專題從古典概率論到現(xiàn)代概率論

1、專題7 從古典概率論到現(xiàn)代概率論教育碩士 林清峰1參考文獻(xiàn)：1.（美）H.伊夫斯，數(shù)學(xué)史概論，歐陽絳譯，山西人民出版社，19862.（美）H.伊夫斯，數(shù)學(xué)史上的里程碑，歐陽絳等譯，上?？茖W(xué)技術(shù)出版社，19903吳文俊主編，世界著名數(shù)學(xué)家傳記（上下集），科學(xué)出版社，1995，20034.（美）E.T.貝爾，數(shù)學(xué)精英，徐源譯，商務(wù)印書館，19915.（美）M.克萊因，西方文化中的數(shù)學(xué)（1953），張祖貴譯，復(fù)旦大學(xué)出版社，20046張堯庭，概率概念的發(fā)展和爭論 以及它對實踐的指導(dǎo)意義，鄧東皋等編數(shù)學(xué)與文化，北京大學(xué)出版社，19907柳延延，概率與決定論，上海社會科學(xué)院出版社，19968.（美）J.

2、L.福爾克斯，統(tǒng)計思想，魏宗舒、呂乃剛譯，上海翻譯出版公司，19879.（美）C.R.勞，統(tǒng)計與真理怎樣運用偶然性，科學(xué)出版社，200410高慶豐，歐美統(tǒng)計學(xué)史，中國統(tǒng)計出版社，198711周述岐，數(shù)學(xué)思想史和數(shù)學(xué)哲學(xué)，中國人民大學(xué)出版社，19932一、前史概率論的醞釀（16世紀(jì)前后的兩百余年間） 概率的數(shù)學(xué)理論是由于研究一些有關(guān)機(jī)遇現(xiàn)象而產(chǎn)生的，典型的例子是賭博、游戲中的問題。在公元前2000年的埃及古墓中，已有正立方體的骰子，在古代的游戲與賭博活動中就有概率思想的雛形。但概率論作為一門學(xué)科，則醞釀于16世紀(jì)前后的兩百余年間。它產(chǎn)生的原因雖然是多方面的，但主要是由于當(dāng)時保險業(yè)的產(chǎn)生與發(fā)展以及

3、賭博業(yè)的盛行。3在這一時期，相當(dāng)多的數(shù)學(xué)家對賭博中的問題產(chǎn)生濃厚的興趣，其中以帕喬利、卡爾達(dá)諾為代表。4帕喬利 (L.Pacioli ，約14451517，意大利） 1494年 算術(shù)，幾何，比及比例全書賭博中斷問題：兩個賭徒相約賭若干局，雙方各拿出相同數(shù)量的賭金，誰先勝 s局誰就贏得全部賭金。但是，當(dāng)一個賭徒勝 a局（a s），另一個勝 b局（b s）時，賭博因故中斷，問應(yīng)該如何分配賭金。 5卡爾達(dá)諾 (G.Cardano ，15011576，意大利)。 賭博之書 (1539，出版于 1663)： 對賭博中斷問題的繼續(xù)討論； 點問題：擲兩顆或三顆骰子時在一切可能的方法中有多少種方法得到某一總點

4、數(shù) ； 大數(shù)定律的雛形：在拋擲硬幣的試驗中，每次出現(xiàn)正面或反面雖屬偶然，但在大量重復(fù)試驗中，出現(xiàn)正面（對稱地，出現(xiàn)反面)的頻率卻必然地接近于定數(shù) 12 ； 在 n次獨立事件中，如果事件本身的概率是 p，那么它連續(xù)發(fā)生 n次的概率是p的n次方 6二、概率論的創(chuàng)立與發(fā)展古典概率論/組合概率時期（1718世紀(jì)）從17世紀(jì)中期概率論的產(chǎn)生到18世紀(jì)末，約一個半世紀(jì)的時間里，概率論主要以計算各種古典概率問題為中心發(fā)展著，因而將其稱為古典概率時期；由于這個時期的概率論主要以組合論為工具，所以也稱為組合概率時期。 7這一時期的代表人物有：帕斯卡、費爾馬、惠更斯、雅各伯努利、德莫弗爾、貝葉斯8帕斯卡（B.Pa

5、scal，16231662，法國）費爾馬（P.de Fermat ，16011665，法國） 二人關(guān)于賭博中斷問題研究的通信，不僅有關(guān)于這個問題的不同解法，還從對一些特殊問題的解答中歸納出了一批范圍廣泛的結(jié)論，并且在一定程度上揭示了一般方法，這些工作標(biāo)志著作為一門數(shù)學(xué)分支的概率論的誕生。9惠更斯 (C.Huygens ，16291695，荷蘭) 論賭博中的推理(1657) 第一篇關(guān)于概率論的正式論文 數(shù)學(xué)期望：如果 p表示一個人獲得一定金額 s的概率，則 sp 稱為他的數(shù)學(xué)期望。 10雅各伯努利（Jacob Bernoulli ，16541705，瑞士） 猜度術(shù)（出版于1713年）“把概率論建

6、立在穩(wěn)固數(shù)學(xué)基礎(chǔ)上的首次認(rèn)真的嘗試” ：關(guān)于惠更斯論賭博中的推理的一個精彩評注 對排列組合理論的深入研究 將排列組合理論運用于概率論 概率論在法律和經(jīng)濟(jì)等問題上的應(yīng)用 伯努利大數(shù)定律 (大數(shù)定律的最早形式)，這是占據(jù)猜度術(shù)全書中心位置的結(jié)果，被稱為“主命題”，是概率論中的第一個極限定理。雅各伯努利考慮的是最簡單的情形，即在整個試驗序列中，某個給定事件出現(xiàn)的概率始終保持為常數(shù) 11德莫弗爾 (De Moivre，16671754，法國) 論抽簽的原理(1711年發(fā)表于哲學(xué)學(xué)報) ；機(jī)會論(1718，1738，1756)：在對持續(xù)賭博問題的研究上取得了明顯的進(jìn)步，給出了較清晰的組合公式，使用了不同

7、的方程，用循環(huán)序列來解決問題，并且在用正態(tài)逼近來說明問題時使用了函數(shù)，成為拉普拉斯用分析方法研究概率論的先導(dǎo)。；分析雜論 (1730) ：正態(tài)分布 12貝葉斯 (Thomas Bayes，17021761) 1763 An essay towards solving a problem in the doctrine of chances ： 將概率的概念和推理的方法、公式，擴(kuò)展和提高為處理一般科學(xué)問題的原理 ； 給出了著名的貝葉斯公式 ； 提出了貝葉斯假設(shè) 13在書中貝葉斯給出了概率的定義： “任一事件的概率是這樣的比值：一個是由于這一事件發(fā)生應(yīng)計算的期望的值，一個是會發(fā)生的事情的相應(yīng)的值。

8、機(jī)會（chance）我認(rèn)為就是概率。”14幾個重要的問題逆概率（inverse probability）彼得堡悖論 Bernoulli-Euler 關(guān)于裝錯信封的問題 秘書問題 布豐（Buffon）投針問題（1777） 15今天看來，概率論最初考慮的問題，其樣本空間 (這一概念是德國數(shù)學(xué)家馮米澤斯 (von Misses)于1931年提出的。) 都是由有限個元素構(gòu)成的。隨著概率論的發(fā)展，這種樣本空間的局限性越來越明顯。把等可能性思想發(fā)展到包含無窮多個元素的樣本空間，就產(chǎn)生了幾何概率。將概率的古典定義與幾何定義稍作比較就會發(fā)現(xiàn)，在古典定義里，只有不可能事件的概率才是，而在幾何定義中，概率的事件未

9、必是不可能的 16三、概率論的發(fā)展分析概率論（18世紀(jì)末19世紀(jì)末）從18世紀(jì)末到19世紀(jì)末的約一個世紀(jì)的時間里，在概率論的研究中引入了母函數(shù)與特征函數(shù)的概念，并逐漸引進(jìn)了已經(jīng)成熟的分析工具，特別是高斯和拉普拉斯等人建立的關(guān)于“正態(tài)分布”以及“最小二乘法”的理論對于用概率論研究天文觀測、大地測量和物理觀測的結(jié)果起了重大作用，使概率論的發(fā)展進(jìn)入了一個新的時期分析概率時期。 17這一時期代表人物有：高斯 、拉普拉斯 、泊松 、俄國彼得堡學(xué)派（切比雪夫 、馬爾科夫 、李雅普諾夫 ）等人18高斯 (Gauss，1777-1855) 最小二乘法的誤差理論的基礎(chǔ)： 對觀測天體及進(jìn)行大地測量時的誤差問題進(jìn)行

10、了研究，導(dǎo)出了誤差函數(shù)。設(shè)誤差為 X，則誤差的分布就是今天所說的正態(tài)分布。因此，后人又稱正態(tài)分布為高斯分布 19拉普拉斯 (Laplace，17491827 ） 概率的分析理論（1812）： 對概率論早期成果的系統(tǒng)總結(jié)；首次明確給出了概率的古典定義；在概率論中引入了差分方程、母函數(shù)等強(qiáng)有力的分析工具，從而實現(xiàn)了概率論由單純的組合計算到分析方法的過渡。20概率的古典定義：在某組條件 (S)下進(jìn)行試驗，一共有 N個兩兩互不相容而等可能的結(jié)果 (基本事件）發(fā)生，其中 M個是適合事件 A的結(jié)果，那么 A的 古典概率是 P(A) MN . 這個定義實際上是把概率概念化為事件的等可能性，而把計算概率的問題

11、歸結(jié)為組合問題。雖然直到拉普拉斯才明確給出了這個定義，但可以認(rèn)為，早在概率論的初創(chuàng)階段其基本思想已經(jīng)以某種形式為人們所默認(rèn)。21從概率論的初創(chuàng)階段直到19世紀(jì)，“等可能性”一直是一個基本而核心的概念，它指的是每個簡單事件具有相同的概率。人們對這一性質(zhì)的認(rèn)識經(jīng)歷了相當(dāng)曲折的過程，最終用概率測度概念取代了它。 22概率的古典定義有著不可克服的缺點，首先，“等可能性”并不總是容易判斷的；其次，當(dāng)基本事件的總數(shù)不是有限的時，古典定義也無法適用。為了克服第二個缺點，18世紀(jì)時引入了概率的幾何定義，但這一定義仍然依賴于等可能性，從而不能克服第一個缺點。 23泊松 (Poisson，17811840) 關(guān)于

12、刑事案件和民事案件審判概率的研究 (1837) 引入泊松分布推廣大數(shù)定律24彼得堡學(xué)派（切比雪夫 、馬爾科夫 、李雅普諾夫 ）切比雪夫 (Tschebyscheff ，1821-1894）：在一系列研究中切比雪夫首先引入并提倡使用的隨機(jī)變量概念，后來成為概率論與數(shù)理統(tǒng)計中最重要的概念。建立了切比雪夫不等式，證明了泊松形式大數(shù)定律，建立了有關(guān)獨立隨機(jī)變量序列的大數(shù)定律并對隨機(jī)變量和收斂到正態(tài)分布的條件，即中心極限定理進(jìn)行討論。 25馬爾科夫 (Markov，18561922) ：致力于獨立隨機(jī)變量和古典極值理論的研究，從而改進(jìn)和完善了大數(shù)定律和中心極限定理 ，對相依隨機(jī)變量序列的研究，創(chuàng)立了以他

13、命名的著名的概率模型 馬爾科夫鏈。李雅普諾夫 (A.Liapounoff，18571918)利用特征函數(shù)方法，對一類相當(dāng)廣泛的獨立隨機(jī)變量序列證明了中心極限定理。他還利用這一定理第一次科學(xué)地解釋了實際中遇到的許多隨機(jī)變量近似地服從正態(tài)分布。 26貝特朗 (Bertrand) 悖論 (1889) 在圓內(nèi)任作一弦，求其長度超過圓內(nèi)接正三角形邊長的概率 ，按不同的解法可得1/2、1/3、1/4。其所以產(chǎn)生悖論，是由于在這一問題中未給出“任意作一弦”這個概念明確的定義。最本質(zhì)的，是對“等可能性”的概念的不同規(guī)定，從而造成了計算結(jié)果的不同。實際上，當(dāng)一個隨機(jī)試驗有無窮多個可能的結(jié)果時，有時很難客觀地規(guī)定

14、“等可能”這一直觀概念。 27 拉普拉斯建立的古典概率理論的邏輯基礎(chǔ)十分脆弱，對于事件的概率定義及運算都要用到“等可能性”概念，而在一個具體問題上還需要考察有多少等可能的情形。貝特朗悖論的出現(xiàn)表明了直觀的、經(jīng)驗性的概率概念的本質(zhì)缺陷，對建立概率論的嚴(yán)密邏輯基礎(chǔ)提出了要求。28四、概率論的公理化現(xiàn)代概率時期（20世紀(jì)） 拉普拉斯 (Laplace ) 所給出的古典先驗概率定義雖然在整個19世紀(jì)被廣泛接受，但是由于他未能進(jìn)一步探討這一理論及其應(yīng)用的基礎(chǔ)從而缺少數(shù)學(xué)的嚴(yán)密性，所以1920年以前的概率論從整體上看是相當(dāng)混亂的，甚至象龐加萊（Poincare) 和波萊爾 (Emile Borel，187

15、11956）這樣的大數(shù)學(xué)家也沒能在令人滿意的基礎(chǔ)上給出相應(yīng)的嚴(yán)密理論。 29 1917年，.伯恩斯坦提出了概率論的第一個公理化體系。* 30主觀學(xué)派英國經(jīng)濟(jì)學(xué)家、數(shù)學(xué)家凱恩斯 (J.M.Keynes) ：概率論（完成于1911年，出版于1921年)英國的萊姆賽 (F.Ramsey，1926) 意大利的菲納特(B.De Finnetti，1937) 賽維奇 (L.J.Savage，1954) 31主觀學(xué)派主觀學(xué)派的人認(rèn)為，貝葉斯陳述概率是兩個數(shù)之比的說法，只是告訴人們應(yīng)該去猜測，重點不是他猜測的是多少。主觀學(xué)派認(rèn)為猜測不是隨便亂說，一個人的猜測一定要前后一致，不能自相矛盾 。從凱恩斯起，對主觀概

16、率提出了幾種公理體系，但沒有一種堪稱權(quán)威。也許，主觀概率的最大影響不在概率論自身，而在于數(shù)理統(tǒng)計學(xué)近年來出現(xiàn)的貝葉斯統(tǒng)計學(xué)派 32頻率理論學(xué)派（統(tǒng)計學(xué)派）德國數(shù)學(xué)家馮米澤斯 (von Mises ) ：1919年，運用公理方法給出了在統(tǒng)計頻率比的性質(zhì)的基礎(chǔ)上的概率定義 ； 1928年，在概率，統(tǒng)計和真理一書中建立了頻率的極限理論。 1931年，提出了樣本空間的概念。這個概念使得有可能把概率的嚴(yán)格的數(shù)學(xué)理論建立在測度論的基礎(chǔ)上。 33頻率理論學(xué)派（統(tǒng)計學(xué)派）德國哲學(xué)家賴欣巴赫 (Hans Reichenbach，18911953） ：1935年發(fā)表在專著概率論，試圖建立概率理論的令人滿意的公理體系；是為概率的頻率解釋作辯護(hù) 3420世紀(jì)初 ， 勒貝格 (Lebesgue)創(chuàng)立的測度論和積分論以及隨后發(fā)展起來的抽象測度和積分理論為概率論的公理化發(fā)展提供了新的手段。 35柯爾莫哥洛夫 (Kolmogoroff ，1903-1987，前蘇聯(lián)） 1929 一般測度論和概率計算以測度論和實變函數(shù)論為基礎(chǔ)對概率論公理作了初步論述 ；1933 概率論的基本概念提出了概率論的公理化結(jié)構(gòu)，明確了概率的定義和概率論的基本概念 36柯爾莫哥洛夫的方法是從概率的一些主要性質(zhì)入手，這些性質(zhì)無論是建立在古典的定義上還是建立在統(tǒng)計的定義上都有效 ，他不僅開始了把概率論發(fā)展成為一門數(shù)學(xué)科學(xué)的新階段，而且對