第2章非線性光學(xué)極化率的量子力學(xué)描述課件

1、第2章 非線性光學(xué)極化率的量子力學(xué)描述 2.1 密度算符及其運(yùn)動(dòng)方程 2.2 非線性極化率的微擾理論 2.3 近獨(dú)立分子體系的極化率張量及性質(zhì) 2.4 分子間有弱相互作用介質(zhì)的極化率張量 2.5 共振增強(qiáng)的極化率 2.6 準(zhǔn)單色波的非線性極化 2.7 帶電粒子可自由移動(dòng)介質(zhì)的極化率 2.8 有效場(chǎng)極化率 2.9 二能級(jí)原子系統(tǒng)的極化率 習(xí)題 2.1 密度算符及其運(yùn)動(dòng)方程1 2.1.1 量子力學(xué)中的一些基本概念和結(jié)論 （1） 一個(gè)動(dòng)力學(xué)體系的狀態(tài)可以用一個(gè)歸一化的波函數(shù)描述。 是系統(tǒng)位置和自旋坐標(biāo)的函數(shù), 滿足 * d=1 (2.1 - 1) 式中的積分表示對(duì)系統(tǒng)的所有坐標(biāo)積分, 并對(duì)自旋求和。

2、 （2） 在量子力學(xué)中, 系統(tǒng)的任一個(gè)動(dòng)力學(xué)量o都有一個(gè)線性算符與之相對(duì)應(yīng), 可用符號(hào) 表示。 對(duì)于處在狀態(tài)中的系統(tǒng), 進(jìn)行力學(xué)量o的重復(fù)測(cè)量, 其平均值就是系統(tǒng)處于狀態(tài)中的 的期望值, 即: (2.1 - 2) (3) 如果某時(shí)刻系統(tǒng)的狀態(tài)已被確定, 則以后時(shí)刻系統(tǒng)狀態(tài)隨時(shí)間變化的規(guī)律, 由與時(shí)間有關(guān)的薛定諤（Schr dinger）方程(2.1 - 3) （4） 狀態(tài)的表象。 在量子力學(xué)中, 描述狀態(tài)和力學(xué)量的方式可以不同, 例如, 狀態(tài)可以用以坐標(biāo)為變量的波函數(shù)描述, 也可以用以動(dòng)量為變量的波函數(shù)描述, 相應(yīng)的力學(xué)量算符也不同。 所謂表象, 就是量子力學(xué)中對(duì)狀態(tài)和力學(xué)量的具體表達(dá)方式,

3、不同的表示方式稱(chēng)為不同的表象。 一個(gè)表象就是一組完全、 正交的波函數(shù)ui。 所謂正交, 就是 (2.1 - 4) 所謂完全, 就是任意波函數(shù)都可以用ui展開(kāi): (2.1 - 5) （2.1 - 5）式的意義是: 如果(r,t)是坐標(biāo)表象中的波函數(shù), ui(r)是在另一特定表象中的本征函數(shù), 則該式說(shuō)明在坐標(biāo)表象中所描述的狀態(tài), 在另一特定表象中是用一組數(shù)ai來(lái)描述的。 在量子力學(xué)中, 將ai(t)稱(chēng)作是這個(gè)狀態(tài)在特定表象中的波函數(shù), 且數(shù)ai滿足 (2.1 - 6) (5) 力學(xué)量算符的矩陣元oij。 按量子力學(xué)理論, 力學(xué)量算符 在某表象中的矩陣元為 (2.1 - 7) 如果力學(xué)量o是實(shí)數(shù),

4、 則期望值 亦必是實(shí)數(shù), 且矩陣元滿足(2.1 - 8) （6） 力學(xué)量算符矩陣的跡。 一個(gè)力學(xué)量算符 的矩陣的跡為 (2.1 - 10) 即力學(xué)量算符矩陣的跡是矩陣對(duì)角元之和。 (7) 么正變換。 一個(gè)態(tài)矢量從一個(gè)表象經(jīng)過(guò)一個(gè)變換S變到另一個(gè)表象, 如果滿足(2.1 - 11) 則變換S叫做么正變換, 式中S+是S的共軛矩陣, I是單位矩陣。 (8) 薛定諤表象的矩陣表示。 由量子力學(xué)已知, 波函數(shù)(r,t)在某表象中可看作為一列矩陣, 即(2.1 - 14) 若將（2.1 - 5）式代入（2.1 - 3）式, 并以u(píng)*m(r)左乘等式兩邊, 再對(duì)r變化的整個(gè)空間積分, 可得并可簡(jiǎn)寫(xiě)為 (2

5、.1 - 15) 該式就是薛定諤方程在該表象中的矩陣表示。 （9） 薛定諤表象、 相互作用表象和海森堡（Heisenberg）表象。 考慮到物質(zhì)與光電場(chǎng)的作用, 哈密頓算符 包括未微擾哈密頓算符 和相互作用哈密頓算符 (2.1 - 16) 相應(yīng)的薛定諤方程為其解為 (2.1 - 17)(2.1 - 18) 2.1.2 密度算符及其運(yùn)動(dòng)方程 對(duì)于一個(gè)具有N1023個(gè)分子組成的宏觀系統(tǒng)來(lái)說(shuō), 這個(gè)任務(wù)是不可能完成的, 至多能得到與系統(tǒng)有關(guān)的統(tǒng)計(jì)知識(shí), 譬如說(shuō), 系統(tǒng)處在可能狀態(tài)n的幾率是多少。 如果系統(tǒng)可能的狀態(tài)有 1, 2， ， n, 相應(yīng)的幾率為 p1, p2, , pn, 在這種情況下, 就

6、要從量子力學(xué)范圍過(guò)渡到量子統(tǒng)計(jì)的范圍去討論問(wèn)題。 按（2.1 - 29）式, 系統(tǒng)處在各可能狀態(tài)上的力學(xué)量o的平均值分別是則力學(xué)量算符 的期望值 為 (2.1 - 32) 式中定義的 (2.1 - 33) 2.1.3 幾點(diǎn)說(shuō)明 1) 密度算符的跡 由（2.1 - 32）式可知, 系統(tǒng)的力學(xué)量算符的期望值 為因?yàn)榱W(xué)量o是任意的, 所以, 如果令o=1, 則上式也應(yīng)成立。 這樣就有 即密度算符的跡等于1, 2) 熱平衡狀態(tài)的密度算符 對(duì)于所討論的實(shí)際問(wèn)題, 總是認(rèn)為系統(tǒng)開(kāi)始處于熱平衡狀態(tài), 然后才受到外加光波作用。 由于密度算符的跡等于1, 所以熱平衡狀態(tài)下的密度算符的跡也應(yīng)等于1, 即 (2.

7、1 - 36) 3) 能量表象中 和 的矩陣對(duì)角化 在能量表象中, 哈密頓算符矩陣元為 (2.1 - 44) 熱平衡狀態(tài)下的密度算符矩陣元為 (2.1 - 45) 如果 是 任意函數(shù), 并且可以展開(kāi)為冪級(jí)數(shù)的形式, 就有(2.1 - 46) 及 (2.1 - 47) 2.2 非線性極化率的微擾理論 2.2.1 密度算符的微擾級(jí)數(shù) 1. 密度算符的微擾級(jí)數(shù) 現(xiàn)在我們討論一個(gè)原來(lái)處于熱平衡狀態(tài)的系統(tǒng), 受到外來(lái)光電場(chǎng)作用后的密度算符。 例如,固體中荷電粒子所組成的系統(tǒng), 它的哈密頓算符為 (2.2 - 1) 式中, 是未微擾哈密頓算符, 是外加光電場(chǎng)作用引起的微擾。 在t時(shí), 系統(tǒng)處于熱平衡狀態(tài),

8、 因此, (2.2 - 2) (2.2 - 3) 根據(jù)密度算符的運(yùn)動(dòng)方程（2.1 - 34）式, 有 (2.2 - 4) (2.2 - 5) 2. 的一般表示式 將（2.2 - 5）式代入（2.2 - 4）式, 有(2.2 - 7) 2.2.2 極化強(qiáng)度的一般表示式 假設(shè)所研究的介質(zhì)足夠小, 以致在體積V內(nèi)的光電場(chǎng)E(t)的空間變化可以不考慮。 另外, 與光電場(chǎng)相聯(lián)系的磁場(chǎng)所引起的效應(yīng)也不考慮。 再假定V內(nèi)含有N個(gè)荷電粒子（電子和離子）, 并用qi和ri分別表示第i個(gè)粒子所帶的電荷和它的位置矢量, 則荷電粒子系統(tǒng)的偶極矩為 (2.2 - 30) 設(shè)介質(zhì)的宏觀極化強(qiáng)度為P(t), 按照定義, P

9、(t)是單位體積內(nèi)的偶極矩算符的期望值, 即(2.2 - 31) 若將密度算符的微擾級(jí)數(shù)（2.2 - 5）式代入上式, 可寫(xiě)為 P(t)=P(0)+P(1)+P(2)+P(r)+ (2.2 - 32) 式中, (2.2 - 33) 2.2.3 非線性光學(xué)極化率張量表示式 現(xiàn)在的任務(wù)是將上面得到的 化成非線性極化強(qiáng)度的定義形式: (2.2 - 34) 求出極化率張量 (r)(1,2,r), 或采用分量形式, 化成(2.2 - 35) 1. 一階極化率張量元素表示式 r=1時(shí), 由(2.2 - 33)式， 有(2.2 - 36) 由（2.2 - 29）式, 令r=1, 有 (2.2 - 37) 代

10、入（2.2 - 36）式, 得到 (2.2 - 38) 按（2.2 - 25）式, 有(2.2 - 39) (2.2 - 40)式中 是電偶極矩在光電場(chǎng)E(t)中的附加能量。 如果引入符號(hào)(2.2 - 41) 2. 二階極化率張量表示式 r=2時(shí), 由(2.2 - 33)式和(2.2 - 27)式可得(2.2 - 51) 利用(2.2 - 42)式和(2.2 - 43)式關(guān)系, 有 再根據(jù)E(t1)和E(t2)與 可對(duì)易, 并利用如下的恒等對(duì)易規(guī)則: 則(2.2 - 51)式變?yōu)?(2.2 - 52) 3. r階極化率張量元素 由一階和二階極化率張量元素 和 的表示式（2.2 - 50）式和(

11、2.2 - 57)式, 我們可以立即寫(xiě)出三階極化率張量元素 和r階極化率張量元素 的表示式分別為3 (2.2 - 58) (2.2 - 59) 2.3 近獨(dú)立分子體系的極化率張量及性質(zhì) 2.3.1 近獨(dú)立分子體系的極化率張量 1. 極化率張量表示式 1) 多粒子系統(tǒng)的算符用單分子算符表示 假定在體積V中有M個(gè)分子, 其中第m個(gè)分子的未微擾哈密頓算符和電偶極矩算符分別為 和 , 則整個(gè)集合的未微擾哈密頓算符和電偶極矩算符分別為 因?yàn)閱蝹€(gè)分子的哈密頓算符之間是可對(duì)易的, 所以整個(gè)集合在熱平衡狀態(tài)下的密度算符為(2.3 - 1) (2.3 - 2) 式中 (2.3 - 3) (2.3 - 4) 是在

12、熱平衡狀態(tài)下第m個(gè)分子的密度算符。 2) 極化率張量表示式中的跡用單個(gè)分子的算符表示 由（2.2 - 50）式、 （2.2 - 57）式、 （2.2 - 58）式和（2.2 - 59）式所表示的一階、 二階、 三階和r階極化率張量元素的表示式可見(jiàn), 若將式中的電偶極矩算符用單個(gè)分子的電偶極矩算符表示, 則不管是哪一階極化率張量元素表示式中的跡, 都有如下形式: (2.3 - 11) 式中的 對(duì)于r階極化率張量元素為 (2.3 - 12) 這個(gè) 表示的是與第m個(gè)分子相聯(lián)系的電偶極矩算符的多重?fù)Q位子。 3) 單分子跡 的表示式 在能量表象中, 凡是哈密頓算符 的函數(shù)的算符, 其矩陣都是對(duì)角化的。

13、不難求得(2.3 - 21) (2.3 - 23) (2.3 - 23) (2.3 - 24) 4) 極化率張量元素的表示式 由（2.2 - 50）式, 并利用（2.3 - 20）式和（2.3 - 25）式, 可以給出一階極化率張量元素的表示式為(2.3 - 28) 式中, n=M/V是分子數(shù)密度。 對(duì)上式進(jìn)行積分可以看到: 當(dāng)是實(shí)數(shù)時(shí), 不收斂, 只有頻率在復(fù)數(shù)頻率平面的上半平面內(nèi)取值時(shí), 積分才是收斂的, 這與討論（1.1 - 25）式時(shí)的結(jié)論是一致的。 在這種情況下, 對(duì)（2.3 - 28）式積分得到 (2.3 - 29) 這就是我們要求的一階極化率張量元素的表示式。 2. 極化率張量元

14、素表示式的費(fèi)曼(Feymman)圖示法4 下面介紹一種費(fèi)曼圖表示法, 通過(guò)該方法可以很容易地寫(xiě)出任意階極化率張量元素的表示式。 我們用向下的箭頭表示正的頻率, 對(duì)應(yīng)于光子的湮滅; 用向上的箭頭表示負(fù)的頻率, 對(duì)應(yīng)于光子的產(chǎn)生。 這樣, 在極化率張量元素表示式分母中, 形式為 的因子表示粒子從態(tài)bn躍遷到態(tài)a時(shí), 粒子向輻射場(chǎng)中發(fā)射一個(gè)頻率為n的光子。 2.3.2 極化率張量的性質(zhì) 1. 極化率張量的完全對(duì)易對(duì)稱(chēng)性 1) 極化率張量的完全對(duì)易對(duì)稱(chēng)性 由（2.3 - 29）式的一階極化率張量元素的表示式可以看出, 如果交換指標(biāo)和, 并且用-代替, 即在(,)(-,)的情況下, （2.3 - 29）

15、式右邊的結(jié)果不變, 這時(shí)有(2.3 - 35) 這就是一階極化率張量的完全對(duì)易對(duì)稱(chēng)性。 2) 極化率張量完全對(duì)易對(duì)稱(chēng)性的條件 前面我們?cè)谕茖?dǎo)極化率張量元素 和 等表示式時(shí)看到, 極化率張量元素在實(shí)數(shù)頻率軸上存在奇點(diǎn), 這意味著此時(shí)它們描述極化過(guò)程變得無(wú)效。 事實(shí)上, 介質(zhì)中總是存在馳豫效應(yīng), 因此,在極化率張量元素表示式的各項(xiàng)分母中要附加阻尼項(xiàng)。 3) 完全對(duì)稱(chēng)性的若干物理結(jié)果 當(dāng)介質(zhì)極化率張量存在完全對(duì)易對(duì)稱(chēng)性時(shí), 將有幾個(gè)很重要的物理結(jié)果。 （1） 同一個(gè)極化率張量可以表示不同的物理過(guò)程。 當(dāng)介質(zhì)極化率張量存在完全對(duì)易對(duì)稱(chēng)性時(shí), 由r+1個(gè)實(shí)數(shù)頻率 1、 2、 、 r、 (=-(1+2+r

16、)中的任意r個(gè), 通過(guò)r階極化所進(jìn)行的r+1個(gè)不同的物理過(guò)程, 都由相同的極化率張量決定。 （2） 曼利-羅（ManleyRowe）功率關(guān)系。 這個(gè)關(guān)系描述了在滿足完全對(duì)易對(duì)稱(chēng)性的條件下, 介質(zhì)中非線性光學(xué)的能量轉(zhuǎn)換特性。 在這里, 以二階極化過(guò)程為例進(jìn)行討論。 二階極化強(qiáng)度表示式。 輸入到單位體積介質(zhì)中的功率關(guān)系。 曼利-羅功率關(guān)系。 曼利-羅功率關(guān)系的另外形式。 2. 克萊曼對(duì)稱(chēng)性6 克萊曼已經(jīng)證明, 如果非線性極化起源于電子而不是離子, 并且晶體對(duì)所討論的非線性過(guò)程中的所有頻率都是透明的,即如果在1、2和(1+2)的頻率范圍內(nèi),晶體是無(wú)耗的, 折射率的色散現(xiàn)象可以忽略不計(jì), 則二階非線性

17、極化率張量元素 (-(1+2),1,2)在所有指標(biāo)、 和對(duì)易下是不變的。 因?yàn)檫@種對(duì)稱(chēng)性首先由克萊曼所研究, 故名為克萊曼對(duì)稱(chēng)性。 3. 極化率張量的時(shí)間反演對(duì)稱(chēng)性 1) 時(shí)間反演的意義 在經(jīng)典力學(xué)中, 時(shí)間反演就是用-t代替t, 即改變時(shí)間的測(cè)量方向。 對(duì)于經(jīng)典力學(xué)來(lái)說(shuō), 有兩類(lèi)重要的力學(xué)變量, 一類(lèi)變量在時(shí)間反演下不改變符號(hào), 例如, 位置坐標(biāo)、 位置坐標(biāo)的函數(shù)、 動(dòng)量的偶函數(shù)(如動(dòng)能)等; 另一類(lèi)變量在時(shí)間反演下符號(hào)改變, 例如, 動(dòng)量、 動(dòng)量的奇函數(shù)的量、 角動(dòng)量等。 在量子力學(xué)中, 對(duì)應(yīng)每一個(gè)經(jīng)典力學(xué)量都有一個(gè)力學(xué)量算符, 其中, 與時(shí)間反演不變號(hào)的經(jīng)典力學(xué)量相應(yīng)的算符, 在薛定諤表

18、象中是實(shí)數(shù)算符, 例如, 坐標(biāo)算符 哈密頓算符 動(dòng)量矩平方算符 而與時(shí)間反演變號(hào)的經(jīng)典力學(xué)量相應(yīng)的算符, 在薛定諤表象中是純虛數(shù)算符, 例如, 動(dòng)量算符 動(dòng)量矩算符 2) 極化率張量的時(shí)間反演對(duì)稱(chēng)性 極化率張量的時(shí)間反演對(duì)稱(chēng)性實(shí)際上是哈密頓在時(shí)間反演下不變所引起的一種對(duì)稱(chēng)性。 現(xiàn)在分析（2.3 - 42）式表示的第r階極化率張量元素中的各個(gè)因子特征。 （1） 電偶極矩算符的矩陣元是實(shí)數(shù)。 按定義, 電偶極矩陣元為 (2.3 - 76) 式中， u(a,r)是分子哈密頓算符 的本征函數(shù), 即 （2） 熱平衡狀態(tài)下密度算符矩陣元 是實(shí)數(shù)。 由前討論知， 由（2.1 - 45）式給出： 式中的A由（

19、2.3 - 43）式給出, 因?yàn)楣茴D算符 是實(shí)數(shù), 故A也是實(shí)數(shù), 所以0aa也是實(shí)數(shù)。 （3） （2.3 - 42）式分母中的躍遷頻率ab等均為實(shí)數(shù)。 根據(jù)以上分析, 對(duì)(2.3 - 42)式進(jìn)行復(fù)數(shù)共軛運(yùn)算, 其結(jié)果僅僅是用*1、 *2、 、 *r代替1、 2、 、 r, 即 (2.3 - 77) 考慮到極化率張量的真實(shí)性條件(（1.3 - 3）式), 有(2.3 - 78) 也即有 這表示, 當(dāng)所有頻率1、 2、 、 r都變?yōu)樨?fù)值時(shí), (r)不變, 這種對(duì)稱(chēng)性稱(chēng)為極化率張量的時(shí)間反演對(duì)稱(chēng)性。 3) (1)是對(duì)稱(chēng)張量 由極化率張量具有時(shí)間反演對(duì)稱(chēng)性, 可以得到一個(gè)很重要的結(jié)論: 一階極化

20、率張量是一個(gè)對(duì)稱(chēng)張量。 由（2.3 - 79）式, 令r=1, 有 (2.3 - 80) 又根據(jù)一階極化率張量的完全對(duì)易對(duì)稱(chēng)性, 有 (2.3 - 81) 比較上面二式, 可得 (2.3 - 82) 或 (2.3 - 83) 即一階極化率張量是一個(gè)對(duì)稱(chēng)張量。 2.4 分子間有弱相互作用介質(zhì)的極化率張量 2.4.1 分子間弱相互作用的效應(yīng) 假定我們討論單分子的兩個(gè)能態(tài)a和b, 相應(yīng)的兩個(gè)本征態(tài)能量分別為Ea=a和Eb=b。 如果考慮分子間有弱相互作用, 則將引起單分子能級(jí)位置有一個(gè)不確定的量, 這個(gè)不確定量的大小與分子間的相互作用能量的量級(jí)相同。 設(shè)能態(tài)a的不確定量為a, 能態(tài)b的不確定量為b,

21、 則在分子能態(tài)a和b之間的躍遷頻率(2.4 - 1) 也有一個(gè)不確定量 ab=a-b=ba (2.4 - 2) 2.4.2 極化率張量表示式的修正 1. 一階極化率張量表示式的修正 上一節(jié)給出了忽略分子間相互作用時(shí)的一階極化率張量元素的表示式: (2.4 - 4) 如果考慮分子間有弱的相互作用, 則在分母中應(yīng)引入阻尼項(xiàng)(iab), 并且,考慮到極化率張量的解析要求, 應(yīng)將上式中處在實(shí)數(shù)軸上的極點(diǎn)移到下半個(gè)復(fù)數(shù)頻率平面內(nèi)。 由此, 可以得到考慮分子間弱相互作用介質(zhì)的一階極化率張量元素表示式為(2.4 - 5) 2. 考慮分子間弱相互作用的極化率張量的性質(zhì) 1) 態(tài)a和b之間躍遷的共振線寬 我們將

22、從每單位體積的介質(zhì)通過(guò)線性極化吸收的功率關(guān)系出發(fā), 證明ab就是態(tài)a和b之間躍遷的共振線寬。 假定介質(zhì)受到光電場(chǎng) E(t)=E()e-it+E*()eit 的作用, 其光頻接近某一對(duì)能態(tài)1和2之間的躍遷頻率, 則根據(jù)（2.3 - 61）式, 通過(guò)線性極化每單位體積介質(zhì)吸收的功率為(2.4 - 6) 2) 時(shí)間反演對(duì)稱(chēng)性不成立 在考慮分子間的弱相互作用時(shí), 由(2.4 - 5)式有(2.4 - 13) 將該式與(2.4 - 5)式比較, 顯然 (2.4 - 14) 這說(shuō)明計(jì)及分子間的弱相互作用后, 極化率張量的時(shí)間反演對(duì)稱(chēng)性不再成立。 3) 完全對(duì)易對(duì)稱(chēng)性不成立 如上同樣分析, 當(dāng)ba0時(shí), 極

23、化率張量的完全對(duì)易對(duì)稱(chēng)性也不再成立, 即(2.4 - 19) 只有當(dāng)遠(yuǎn)離共振區(qū)時(shí), ba可以忽略不計(jì), 極化率張量才有完全對(duì)易對(duì)稱(chēng)性。 但是, 不管頻率是復(fù)數(shù)還是實(shí)數(shù), 一階極化率張量 (1)()均是一個(gè)對(duì)稱(chēng)張量: (2.4 - 20) 3. 高階極化率張量元素表示式的修正 對(duì)于高階極化率張量元素表示式的修正, 與一階極化率張量的修正方法類(lèi)似。 當(dāng)考慮分子間有弱相互作用時(shí), 只要將(2.3 - 34)式中的躍遷頻率ba等用baiba等代替即可。 至于是用ba+iba還是用ba-iba代替, 則由因果性條件確定, 即應(yīng)保證極化率張量的極點(diǎn)出現(xiàn)在復(fù)數(shù)頻率平面的下半平面內(nèi)。 所以, 二階、 三階極化

24、率張量元素的表示式分別為 (2.4 - 21) (2.4 - 22) 2.5 共振增強(qiáng)的極化率 2.5.1 一階共振增強(qiáng)效應(yīng) 在一階極化率張量元素表示式(2.4 - 5)式中, 首先考慮對(duì)a, b的求和。 假定介質(zhì)為二能級(jí)系統(tǒng), 低能級(jí)以o標(biāo)記, 高能級(jí)以t標(biāo)記, 本征躍遷共振頻率為to, 則在求和過(guò)程中, a, b可分別為o和t, 可得 假定入射光頻率to, 則上式中的第一、 四項(xiàng)因分母值很小, 其分?jǐn)?shù)值很大, 而第二、 三項(xiàng)則因分母值很大, 可以忽略。 因而, 共振極化率為 (2.5 - 1) (2.5 - 2) 2.5.2 二階共振增強(qiáng)效應(yīng) 由二階極化率張量關(guān)系表示式(2.4 - 21)

25、式, 將 展開(kāi), 得到 (2.5 - 3) 2.5.3 三階共振增強(qiáng)效應(yīng) 1. 三階極化率的雙光子和頻共振增強(qiáng) 現(xiàn)在考慮同時(shí)入射三個(gè)頻率1、 2和3, 產(chǎn)生第四個(gè)頻率(1+2+3)的四波混頻過(guò)程。 設(shè)其中兩個(gè)頻率2、 3之和(2+3)與介質(zhì)的某一本征躍遷頻率to發(fā)生共振, 亦即滿足條件to-(2+3)0。 在對(duì)三階極化率張量元素表示式(2.4 - 22)式求和運(yùn)算中, 分別取a、 c等于o、 t, 其中第一、 二項(xiàng)有共振增強(qiáng)貢獻(xiàn), 而第三、 四項(xiàng)在進(jìn)行本征對(duì)易運(yùn)算后, 也有共振增強(qiáng)貢獻(xiàn)。 若將非共振增強(qiáng)項(xiàng)忽略, 經(jīng)過(guò)整理可得(2.5 - 8) 圖 2.5 - 1 由簡(jiǎn)單四能級(jí)系統(tǒng)產(chǎn)生三次諧波

26、圖 2.5 - 2 鈉的能級(jí)圖 2. 三階極化率的雙光子差頻共振增強(qiáng) 現(xiàn)在考慮1、 2和3產(chǎn)生(1-2+3)的四波混頻過(guò)程, 其中兩個(gè)入射光頻率之差正好與介質(zhì)某一本征躍遷頻率發(fā)生共振, 例如to2-3。 此時(shí), 由（2.4 - 22）式出發(fā), 可導(dǎo)出描述該過(guò)程的三階極化率張量元素為 (2.5 - 25) 在實(shí)際的工作中, to常選取為介質(zhì)的喇曼躍遷頻率, 這時(shí)將發(fā)生所謂的喇曼共振增強(qiáng)的四波混頻過(guò)程, 利用（2.5 - 25）式可以描述各種喇曼共振四波混頻過(guò)程。 通常情況下, 均采用兩束不同頻率的單色光入射, 其中一束較強(qiáng)的光稱(chēng)為泵浦光(p), 另一束較弱的光稱(chēng)為信號(hào)光(s), 則可能發(fā)生如下四

27、種效應(yīng): （1） 喇曼增益效應(yīng)。 這種效應(yīng)用(3)(-s, p, -p, s)描述, 其中 ps, 在=p-(p-s)=p-to=s頻率處獲得入射信號(hào)增益, 構(gòu)成喇曼增益光譜術(shù)的基礎(chǔ)。 （2） 反喇曼衰減效應(yīng)。 這種效應(yīng)用(3)(-s,p,s,-p) =(3)(s,-p,-s,p)*描述, 其中sp, 在=p-(p-s)=p+to=s頻率處發(fā)生入射信號(hào)衰減, 成為反喇曼光譜術(shù)的基礎(chǔ)。 （3） 相干斯托克斯光的產(chǎn)生。 這種效應(yīng)用(3)(-(2s-p), s, -p, s)描述, 其中ps, 在=s-(p-s)=s-to頻率處產(chǎn)生空間定向的新斯托克斯頻移光束。 （4） 相干反斯托克斯光的產(chǎn)生。 這

28、種效應(yīng)用(3)(-(2p-s), p, p, -s)= (3)(2p-s), -p, -p, s)*描述, 其中ps, 在=p+(p-s)=p+to頻率處產(chǎn)生空間定向的新反斯托克斯頻移光束, 是相干反斯托克斯喇曼光譜術(shù)的基礎(chǔ)。 2.6 準(zhǔn)單色波的非線性極化 2.6.1 準(zhǔn)單色波光電場(chǎng) 準(zhǔn)單色波是指表觀頻率為0, 振幅包絡(luò)隨時(shí)間慢變化的光波, 其光電場(chǎng)表示式為(2.6 - 1) 式中, 是一個(gè)慢變化的包絡(luò)函數(shù)。 對(duì)線性極化強(qiáng)度來(lái)說(shuō), 也有類(lèi)似的表示式。 將（2.6 - 1）式兩邊進(jìn)行傅里葉變換: 式中, 是包絡(luò)函數(shù) 的傅里葉分量。 對(duì)于上式右邊第一項(xiàng), 令+0, 對(duì)于第二項(xiàng), 令-0, 然后,

29、將積分變量,變換為, 得由此有 (2.6 - 2) 2.6.2 準(zhǔn)單色波的線性極化強(qiáng)度 1. 準(zhǔn)單色波線性極化強(qiáng)度包絡(luò)的表示式 準(zhǔn)單色波線性極化強(qiáng)度表示式為(2.6 - 3) 根據(jù)線性極化強(qiáng)度與光電場(chǎng)關(guān)系的一般表示式 (2.6 - 4) 并將（2.6 - 2）式代入后, 得 (2.6 - 5) 比較（2.6 - ）式和（2.6 - ）式, 可以得到線性強(qiáng)度包絡(luò)函數(shù) 為(2.6 - 6) 2. 絕熱極限 假定光脈沖（準(zhǔn)單色波）的載頻0處在介質(zhì)的透明區(qū)域, 則在0附近的頻率范圍內(nèi), (1)(-,)是頻率的慢變化函數(shù), 可將(1)(-,)圍繞0展成臺(tái)勞（Taylor）級(jí)數(shù), 這樣, （2.6 - 6

30、）式變?yōu)?2.6 - 7) 在這里, (1)(-，)和 具有連續(xù)的高階導(dǎo)數(shù)。 根據(jù)（2.6 - 7）式, 我們可以定義(2.6 - 8) 使得線性極化強(qiáng)度的包絡(luò)函數(shù) 具有如下簡(jiǎn)化形式: (2.6 - 9) 2.6.3 準(zhǔn)單色波的高階極化強(qiáng)度 在這里, 我們討論準(zhǔn)單色波的三階極化強(qiáng)度。 根據(jù)(1.1 - 37)式, 有(2.6 - 18) 如果將(2.6 - 2)式表示的準(zhǔn)單色波光電場(chǎng)的傅里葉分量關(guān)系代入上式, 便得到 (2.6 - 19) 2.6.4 準(zhǔn)單色波載頻0接近共振頻率的極化 上面我們討論了準(zhǔn)單色波與原子系統(tǒng)相互作用的時(shí)間滿足(2.6 - 24) 時(shí), 其極化過(guò)程可以用瞬時(shí)響應(yīng)描述。

31、對(duì)于很短的脈沖（超短脈沖）與共振吸收介質(zhì)相互作用(=0), 脈沖持續(xù)時(shí)間c(1/)時(shí), 上述瞬時(shí)響應(yīng)條件不再成立, 必須考慮因果性原理8。 2.7 帶電粒子可自由移動(dòng)介質(zhì)的極化率 2.7.1 極化率張量的另外一種形式 1. 密度算符的微擾級(jí)數(shù) 如前所述, 帶電粒子系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)行為可以利用在光電場(chǎng)作用下的密度算符(t)的運(yùn)動(dòng)方程來(lái)描述, 其初始條件就是整個(gè)系統(tǒng)在熱平衡情況下的密度算符, 它由(2.1 - 42)式確定。 密度算符運(yùn)動(dòng)方程為(2.7 - 2) 式中, 是運(yùn)動(dòng)的荷電粒子系統(tǒng)在光電場(chǎng)E(t)中的哈密頓算符, 且(2.7- 3) 這里, mj,qj, 分別為第j個(gè)帶電粒子的質(zhì)量、 電荷和

32、動(dòng)量, A是磁矢位, 它是一個(gè)經(jīng)典量。 若定義 (2.7 - 4) 為體積V內(nèi)粒子的無(wú)場(chǎng)電流算符, 則荷電粒子系統(tǒng)在光電場(chǎng)中的微擾能量 為(2.7 - 5) 2. 電流密度表示式 根據(jù)電磁場(chǎng)理論關(guān)系, 電流密度算符可表示為(2.7 - 13) 式中 (2.7 - 14) 因此, 宏觀電流密度為 3. 極化強(qiáng)度表示式 根據(jù)極化強(qiáng)度與電流密度的關(guān)系(2.7 - 23) 可得r階極化強(qiáng)度與r階電流密度的關(guān)系為 (2.7 - 24) 將(2.7 - 22)式的 代入后, 可得 (2.7 - 25) 4. 極化率張量元素表示式 將(2.7 - 26)式與 (2.7 - 28) 進(jìn)行比較, 可以得到第r階

33、極化率張量元素為 (2.7 - 29) 2.7.2 電導(dǎo)率張量表示式 由非線性光學(xué)理論可知, 當(dāng)光電場(chǎng)比較強(qiáng)時(shí), 電流密度與光電場(chǎng)之間的關(guān)系應(yīng)當(dāng)是非線性的, 因而可以將J(t)寫(xiě)成(2.7 - 34) 式中的J(r)(t)與電場(chǎng)強(qiáng)度的r次冪成正比。 與前面討論的極化強(qiáng)度與電場(chǎng)的關(guān)系類(lèi)似, 第r階電流密度分量表示式為(2.7 - 35) 2.8 有效場(chǎng)極化率 2.8.1 有效電場(chǎng)強(qiáng)度 羅侖茲證明12, 在非極性氣體、 液體及立方晶體中, 作用在分子上的有效場(chǎng)強(qiáng)為(2.8 - 1) 達(dá)爾文(Darwin)研究了金屬中自由電子的情況后指出, 作用在電子上的有效場(chǎng)強(qiáng)為(2.8 - 2) 對(duì)于處于上述兩種情況之間的各種介質(zhì)的有效場(chǎng)的計(jì)算, 是個(gè)很復(fù)雜的問(wèn)題。 這里給出一個(gè)經(jīng)驗(yàn)表示形式: 有效場(chǎng)強(qiáng)與宏觀場(chǎng)強(qiáng)的關(guān)系為 (2.8 - 3) 為簡(jiǎn)單起見(jiàn), 取L為一標(biāo)量。 2.8.2 有效場(chǎng)極化率 對(duì)于線性極化強(qiáng)度P(1), 可以分別利用宏觀場(chǎng)和有效場(chǎng)表示, 且有(2.8 - 4) 將該式代入(2.8 - 3)式后, 可以求得宏觀場(chǎng)極化率(1)與有