diǎn)設(shè)出弦的兩端點(diǎn)坐標(biāo)；代入代入圓

6、錐曲線方程；作差兩式相減，再用平方差公式把上式展開；整理轉(zhuǎn)化為斜率與中點(diǎn)坐標(biāo)的關(guān)系式，然后求解（2）對于弦中點(diǎn)問題常用“根與系數(shù)的關(guān)系”或“點(diǎn)差法”求解，在使用根與系數(shù)的關(guān)系時，要注意使用條件0；在用“點(diǎn)差法”時，要檢驗直線與圓錐曲線是否相交例8已知為橢圓的右焦點(diǎn)，過點(diǎn)的直線與橢圓交于兩點(diǎn)，為的中點(diǎn)，為坐標(biāo)原點(diǎn).若是以為底邊的等腰三角形，且外接圓的面積為，則橢圓的長軸長為_.【答案】【分析】由外接圓面積求半徑，應(yīng)用正弦定理求中的，結(jié)合已知有，根據(jù)中點(diǎn)弦，應(yīng)用點(diǎn)差法有即可求橢圓的長軸長.【詳解】由外接圓的面積為，則其外接圓半徑為.是以為底邊的等腰三角形，設(shè)，則，得，或.不妨設(shè)點(diǎn)在軸下方，由是以為

7、底邊的等腰三角形，知：或又根據(jù)點(diǎn)差法可得，有，而此時焦點(diǎn)在軸上，舍去)為橢圓的右焦點(diǎn)，故橢圓的長軸長為.故答案為：.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：利用外接圓的面積求半徑，由正弦定理、等腰三角形的性質(zhì)求相關(guān)直線斜率，應(yīng)用點(diǎn)差法列方程求橢圓參數(shù)a.例9如圖，橢圓的離心率為，點(diǎn)是橢圓內(nèi)一點(diǎn)，過點(diǎn)作兩條斜率存在且互相垂直的動直線，設(shè)與橢圓相交于點(diǎn)，與橢圓相交于點(diǎn)當(dāng)點(diǎn)恰好為線段的中點(diǎn)時，（1）求橢圓的方程；（2）求的最小值【答案】（1）；（2）.【解析】分析：（）根據(jù)離心率為和弦長|AB|=列一個方程組，解方程組即得a,b,c的值，即得橢圓的方程. （）先求出的表達(dá)式，再求函數(shù)的最小值即得的最小值詳解：（）由題意

8、設(shè)，即橢圓，設(shè)由作差得，又,即， AB斜率 由消得， 則解得，于是橢圓的方程為： （）設(shè)直線, 由消得，于是 同理可得， , 當(dāng)時取等號綜上，的最小值為 點(diǎn)睛：本題的難點(diǎn)在求得之后，如何求該函數(shù)的最小值.這里可以利用導(dǎo)數(shù)，也可以換元，但是最好的方法是利用基本不等式，所以解題時要注意觀察式子的特點(diǎn)，靈活選擇方法解答,提高解題效率.例10已知橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為，點(diǎn)在橢圓上.（1）若線段的中點(diǎn)坐標(biāo)為，求直線的斜率；（2）若三點(diǎn)共線，直線與橢圓交于兩點(diǎn)，求面積的最大值，【答案】（1）；（2）【分析】（1）設(shè)，代入橢圓方程相減得到答案.（2）設(shè)直線，聯(lián)立方程得到，得到，計算得到答案.【詳解】（1）設(shè)

9、，則，兩式相減，可得，即，解得，即直線的斜率為.（2）顯然直線的斜率不為0，設(shè)直線，聯(lián)立消去整理得，顯然，故，故的面積，令，其中，當(dāng)且僅當(dāng)，即時等號成立，即面積的最大值為.【點(diǎn)睛】本題考查直線與橢圓的關(guān)系、基本不等式，考查運(yùn)算求解能力以及化歸與轉(zhuǎn)化思想.例11在平面直角坐標(biāo)系中，已知橢圓的離心率為，為橢圓的一條弦（不經(jīng)過原點(diǎn)），直線經(jīng)過弦的中點(diǎn)，與橢圓交于、兩點(diǎn)，設(shè)直線的斜率為.（1）若點(diǎn)的坐標(biāo)為，求橢圓的方程；（2）求證：為定值；（3）過作軸的垂線，垂足為，若直線和直線傾斜角互補(bǔ)，且的面積為，求橢圓的方程.【答案】（1）；（2）證明見解析；（3）.【分析】（1）根據(jù)題意得出關(guān)于、的方程組，解

10、出這三個量的值，由此可求得橢圓的方程；（2）設(shè)點(diǎn)、，利用點(diǎn)差法可得出，再利用可求得的值；（3）設(shè)點(diǎn)，根據(jù)直線和的傾斜角互補(bǔ)和面積公式計算出點(diǎn)的坐標(biāo)，進(jìn)而可求得橢圓的方程.【詳解】（1）由已知條件得，解得，因此，橢圓的方程為；（2）設(shè)點(diǎn)、，則線段的中點(diǎn)坐標(biāo)為，.由題意可得，由于點(diǎn)、都在橢圓上，則，兩式作差得，（定值）；（3）設(shè)點(diǎn)，則、，直線與直線的傾斜角互補(bǔ)，又，且，則，解得.的面積為且，解得，即點(diǎn).，解得，因此，橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為.【點(diǎn)睛】本題考查橢圓方程的求解，考查了點(diǎn)差法的應(yīng)用，同時也考查了三角形面積的計算，考查計算能力，屬于難題.例12已知直線：與橢圓：交于，兩點(diǎn).（1）若直線過橢圓的左焦

11、點(diǎn)，求；（2）線段的垂直平分線與軸交于點(diǎn)，求.【答案】（1）；（2）.【分析】（1）根據(jù)橢圓的方程，求得左焦點(diǎn)，得到直線的方程為，聯(lián)立方程組，結(jié)合根與系數(shù)的關(guān)系，以及直線與圓錐曲線的弦長公式，即可求解；（2）設(shè)，得到線段的垂直平分線方程為，將點(diǎn) 代入橢圓的方程，兩式相減整理得，再由，兩兩方程組，求得中點(diǎn)坐標(biāo)，即可求解.【詳解】（1）由題意，橢圓，可得，則，左焦點(diǎn)，則直線的方程為，設(shè)，聯(lián)立方程，整理得，所以，且，所以.（2）設(shè)，的中點(diǎn)，由題知線段的垂直平分線方程為，直線不平行于軸，即，由，兩式相減整理得 ，因為是的中點(diǎn)，所以，因為，所以，所以變形為，解得，所以，代入直線，可得，解得.【點(diǎn)睛】直線

12、與圓錐曲線的綜合問題的求解策略：對于直線與圓錐曲線的位置關(guān)系的綜合應(yīng)用問題，通常聯(lián)立直線方程與圓錐曲線方程，應(yīng)用一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系，以及弦長公式等進(jìn)行求解，此類問題易錯點(diǎn)是復(fù)雜式子的變形能力不足，導(dǎo)致錯解，能較好的考查考生的邏輯思維能力、運(yùn)算求解能力【達(dá)標(biāo)檢測】：A組 基礎(chǔ)鞏固1.(2013年新課標(biāo)全國卷 = 1 * ROMAN * MERGEFORMAT I10)已知橢圓的右焦點(diǎn)為,過點(diǎn)的直線交橢圓于兩點(diǎn).若的中點(diǎn)坐標(biāo)為,則的方程為 ( ) A. B. QUOTE C. D.【解析】:由結(jié)論可得：，得，選D。2.(2010年新課標(biāo)全國卷12)已知雙曲線的中心為原點(diǎn),是的焦點(diǎn),過的直線

13、與相交于 兩點(diǎn),且的中點(diǎn)為,則的方程為 ( )A. B. C. D.【解析】:由結(jié)論可得：，得，選B。3已知橢圓以及橢圓內(nèi)一點(diǎn)P(4，2)，則以P為中點(diǎn)的弦所在直線的斜率為()ABC2D2【答案】A【分析】由于是弦的中點(diǎn)，根據(jù)點(diǎn)差法求出弦所在直線的斜率.【詳解】設(shè)以為中點(diǎn)的弦的兩個端點(diǎn)分別為，所以由中點(diǎn)坐標(biāo)公式可得，把兩點(diǎn)坐標(biāo)代入橢圓方程得兩式相減可得所以，即所求的直線的斜率為.故選A項.【點(diǎn)睛】本題考查通過點(diǎn)差法求弦中點(diǎn)所在直線的斜率，屬于中檔題.4已知橢圓的方程為，斜率為的直線與橢圓相交于，兩點(diǎn)，且線段的中點(diǎn)為，則該橢圓的離心率為（ ）ABCD【答案】C【分析】由點(diǎn)差法化簡可得，再由橢圓離

14、心率公式即可得解.【詳解】設(shè)， 則，兩式作差得，又，線段的中點(diǎn)為，所以，所以即，所以該橢圓的離心率為.故選：C.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：解決本題的關(guān)鍵是掌握點(diǎn)差法的適用條件及應(yīng)用.5已知橢圓中心在原點(diǎn)，且一個焦點(diǎn)為，直線與其相交于、兩點(diǎn)，中點(diǎn)的橫坐標(biāo)為，則此橢圓的方程是ABCD【答案】C【詳解】設(shè)橢圓方程為聯(lián)立方程：，整理得：,設(shè)，則，即，化簡得：，又，易得：，此橢圓的方程是故選C點(diǎn)睛：弦中點(diǎn)問題解法一般為設(shè)而不求，關(guān)鍵是求出弦AB所在直線方程的斜率k,方法一利用點(diǎn)差法，列出有關(guān)弦AB的中點(diǎn)及弦斜率之間關(guān)系求解；方法二是直接設(shè)出斜率k，利用根與系數(shù)的關(guān)系及中點(diǎn)坐標(biāo)公式求得直線方程.6如果橢圓的弦被

15、點(diǎn)平分，則這條弦所在的直線方程是ABCD【答案】D【分析】設(shè)這條弦的兩端點(diǎn),則：,用點(diǎn)差法得到：，代入中點(diǎn)坐標(biāo)，即得解斜率k.【詳解】設(shè)這條弦的兩端點(diǎn)，斜率為，則：兩式相減得：變形得：，又弦中點(diǎn)為：，故故這條弦所在得直線方程為：，即故選：D【點(diǎn)睛】本題考查了點(diǎn)差法在弦中點(diǎn)問題中的應(yīng)用，考查了學(xué)生轉(zhuǎn)化與劃歸，數(shù)學(xué)運(yùn)算的能力，屬于中檔題.7已知橢圓C：的離心率為，直線l與橢圓C交于兩點(diǎn)，且線段的中點(diǎn)為，則直線l的斜率為（）ABCD1【答案】C【分析】由橢圓的離心率可得的關(guān)系，得到橢圓方程為，設(shè)出的坐標(biāo)并代入橢圓方程，利用點(diǎn)差法求得直線l的斜率【詳解】解：由，得，則橢圓方程為，設(shè)，則，把A，B的坐標(biāo)

16、代入橢圓方程得：，-得：，直線l的斜率為故選C【點(diǎn)睛】本題考查橢圓的簡單性質(zhì)，訓(xùn)練了利用“點(diǎn)差法”求中點(diǎn)弦的斜率，是中檔題8橢圓的一條弦被點(diǎn)平分，則此弦所在的直線方程是ABCD【答案】D【分析】設(shè)過A點(diǎn)的直線與橢圓兩交點(diǎn)的坐標(biāo)，分別代入橢圓方程，得到兩個關(guān)系式，分別記作和，后化簡得到一個關(guān)系式，然后根據(jù)A為弦EF的中點(diǎn)，由A的坐標(biāo)求出E和F兩點(diǎn)的橫縱坐標(biāo)之和，表示出直線EF方程的斜率，把化簡得到的關(guān)系式變形，將E和F兩點(diǎn)的橫縱坐標(biāo)之和代入即可求出斜率的值，然后由點(diǎn)A的坐標(biāo)和求出的斜率寫出直線EF的方程即可【詳解】設(shè)過點(diǎn)A的直線與橢圓相交于兩點(diǎn)，E（x1，y1），F(xiàn)（x2，y2），則有，式可得：

17、 又點(diǎn)A為弦EF的中點(diǎn)，且A（4，2），x1+x2=8，y1+y2=4，（x1x2）（y1y2）=0即得kEF=過點(diǎn)A且被該點(diǎn)平分的弦所在直線的方程是y2=（x4），即x+2y8=0故選D【點(diǎn)睛】本題考查了直線與橢圓的位置關(guān)系及中點(diǎn)弦問題的求解策略，關(guān)鍵在于對“設(shè)而不求法”的掌握解決直線與橢圓的位置關(guān)系,常見方法有：涉及直線與圓錐曲線相交時，未給出直線時需要自己根據(jù)題目條件設(shè)直線方程，要特別注意直線斜率是否存在的問題，避免不分類討論造成遺漏，然后要聯(lián)立方程組，得一元二次方程，利用根與系數(shù)關(guān)系寫出，再根據(jù)具體問題應(yīng)用上式，其中要注意判別式條件的約束作用9過橢圓C：右焦點(diǎn)F的直線l：交C于A、B兩

18、點(diǎn)，P為AB的中點(diǎn)，且OP的斜率為，則橢圓C的方程為（ ）ABCD【答案】A【分析】由題意，可得右焦點(diǎn)的坐標(biāo)，聯(lián)立直線與橢圓的方程，利用韋達(dá)定理，求出的中點(diǎn)的坐標(biāo)，由直線的斜率可得，的關(guān)系，再由橢圓中，的關(guān)系求出，的值，進(jìn)而可得橢圓的方程【詳解】解：直線中，令，可得，所以右焦點(diǎn)，設(shè)，則，的中點(diǎn)，聯(lián)立，整理得，所以，所以，所以，又，所以，所以橢圓的方程為，故選：A【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題解題的關(guān)鍵是聯(lián)立直線和橢圓的方程，然后利用韋達(dá)定理求出，進(jìn)而根據(jù)由兩點(diǎn)間的斜率公式得，的關(guān)系.10已知橢圓，過點(diǎn)的直線交橢圓于、兩點(diǎn)，若為的中點(diǎn)，則直線的方程為（ ）ABCD【答案】B【分析】設(shè)點(diǎn)、，利用點(diǎn)差法可

19、求得直線的斜率，利用點(diǎn)斜式可得出直線的方程.【詳解】設(shè)點(diǎn)、，由中點(diǎn)坐標(biāo)公式可得，所以，因為，兩式作差得，即，即，所以，因此，直線的方程為，即.故選：B.【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：解決中點(diǎn)弦的問題的兩種方法：（1）韋達(dá)定理法：聯(lián)立直線與曲線的方程，消去一個未知數(shù)，利用一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系以及中點(diǎn)坐標(biāo)公式解決；（2）點(diǎn)差法：設(shè)出交點(diǎn)坐標(biāo)，利用交點(diǎn)在曲線上，坐標(biāo)滿足方程，將交點(diǎn)坐標(biāo)代入曲線方程，然后作差，構(gòu)造出中點(diǎn)坐標(biāo)和斜率關(guān)系求解.11已知點(diǎn)是直線被橢圓所截得的線段的中點(diǎn)，則直線的方程是（ ）ABCD【答案】A【分析】設(shè)直線與橢圓交于兩點(diǎn)，代入橢圓的方程，結(jié)合“平方差”法，求得直線的斜率，結(jié)合直線的

20、點(diǎn)斜式方程，即可求解.【詳解】設(shè)直線與橢圓交于兩點(diǎn)，由，可得又，所以，解得因此直線的方程為，即。故選：A本題主要考查了直線與橢圓的位置的應(yīng)用，以及中點(diǎn)弦問題的求解，其中解答中熟記中點(diǎn)弦的求解方法是解答的關(guān)鍵，著重考查推理與運(yùn)算能力，所以基礎(chǔ)題.12已知點(diǎn)P(1，2)是直線l被橢圓所截得的線段的中點(diǎn)，則直線l的方程是_.【答案】【分析】設(shè)出直線與橢圓的交點(diǎn)，采用點(diǎn)差法進(jìn)行分析，由此可求得直線的斜率，再根據(jù)直線的點(diǎn)斜式方程則直線的方程可求.【詳解】設(shè)直線與橢圓交于兩點(diǎn)，所以，所以，所以，且，所以，所以即，故答案為：.13已知斜率為的直線與橢圓交于，兩點(diǎn)線段的中點(diǎn)為（1）證明：；（2）設(shè)為的右焦點(diǎn)，

21、為上一點(diǎn)，且證明：【答案】（1）證明見解析（2）證明見解析【詳解】分析：（1）設(shè)而不求，利用點(diǎn)差法，或假設(shè)直線方程，聯(lián)立方程組，由判別式和韋達(dá)定理進(jìn)行證明（2）先求出點(diǎn)P的坐標(biāo)，解出m，得到直線的方程，聯(lián)立直線與橢圓方程由韋達(dá)定理進(jìn)行求解詳解：（1）設(shè)，則，兩式相減，并由得由題設(shè)知，于是由題設(shè)得，故（2）由題意得F（1，0）設(shè)，則由（1）及題設(shè)得，又點(diǎn)P在C上，所以，從而，于是同理所以故點(diǎn)睛：本題主要考查直線與橢圓的位置關(guān)系，第一問利用點(diǎn)差法，設(shè)而不求可減小計算量，第二問由已知得求出m，得到,再有兩點(diǎn)間距離公式表示出，考查了學(xué)生的計算能力，難度較大14已知橢圓的右焦點(diǎn)為，過點(diǎn)F且垂直于x軸的直

22、線與橢圓相交所得的弦長為2（1）求橢圓C的方程；（2）設(shè)A，B為橢圓C上的兩動點(diǎn)，M為線段AB的中點(diǎn)，直線AB，OM（O為坐標(biāo)原點(diǎn)）的斜率都存在且分別記為k1，k2，試問k1k2的值是否為定值？若是，求出這個定值；若不是，請說明理由【答案】（1）；（2）為定值，此定值為【分析】（1）根據(jù)已知條件列方程組，解方程組求得的值，進(jìn)而求得橢圓方程.（2）利用點(diǎn)差法求得為定值.【詳解】由題意得，解得.所以橢圓的方程為：設(shè)的坐標(biāo)分別為，點(diǎn)的坐標(biāo)為，即由已知，所以，即則，于是.所以為定值，此定值為【點(diǎn)睛】本小題主要考查橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程的求法，考查利用點(diǎn)差法求解有關(guān)中點(diǎn)弦的問題，屬于中檔題.15設(shè)橢圓：的左、右焦

23、點(diǎn)分別為，過的直線交橢圓于兩點(diǎn)，若橢圓的離心率為，的周長為16（）求橢圓的方程；（）設(shè)不經(jīng)過橢圓的中心而平行于弦的直線交橢圓于點(diǎn)，設(shè)弦的中點(diǎn)分別為.證明：三點(diǎn)共線.【答案】（）；（）見解析【分析】（）由已知橢圓E的離心率為，的周長為16，解得a，b的值，可得橢圓E的方程；（）設(shè)，利用點(diǎn)差法，可得，由此可得O，M，N三點(diǎn)共線【詳解】（）解：由題意知，又，橢圓E的方程為；（）證明：當(dāng)直線AB、CD的斜率不存在時，由橢圓的對稱性知，中點(diǎn)M，N在x軸上，O，M，N三點(diǎn)共線；當(dāng)直線AB，CD的斜率存在時，設(shè)其斜率為k，且設(shè)，則，相減得，即，即，；同理可得，所以O(shè)，M，N三點(diǎn)共線【點(diǎn)睛】本題考查橢圓方程的

24、求法，考查直線與橢圓位置關(guān)系的應(yīng)用，訓(xùn)練了利用“點(diǎn)差法”求解中點(diǎn)弦問題，是中檔題16已知橢圓的長軸長為，且短軸長是長軸長的一半（1）求橢圓的方程；（2）經(jīng)過點(diǎn)作直線，交橢圓于、兩點(diǎn)如果恰好是線段的中點(diǎn)，求直線的方程【答案】（1）；（2）.【分析】（1）根據(jù)題意求出、，即可得出橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）設(shè)點(diǎn)、，由點(diǎn)為線段的中點(diǎn)，可得出，然后利用點(diǎn)差法可求出直線的斜率，利用點(diǎn)斜式方程可得出直線的方程.【詳解】（1）根據(jù)題意，橢圓的長軸長為，且短軸長是長軸長的一半即，則，則，因此，橢圓的方程為；（2）由（1）得橢圓的方程為，設(shè)點(diǎn)、，由于點(diǎn)為線段的中點(diǎn)，則，得.由于點(diǎn)、在橢圓上，則，兩個等式相減得，即，即

25、，所以，直線的斜率為.因此，直線的方程為，即.【點(diǎn)睛】本題考查橢圓方程的求解，同時也考查了利用點(diǎn)差法處理中點(diǎn)弦問題，在涉及中點(diǎn)弦的問題時，也可以利用韋達(dá)定理來求解，考查運(yùn)算求解能力，屬于中等題.17在平面直角坐標(biāo)系中，已知橢圓：的離心率為，直線和橢圓交于，兩點(diǎn)，當(dāng)直線過橢圓的焦點(diǎn)，且與軸垂直時，.（1）求橢圓的方程；（2）是否存在與軸不垂直的直線，使弦的垂直平分線過橢圓的右焦點(diǎn)？若存在，求出直線的方程；若不存在，請說明理由.【答案】（1）；（2）不存在.【分析】（1）列a,b,c的方程組即可求解；（2）設(shè)直線的斜率為，直線的斜率為，由點(diǎn)差法得，得推出矛盾即可【詳解】（1）由題意:點(diǎn)（c,）在橢

26、圓上，故，橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為：；（2）（點(diǎn)差法）：設(shè)，的中點(diǎn)為，橢圓的右焦點(diǎn)為，直線的斜率為，直線的斜率為，則：，即：，故不存在.【點(diǎn)睛】本題考查橢圓方程，點(diǎn)差法應(yīng)用，遇到“弦中點(diǎn)”問題，注意點(diǎn)差法的應(yīng)用，是中檔題18已知橢圓：過點(diǎn)，離心率是.（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）若直線與橢圓交于，兩點(diǎn)，線段的中點(diǎn)為.求直線與坐標(biāo)軸圍成的三角形的面積.【答案】（1）；（2）.【分析】1）運(yùn)用橢圓的離心率公式和點(diǎn)滿足方程，解方程可得a，b，即可得到橢圓方程；（2）設(shè)，代入橢圓方程，由點(diǎn)差法和中點(diǎn)坐標(biāo)公式和直線的斜率公式，即可得到中點(diǎn)弦方程，分別求得與x，y軸的交點(diǎn)，可得三角形的面積【詳解】（1）由已知，得

27、，橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為.（2）設(shè)，代入橢圓方程得，兩式相減得，中點(diǎn)坐標(biāo)公式得，直線方程為令，令，.【點(diǎn)睛】本題考查橢圓的方程的求法，注意運(yùn)用離心率公式的運(yùn)用，考查中點(diǎn)弦方程的求法，注意運(yùn)用點(diǎn)差法的運(yùn)用，考查運(yùn)算能力，屬于中檔題 B組 能力提升19已知橢圓：的右焦點(diǎn)為，且離心率為，三角形的三個頂點(diǎn)都在橢圓上，設(shè)它的三條邊的中點(diǎn)分別為，且三條邊所在直線的斜率分別為，且均不為0.為坐標(biāo)原點(diǎn)，若直線的斜率之和為1.則（ ）AB-3CD【答案】A【分析】根據(jù)橢圓的右焦點(diǎn)為，且離心率為，求出橢圓方程，由三角形的三個頂點(diǎn)都在橢圓上，利用點(diǎn)差法求解.【詳解】因為橢圓的右焦點(diǎn)為，且離心率為，所以，解得 ，所以橢圓方

28、程為：，設(shè) ，則，兩式相減得：，即，同理，又直線的斜率之和為1，所以，故選：A【點(diǎn)睛】本題主要考查橢圓方程的求法以及直線與橢圓的位置關(guān)系和中點(diǎn)弦問題，還考查了運(yùn)算求解的能力，屬于中檔題.20已知橢圓的右焦點(diǎn)和上頂點(diǎn)分別為點(diǎn)和點(diǎn)，直線交橢圓于兩點(diǎn)，若恰好為的重心，則橢圓的離心率為（ ）ABCD【答案】C【分析】由題設(shè)，利用為的重心，求出線段的中點(diǎn)為，將B代入直線方程得，再利用點(diǎn)差法可得，結(jié)合，可求出，進(jìn)而求出離心率.【詳解】由題設(shè)，則線段的中點(diǎn)為，由三角形重心的性質(zhì)知，即，解得：即代入直線，得.又B為線段的中點(diǎn)，則，又為橢圓上兩點(diǎn)，以上兩式相減得，所以，化簡得由及，解得：，即離心率. 故選：C.

29、【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：本題考查求橢圓的離心率，求解離心率在圓錐曲線的考查中是一個重點(diǎn)也是難點(diǎn)，一般求離心率有以下幾種情況：直接求出，從而求出；構(gòu)造的齊次式，求出；采用離心率的定義以及圓錐曲線的定義來求解；根據(jù)圓錐曲線的統(tǒng)一定義求解21已知直線與橢圓交于、兩點(diǎn)，與圓交于、兩點(diǎn)若存在，使得，則橢圓的離心率的取值范圍是ABCD【答案】C【分析】由已知得直線恒過定點(diǎn)且為圓的圓心，由可得圓的圓心為、兩點(diǎn)中點(diǎn)，設(shè)而不求，用點(diǎn)差法計算結(jié)果【詳解】直線：，即直線恒過定點(diǎn)直線過圓的圓心，的圓心為、兩點(diǎn)中點(diǎn)設(shè)，上下相減可得：化簡可得故選【點(diǎn)睛】本題較為綜合，考查了直線與圓錐曲線的交點(diǎn)問題，覆蓋的知識點(diǎn)較多：直線恒過定

30、點(diǎn)，向量的幾何意義，設(shè)而不求，點(diǎn)差法計算，橢圓離心率的求解，有一定難度，需要理解題意，靈活運(yùn)用解題方法22已知斜率為的直線l與橢圓交于A，B兩點(diǎn)，線段AB中點(diǎn)M縱坐標(biāo)為，點(diǎn)在橢圓上，若的平分線交線段AB于點(diǎn)N，則的值MN為（ ）ABCD【答案】C【分析】利用點(diǎn)差法可求得坐標(biāo)，從而得到直線方程；將方程與橢圓聯(lián)立求得兩點(diǎn)坐標(biāo)，根據(jù)兩點(diǎn)連線斜率公式求得，由互為相反數(shù)知斜率不存在，由此得到點(diǎn)坐標(biāo)；利用兩點(diǎn)間距離公式求得，進(jìn)而得到結(jié)果.【詳解】設(shè)，其中，兩式作差整理可得：解得： 設(shè)直線方程為，即代入橢圓方程整理得：，解得：， 直線斜率不存在，方程為 ， 故選：【點(diǎn)睛】本題考查直線與橢圓的綜合應(yīng)用問題，涉

31、及到點(diǎn)差法的應(yīng)用、直線與橢圓交點(diǎn)坐標(biāo)的求解、直線斜率的求解等知識；關(guān)鍵是能夠明確當(dāng)與弦中點(diǎn)有關(guān)的問題時，常用點(diǎn)差法來得到中點(diǎn)坐標(biāo)與斜率之間的關(guān)系.23已知橢圓C：，A，B是橢圓C上兩點(diǎn)，且關(guān)于點(diǎn)對稱，P是橢圓C外一點(diǎn)，滿足，的中點(diǎn)均在橢圓C上，則點(diǎn)P的坐標(biāo)是_.【答案】或.【分析】先利用點(diǎn)差法可求出直線AB的斜率為，即可得出直線方程，代入橢圓方程可求出A，B坐標(biāo)，設(shè)出點(diǎn)P，則可表示出PA，PB中點(diǎn)坐標(biāo)，代入橢圓方程即可求出點(diǎn)P坐標(biāo).【詳解】設(shè)， A，B是橢圓C上兩點(diǎn)，則，兩式相減得，是AB中點(diǎn)，則，即，故直線AB斜率為，則直線AB方程為，即，將直線方程代入橢圓得，解得，則可得，設(shè)，則PA中點(diǎn)為，PB中點(diǎn)為，的中點(diǎn)均在橢圓C上，則，解得或，的坐標(biāo)為或.故答案為：或.【點(diǎn)睛】本題考查中點(diǎn)弦問題，解題的關(guān)鍵是先利用點(diǎn)差法求出直線斜率，進(jìn)而求出A,B坐標(biāo)，再結(jié)合題意求解.24已知橢圓，點(diǎn)為左焦點(diǎn)，點(diǎn)為下頂點(diǎn)，平行于的直線交橢圓于兩點(diǎn)，且的中點(diǎn)為，則橢圓的離心率為_.【答案】【分析】先求出直線的斜率為，設(shè)，再利用點(diǎn)差法求出直線的斜率為，利用斜率相等可得之間的關(guān)系，結(jié)合即可求離心率.【詳解】由題意知，所以直線的斜率為，設(shè)，則，-得：，即，因為是的中點(diǎn)，所以，所以，所以，因為，所以，即