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1、2021-2022高考數(shù)學模擬試卷注意事項:1 答題前,考生先將自己的姓名、準考證號填寫清楚,將條形碼準確粘貼在考生信息條形碼粘貼區(qū)。2選擇題必須使用2B鉛筆填涂;非選擇題必須使用05毫米黑色字跡的簽字筆書寫,字體工整、筆跡清楚。3請按照題號順序在各題目的答題區(qū)域內(nèi)作答,超出答題區(qū)域書寫的答案無效;在草稿紙、試題卷上答題無效。4保持卡面清潔,不要折疊,不要弄破、弄皺,不準使用涂改液、修正帶、刮紙刀。一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個選項中,只有一項是符合題目要求的。1已知復數(shù)在復平面內(nèi)對應的點的坐標為,則下列結論正確的是( )AB復數(shù)的共軛復數(shù)是CD2設,且,

2、則( )ABCD3已知為虛數(shù)單位,復數(shù),則其共軛復數(shù)( )ABCD4如圖,已知平面,、是直線上的兩點,、是平面內(nèi)的兩點,且,是平面上的一動點,且直線,與平面所成角相等,則二面角的余弦值的最小值是( )ABCD5在中,D為的中點,E為上靠近點B的三等分點,且,相交于點P,則( )ABCD6設a=log73,c=30.7,則a,b,c的大小關系是()ABCD7函數(shù)()的圖象的大致形狀是( )ABCD8函數(shù)的大致圖象為ABCD9陀螺是中國民間較早的娛樂工具之一,但陀螺這個名詞,直到明朝劉侗、于奕正合撰的帝京景物略一書中才正式出現(xiàn).如圖所示的網(wǎng)格紙中小正方形的邊長均為1,粗線畫出的是一個陀螺模型的三視

3、圖,則該陀螺模型的表面積為( )ABCD10已知三點A(1,0),B(0, ),C(2,),則ABC外接圓的圓心到原點的距離為()ABCD11羽毛球混合雙打比賽每隊由一男一女兩名運動員組成. 某班級從名男生,和名女生,中各隨機選出兩名,把選出的人隨機分成兩隊進行羽毛球混合雙打比賽,則和兩人組成一隊參加比賽的概率為( )ABCD12已知雙曲線的一個焦點與拋物線的焦點重合,則雙曲線的離心率為( )ABC3D4二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13設為銳角,若,則的值為_14角的頂點在坐標原點,始邊與軸的非負半軸重合,終邊經(jīng)過點,則的值是 15已知函數(shù)的圖象在處的切線斜率為,則_16已

4、知,那么_.三、解答題:共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17(12分)已知橢圓C的中心在坐標原點,其短半軸長為1,一個焦點坐標為,點在橢圓上,點在直線上,且(1)證明:直線與圓相切;(2)設與橢圓的另一個交點為,當?shù)拿娣e最小時,求的長18(12分)高鐵和航空的飛速發(fā)展不僅方便了人們的出行,更帶動了我國經(jīng)濟的巨大發(fā)展.據(jù)統(tǒng) 計,在2018年這一年內(nèi)從 市到市乘坐高鐵或飛機出行的成年人約為萬人次.為了 解乘客出行的滿意度,現(xiàn)從中隨機抽取人次作為樣本,得到下表(單位:人次):滿意度老年人中年人青年人乘坐高鐵乘坐飛機乘坐高鐵乘坐飛機乘坐高鐵乘坐飛機10分(滿意)1212022015分

5、(一般)2362490分(不滿意)106344(1)在樣本中任取個,求這個出行人恰好不是青年人的概率;(2)在2018年從市到市乘坐高鐵的所有成年人中,隨機選取人次,記其中老年人出行的人次為.以頻率作為概率,求的分布列和數(shù)學期望;(3)如果甲將要從市出發(fā)到市,那么根據(jù)表格中的數(shù)據(jù),你建議甲是乘坐高鐵還是飛機? 并說明理由.19(12分)在直角坐標系中,直線的參數(shù)方程是為參數(shù)),曲線的參數(shù)方程是為參數(shù)),以為極點,軸的非負半軸為極軸建立極坐標系(1)求直線和曲線的極坐標方程;(2)已知射線與曲線交于兩點,射線與直線交于點,若的面積為1,求的值和弦長20(12分)在如圖所示的多面體中,平面平面,四

6、邊形是邊長為2的菱形,四邊形為直角梯形,四邊形為平行四邊形,且, ,(1)若分別為,的中點,求證:平面;(2)若,與平面所成角的正弦值,求二面角的余弦值21(12分)已知橢圓 的焦距為,斜率為的直線與橢圓交于兩點,若線段的中點為,且直線的斜率為.(1)求橢圓的方程;(2)若過左焦點斜率為的直線與橢圓交于點為橢圓上一點,且滿足,問:是否為定值?若是,求出此定值,若不是,說明理由.22(10分)如圖,矩形和梯形所在的平面互相垂直,.(1)若為的中點,求證:平面;(2)若,求四棱錐的體積.參考答案一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個選項中,只有一項是符合題目要求的。1

7、D【解析】首先求得,然后根據(jù)復數(shù)乘法運算、共軛復數(shù)、復數(shù)的模、復數(shù)除法運算對選項逐一分析,由此確定正確選項.【詳解】由題意知復數(shù),則,所以A選項不正確;復數(shù)的共軛復數(shù)是,所以B選項不正確;,所以C選項不正確;,所以D選項正確.故選:D【點睛】本小題考查復數(shù)的幾何意義,共軛復數(shù),復數(shù)的模,復數(shù)的乘法和除法運算等基礎知識;考查運算求解能力,推理論證能力,數(shù)形結合思想.2C【解析】將等式變形后,利用二次根式的性質(zhì)判斷出,即可求出的范圍.【詳解】 即故選:C【點睛】此題考查解三角函數(shù)方程,恒等變化后根據(jù)的關系即可求解,屬于簡單題目.3B【解析】先根據(jù)復數(shù)的乘法計算出,然后再根據(jù)共軛復數(shù)的概念直接寫出即

8、可.【詳解】由,所以其共軛復數(shù).故選:B.【點睛】本題考查復數(shù)的乘法運算以及共軛復數(shù)的概念,難度較易.4B【解析】為所求的二面角的平面角,由得出,求出在內(nèi)的軌跡,根據(jù)軌跡的特點求出的最大值對應的余弦值【詳解】,同理為直線與平面所成的角,為直線與平面所成的角,又,在平面內(nèi),以為軸,以的中垂線為軸建立平面直角坐標系則,設,整理可得:在內(nèi)的軌跡為為圓心,以為半徑的上半圓平面平面,為二面角的平面角,當與圓相切時,最大,取得最小值此時故選【點睛】本題主要考查了二面角的平面角及其求法,方法有:定義法、三垂線定理及其逆定理、找公垂面法、射影公式、向量法等,依據(jù)題目選擇方法求出結果5B【解析】設,則,由B,P

9、,D三點共線,C,P,E三點共線,可知,,解得即可得出結果.【詳解】設,則,因為B,P,D三點共線,C,P,E三點共線,所以,所以,.故選:B.【點睛】本題考查了平面向量基本定理和向量共線定理的簡單應用,屬于基礎題.6D【解析】,得解【詳解】,所以,故選D【點睛】比較不同數(shù)的大小,找中間量作比較是一種常見的方法7C【解析】對x分類討論,去掉絕對值,即可作出圖象.【詳解】 故選C【點睛】識圖常用的方法(1)定性分析法:通過對問題進行定性的分析,從而得出圖象的上升(或下降)的趨勢,利用這一特征分析解決問題;(2)定量計算法:通過定量的計算來分析解決問題;(3)函數(shù)模型法:由所提供的圖象特征,聯(lián)想相

10、關函數(shù)模型,利用這一函數(shù)模型來分析解決問題8A【解析】因為,所以函數(shù)是偶函數(shù),排除B、D,又,排除C,故選A9C【解析】根據(jù)三視圖可知,該幾何體是由兩個圓錐和一個圓柱構成,由此計算出陀螺的表面積.【詳解】最上面圓錐的母線長為,底面周長為,側面積為,下面圓錐的母線長為,底面周長為,側面積為,沒被擋住的部分面積為,中間圓柱的側面積為.故表面積為,故選C.【點睛】本小題主要考查中國古代數(shù)學文化,考查三視圖還原為原圖,考查幾何體表面積的計算,屬于基礎題.10B【解析】選B.考點:圓心坐標11B【解析】根據(jù)組合知識,計算出選出的人分成兩隊混合雙打的總數(shù)為,然后計算和分在一組的數(shù)目為,最后簡單計算,可得結

11、果.【詳解】由題可知:分別從3名男生、3名女生中選2人 :將選中2名女生平均分為兩組:將選中2名男生平均分為兩組:則選出的人分成兩隊混合雙打的總數(shù)為:和分在一組的數(shù)目為所以所求的概率為故選:B【點睛】本題考查排列組合的綜合應用,對平均分組的問題要掌握公式,比如:平均分成組,則要除以,即,審清題意,細心計算,考驗分析能力,屬中檔題.12A【解析】根據(jù)題意,由拋物線的方程可得其焦點坐標,由此可得雙曲線的焦點坐標,由雙曲線的幾何性質(zhì)可得,解可得,由離心率公式計算可得答案【詳解】根據(jù)題意,拋物線的焦點為,則雙曲線的焦點也為,即,則有,解可得,雙曲線的離心率.故選:A【點睛】本題主要考查雙曲線、拋物線的

12、標準方程,關鍵是求出拋物線焦點的坐標,意在考查學生對這些知識的理解掌握水平二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13【解析】為銳角,故.14【解析】試題分析:由三角函數(shù)定義知,又由誘導公式知,所以答案應填:考點:1、三角函數(shù)定義;2、誘導公式15【解析】先對函數(shù)f(x)求導,再根據(jù)圖象在(0,f(0)處切線的斜率為4,得f(0)4,由此可求a的值.【詳解】由函數(shù)得,函數(shù)f(x)的圖象在(0,f(0)處切線的斜率為4,.故答案為4【點睛】本題考查了根據(jù)曲線上在某點切線方程的斜率求參數(shù)的問題,屬于基礎題16【解析】由已知利用誘導公式可求,進而根據(jù)同角三角函數(shù)基本關系即可求解.【詳解】,.

13、故答案為:.【點睛】本小題主要考查誘導公式、同角三角函數(shù)的基本關系式,屬于基礎題.三、解答題:共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17(1)見解析; (2).【解析】(1)分斜率為0,斜率不存在,斜率不為0三種情況討論,設的方程為,可求解得到,可得到的距離為1,即得證;(2)表示的面積為,利用均值不等式,即得解.【詳解】(1)由題意,橢圓的焦點在x軸上,且,所以所以橢圓的方程為由點在直線上,且知的斜率必定存在,當?shù)男甭蕿?時,于是,到的距離為1,直線與圓相切當?shù)男甭什粸?時,設的方程為,與聯(lián)立得,所以,從而而,故的方程為,而在上,故,從而,于是此時,到的距離為1,直線與圓相切綜上

14、,直線與圓相切(2)由(1)知,的面積為,上式中,當且僅當?shù)忍柍闪ⅲ悦娣e的最小值為1此時,點在橢圓的長軸端點,為不妨設為長軸左端點,則直線的方程為,代入橢圓的方程解得,即,所以【點睛】本題考查了直線和橢圓綜合,考查了直線和圓的位置關系判斷,面積的最值問題,考查了學生綜合分析,數(shù)學運算能力,屬于較難題.18(1)(2)分布列見解析,數(shù)學期望(3)建議甲乘坐高鐵從市到市.見解析【解析】(1)根據(jù)分層抽樣的特征可以得知,樣本中出行的老年人、中年人、青年人人次分別為,即可按照古典概型的概率計算公式計算得出;(2)依題意可知服從二項分布,先計算出隨機選取人次,此人為老年人概率是,所以,即,即可求出的

15、分布列和數(shù)學期望;(3)可以計算滿意度均值來比較乘坐高鐵還是飛機【詳解】(1)設事件:“在樣本中任取個,這個出行人恰好不是青年人”為, 由表可得:樣本中出行的老年人、中年人、青年人人次分別為,所以在樣本中任取個,這個出行人恰好不是青年人的概率(2)由題意,的所有可能取值為: 因為在2018年從市到市乘坐高鐵的所有成年人中,隨機選取人次,此人為老年人概率是,所以, ,所以隨機變量的分布列為: 故 (3)答案不唯一,言之有理即可 如可以從滿意度的均值來分析問題,參考答案如下:由表可知,乘坐高鐵的人滿意度均值為:乘坐飛機的人滿意度均值為:因為, 所以建議甲乘坐高鐵從市到市【點睛】本題主要考查了分層抽

16、樣的應用、古典概型的概率計算、以及離散型隨機變量的分布列和期望的計算,解題關鍵是對題意的理解,概率類型的判斷,屬于中檔題19(1),;(2) .【解析】(1)先把直線和曲線的參數(shù)方程化成普通方程,再化成極坐標方程; (2)聯(lián)立極坐標方程,根據(jù)極徑的幾何意義可得,再由面積可解得極角,從而可得【詳解】(1)直線的參數(shù)方程是為參數(shù)),消去參數(shù)得直角坐標方程為:轉換為極坐標方程為:,即曲線的參數(shù)方程是(為參數(shù)),轉換為直角坐標方程為:, 化為一般式得化為極坐標方程為: (2)由于,得,所以,所以,由于,所以,所以【點睛】本題主要考查參數(shù)方程與普通方程的互化、直角坐標方程與極坐標方程的互化,熟記公式即可

17、,屬于常考題型.20 (1)見解析(2) 【解析】試題分析:(1)第(1)問,轉化成證明平面 ,再轉化成證明和.(2)第(2)問,先利用幾何法找到與平面所成角,再根據(jù)與平面所成角的正弦值為求出再建立空間直角坐標系,求出二面角的余弦值.試題解析:(1)連接,因為四邊形為菱形,所以.因為平面平面,平面平面,平面,所以平面.又平面,所以.因為,所以.因為,所以平面.因為分別為,的中點,所以,所以平面(2)設,由(1)得平面.由,得,.過點作,與的延長線交于點,取的中點,連接,如圖所示,又,所以為等邊三角形,所以,又平面平面,平面平面,平面,故平面.因為為平行四邊形,所以,所以平面.又因為,所以平面.

18、因為,所以平面平面.由(1),得平面,所以平面,所以.因為,所以平面,所以是與平面所成角.因為,所以平面,平面,因為,所以平面平面.所以,解得.在梯形中,易證,分別以,的正方向為軸,軸,軸的正方向建立空間直角坐標系.則,由,及,得,所以,.設平面的一個法向量為,由得令,得m=(3,1,2) 設平面的一個法向量為,由得令,得.所以又因為二面角是鈍角,所以二面角的余弦值是.21 (1) .(2) 為定值.過程見解析.【解析】分析:(1)焦距說明,用點差法可得.這樣可解得,得橢圓方程;(2)若,這種特殊情形可直接求得,在時,直線方程為,設,把直線方程代入橢圓方程,后可得,然后由紡長公式計算出弦長,同時直線方程為,代入橢圓方程可得點坐標,從而計算出,最后計算即可.詳解:(1)由題意可知,設,代入橢圓可得:,兩式相減并整理可得,即. 又因為,代入上式可得,.又,所以, 故橢圓的方程為. (2)由題意可知,當為長軸時,為短半軸,此時; 否則,可設直線的方程為,聯(lián)立,消可得, 則有:, 所以設直線方程為,聯(lián)立,根據(jù)對稱性,不妨得

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