線性代數(shù)特征值、特征向量試題及答案

1、第五章特征值和特征向量一、特征值與特征向量定義1：設(shè)A是n階矩陣，九為一個(gè)數(shù)，若存在非零向量。，使Aa二九a, 則稱數(shù)九為矩陣A的特征值，非零向量a為矩陣A的對(duì)應(yīng)于特征值九的特征向量。定義2： |九-川=/（九），稱為矩陣人的特征多項(xiàng)式，f（X） = kE-A = O,稱為矩陣A的特征方程，特征方程的根稱為矩陣A的特征根 矩陣九石-A稱為矩陣A的特征矩陣齊次方程組（A-入E）X =。稱為矩陣A的特征方程組。性質(zhì)1：對(duì)等式Aa二九a作恒等變形，得（A-九）a=。，于是特征向量a是齊次方程組（A-入）X =。的非零解向量，由齊次線性方程組有非零解的充要條件知其系數(shù)行列式為零，即性-九百=0,說(shuō)明A

2、的特征值入為|九-川=。的 根。由此得到對(duì)特征向量和特征值的另一種認(rèn)識(shí)：（1）九是A的特征值九同=。，即（比-A）不可逆. a是屬于九的特 征向量oa是齊次方程組（A-XE）X =。的非零解.計(jì)算特征值和特征向量的具體步驟為：（1）計(jì)算A的特征多項(xiàng)式， kE-A = f（l） （2）求特征方程/（九）二|九 川=。的全部根，他們就是A的全 部特征值；（3）然后對(duì)每個(gè)特征值入，求齊次方程組（A-入）X =。的非零解， 即屬于九的特征向量.性質(zhì)2： n階矩陣A的相異特征值九，九九所對(duì)應(yīng)的特征向量 12m性質(zhì)3：設(shè)%，是A的全體特征值，則從特征多項(xiàng)式的結(jié)構(gòu)可得到：(1)入+%+九仃(4)(A的跡數(shù)，

3、即主對(duì)角線上元素之和).(2)%一y閔性質(zhì)4：如果九是A的特征值，則(1) f(九)是4的多項(xiàng)式f(4)的特征值.(2)如果A可逆，則1/九是41的特征值;爪是A*的特征值.即：如果A的特征值是入J%,凡，則(1)f(A)的特征值是(九2),(2)如果A可逆，則41的特征值是I/%/%,因?yàn)锳4* = |川，A*的特征值是/%,閨爪性質(zhì)5：如果。是4的特征向量，特征值為九，即Aa = 2ux則(1) a也是4的任何多項(xiàng)式f(A)的特征向量，特征值為fQ)；(2)如果A可逆，則a也是A/的特征向量，特征值為1/Q a也是A*的特 征向量，特征值為山o TOC o 1-5 h z kAkXaA +

4、 bEak + bA-1+入是A的特征值，則:分別有特征值.人2人2Am屆A*La!a是A關(guān)于九的特征向量，則a也是上述多項(xiàng)式的特征向量。推論：(1)對(duì)于數(shù)量矩陣入E,任何非零向量都是它的特征向量，特征值都是X.(2)上三角、下三角、對(duì)角矩陣的特征值即對(duì)角線上的各元素(3) n階矩陣A與他的轉(zhuǎn)置矩陣A7有相同的特征多項(xiàng)式，從而有相同的特征值，但是它們的特征向量可能不相同.一、特征值、特征向量1.設(shè) A =-1 1 0-4 3 0102且A的特征值為2和1（二重），那么B特征值。解：A, At具有相同的特征值.B = At ,所以B和A具有相同的特征值，B的特5.零為矩陣A的特征值是A為不可逆的

5、（A）充分條件 （B）必要條件（C）充要條件（D）非充分、非必要條件解：假設(shè)九,九,九為A的所有特征值，貝”A I二九九九.所以0為A的特征值o A可逆（C）為答案.6.設(shè)小入2是矩陣A的兩個(gè)不同的特征值，a與p是A的分別屬于入1,入2的特征向量，則有a與p是征值為:2和1（二重）。2.設(shè)A是n階方陣，A *為A的伴隨矩陣，IAI = 5,則方陣B = AA *的特征值是特征向量是（A）線性相關(guān)（B）線性無(wú)關(guān)（C）對(duì)應(yīng)分量成比例）可能有零向量7.設(shè)小九,是矩陣A的兩個(gè)不同的特征值，己R是A的分別屬于小入之的特征向量，解：因?yàn)锳A * = A * A =I A I E ,所以對(duì)于任意n維向量。有

6、AAa=I AI Ea=i AI a則（A）對(duì)任意y 0,k2 H 0, kf+ k2n都是A的特征向量.所以IAI = 5是B = AA*的特征值，任意n維向量a為對(duì)應(yīng)的特征向量。存在常數(shù)k產(chǎn)。,9 0,噌+ k2n是A的特征向量.3.三階方陣A的特征值為1, -1, 2,則B = 2A3 3A2的特征值為（C）當(dāng)個(gè) 0, 入0 = 0=/為任意實(shí)數(shù)（2） NW。，入=1 時(shí)-4A-kE= 0-1 2-2 40 0-4T 01-1-2021 ro4 - 0oj L1-i-2021 ro4 - 0oj L11 -2-0 00 0所以r（A -九石）=2 .方程組（A - lE）x = 0基礎(chǔ)解

7、系所含解向量個(gè)數(shù)為1個(gè)相應(yīng)的方程組為F22%3=.取x =1,得x =2.所以解向量為（0,2,1%, （X =032I 1對(duì)應(yīng)于九二1的全部特征向量為左（0,2,1%當(dāng)看=0,入=1時(shí)-4A-kE= 00-1-2021 44 - 0oj o0-20所以r(A-XE) = 2,方程組(A-入gu =。基礎(chǔ)解系所含解向量個(gè)數(shù)為1個(gè)相應(yīng)的方程組為： 八.取x=L得% =2.所以解向量為(0,2,1%,X -2x =032(23對(duì)應(yīng)于九=1的全部特征向量為左(021%。.設(shè)A是3階矩陣，且矩陣A的各行元素之和均為5,求矩陣A的特征值、九二1a = -3 b = 0212.已知a是5 a 3的特征向量

8、，求。力和a的特征值。-1 b -2.設(shè)A是n階矩陣，滿足A妾A,求矩陣A的特征值。解：4A = 0 = A(A )= 0 =國(guó)=0或者冏=0 =九=0或者九=1.設(shè)向量。=(1,(1a，=(b ,bb)都是非零向量，且滿足條件 12n12n。邛=0,記n階矩陣A = arP，求： A2 (2)求A的特征值與特征向量。A2 = AA = (aTfi arp = ap7apJ = pTaapJ = (a7fl)ap7 = O.(2)設(shè)九為特征值，Ax = Xx , x不為零，A2x = XAx = X2X因?yàn)?=a所以= s因?yàn)閙ho,故;1=(X即矩陣/的特征值全為零一任意n個(gè)線性無(wú)關(guān)的特征向

9、量都是它的特征向量，可選n個(gè)單位向量。.設(shè)矩陣a=； ；,其行列式|川=-1,又A的伴隨矩陣A*有一個(gè)特征 c 0 a值九，屬于九的一個(gè)特征向量為a =(-1,求、氏。和九的值 TOC o 1-5 h z 000|a|a|i解：因?yàn)槿硕硕?，所以A的特征值九二一 AAA0 Ml 汽iAa =X a =九a n Aa =-a ,所以a也是A的特征向量。o A oA又因?yàn)閨A| = 1,代入可得：a = c = 215.設(shè)a =G,0,l,矩陣A = a“T, n為正整數(shù)，貝1,石一4 =1 0 -1因?yàn)榍? cra；= 。 0 0 .解：T。1 ,九=九九6 2)= 0 n 九=九=0,九

10、=2,123從向aE-A- ：1h二個(gè)特征值為：白右，即必門(mén)一aE A | = rj a - (a - 2U) = a2 (a 2 j 16.若3維列向量a,P滿足arP =2,其中a 7為a的轉(zhuǎn)置，則矩陣阿丁的非零特征值為: 解：G ,oc ,a p =a p +a p +a p =2, Par Bar = 20at12321 12 23 3Ip JA - A = 2A n 入2 = 2 n 入=2二、相似矩陣定義1 ：設(shè)A, B者B是n階矩陣，若有n階可逆矩陣P,使PAP=B。則稱B是A的相似矩陣，或說(shuō)矩陣A與B相似，記作A-B,可逆矩陣P稱為相似 變換矩陣。相似是矩陣之間的一種重要關(guān)系，

11、它滿足：自反性、對(duì)稱性、傳遞性。相似矩陣的性質(zhì)：|囿=|叫，從而46同時(shí)可逆或不可逆。r(A) = r(B)， 川=|九 ，從而有相同的特征多項(xiàng)式，有相同的特征值，但特征向量不一定相同。tr(A) = tr(B)證明： 因?yàn)锳與B相似，所以有可逆矩陣P,使PAP=B.因此| B-XE| = | P-iAP-XE | = | P-iAP-P-i (XE)P |=IP-1 (AXE) P | = | P-i | | A-XE | | P | =| AXE |.即 A 與 B 有相同的特征多項(xiàng)式.若 AsB,則/(A) s/(與),即 AtsB_1, AtsBt, AksBk數(shù)量矩陣只與自己相似.因

12、相似的矩陣有相同的秩，即相似的矩陣一定等價(jià)，但等價(jià)的矩陣不一定相似。三、矩陣的相似對(duì)角化定義1 ：對(duì)任意n階矩陣A,尋求相似變換矩陣P,使P-!AP=A為對(duì)角陣，稱 為矩陣A的相似對(duì)角化。假設(shè)已經(jīng)找到可逆矩陣P,使PAP=A為對(duì)角陣，我們來(lái)討論P(yáng)應(yīng)滿足什么關(guān)系. 把p用其列向量表示為p=(pi, p2, , pJ,由pap=a,得AP=PA,即1 x二(入P,入P, ,入p),A z、/、八c11 2 2n nA(p ,p , ,p ) = (p ,p , ,p )212n12n1入J于是有 Ap=X,p. (i=l, 2, , n). 1 1 1可見(jiàn)九是A的特征值，而P的列向量p.就是A的對(duì)

13、應(yīng)于特征值X.的特征向量.1 1 1反之，由上節(jié)知A恰好有n個(gè)特征值，并可對(duì)應(yīng)地求得n個(gè)特征向量，這n個(gè)特征 向量即可構(gòu)成矩陣P,使AP=PA(因特征向量不是唯一的，所以矩陣P也不是唯一的, 并且P可能是復(fù)矩陣).由上面討論可知，A能否與對(duì)角陣相似，取決于P是否可逆，即夕,PP是 12 n否線性無(wú)關(guān)，當(dāng)P ,PP線性無(wú)關(guān)時(shí)(此時(shí)P可逆)，則由AP二PA,得P-3AP=A, 12 n即A與對(duì)角陣相似。綜上所述，有：定理1 ： n階矩陣A與對(duì)角陣相似(即A能對(duì)角化)的充分必要條件是A有n個(gè) 線性無(wú)關(guān)的特征向量.推論：如果n階矩陣A的n個(gè)特征值互不相等，則A與對(duì)角陣相似.且A a a A= i x

14、2 TOC o 1-5 h z 、J當(dāng)A的特征方程有重根時(shí)，就不一定有n個(gè)線性無(wú)關(guān)的特征向量，從而不一定 能對(duì)角化.定理2：設(shè)九，九X是n階矩陣A的互異特征值，其重?cái)?shù)分別為 12mr,r -r且為r =n,則A與對(duì)角陣相似的充要條件為： 12 mii=lr(A X E) = n r (i=l, 2, m)ii即r重特征值。有r個(gè)線性無(wú)關(guān)的特征向量，則n階矩陣A與對(duì)角陣相似1.已知矩陣4A =解：因?yàn)锳, 5相似，所以|川=00-1相似，則乂 =,y 二=-2 =1B1=00-1=-2y, y = l-相似矩陣的跡相等：江(A) = 2 + x = (B) = 2+y l = 2.于是x = 0

15、.1.設(shè)a, B為3維列向量，0T為P的轉(zhuǎn)置，若矩陣a0T相似于解：apr =aia2a.3p2a P3 3,相似矩陣的跡相等。rp p p+ a p +a p = 22 23 3.設(shè) = G,U邛=G,0,左方，若矩陣a0T相似于：；，則K=0 0 0解：1 + 0 +左=3n 左=2.與n階單位矩陣E相似的矩陣是(A)數(shù)量矩陣比(左Wl)(B)對(duì)角矩陣。(主對(duì)角元素不為1)(C)單位矩陣E(D)任意階矩陣A解：令夕=,則Ft =.所以P-iEP = EEE = E.所以(C)是答案.設(shè)A為2階矩陣，a,a為線性無(wú)關(guān)的2維列向量，Aa =0,Aa =2a +a ,121212則A的非零特征值

16、為解：aG ,a ）=（Aa , Aa ）=（0,2a +a ）= Q ,a 12121212Ap = pB n p-Ap = B ,所以A和B相似，有相同的特征值，B 九= 0n 九=0= 1AB是階方陣，且AsB,則(A) A B的特征矩陣相同(B) A B的特征方程相同(C)相似于同一個(gè)對(duì)角陣)存在正交矩陣T,使得= B解：A-B,則存在可逆方陣P,使得必夕=6.所以XE-B 1=1 XE - P-iAP 1=1 P-i II 九 A IIP 1=1 九 41所以A B的有相同的特征方程,(B)是答案. TOC o 1-5 h z 5.設(shè)三階矩陣A滿足Aa =詛(，=1,2,3),其中列

17、向量a =(1,2,2)t, i i1a - (2,-2,l)r , a - (-2,-l,2)r ,求矩陣 A。23解：p = Q ,a ,a ) , AP =(a ,2a ,3a ) 123123-1 -? A = P 2 P-i-2-2-1P1422-2 1-2 -1 23-10O-122-1001r i22-020P-1二9221020221003212003V212p -A-12-2一 122-一2106=-730_2-3_2122-14-42二1C156059212一6-36966182332332y o 0 2=010o o 1-1 -2 26.設(shè)矩陣A與5相似，其中a= 010

18、,00 x(1)求1和y的值；(2)求可逆矩陣P,使得必夕二6。解:因?yàn)锳相似于B,所以=B,所以x=);且次(A)=江(8),所以x = y + 2.得 x = 1, y = -1 o由B的表達(dá)式知:A的二個(gè)特征值為 九=1 (1)當(dāng)九二10 -2(A + E)x = 0,即。20 020000f01020010 -20 20 0r(A + E) = 2,方程組(A + E)x = 0的基礎(chǔ)解系只有一個(gè)解向量.相應(yīng)的方程組為x = 02x =03取 = 1,得特征向量：=G,0,0(2)九二1r(A + E) = l,方程組(A + E)x = 0 的基-2 -2 2-(A-石) = 0,即

19、 000 x=0,000 TOC o 1-5 h z 礎(chǔ)解系有二個(gè)解向量，相應(yīng)的方程組為X + X -X =0, 123取 x =1, x =0,得x = 1 取 x = 0, x 1.得x = 1123123得二個(gè)線性無(wú)關(guān)的特征向量： =G,0, 12所以矩陣p=r0 1-3一7.矩陣A=-2-3的特征值有重根，判斷矩陣A能否相似化，并說(shuō)明理由。 5解：一九| = G九九2 8九+ 10 + 1=0若九二2是重根，丸=2代入G2 -8九+1。+ )=。，得。=2若 G? 8九 +10 += 0 是重根，Q 4、0 = a = 6_ 2 3-當(dāng)九=2, = 2時(shí)(4_九)= 0 0 0,r(A

20、 九石)=10 0 0有2個(gè)線性無(wú)關(guān)的特征向量，可對(duì)角化。當(dāng) 4 = 6,九=4 時(shí)，(AX)= _ _3，r(A-XE)=2,不能對(duì)角化。0 0 0-4 -10 0-8.已知A= 130判斷A能否對(duì)角化，若能對(duì)角化則求可逆矩陣P，361化A為相似標(biāo)準(zhǔn)形。解：- 九冏二(X + 2)6 -1) = 0r-5 -10 o-%=1 時(shí)，a-E= 1 2 03 6 0r(A)= 1有2個(gè)線性無(wú)關(guān)的特征向量,可對(duì)角化，a =(0,01%,a =(2,1,0122 -10 0一A+2E= 15 036 3r 2-5P = bt a ,ot -1= 0 -1 11, 231 03r 3 2 -29.設(shè)4=

21、 -k -1 k4 2-31P-iAP =1-2（1）問(wèn)k為何值時(shí)A可對(duì)角化?U-iAU是對(duì)角矩陣解：m九石| = G+九）G九）二o二九二12 A + E =la ,a ,a =12310.此時(shí)作可逆矩陣U,使得，當(dāng)k= O,r（A）=l,所以左=。，可對(duì)角化U-iAU =-1-11已知3階矩陣A的第一行元素全是1,且(1, 1, 1, ) T,(1, 0, -1) T,(1, -1,0） T是A的3個(gè)特征向量，求A解:a21a311a22a32X 3, i11.設(shè)A為3階矩陣，匕巴巴是線性無(wú)關(guān)的3維列向量組，滿足Aa = a +a +a , Aa - 2a +a , Aa - 2a + 3

22、a求作矩陣B,使得4(,巴巴)=(01,巴,013)6(2)求A的特征值。(3)求作可逆矩陣P，使得P AP為對(duì)角矩陣。解：A (a ,a ,a ) = (a +a +a , 2a +a , 2a +3a )設(shè) 二(匕巴巴)，因?yàn)榘桶褪蔷€性 TOC o 1-5 h z 無(wú)關(guān)的，所以C可逆，所以A =-1所以A和B相似，相似的矩陣有相同的特征值。x-100陛一理=-1 A-2 -2 =(A-1)/-4) = O.11 為-3對(duì)應(yīng)于4 = 2 =1,解齊欷線性方程組建-b)k=o1得基礎(chǔ)解系晶=(-2.0、產(chǎn)對(duì)應(yīng)于4 =4,解齊次線性方程組(4E-B)X=。，得基礎(chǔ)解系 備,又因?yàn)?AC = CB

23、 n B = C MCP = CQ = (a ,a ,a-1 -2 0101011=-+-2 -a1.a, +“二a對(duì)應(yīng)的特征值，其中4是矩陣A的伴隨矩陣，試求凡板 的值。解：由于矩陣A可逆，故A可逆，于是九w。，|川。0,且Aa=a,AA*a = XAa n |Ac = kA a n Aa =+ A = -121彳 2 + 2b = -b,同f7 + Z? -I- 1 =,2 1 1X = 1 2 1 = 2 = 444當(dāng)匕=1 時(shí) 2=1：11。3 +方 3 8 當(dāng)方=2時(shí)！ A- = 4.13設(shè)A是n階實(shí)對(duì)稱矩陣，P是n階可逆矩陣,已知n維列向量a是A的屬于特征值九的特征向量，則矩陣CP

24、a解:=Pt At九。toc).i) = Pt A又因?yàn)锳a =九a n Pt Aoi =同理可求：p-1 Ap - p-1a = p -1A a=X p-1a)= (-1,0,1)當(dāng)X = 7時(shí)，A對(duì)應(yīng)的一個(gè)特征向量為丑=6,1,1)14設(shè)矩陣A二，B = P-1 A * P，求B+2E的特征值與由 P -1 =，得 P-1”1P -1”2P -1”3特征向量，其中A *為A的伴隨矩陣E為3階單位矩陣.B+2E對(duì)應(yīng)于特征值9的全部特征向量為k 1P-1=k 1G,-1,0 )解：設(shè)A特征值為九，特征向量為“，即 A”=X” .由于 |A| = 7 豐 0所以k p-1“= k J1,-1,1

25、)，其中k ,k是不全為零的任意常數(shù)XW 0.又因 A * A = |A|E，A* =B+2E對(duì)應(yīng)特征值3全部特征向量為k3p-1” 3 = k3(0X1)，k 3是不為零的任意常數(shù).或者用另一種方法:所以B的特征值為九* ， B+2E的特征值為九* + 2。AlA “ = X” n A * A 叩=A *X“ n |A ” = A *X“ n A 丐=” =X*“X(5-2I-2于是 B=P-1A* P= -2P-1A *”=X* P-1”，P-1A * P (P-1” ) = X* P-1”I-2所以：(B + 2 E) P-1n = (X* + 2) P-1Q因此B+2E的特征值為X*

26、+ 2，對(duì)應(yīng)的特征向量為P叫.X-3由于 |XE-A| = -2-2-2X-3-2-2-2X-3=(X-1)2(X-7)，故A的特征值為=X = 1, X = 7.A *的特征值是AlAl = 7所以A *的特征值是7，1。因此，B+2E的三個(gè)特征值分別為9, 93.=1時(shí)，A對(duì)應(yīng)的線性無(wú)關(guān)特征向量可取為(u,0)-25-205-2-2 )-25 j0 1-45 ,又由P可得P-1 =B+2E =(9-2I2(X-9002X-74I 22X-5=(X- 9)2(，- 3),根據(jù) | XE - (B + 2E )1=7I：07-21、0 )-45 j可知B+2E的特征值為X =X2 = 9,X3

27、 = 3.同樣方法求特征向量。15已知3階矩陣A與三維向量x，使得X、AX、A2X線性無(wú)關(guān)，且滿足A3x = 3Ax - 2A2x，(1)記 P = (x, Ax, A2x)，求 3 階矩陣 B，使 A = PBP-1 ；(2)計(jì)算行列式| A + E解：A = PBP-1 n AP = PBAP = A, Ax, A 2 xA 2 x, A 3 xx, A 2 x ,3 Ax - 2 A 2 x)A(x, Ax, A x) = (Ax, A x, A x) = (Ax, A x-0 0 0 -=(x, Ax, A 2x) 1 030 1 2，AP = P 100 00 3 = PB1 2（2

28、）由（1）知，A與B相似，故A+E與B+E也相似，于是有1 0 0|A + E = |B + E = 1 1 3 =-40 1 -1（4）把這n個(gè)兩兩正交的單位特征向量作為列向量，排成一個(gè)n階方陣Q,便有Q-1 AQ = QtAQ =A，注意A中對(duì)角元的排列次序應(yīng)與P中列向量的排列次序相對(duì) 應(yīng)。五、矩陣的合同定義：設(shè)A，B為兩個(gè)n階方陣，若有n階可逆陣P使得PTAP = B，則稱矩陣A與B合同，記為A0B。四、實(shí)對(duì)稱矩陣的相似對(duì)角化 實(shí)對(duì)稱矩陣的性質(zhì)：合同也是矩陣之間的一種關(guān)系，它具有以下性質(zhì)：自反性、對(duì)稱性、傳遞性。定理1：若A為實(shí)對(duì)稱矩陣，則A 一定與對(duì)角陣合同。性質(zhì)1：合同的矩陣有相同的

29、秩，即合同的矩陣一定等價(jià)，但等價(jià)的矩陣不定合同。三、實(shí)對(duì)稱矩陣的對(duì)角化（1）特征值全是實(shí)數(shù),特征向量是實(shí)向量;（2）不同特征值的特征向量必定正交；（3）k重特征值必定有k個(gè)線性無(wú)關(guān)的特征向量;1.設(shè)3階實(shí)對(duì)稱矩陣A的特征值為1、2、3, （1,1,-1）t和（-1,2,1開(kāi)分別是屬于1和（4）必存在n階正交矩陣Q，使Q-1AQ = QTAQ =A= 解：根據(jù)不同特征值的的特征向量相互正交，設(shè)3的特征向量為Q,b,c）2的特征向量，求屬于3的特征向量，并且求A。九1，九2九n，為矩陣A的特征值。=(1,0,1P-1 AP =-210252132.三階實(shí)對(duì)稱矩陣A的特征值為九=-1,九二九對(duì)應(yīng)于于

30、1的特征向量為13-25 二（0,1,1%，求 A。 1解：設(shè) W 1對(duì)應(yīng)的特征向量為：2 =(0,1,-1,3 =(1,0,01，A0,己/&J =(喑,九,好J設(shè)a ,a為b的屬于從=從=1的兩個(gè)線性無(wú)關(guān)的特征向量，因?yàn)椴煌卣髦档?100101100101101001101101010231 123123特征向量相互正交，所以：ata = 0,3. 3階實(shí)對(duì)稱矩陣A的秩為2又6是它的二重特征值，向量(1,1,0)t和(2,1,1)t和(1,-1,1)(-1,2,-3)t都是屬于6的特征向量。%x2k x 3 )=0，可取a 2=f-10k 1 ,(1)求A的另一個(gè)特征值與相應(yīng)的特征向量.

31、(2)求A.解：因?yàn)閞(A )= 2 n |A| = 0 n= 0是它的一個(gè)特征值。B的全部特征值的特征向量為:6的3個(gè)向量中，任意2個(gè)都是線性無(wú)關(guān)的，可選向量(1,1,0)t和(2,1,1開(kāi)的任意常數(shù),士)，則有的=0,為6即(2f110k 00 ,其中k豐0,是不為零k 2,卜3是不同時(shí)為零的任意常數(shù).設(shè) =0所時(shí)應(yīng)的特征向量為1H =僑,匯儲(chǔ)ka = HLL1 尸伊為任意不為零的常數(shù)4.設(shè)3階對(duì)稱矩陣A的特征值X1 = 1, X2 = 2, X3 = -2P -15.設(shè)實(shí)對(duì)稱矩陣A =行列式IA - E的值。a 1=(1,-1,1)t 是A 的屬于解：卜E - a =X1的一個(gè)特征向量，

32、記B = A5 4A3 + E其中E為3階單位矩陣(I)陣B的特征向量，并求B的全部特征值與特征向量.(II)求矩陣B.驗(yàn)證a 1是矩解：B的3個(gè)特征值為N =-2,從=1,從=1,因?yàn)?A a1 = X1a1 ,所以A5a二九5a(A 5 4 A 3 + E )a1,5 4X3 + 1)x111所以a 1 是 B的特征向量，ka111-11-1、(- 2-1 0 J求可逆矩陣P，使p-1 Ap為對(duì)角型矩陣，并計(jì)算對(duì)于特征值4二兄二程十L可得對(duì)應(yīng)的兩個(gè)線性無(wú)關(guān)的特征向量對(duì)于特征值4二口-2可得對(duì)應(yīng)的特征向量 / = (-1,1,1尸由A的特征值可得A-E的特征值為/。-3,所以，.4一石=才0

33、 3).6.設(shè)3階實(shí)對(duì)稱矩陣A二-1O 1o-ll,(1)求可逆陣P,使尸-1A尸為對(duì)角陣B =0C = G,l,一,B?=。1? _ ：，；,二氣=（。117.設(shè)3階實(shí)對(duì)稱矩陣A=1 -2-2 -22 424-2(1)求可逆陣P,使尸tA尸為對(duì)角陣(2)求正交陣Q,使QtAQ = QtA。為對(duì)角陣。 TOC o 1-5 h z 解：-九百二一6-11。+ 2）= 0 n 九=2, X = X = 1 1231 0 1P = la ,a ,a = 1 1 0123-1 1 1（2）設(shè)：p =a33n =（U,T n = -L（o,i,i）r n =，G,口,。=G,r| ,r）1 J32 J

34、23 J61 2 31-22P =（a ,a ,a ）= 210123-2 01023V54_ 3455 3）5(2)求正交陣Q,使。-14。=。74。為對(duì)角陣解.九囿二一。+ 7)6 2) = 0n九二7,九二九二2 123 Q = ,T| ,T| ）= | 1233 _2一 38.設(shè)B是秩為2 的5X4矩陣,v(M23q =(T，1，4TR /，T-8“是齊次方程組員=o的解向量，求& =。的解空間的一個(gè)標(biāo)準(zhǔn)正交基。解：-S）= 2 ,所以基礎(chǔ)解系含有2個(gè)向量。3個(gè)向量中任意2個(gè)都是線性無(wú)關(guān)的,我們可以取匕巴112B -a1039.設(shè) A=(2 -I)1-1 2JP-1AP = P-lAn

35、P解：P-iAP = A n A = P-iAP n An = P-iAPP-iAPA ioo = P-iAwoP =1 1 + 31 31 -13ioo 2 12 1 31 + 310.設(shè) A=，求 Aioo-2-1-1解：九| = G九）（十九）6九）=On九=1,九=2,九=-1-16535Aioo = P2ioi 22iooP-i =,2ioo2ioo1 0 111.設(shè)矩陣a = 0 2 0 ,矩陣B = (kE + A)2,其中k為實(shí)數(shù)，E為單位矩陣，求 1 0 1對(duì)角矩陣A,使得B與A相似，并求k為何值時(shí)，B為正定矩陣.解:A一九E| = 0n 九G 2)2 = 0n 九=0,九二

36、九二2所以B的特征值為：九=k2,九 =(k + 2)2.其中九 =(k + 2)2為二重根.因?yàn)锳再實(shí)對(duì)稱矩陣，所以B為實(shí)矩陣。Bt = /e + A T = UE + A1=(kE + A)2故0是A的2重特征值，其對(duì)應(yīng)的特征向量為牛1,勺a 2意實(shí)數(shù))；3是A的1重特征值，其對(duì)應(yīng)的特征向量為k3a 3將% a2正交化令 P =a/P2 =a 2(P1, P1)八11八P = ( ，0，)T，P = a12233n =1,0,1次2為不全為零的任(卜3為任意非零實(shí)數(shù))1 2P1 = (一 6, 6,1、)t ,n621111、2 =P3 =晚安零)n3 =p P3 =33W-(k+2)20

37、0實(shí)對(duì)稱矩陣必與對(duì)角陣相似：0(k+2)2 000k2Q = W=2。2=(0，-1，1,是線性方程組A % =0的兩個(gè)解, 所以a和a是屬于矩陣A的特征值0的特征向量。13.設(shè)A為3階矩陣，。1,。2為A的分別屬于特征值-特征向量,向量a3滿足Aa 3 = 0 2 + a 3 ,證明 0)- 2,3 線性無(wú)關(guān)；令尸=( 2M3),求 P 一1.證法一：假設(shè)a/a2,a3線性相關(guān),因?yàn)樨?，a2分別屬于不同特征值的特征向量,故a1,a 2線性無(wú)關(guān)，則a 3可由a1,a 2線性表出，不妨設(shè) =仍+ 12a 2， TOC o 1-5 h z 其中/,/不全為零(若/,/同時(shí)為0,貝Ija為0,由Aa

38、 =a +a可知a =0,而 1 21 233232特征向量都是非0向量，矛盾)。因?yàn)閍,“ A的分別屬于特征值特征向量，所以Aa =-a,Aa =a 121122Aa =a +a =a +la +1 a ,又Aa - A(Za +1 a ) =-Ia +1 a 32321 12 231 12 21 12 2-la +1 a =a +la +la ,整理得：2Za +a =0 則a ,a 線性相關(guān)，矛1 12 221 12 21 1212盾.所以，a ,a ,a線性無(wú)關(guān).123證法二：設(shè)存在數(shù)左次，左，使得左a +ka +ka =0(1)1231 12 23 3用A左乘(1)的兩邊并由Aa =

39、 -a , Aa =a 得一左a +(左+左)a +ka =Q11221123233(1)(2)得2ka -ka =0(3)113 2因?yàn)閍,a是A的屬于不同特征值的特征向量，所以 a,a線性無(wú)關(guān)，從而 1212k k = 0 ,代入(i)得左a = 0,又由于a w 0 ,所以左=0 ,故a ,a ,a線性132 222123無(wú)關(guān).(II)記夕=(a ,a ,a ),則月可逆，123AP = A(a ,a ,a ) = (Aa , Aa , Aa ) = (-a ,a ,a +a ) 1231231223-0 0、=(a ,a ,a ) 0 1 1123I。1J-0 0、=P 0 1 120

40、1 +2(X +九201 , 112233代入整理得(k +k X +左九2)a +(k +k X +左九2)a +(左 +左九 十左九2)a =0. 12 13 1112 23 2212 33 33因?yàn)閍/R是三個(gè)不同特征值對(duì)應(yīng)的特征向量，必線性無(wú)關(guān)，于是有k +左九+左九2二0, 12131q = 1 或者q =-，當(dāng)1nXE-A13.設(shè)n階矩陣A的元素全為1,則A的個(gè)特征值是解：把任意一列都加到第一列,然后第一行x（-D依次加到其他任意一行,E A| =X-X-1X1= X-n-1X2.1X-1X-j九一1X-1=(A-zzX|囿=缶-1)(fl-1)=6 - n)kn-l ?=X-n1

41、 1 1小城S陣A的n個(gè)特征值是n和。（n-1重）。=（Xn） Xn-i4.設(shè)齊次線性方程組第二行第一列中的1為0,凡以Q + 。必=見(jiàn) Z3n+ axy ?,vt + - -bx = 0.jL工r r設(shè)網(wǎng)網(wǎng)之3）階矩陣月二,若矩陣W的秩為收一1.則門(mén)必為箕中口。厚0,刃之N或i寸論口也為何徜時(shí)方程組漢右零解、有無(wú)窮多組解？名組解口.求出全部解,并用基礎(chǔ)解系衣示全部解.在有無(wú)分同=解：把任意一列都加到第一列,然后第一行x（- D依次加到其他任意一行,解： 當(dāng)日#一且日一一時(shí),方程組僅有零解.當(dāng)行=3時(shí).時(shí)系數(shù)矩陣A作初等變換，有abb b a b 且=占 b a_b h ba = 01,1.0

42、.0,a= 01,01,00a = 01,0,0,0.1)T12n-1.v = ca + j叼+一.門(mén)為任意常數(shù))當(dāng)儀=山(1 -ra)i b一9對(duì)系捌b【矩陣H作初!b b髻變換,有b 一bI )111 (If) 1111- H- 1 -.一. 1 1-?000-n 00.0f1.000nHMA =bb(1 b-000 nHbbb (1_ 111 (If)_ 111 ,11 R_2變化是把最后一行x（-1）加到其余各行，也可把把第一行x（-1）加到其余各行。其基礎(chǔ)解系為4 = IL1）方程組的全部特解是1 0 0 . 0 -11 0 0 . 0 -1原方程組的通解方程組出0 1 0 0 10

43、 1 0 - 0 -10 0 1 - - 0 14 0 0 1 0 10T = X,- - - - -2萬(wàn)工0 0 0 - 1-10 0 0 - 1 -1-11111 H0 0 0 - - 0 0H .二工 n-1n =1x = （c為任意常數(shù)）5.已知齊次線性方程組(a + b)x +a x +a x H-a x - 0,112 23 3n nax + (a + b)x +a x -a x - 0, TOC o 1-5 h z 1 1223 3n n a x +a x +(o +/?)% HYa x =0,其中乙w0.試討論，和。1 12 233n ni12n i-1a x +a x +a

44、x H1- (a + b)x = 0.1 1 12 23 3nn滿足何種關(guān)系時(shí),(1)方程組僅有零解；(2)方程組有非零解，在有非零解時(shí)，求此方 程組的一個(gè)基礎(chǔ)解系.解：方程組的系數(shù)行列式a +baa a+bia2a3 an141=iaiai*2a +b2a2*3a 3a +b 3 .*nanan_*i=l+b i i=lEa +ba +b2aa 3a +b anaaia2a3a +b ni i=l .+b i i=i2a23a3 na +bn11a2 a +ba3aana10a2 ba30 an Q(a +/?)12a3a +b na= (a +/?)00b Qi23ni*i=l*i=l*1

45、a2a3a +b n000 b=bn-l( +。).i i=l(1)當(dāng)bwO且不 +。0時(shí),141.。0,方程組僅有零解； ii=l(2)當(dāng)任。時(shí),原方程組的同解方程組為：峭+睢+仁=.由X a產(chǎn)0可知a(i=1,2,n)不全為零，不妨設(shè)。產(chǎn)0 .因?yàn)橹萺(A)=1,取 i=1X2，4,7“為自由未知量，可得方程組基礎(chǔ)解系為1 + a1111 + a111 -22+a22-2aa00A =B.nnn n + a-na00a當(dāng)a=0時(shí)，r(A)=1 2(1 + a)x + x Hb x = 0,2 J (2 + a)X 2 + 2 Xn= 0，試展 取何值時(shí)，方程組有非零解，并求出其通解 nx

46、+ nx bb (n + a) x = 0,【詳解1】對(duì)方程組的系數(shù)矩陣A作初等行變換，有其中k 1,kn-1為任意常數(shù).1 la+n(1) 0 00 I- 221 0l 1 JI- n0 0r(A) = n -1 n，故方程組也有非零解，其同解方程組為n (n +1) a =-2時(shí)，2 x + x = 0,3 x + x = 0一13,由此得基礎(chǔ)解系為：n = (1,2,n)T- nx + x = 0,于是方程組的通解為：x = kn，(其中k為任意常數(shù))?！驹斀?】方程組的系數(shù)行列式為1 + a11 1Al = 22 + a 2 2n (n +1)、=(a +)an 1n 2n n n +

47、 a當(dāng)|A| = 0，即a=0或a = -n(n+1)時(shí)，方程組有非零解.當(dāng)a=0時(shí)，方程組的同解方程組為x +x + x =0,結(jié)果同解法1.n（n +1）對(duì)系數(shù)矩陣A作初等行變換，有1 + a11 11 + a11 1A =22 + a2 2T2aa0Qn+ Q 1n1n rn+a-o0-na000 o- a-2 10 0-210. 0-n 00.1-n00.1時(shí),2故方程組的同解方程組為：同上 _1 1 1 11+a11 1A=2 2+ 2 2=aE +2 2 2 2* * * * * * * * * * * * * * *n n nn+an n n n【詳解3】矩陣A的行列式|a|也可

48、這樣計(jì)算:111矩陣222nnn7.設(shè)有齊次線性方程組的特征值為。，,0,（二1）,從而A的特征值為故行列式 |川=（1 4-門(mén)）十1 -+- A n -I-I- *4 = O ,二工1 十（2 2.x3 Z,x4 = O,SXj + 3x2 + （3 + 口.）/ + 3a_4 = O .4xa + 4x3 十（4 十 日）工4 = .求問(wèn)門(mén)僅阿他時(shí)、垓力一程組.甘岑做一并求山砰111 -1+iT1112-口22f一2日0033 -r?3一 3m0a0444+日.一4日00a 1 - L723解：I 4Ha = 0時(shí),= 1 ； 4,其同解方程組為再+占+三；+f=0 .%=(LL0,。尸,

49、小=(尸,工二校1 + / + %其中占，% ,占為任意常數(shù)一t+i 1 i rL7-10 0 0 O-2100-21 0 0T-3010-30 1 0當(dāng)口0時(shí),-4 0 0 1.-4001-?X + x, = 0.、-3xl - x： = 0.-4.Y + 打=0.當(dāng)。=-1。時(shí)，*月)=3o）對(duì)4 = 1 54二（1。L ：o）t .=（l.o.o.,-1）.故A的屬于/的全部特征向宜為/a+用4+- +自之 （后，町是不全為零的常數(shù)）.2口當(dāng)6 = 0時(shí),A-1001 + (打 -1)60.-1 -0TTfc 一1 j THi1 6-A= (A-1) 尸 AP =-002 1k1一分特征

50、值為4二 二兀二1.任意非零列向最均為特征向量.（H）r當(dāng)白聲。時(shí)，/有打個(gè)線性無(wú)關(guān)的特征向量，令尸二（6片2，、。），則2D當(dāng)5 = 0時(shí)，/二月，對(duì)任意可逆矩陣尸.均有FTjPME9.設(shè)n元線性方程組Ax = b,證明行列式川=S+D（id當(dāng)為何值時(shí)，該方程組有惟一解，并求（in）當(dāng)“為何值時(shí)，該方程組有無(wú)窮多解，并求其通解.解：證法一2a 1。2 2a 1a? 2a.1a? 2ac 3a 4a(n + l)a /=2 = Tl +12 3 n證法二：記。=IAI,下面用數(shù)學(xué)歸納法證明。=(n + l.(n + l)ann當(dāng) =l時(shí)，D = 2a,結(jié)論成立.當(dāng) =2時(shí)，D =2a I42

51、2a= 3a2 ,結(jié)論成立.2a 1t T 1. r - - ar a? la2 2 111 -a? 2a假設(shè)結(jié)論對(duì)小于的情況成立.將。按第I行展開(kāi)得nI2a ID = 2aDnn-l2 2a.I2 2a TOC o 1-5 h z = 2aD -aD = 2anan-i -a2(n-l)an-2 = (n + l)a n-ln-2故 IAI=( + l)a證法三：記。=IAI,將其按第一列展開(kāi)得D =2aD -aiD ,nnn-ln-2D -aD = aD -a2D = a(D -aD )nn-ln-ln-2n-ln-2=a2(D -aD ) = - = an-2(D -aD ) = an

52、n-2n-321D = an + aD = an +a(an-i +aD ) = lan +a2Dnn-ln-2n-2二 = ( - 2)an + an-iD - (n - 1)川 + an-iD =(ji- l)a + an-i -2a = (n + l)a 21(II)因?yàn)榉匠探M有唯一解，所以由Ax = 5知|山。0,又同= 5 + 1故aw。.將。的第1列換成萬(wàn)，得行列式為由克萊姆法則,1 10 2a 1a? 2a .nxn12a 12 2a4212a(n-l)x(n-l)=D = nan-in-lD n,J2 1D (zi + l)a (III)方程組有無(wú)窮多解，由|川=0,有4 =

53、0,則方程組為此時(shí)方程組系數(shù)矩陣的秩和增廣矩陣的秩均為n-l,所以方程組有無(wú)窮多 解，其通解為左(1 0 0 . 0+(0 1 0 .。/為任意常數(shù).10.設(shè)A、5為三階相似非零實(shí)矩陣，矩陣4=(以心 滿足.=4.(詬1,2,3)A. lJ DXDIJ IJIJ為a：的代數(shù)余子式，矩陣5滿足+2困=后+3粉=0,計(jì)算行列式A*RA*+REI.IJ解：A*RA*+REI= A*(5-E)+(R)I= l(A*+E)(5-E)l= A*+EILB-EI,只需計(jì)算A*+EI及LB-EI.若能求出A或5的所有特征值，則問(wèn)題即可解決.因?yàn)橐?25l=LE+35l=0,知 九=一，九二一!為5的兩個(gè)特征值. TOC o 1-5 h z 12 23因?yàn)锳B,所以九=- A =一(也為A的兩個(gè)特征值，12 23因?yàn)?二A.,所以At=4*, AAt=AA=AE,從而2=IAAtI=IIAIEI=IA|3,IJ IJ即