多次相遇和追及問(wèn)題(共16頁(yè))

1、PAGE |初一數(shù)學(xué)基礎(chǔ)-提高-精英學(xué)生版| 第1講 第頁(yè)3-1-3.多次相遇與追及問(wèn)題.題庫(kù) 教師版 page PAGE 17 of NUMPAGES 183-1-3多次相遇和追及問(wèn)題教學(xué)目標(biāo)學(xué)會(huì)(xuhu)畫圖解行程題能夠利用柳卡圖解決(jiju)多次相遇和追及問(wèn)題能夠利用(lyng)比例解多人相遇和追及問(wèn)題知識(shí)精講板塊一、由簡(jiǎn)單行程問(wèn)題拓展出的多次相遇問(wèn)題所有行程問(wèn)題都是圍繞“”這一條基本關(guān)系式展開(kāi)的，多人相遇與追及問(wèn)題雖然較復(fù)雜，但只要抓住這個(gè)公式，逐步表征題目中所涉及的數(shù)量，問(wèn)題即可迎刃而解（難度等級(jí) ）甲、乙兩名同學(xué)在周長(zhǎng)為米圓形跑道上從同一地點(diǎn)同時(shí)背向練習(xí)跑步，甲每秒鐘跑米，乙每

2、秒鐘跑米，問(wèn)：他們第十次相遇時(shí)，甲還需跑多少米才能回到出發(fā)點(diǎn)？從開(kāi)始到兩人第十次相遇的這段時(shí)間內(nèi)，甲、乙兩人共跑的路程是操場(chǎng)周長(zhǎng)的10倍，為米，因?yàn)榧椎乃俣葹槊棵腌娕苊?，乙的速度為每秒鐘?米，所以這段時(shí)間內(nèi)甲共行了米，也就是甲最后一次離開(kāi)出發(fā)點(diǎn)繼續(xù)行了200米，可知甲還需行米才能回到出發(fā)點(diǎn)（難度等級(jí) ）甲乙兩人在相距90米的直路上來(lái)回跑步，甲的速度是每秒3米，乙的速度是每秒2米如果他們同時(shí)分別從直路兩端出發(fā)，10分鐘內(nèi)共相遇幾次？17一共六百秒，第一次相遇是兩人總共跑一個(gè)90米，以后是180米相遇次。相對(duì)速度每秒五米。第一次相遇是18秒。180米相遇需要36秒。此后是582秒總共有16次。所

3、以相遇17次。（難度等級(jí) ）甲、乙兩人從400米的環(huán)形跑道上一點(diǎn)A背向同時(shí)出發(fā)，8分鐘后兩人第五次相遇，已知每秒鐘甲比乙多走0.1米，那么兩人第五次相遇的地點(diǎn)與點(diǎn)A沿跑道上的最短路程是多少米?176甲乙(ji y)每分鐘速度和:40058=250米每分鐘,甲比乙多:0.160=6米甲每分鐘:(250+6)2=128米1288400=2.224相遇(xin y)點(diǎn)與A最短路程為400-224=176米二、運(yùn)用(ynyng)倍比關(guān)系解多次相遇問(wèn)題（難度等級(jí) ）上午8點(diǎn)8分，小明騎自行車從家里出發(fā)，8分鐘后，爸爸騎摩托車去追他，在離家4千米的地方追上了他.然后爸爸立即回家，到家后又立刻回頭去追小明，

4、再追上小明的時(shí)候，離家恰好是8千米，這時(shí)是幾點(diǎn)幾分？畫一張簡(jiǎn)單的示意圖：圖上可以看出，從爸爸第一次追上到第二次追上，小明走了8-44（千米）.而爸爸騎的距離是 4 8 12（千米）.這就知道，爸爸騎摩托車的速度是小明騎自行車速度的 1243（倍）.按照這個(gè)倍數(shù)計(jì)算，小明騎8千米，爸爸可以騎行8324（千米）.但事實(shí)上，爸爸少用了8分鐘，騎行了41216（千米）.少騎行24-168（千米）.摩托車的速度是88=1（千米/分），爸爸騎行16千米需要16分鐘.881632.所以這時(shí)是8點(diǎn)32分。（難度等級(jí) ）甲、乙兩車分別同時(shí)從A、B兩地相對(duì)開(kāi)出，第一次在離A地95千米處相遇相遇后繼續(xù)前進(jìn)到達(dá)目的地

5、后又立刻返回，第二次在離B地25千米處相遇求A、B兩地間的距離是多少千米？畫線段示意圖(實(shí)線表示甲車行進(jìn)的路線，虛線表示乙車行進(jìn)的路線)：可以發(fā)現(xiàn)(fxin)第一次相遇意味著兩車行了一個(gè)A、B兩地間距離，第二次相遇意味著兩車共行了三個(gè)A、B兩地間的距離當(dāng)甲、乙兩車共行了一個(gè)A、B兩地間的距離時(shí)，甲車行了95千米，當(dāng)它們共行三個(gè)A、B兩地間的距離時(shí)，甲車就行了3個(gè)95千米，即953=285（千米），而這285千米比一個(gè)A、B兩地間的距離多25千米，可得：953-25=285-25=260(千米)（難度(nd)級(jí)別 ）甲、乙二人以均勻(jnyn)的速度分別從A、B兩地同時(shí)出發(fā)，相向而行，他們第一次

6、相遇地點(diǎn)離A地4千米，相遇后二人繼續(xù)前進(jìn)，走到對(duì)方出發(fā)點(diǎn)后立即返回，在距B地3千米處第二次相遇，求兩次相遇地點(diǎn)之間的距離.43=12千米，通過(guò)畫圖，我們發(fā)現(xiàn)甲走了一個(gè)全程多了回來(lái)那一段，就是距B地的3千米，所以全程是12-3=9千米，所以兩次相遇點(diǎn)相距9-（3+4）=2千米。（難度等級(jí) ）甲、乙二人以均勻的速度分別從A、B兩地同時(shí)出發(fā)，相向而行，他們第一次相遇地點(diǎn)離A地7千米，相遇后二人繼續(xù)前進(jìn)，走到對(duì)方出發(fā)點(diǎn)后立即返回，在距B地5千米處第二次相遇，求兩次相遇地點(diǎn)之間的距離.4千米（難度等級(jí) ）甲、乙二人以均勻的速度分別從A、B兩地同時(shí)出發(fā)，相向而行，他們第一次相遇地點(diǎn)離A地6千米，相遇后二人

7、繼續(xù)前進(jìn)，走到對(duì)方出發(fā)點(diǎn)后立即返回，在距B地4千米處第二次相遇，求兩人第5次相遇地點(diǎn)距B 多遠(yuǎn).12千米（難度等級(jí) ）甲、乙二人以均勻的速度分別從A、B兩地同時(shí)出發(fā)，相向而行，他們第一次相遇地點(diǎn)離A地7千米，相遇后二人繼續(xù)前進(jìn)，走到對(duì)方出發(fā)點(diǎn)后立即返回，在距B地3千米處第二次相遇，求第三次相遇時(shí)共走了多少千米.90千米（難度等級(jí) ）甲、乙二人以均勻的速度分別從A、B兩地同時(shí)出發(fā)，相向而行，他們第一次相遇地點(diǎn)離A地3千米，相遇后二人繼續(xù)前進(jìn)，走到對(duì)方出發(fā)點(diǎn)后立即返回，在距B地2千米處第二次相遇，求第2000次相遇地點(diǎn)與第2001次相遇地點(diǎn)之間的距離.4千米(qin m)（難度(nd)等級(jí) ）甲、

8、乙二人以均勻的速度(sd)分別從A、B兩地同時(shí)出發(fā)，相向而行，他們第一次相遇地點(diǎn)離A地18千米，相遇后二人繼續(xù)前進(jìn)，走到對(duì)方出發(fā)點(diǎn)后立即返回，在距B地13千米處第二次相遇，求AB兩地之間的距離.41千米（難度等級(jí) ）如圖，甲和乙兩人分別從一圓形場(chǎng)地的直徑兩端點(diǎn)同時(shí)開(kāi)始以勻速按相反的方向繞此圓形路線運(yùn)動(dòng)，當(dāng)乙走了100米以后，他們第一次相遇，在甲走完一周前60米處又第二次相遇.求此圓形場(chǎng)地的周長(zhǎng)注意觀察圖形，當(dāng)甲、乙第一次相遇時(shí)，甲乙共走完圈的路程，當(dāng)甲、乙第二次相遇時(shí)，甲乙共走完1+圈的路程所以從開(kāi)始到第一、二次相遇所需的時(shí)間比為1：3，因而第二次相遇時(shí)乙行走的總路程為第一次相遇時(shí)行走的總路程

9、的3倍，即1003=300米有甲、乙第二次相遇時(shí)，共行走(1圈60)+300，為圈，所以此圓形場(chǎng)地的周長(zhǎng)為480米（難度等級(jí) ）如圖，A、B是圓的直徑的兩端，小張?jiān)贏點(diǎn)，小王在B點(diǎn)同時(shí)出發(fā)反向行走，他們?cè)贑點(diǎn)第一次相遇，C離A點(diǎn)80米；在D點(diǎn)第二次相遇，D點(diǎn)離B點(diǎn)6O米.求這個(gè)圓的周長(zhǎng).360A、B是圓的直徑(zhjng)的兩端，甲在A點(diǎn)，乙在B點(diǎn)同時(shí)(tngsh)出發(fā)反向而行，兩人在C點(diǎn)第一次相遇(xin y)，在D點(diǎn)第二次相遇已知C離A有75米，D離B有55米，求這個(gè)圓的周長(zhǎng)是多少米？340三、多次相遇與全程的關(guān)系1. 兩地相向出發(fā)：第1次相遇，共走1個(gè)全程； 第2次相遇，共走3個(gè)全程；

10、第3次相遇，共走5個(gè)全程； ， ； 第N次相遇，共走2N-1個(gè)全程；注意：除了第1次，剩下的次與次之間都是2個(gè)全程。即甲第1次如果走了N米，以后每次都走2N米。2. 同地同向出發(fā)：第1次相遇，共走2個(gè)全程； 第2次相遇，共走4個(gè)全程； 第3次相遇，共走6個(gè)全程； ， ； 第N次相遇，共走2N個(gè)全程；3、多人多次相遇追及的解題關(guān)鍵多次相遇追及的解題關(guān)鍵 幾個(gè)全程多人相遇追及的解題關(guān)鍵 路程差小明和小紅兩人在長(zhǎng)100米的直線跑道上來(lái)回跑步，做體能訓(xùn)練，小明的速度為6米/秒，小紅的速度為4米/秒他們同時(shí)從跑道兩端出發(fā)，連續(xù)跑了12分鐘在這段時(shí)間內(nèi)，他們迎面相遇了多少次？第一次相遇時(shí)，兩人共跑完了一個(gè)

11、全程，所用時(shí)間為：(秒)此后，兩人每相遇一次，就要合跑2倍的跑道長(zhǎng)，也就是每20秒相遇一次，除去第一次的10秒，兩人共跑了(秒)求出710秒內(nèi)兩人相遇的次數(shù)再加上第一次相遇，就是相遇的總次數(shù)列式計(jì)算為：(秒)，共相遇(次)。注：解決問(wèn)題的關(guān)鍵是弄清他們首次相遇以及以后每次相遇兩人合跑的路程長(zhǎng)、兩地間有條公路，甲從地出發(fā)，步行到地，乙騎摩托車從地出發(fā)，不停地往返于、兩地之間，他們同時(shí)出發(fā)，80分鐘后兩人第一次相遇，100分鐘后乙第一次追上甲，問(wèn)：當(dāng)甲到達(dá)地時(shí)，乙追上甲幾次？由上圖容易(rngy)看出：在第一次相遇與第一次追上之間，乙在(分鐘)內(nèi)所走的路程(lchng)恰等于線段的長(zhǎng)度(chngd

12、)再加上線段的長(zhǎng)度，即等于甲在()分鐘內(nèi)所走的路程，因此，乙的速度是甲的9倍()，則的長(zhǎng)為的9倍，所以，甲從到，共需走(分鐘)乙第一次追上甲時(shí)，所用的時(shí)間為100分鐘，且與甲的路程差為一個(gè)全程從第一次追上甲時(shí)開(kāi)始，乙每次追上甲的路程差就是兩個(gè)全程，因此，追及時(shí)間也變?yōu)?00分鐘()，所以，在甲從到的800分鐘內(nèi)，乙共有4次追上甲，即在第100分鐘，300分鐘，500分鐘和700分鐘（難度等級(jí) ）甲、乙兩人分別從、兩地同時(shí)出發(fā)相向而行，乙的速度是甲的，二人相遇后繼續(xù)行進(jìn)，甲到地、乙到地后立即返回已知兩人第二次相遇的地點(diǎn)距第三次相遇的地點(diǎn)是100千米，那么，、兩地相距 千米由于甲、乙的速度比是，所

13、以在相同的時(shí)間內(nèi)，兩人所走的路程之比也是第一次相遇時(shí)，兩人共走了一個(gè)的長(zhǎng)，所以可以把的長(zhǎng)看作5份，甲、乙分別走了2份和3份；第二次相遇時(shí)，甲、乙共走了三個(gè)，乙走了份；第三次相遇時(shí)，甲、乙共走了五個(gè)，乙走了份 乙第二次和第三次相距106=4（份）所以一份距離為：1004=25（千米），那么、兩地距離為：525125（千米）（難度等級(jí) ）小王、小李二人往返于甲、乙兩地，小王從甲地、小李從乙地同時(shí)出發(fā)，相向而行，兩人第一次在距甲地3千米處相遇，第二次在距甲地6千米處相遇(追上也算作相遇)，則甲、乙兩地的距離為 千米由于兩人同時(shí)出發(fā)相向而行，所以第一次相遇一定是迎面相遇；由于本題中追上也算相遇，所以兩

14、人第二次相遇可能為迎面相遇，也可能為同向追及如果第二次相遇為迎面相遇，如下圖所示，兩人第一次在處相遇，第二次在處相遇由于第一次相遇時(shí)兩人合走1個(gè)全程，小王走了3千米；從第一次相遇到第二次相遇，兩人合走2個(gè)全程，所以這期間小王走了千米，由于、之間的距離也是3千米，所以與乙地的距離為千米，甲、乙兩地的距離為千米；如果(rgu)第二次相遇為同向追及，如上圖，兩人第一次在處相遇，相遇后小王繼續(xù)向前走，小李走到甲地(ji d)后返回，在處追上小王在這個(gè)(zh ge)過(guò)程中，小王走了千米，小李走了千米，兩人的速度比為所以第一次相遇時(shí)小李也走了9千米，甲、乙兩地的距離為千米所以甲、乙兩地的距離為千米或12千

15、米（難度級(jí)別 ）A，B兩地相距540千米。甲、乙兩車往返行駛于A，B兩地之間，都是到達(dá)一地之后立即返回，乙車較甲車快。設(shè)兩輛車同時(shí)從A地出發(fā)后第一次和第二次相遇都在途中P地。那么到兩車第三次相遇為止，乙車共走了多少千米？第一次相遇，甲乙總共走了2個(gè)全程，第二次相遇，甲乙總共走了4個(gè)全程，乙比甲快，相遇又在P點(diǎn)，所以可以根據(jù)總結(jié)和畫圖推出：從第一次相遇到第二次相遇，乙從第一個(gè)P點(diǎn)到第二個(gè)P點(diǎn)，路程正好是第一次的路程。所以假設(shè)一個(gè)全程為3份，第一次相遇甲走了2份乙走了4份。第二次相遇，乙正好走了1份到B地，又返回走了1份。這樣根據(jù)總結(jié)：2個(gè)全程里乙走了（5403）4=1804=720千米，乙總共走

16、了7203=2160千米。（難度級(jí)別 ）小張與小王分別從甲、乙兩村同時(shí)出發(fā)，在兩村之間往返行走（到達(dá)另一村后就馬上返回），他們?cè)陔x甲村3.5千米處第一次相遇，在離乙村2千米處第二次相遇.問(wèn)他們兩人第四次相遇的地點(diǎn)離乙村多遠(yuǎn)（相遇指迎面相遇）？畫示意圖如下.第二次相遇兩人已共同走了甲、乙兩村距離的3倍，因此張走了3.5310.5（千米）.從圖上可看出，第二次相遇處離乙村2千米.因此，甲、乙兩村距離是10.5-28.5（千米）.每次要再相遇，兩人就要共同再走甲、乙兩村距離2倍的路程.第四次相遇時(shí)，兩人已共同走了兩村距離（322）倍的行程.其中張走了3.5724.5（千米(qin m)），24.5=

17、8.58.57.5（千米(qin m)）.就知道(zh do)第四次相遇處，離乙村8.5-7.5=1（千米）.答：第四次相遇地點(diǎn)離乙村1千米.四、解多次相遇問(wèn)題的工具柳卡柳卡圖，不用基本公式解決，快速的解法是直接畫時(shí)間-距離圖，再畫上密密麻麻的交叉線，按要求數(shù)交點(diǎn)個(gè)數(shù)即可完成。折線示意圖往往能夠清晰的體現(xiàn)運(yùn)動(dòng)過(guò)程中“相遇的次數(shù)”，“相遇的地點(diǎn)”，以及“由相遇的地點(diǎn)求出全程”，使用折線示意圖法一般需要我們知道每個(gè)物體走完一個(gè)全程時(shí)所用的時(shí)間是多少。如果不畫圖，單憑想象似乎對(duì)于像我這樣的一般人兒來(lái)說(shuō)不容易。（難度級(jí)別 ）每天中午有一條輪船從哈佛開(kāi)往紐約，且每天同一時(shí)刻也有一艘輪船從紐約開(kāi)往哈佛輪船

18、在途中均要航行七天七夜試問(wèn)：某條從哈佛開(kāi)出的輪船在到達(dá)紐約前（途中）能遇上幾艘從紐約開(kāi)來(lái)的輪船？這就是著名的柳卡問(wèn)題下面介紹的法國(guó)數(shù)學(xué)家柳卡斯圖姆給出的一個(gè)非常直觀巧妙的解法他先畫了如下一幅圖： 這是一張運(yùn)行圖在平面上畫兩條平行線，以一條直線表示哈佛，另一條直線表示紐約那么，從哈佛或紐約開(kāi)出的輪船，就可用圖中的兩組平行線簇來(lái)表示圖中的每條線段分別表示每條船的運(yùn)行情況粗線表示從哈佛駛出的輪船在海上的航行，它與其他線段的交點(diǎn)即為與對(duì)方開(kāi)來(lái)輪船相遇的情況從圖中可以看出，某天中午從哈佛開(kāi)出的一條輪船（圖中用實(shí)線表示）會(huì)與從紐約開(kāi)出的15艘輪船相遇（圖中用虛線表示）而且在這相遇的15艘船中，有1艘是在出

19、發(fā)時(shí)遇到（從紐約剛到達(dá)哈佛），1艘是到達(dá)紐約時(shí)遇到（剛好從紐約開(kāi)出），剩下13艘則在海上相遇；另外，還可從圖中看到，輪船相遇的時(shí)間是每天中午和子夜如果不仔細(xì)思考，可能認(rèn)為僅遇到7艘輪船這個(gè)錯(cuò)誤，主要是只考慮以后開(kāi)出的輪船而忽略了已在海上的輪船（難度級(jí)別 ）一條電車線路的起點(diǎn)站和終點(diǎn)站分別是甲站和乙站，每隔5分鐘有一輛電車從甲站發(fā)出開(kāi)往乙站，全程要走15分鐘有一個(gè)人從乙站出發(fā)沿電車線路騎車前往甲站他出發(fā)的時(shí)候，恰好有一輛電車到達(dá)乙站在路上他又遇到了10輛迎面開(kāi)來(lái)的電車到達(dá)甲站時(shí)，恰好又有一輛電車從甲站開(kāi)出問(wèn)他從乙站到甲站用了多少分鐘？先讓學(xué)生用分析間隔(jin g)的方式來(lái)解答：騎車人一共看到1

20、2輛車，他出發(fā)時(shí)看到的是15分鐘前發(fā)的車，此時(shí)第4輛車正從甲發(fā)出騎車中，甲站發(fā)出第4到第12輛車，共9輛，有8個(gè)5分鐘的間隔(jin g)，時(shí)間是（分鐘）再引導(dǎo)學(xué)生用柳卡的運(yùn)行圖的方式(fngsh)來(lái)分析：第一步：在平面上畫兩條平行線分別表示甲站與乙站由于每隔5分鐘有一輛電車從甲站出發(fā)，所以把表示甲站與乙站的直線等距離劃分，每一小段表示5分鐘第二步：因?yàn)殡娷囎咄耆桃?5分鐘，所以連接圖中的1號(hào)點(diǎn)與P點(diǎn)（注意：這兩點(diǎn)在水平方向上正好有3個(gè)間隔，這表示從甲站到乙站的電車走完全程要15分鐘），然后再分別過(guò)等分點(diǎn)作一簇與它平行的平行線表示從甲站開(kāi)往乙站的電車第三步：從圖中可以看出，要想使乙站出發(fā)的騎

21、車人在途中遇到十輛迎面開(kāi)來(lái)的電車，那么從P點(diǎn)引出的粗線必須和10條平行線相交，這正好是圖中從2號(hào)點(diǎn)至12號(hào)點(diǎn)引出的平行線從圖中可以看出，騎車人正好經(jīng)歷了從P點(diǎn)到Q點(diǎn)這段時(shí)間，因此自行車從乙站到甲站用了（分鐘）對(duì)比前一種解法可以看出，采用運(yùn)行圖來(lái)分析要直觀得多?。y度級(jí)別 ）甲、乙兩人在一條長(zhǎng)為30米的直路上來(lái)回跑步，甲的速度是每秒1米，乙的速度是每秒米如果他們同時(shí)分別從直路的兩端出發(fā)，當(dāng)他們跑了10分鐘后，共相遇幾次？采用運(yùn)行圖來(lái)解決本題相當(dāng)精彩！首先，甲跑一個(gè)全程需（秒），乙跑一個(gè)全程需（秒）與上題類似，畫運(yùn)行圖如下（實(shí)線表甲，虛線表示乙，那么實(shí)虛兩線交點(diǎn)就是甲乙相遇的地點(diǎn)）：一個(gè)周期內(nèi)共有

22、5次相遇，其中第1，2，4，5次是迎面相遇，而第3次是追及相遇從圖中可以看出，當(dāng)甲跑5個(gè)全程時(shí)，乙剛好跑3個(gè)全程，各自到了不同兩端又重新開(kāi)始，這正好是一周期(zhuq)150秒在這一周期內(nèi)兩人相遇了5次，所以兩人跑10分鐘，正好是四個(gè)周期，也就相遇了（次）（難度(nd)等級(jí) ） (2009年迎春(yngchn)杯復(fù)賽高年級(jí)組)A、B兩地位于同一條河上，B地在A地下游100千米處甲船從A地、乙船從B地同時(shí)出發(fā)，相向而行，甲船到達(dá)B地、乙船到達(dá)A地后，都立即按原來(lái)路線返航水速為2米/秒，且兩船在靜水中的速度相同如果兩船兩次相遇的地點(diǎn)相距20千米，那么兩船在靜水中的速度是 米/秒本題采用折線圖來(lái)分析

23、較為簡(jiǎn)便如圖，箭頭表示水流方向，表示甲船的路線，表示乙船的路線，兩個(gè)交點(diǎn)、就是兩次相遇的地點(diǎn)由于兩船在靜水中的速度相同，所以兩船的順?biāo)俣群湍嫠俣榷挤謩e相同，那么兩船順?biāo)写湍嫠写玫臅r(shí)間都分別相同，表現(xiàn)在圖中，就是和的長(zhǎng)度相同，和的長(zhǎng)度相同那么根據(jù)對(duì)稱性可以知道，點(diǎn)距的距離與點(diǎn)距的距離相等，也就是說(shuō)兩次相遇地點(diǎn)與、兩地的距離是相等的而這兩次相遇的地點(diǎn)相距20千米，所以第一次相遇時(shí)，兩船分別走了千米和千米，可得兩船的順?biāo)俣群湍嫠俣戎葹槎標(biāo)俣扰c逆水速度的差為水速的2倍，即為4米/秒，可得順?biāo)俣葹槊?秒，那么兩船在靜水中的速度為米/秒（難度等級(jí) ）A、 B 兩地相距1000 米

24、，甲從 A地、乙從 B 地同時(shí)出發(fā)，在 A、 B 兩地間往返鍛煉乙跑步每分鐘行150米，甲步行每分鐘行 60米在 30分鐘內(nèi)，甲、乙兩人第幾次相遇時(shí)距 B 地最近(從后面追上也算作相遇)？最近距離是多少？甲、乙的運(yùn)行圖如上，圖中實(shí)現(xiàn)(shxin)表示甲，虛線表示乙，兩條線的交點(diǎn)表示兩人相遇在 30 分鐘內(nèi)，兩人共行了 (150 60) 30 6300 米，相當(dāng)于 6 個(gè)全程又 300 米，由圖可知，第 3次相遇時(shí)距離 A地最近，此時(shí)(c sh)兩人共走了 3 個(gè)全程，即1000 3 =3000千米，用時(shí)3000（150+60）=100/7分鐘，甲行了60100/7=6000/7米，相遇地點(diǎn)(d

25、din)距離 B 地1000-6000/7 143米（難度等級(jí) ）A、 B 兩地相距 950 米甲、乙兩人同時(shí)由 A地出發(fā)往返鍛煉半小時(shí)甲步行，每分鐘走 40 米；乙跑步，每分鐘行 150 米則甲、乙二人第幾次迎面相遇時(shí)距 B 地最近？半小時(shí)內(nèi)，兩人一共行走 （40 150） 30 =5700 米，相當(dāng)于 6 個(gè)全程，兩人每合走 2 個(gè)全程就會(huì)有一次相遇，所以兩人共有 3 次相遇，而兩人的速度比為 40 :150= 4 :15，所以相同時(shí)間內(nèi)兩人的行程比為 4 :15，那么第一次相遇甲走了全程的，距離 B 地11/19個(gè)全程；第二次相遇甲走了16/19個(gè)全程，距離 B 地3/19個(gè)全程；第三次

26、相遇甲走了24/19個(gè)全程，距離 B 地5/19個(gè)全程，所以甲、乙兩人第二次迎面相遇時(shí)距離 B 地最近(2008年國(guó)際小學(xué)數(shù)學(xué)競(jìng)賽)、兩地相距，甲、乙兩人同時(shí)從地出發(fā)，往返、兩地跑步分鐘甲跑步的速度是每分鐘；乙跑步的速度是每分鐘在這段時(shí)間內(nèi)他們面對(duì)面相遇了數(shù)次，請(qǐng)問(wèn)在第幾次相遇時(shí)他們離點(diǎn)的距離最近？（分鐘）甲、乙兩人合走一個(gè)全程需要分鐘，每合走 個(gè)全程相遇一次，所以總共相遇次而甲每分鐘走（）并且與乙相遇一次，因?yàn)椋ǎ┮簿褪钱?dāng)甲、乙兩人第次相遇時(shí)甲離地為最小，在第次相遇時(shí)他們離點(diǎn)距離最近（難度等級(jí) ）A、 B 兩地相距 2400 米，甲從 A地、乙從 B 地同時(shí)出發(fā)，在 A、 B 兩地間往返鍛煉

27、甲每分鐘跑 300 米，乙每分鐘跑 240 米，在 30 分鐘后停止運(yùn)動(dòng)甲、乙兩人第幾次相遇時(shí)距 A地最近？最近距離是多少？第二次，800米五、多次相遇(xin y)問(wèn)題變道問(wèn)題(wnt)（難度(nd)等級(jí) ）(仁華入學(xué)試題)甲、乙兩車同時(shí)從同一點(diǎn)出發(fā)，沿周長(zhǎng)6千米的圓形跑道以相反的方向行駛甲車每小時(shí)行駛65千米，乙車每小時(shí)行駛55千米一旦兩車迎面相遇，則乙車立刻調(diào)頭；一旦甲車從后面追上乙車，則甲車立刻調(diào)頭，那么兩車出發(fā)后第11次相遇的地點(diǎn)距離點(diǎn)有多少米？(每一次甲車追上乙車也看作一次相遇)第一次是一個(gè)相遇過(guò)程，相遇時(shí)間為：小時(shí)，相遇地點(diǎn)距離點(diǎn)：千米然后乙車調(diào)頭，成為追及過(guò)程，追及時(shí)間為：小時(shí)

28、，乙車在此過(guò)程中走的路程為：千米，即5圈又3千米，那么這時(shí)距離點(diǎn)千米此時(shí)甲車調(diào)頭，又成為相遇過(guò)程，同樣方法可計(jì)算出相遇地點(diǎn)距離點(diǎn)千米，然后乙車掉頭，成為追及過(guò)程，根據(jù)上面的計(jì)算，乙車又要走5圈又3千米，所以此時(shí)兩車又重新回到了點(diǎn)，并且行駛的方向與最開(kāi)始相同所以，每4次相遇為一個(gè)周期，而，所以第11次相遇的地點(diǎn)與第3次相遇的地點(diǎn)是相同的，與點(diǎn)的距離是3000米（難度等級(jí) ）下圖是一個(gè)邊長(zhǎng)90米的正方形，甲、乙兩人同時(shí)從A點(diǎn)出發(fā)，甲逆時(shí)針每分行75米，乙順時(shí)針每分行45米兩人第一次在CD邊（不包括C，D兩點(diǎn)）上相遇，是出發(fā)以后的第幾次相遇？?jī)扇说谝淮蜗嘤鲂璺?，其間乙走了（米）由此知，乙每走135米

29、兩人相遇一次，依次可推出第7次在CD邊相遇（如圖，圖中數(shù)字表示該點(diǎn)相遇的次數(shù)）（難度等級(jí) ）如圖所示，甲、乙兩人從長(zhǎng)為米的圓形跑道的點(diǎn)背向出發(fā)跑步。跑道右半部分(粗線部分）道路比較泥濘，所以兩人的速度都將減慢，在正常的跑道上甲、乙速度均為每秒米，而在泥濘道路上兩人的速度均為每秒米。兩人一直跑下去，問(wèn)：他們第99次迎面相遇的地方距點(diǎn)還有 米。本題中，由于甲、乙兩人在正常道路和泥濘道路上的速度都相同，可以發(fā)現(xiàn)，如果甲、乙各自繞著圓形跑道跑一圈，兩人在正常道路和泥濘道路上所用(su yn)的時(shí)間分別相同，那么兩人所用的總時(shí)間也就相同，所以，兩人同時(shí)出發(fā)，跑一圈后同時(shí)回到點(diǎn)，即兩人在點(diǎn)迎面相遇(xin

30、 y)，然后再?gòu)狞c(diǎn)出發(fā)(chf)背向而行，可以發(fā)現(xiàn)，兩人的行程是周期性的，且以一圈為周期在第一個(gè)周期內(nèi)，兩人同時(shí)出發(fā)背行而行，所以在回到出發(fā)點(diǎn)前肯定有一次迎面相遇，這是兩人第一次迎面相遇，然后回到出發(fā)點(diǎn)是第二次迎面相遇；然后再出發(fā)，又在同一個(gè)相遇點(diǎn)第三次相遇，再回到出發(fā)點(diǎn)是第四次相遇可見(jiàn)奇數(shù)次相遇點(diǎn)都是途中相遇的地點(diǎn)，偶數(shù)次相遇點(diǎn)都是點(diǎn)本題要求的是第99次迎面相遇的地點(diǎn)與點(diǎn)的距離，實(shí)際上要求的是第一次相遇點(diǎn)與點(diǎn)的距離對(duì)于第一次相遇點(diǎn)的位置，需要分段進(jìn)行考慮：由于在正常道路上的速度較快，所以甲從出發(fā)到跑完正常道路時(shí)，乙才跑了米，此時(shí)兩人相距100米，且之間全是泥濘道路，此時(shí)兩人速度相同，所以再各

31、跑50米可以相遇所以第一次相遇時(shí)乙跑了米，這就是第一次相遇點(diǎn)與點(diǎn)的距離，也是第99次迎面相遇的地點(diǎn)與點(diǎn)的距離（難度等級(jí) ）如圖,學(xué)校操場(chǎng)的400米跑道中套著300米小跑道,大跑道與小跑道有200米路程相重甲以每秒6米的速度沿大跑道逆時(shí)針?lè)较蚺?乙以每秒4米的速度沿小跑道順時(shí)針?lè)较蚺?兩人同時(shí)從兩跑道的交點(diǎn)處出發(fā),當(dāng)他們第二次在跑道上相遇時(shí),甲共跑了多少米? 根據(jù)題意可知，甲、乙只可能在右側(cè)的半跑道上相遇易知小跑道上左側(cè)的路程為100米,右側(cè)的路程為200米,大跑道上的左、右兩側(cè)的路程均是200米我們將甲、乙的行程狀況分析清楚當(dāng)甲第一次到達(dá)點(diǎn)時(shí),乙還沒(méi)有到達(dá)點(diǎn),所以第一次相遇一定在逆時(shí)針的某處而

32、當(dāng)乙第一次到達(dá)點(diǎn)時(shí)，所需時(shí)間為秒,此時(shí)甲跑了米,在離點(diǎn)米處乙跑出小跑道到達(dá)點(diǎn)需要秒,則甲又跑了米,在點(diǎn)左邊米處所以當(dāng)甲再次到達(dá)處時(shí),乙還未到處,那么甲必定能在點(diǎn)右邊某處與乙第二次相遇從乙再次(zi c)到達(dá)處開(kāi)始(kish)計(jì)算,還需秒,甲、乙第二次相遇(xin y),此時(shí)甲共跑了秒所以，從開(kāi)始到甲、乙第二次相遇甲共跑了米（難度等級(jí) ）下圖中有兩個(gè)圓只有一個(gè)公共點(diǎn)A，大圓直徑48厘米，小圓直徑30厘米。兩只甲蟲同時(shí)從A點(diǎn)出發(fā)，按箭頭所指的方向以相同速度分別沿兩個(gè)圓爬行。問(wèn)：當(dāng)小圓上甲蟲爬了幾圈時(shí)，兩只甲蟲首次相距最遠(yuǎn)？ 我們知道，大小圓只有一個(gè)公共點(diǎn)(內(nèi)切)，而在圓上最遠(yuǎn)的兩點(diǎn)為直徑兩端，所以

33、當(dāng)一只甲蟲在A點(diǎn)，另一只在過(guò)A的直徑另一直徑端點(diǎn)B，所以在小圓甲蟲跑了n圈，在大圓甲蟲跑了m圈；于是小圓甲蟲跑了30n，大圓甲蟲跑了48(m)48m24因?yàn)樗俣认嗤?，所以相同時(shí)內(nèi)路程相同，起點(diǎn)相同，所以30n48m24；即5n8m4，有不定方程知識(shí)，解出有n4，m2，所以小甲蟲跑了2圈后，大小甲蟲相距最遠(yuǎn)。（難度等級(jí) ）如圖所示，甲沿長(zhǎng)為米大圓的跑道順時(shí)針跑步，乙則沿兩個(gè)小圓八字形跑步(圖中給出跑動(dòng)路線的次序：）。如果甲、乙兩人同時(shí)從點(diǎn)出發(fā)，且甲、乙二人的速度分別是每秒3米和5米，問(wèn)兩人第三次相遇的時(shí)間是出發(fā)后 秒。從圖中可以(ky)看出，甲、乙兩人只有可能在、兩點(diǎn)處相遇(xin y)（本題中，雖然在處時(shí)兩人都是順時(shí)針，但是由于兩人的跑道不同，因此(ync)在此處的相遇不能看作是追及）從到，在大圓周上是半個(gè)圓周，即200米；在小圓周上是整個(gè)小圓圓周，也是200米兩人的速度之比為，那么兩人跑200米所用的時(shí)間之比為設(shè)甲跑200米所用的時(shí)間為5個(gè)時(shí)間單位，