緝私艇追走私船模型實(shí)驗(yàn)課件

1、2、了解微分方程數(shù)值解思想，掌握兩種簡(jiǎn)單的微分方程數(shù)值解方法。3、學(xué)會(huì)根據(jù)實(shí)際問題建立簡(jiǎn)單微分方程數(shù)學(xué)模型。實(shí)驗(yàn)?zāi)康?、學(xué)會(huì)用MATLAB軟件求解微分方程的初值問題.4、了解計(jì)算機(jī)數(shù)據(jù)仿真、數(shù)據(jù)模擬的基本方法。 實(shí)驗(yàn)十二 緝私艇追趕走私船模型實(shí)驗(yàn)用MATLAB軟件求微分方程解析解、數(shù)值解理論. 編程求解微分方程數(shù)值解. 微分方程模型實(shí)驗(yàn):緝私艇追趕走私船. 實(shí)驗(yàn)內(nèi)容1. 微分方程的解一階常微分方程的初值問題: 用matlab軟件求微分方程的解析解dsolve(equation,condition) %求方程equation在初始條件condition下的解，自變量默認(rèn)為tdsolve(equa

2、tion) %求方程equation的通解%一階導(dǎo)數(shù)用Dy表示，二階導(dǎo)數(shù)用D2y表示， A=dsolve(Dy=5) B=dsolve(Dy=x,x) %求方程的通解，指定自變 量為x C=dsolve(D2y=1+Dy) D=dsolve(D2y=1+Dy,y(0)=1,Dy(0)=0) x,y=dsolve(Dx=y+x, Dy=2*x,x(0)=0, y(0)=1) %解微分方程組例1 (1)dsolve(D2y=exp(x),x)dsolve(D2y=exp(x)dsolve(D2y=exp(x),y(0)=1,Dy(0)=2,x) 微分方程數(shù)值解的計(jì)算 歐拉方法、歐拉兩步法、改進(jìn)的歐

3、拉方法歐拉方法：是一種求解給定初值的常微分方程的一階數(shù)值解方法。對(duì)于方程設(shè)y=y(x)是它的解，則在解y=y(x)的曲線上每一點(diǎn)處的切線的斜率等于f(x,y)在該點(diǎn)處的值。所以，過初始點(diǎn)A0(x0,y0)，做切線與直線x=x1交點(diǎn)的縱坐標(biāo)y1近似代替y=y(x)在x=x1處的函數(shù)值y(x1)，即然后再過點(diǎn)A1(x1,y1)，以f(x1,y1)為斜率做切線，與直線x=x2交點(diǎn)的縱坐標(biāo)y2近似代替y=y(x)在x=x2處的函數(shù)值y(x2)，即A0 x0 x1x2A1A2這樣依次類推得到上述微分方程的解在x=xn+1處函數(shù)值的近似計(jì)算公式，待求的曲線為藍(lán)色，它的折線近似為紅色A0 x0 x1x2x3

4、A1A2A3A4x4特別地，如果節(jié)點(diǎn)之間是等分的，則這就是著名的歐拉(Euler)公式。事實(shí)上，上述公式是用函數(shù)y(x)在xn處的向前差商代替函數(shù)在這點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)，從而將微分方程離散化。同樣，如果用函數(shù)y(x)在xn+1處的向后差商代替導(dǎo)數(shù)值，就得后退的歐拉公式 注意：這兩個(gè)公式雖然具有相同的精度，但也是有區(qū)別的，前者是計(jì)算yn+1的顯示公式，后者是隱式公式。A0 x0 x1x2x3A1A2A3A4x4將上兩式算術(shù)平均即得梯形公式：梯形公式消去了歐拉公式和后退的歐拉公式誤差的主要部分，因此比它們具有更高的精度。這是一個(gè)隱式公式，可采用迭代法求解。通常先用歐拉公式提供一個(gè)yn附近的初始迭代值，然后

5、再用梯形公式做迭代。2）歐拉兩步法用函數(shù)y(x)在xn處的中心差商代替微分方程中的導(dǎo)數(shù)，這就是歐拉兩步法公式。它比歐拉公式、后退的歐拉公式具有更高的精度。3）改進(jìn)的歐拉公式 歐拉公式雖然簡(jiǎn)單，但是誤差較大，并且隨著迭代次數(shù)的增加，誤差越來越大。梯形公式雖然提高了精度，但因其是隱式的，所以計(jì)算麻煩，工作量較大。通常將這兩種方法結(jié)合，得到改進(jìn)的歐拉公式，具體如下：步驟1 先由歐拉公式得到y(tǒng)(xn+1)的一個(gè)初始近似值，稱為預(yù)測(cè)值步驟2 對(duì)預(yù)測(cè)值再用梯形公式校正一次得yn+1，稱為校正值整個(gè)過程（稱預(yù)測(cè)-校正系統(tǒng)）可以表示成這就是改進(jìn)的歐拉公式。當(dāng)然也可以將歐拉兩步法與梯形方法結(jié)合。再解釋：歐拉公式

6、用函數(shù)y(x)在區(qū)間xn,xn+1上的平均斜率代替了曲線在點(diǎn)xn的斜率。得到啟發(fā)：只要對(duì)曲線在區(qū)間xn,xn+1上的平均斜率提供一種算法，就可以得到一種計(jì)算yn+1的公式。如果設(shè)法在區(qū)間內(nèi)多預(yù)測(cè)幾個(gè)點(diǎn)的斜率值，然后將這些點(diǎn)處斜率值的加權(quán)平均值作為曲線在區(qū)間上的平均值，由此構(gòu)造出由yn計(jì)算yn+1的精度更高的計(jì)算公式，這就是龍格-庫塔方法的基本思想。歐拉兩步法用區(qū)間xn,xn+1和區(qū)間xn-1,xn上的平均斜率的算術(shù)平均值代替了曲線在xn的斜率。編程計(jì)算微分方程數(shù)值解例2 已知初值問題（1）用MATLAB軟件求解析解，算出解析解在結(jié)點(diǎn)x=pi:0.1:2*pi處的縱坐標(biāo)；（2）取步長(zhǎng)0.1，用歐

7、拉公式求數(shù)值解；（3）取步長(zhǎng)0.1，用改進(jìn)的歐拉公式求數(shù)值解；（4）比較兩種數(shù)值解和解析解，并畫出數(shù)值解和解析解曲線。解：（1）直接在命令窗執(zhí)行命令dsolve(Dy=3/x*y+x3*(exp(x)+cos(x)-2*x, y(pi)=(exp(pi)+2/pi)*pi3,x)ans= x3*exp(x)+x3*sin(x)+2*x2clc;clf;szy_eu=;y=(exp(pi)+2/pi)*pi3;for x=pi:0.1:2*piy=y+0.1*(3/x*y+x3*(exp(x)+cos(x)-2*x);szy_eu=szy_eu,y;endszy_eu t=pi:0.1:2*pi

8、;f=t.3.*exp(t)+t.3.*sin(t)+2*t.2;plot(t,f,b*-) hold onplot(t,szy_eu,r-,linewidth,2)(2) 取步長(zhǎng)0.1，用歐拉公式求數(shù)值解x=pi:0.1:2*pi;h=0.1; y=(exp(pi)+2/pi)*pi3;szy_imeu=y; for i=1:length(x)-1 jzj=y+h*(3/x(i)*y+x(i)3*(exp(x(i)+cos(x(i)-2*x(i); yy=y+h/2*(3/x(i)*y+x(i)3*(exp(x(i)+cos(x(i)- 2*x(i)+3/x(i+1)*jzj+x(i+1)3

9、*(exp(x(i+1)+cos(x(i+1)-2*x(i+1); szy_imeu=szy_imeu,yy; y=yy; end szy_imeu plot(x,szy_imeu,r-,linewidth,2) f=x.3.*exp(x)+x.3.*sin(x)+2*x.2; hold on plot(x,f,b*-)(3) 取步長(zhǎng)0.1，用改進(jìn)的歐拉公式求數(shù)值解 2. 用MATLAB軟件求微分方程數(shù)值解 MATLAB軟件求常微分方程數(shù)值解的指令有 ode23，ode23t和ode45，分別表示二三階龍格庫塔法，二三階龍格庫塔梯形法和四五階龍格庫塔法。還有其他命令ode113，ode15i，

10、ode15s，ode23s等，讀者可通過help命令查詢。 xb,yb=ode23(fname,xs,xe,sv) 返回結(jié)點(diǎn)處的橫坐標(biāo)xb和縱坐標(biāo)yb。ode23(fname,xs,xe,sv) 其中用單引號(hào)引起的是存儲(chǔ)微分方程的函數(shù)文件名，xs表示自變量的初始值，xe表示自變量的終止值，sv表示迭代初始向量值。該命令執(zhí)行后自動(dòng)畫出微分方程數(shù)值解曲線。最簡(jiǎn)單的使用格式為注意：（1）命令ode求解的是形如y=f(t,y)的微分方程，我們稱它為一階導(dǎo)數(shù)可解出的微分方程。而對(duì)于一階導(dǎo)數(shù)解不出的形如f(t,y,y)=0的微分方程，可以用命令ode15i求解，有興趣的讀者可以用help命令獲得。（2）求

11、解微分問題時(shí)必須為其指定初值，即上面的sv。 （3）ode只能直接求解一階微分方程，高階微分方程必須等價(jià)地轉(zhuǎn)化成一階微分方程組，才能用ode命令求解。比如 y=f(t,y,y,y)， 設(shè)y1=y, y2= y, y3= y ， 那么如上的三階微分方程就可以表示為如下的三個(gè)一階方程組了。 y1=y2 y2=y3 y3=f(t,y1,y2,y3)例3使用格式: fc.mfunction f=fc(x,y)f=2*y+x+2;在MATLAB命令窗中執(zhí)行命令ode23(fc,0,1,1)例4 求解微分方程建立m文件 erjie.mfunction f=erjie(t,y)f=y(2); 1000*(1

12、-y(1)2)*y(2)-y(1);在MATLAB命令窗中執(zhí)行命令t,y=ode15s(erjie,0,3000,2,0)plot(t,y(:,1),-)4. 模型實(shí)驗(yàn): 緝私艇追趕走私船 海上邊防緝私艇發(fā)現(xiàn)距c公里處有一走私船正以勻速a沿直線行駛,緝私艇立即以最大速度b追趕,在雷達(dá)的引導(dǎo)下，緝私艇的方向始終指向走私船。問緝私艇何時(shí)追趕上走私船?并求出緝私艇追趕的路線方程。xyco解 (1) 建立模型走私船初始位在點(diǎn)(0,0)，方向?yàn)閥軸正方向，緝私艇的初始位在點(diǎn)(c,0)，在時(shí)刻t，走私船的位置到達(dá)點(diǎn)R(0,at)，緝私艇的位置到達(dá)D(x,y)可得緝私艇追擊走私船過程的數(shù)學(xué)模型：(2) 模型

13、求解求解析解令：表示追趕時(shí)間。表示走私船跑過的距離。a=0.4;c=3;for b=0.6:0.3:1.2r=a/b;x=0:0.05:c;y=c/2*(1/(r+1)*(x/c).(1+r)-1/(1-r)*(x/c).(1-r)+c*r/(1-r2);plot(x,y,r-,linewidth,2)pausehold onendaxis(0 4 0 3.5)gtext(b=0.6)gtext(b=0.9)gtext(b=1.2)取c=3千米，a=0.4千米/分鐘，分別取b=0.6,0.9,1.2千米/分鐘時(shí)，編程繪制緝私艇追趕路線圖形.定義m文件函數(shù)：function y=zx(t,y)y

14、=0.5*(t/3)0.5-(3/t)0.5); ode23(zx,3,0.0005,0) (3)用MATLAB軟件求數(shù)值解設(shè)c=3千米，a=0.4千米/分鐘，b=0.8千米/分鐘，r=a/b=0.5,用二三階龍格-庫塔算法計(jì)算數(shù)值解:(4) 動(dòng)態(tài)仿真 當(dāng)建立動(dòng)態(tài)系統(tǒng)的微分方程模型很困難時(shí)，可以用計(jì)算機(jī)仿真法對(duì)系統(tǒng)進(jìn)行分析研究。所謂計(jì)算機(jī)仿真就是利用計(jì)算機(jī)對(duì)實(shí)際動(dòng)態(tài)系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)和行為進(jìn)行編程、模擬和計(jì)算，以此來預(yù)測(cè)系統(tǒng)的行為效果。走私船初始位在點(diǎn)(0,0)，方向?yàn)閥軸正方向，緝私艇的初始位在點(diǎn)(c,0)，走私船的位置到達(dá)點(diǎn)緝私艇的位置到達(dá)點(diǎn) 追趕方向可用方向余弦表示為： 時(shí)間步長(zhǎng)緝私艇的位置：

15、則仿真算法： 第二步：計(jì)算動(dòng)點(diǎn)緝私艇D在時(shí)刻 時(shí)的坐標(biāo) 計(jì)算走私船R在時(shí)刻 時(shí)的坐標(biāo) 第一步：設(shè)置時(shí)間步長(zhǎng), 速度a, b及初始位置仿真算法步驟：第三步：計(jì)算緝私艇與走私船這兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)之間的距離： 根據(jù)事先給定的距離，判斷緝私艇是否已經(jīng)追上了走私船，從而判斷退出循環(huán)還是讓時(shí)間產(chǎn)生一個(gè)步長(zhǎng)，返回到第二步繼續(xù)進(jìn)入下一次循環(huán)； 第四步：當(dāng)從上述循環(huán)退出后，由點(diǎn)列 和可分別繪制成兩條曲線即為緝私艇和走私船走過的軌跡曲線。 取c=3千米，a=0.4千米/分鐘，b=0.8千米/分鐘，r=a/b=0.5顯示船與艇行進(jìn)路線程序clc;clear;clf;c=3; a=0.4/60; b=0.8/60;d=0.0

16、1;dt=2;t=0;jstx=c;jsty=0;zscx=0;zscy=0;while (sqrt(jstx-zscx)2+(jsty-zscy)2)d) plot(jstx,jsty,ro,markersize,15); hold on plot(zscx,zscy,b*,markersize,15); pause(0.01) t=t+dt; jstx=jstx-b*dt*jstx/sqrt(jstx2+(a*t-jsty)2); jsty=jsty+b*dt*(a*t-jsty)/sqrt(jstx2+(a*t-jsty)2); zscy=a*t;endfprintf(追上所需時(shí)間t=%.0fn,t);fprintf(緝私艇的位置=(%.5f,%.5f)n,jstx,jsty);fprintf(走私船的位置=(%.5f,%.5f)n,zscx,zscy);結(jié)果分析計(jì)算機(jī)仿真法計(jì)算的結(jié)果依賴于時(shí)間迭代步長(zhǎng)的選取和程序終止條件的設(shè)定，修改終止條件的設(shè)定和減小時(shí)間迭代步長(zhǎng)可以提高計(jì)算精度，減小誤差。