協(xié)會資源數(shù)模matlab課件matlab4符號計(jì)算

1、第四講 MATLAB 符號計(jì)算MATLAB 不僅具有數(shù)值運(yùn)算功能，還開發(fā)了實(shí)現(xiàn)符號計(jì)算的工具包Symbolic Math Toolbox本章要點(diǎn)符號計(jì)算可以獲得比數(shù)值計(jì)算更一般的結(jié)果。符號計(jì)算是 MATLAB 的重要組成部分。本章具體包括以下內(nèi)容：符號計(jì)算基礎(chǔ)符號矩陣符號微積分級數(shù)的符號求和代數(shù)方程和微分方程的符號求解一、符號計(jì)算基礎(chǔ)MATLAB 提供了一種符號數(shù)據(jù)類型，相應(yīng)的運(yùn)算對象稱為符號對象。例如，符號常量、符號變量以及有它們參與的數(shù)學(xué)表達(dá)式等。1 符號對象MATLAB 中用 sym 和 syms 來建立符號對象。sym 函數(shù)用來建立單個符號量，調(diào)用格式為：符號量名 sym(符號字符串)

2、【例】：符號變量與數(shù)值變量的區(qū)別a = sym(a); b = sym(b); c = a*a + b*b c = a2+b2 x = 4; y = 3; z = x*x + y*yz = 25【例】：符號常量與數(shù)值常量的區(qū)別 spi = sym(pi); npi = pi; sin(spi/3)ans =1/2*3(1/2) sin(npi/3)ans = 0.8660syms 命令sym 函數(shù)一次只能定義一個符號變量syms 函數(shù)一次可以定義多個符號變量【例】：用 syms 定義 4 個符號變量 a、b、c、dsyms a b c d上面的語句等價于：a = sym(a); b = sym

3、(b); c = sym(c); d = sym(d); 符號表達(dá)式含有符號對象的表達(dá)式稱為符號表達(dá)式。【例】：用 sym 函數(shù)建立符號表達(dá)式 s = sym(x2+sin(y)s = x2+sin(y)【例】：用已定義的符號變量組成符號表達(dá)式 x = sym(x); w = 2*x2 - s w = x2-sin(y)符號表達(dá)式的四則運(yùn)算MATLAB 的符號表達(dá)式的四則運(yùn)算指令，形式上和數(shù)值計(jì)算的雙精度數(shù)的運(yùn)算完全相同。即用 、*、.*、/、./、. 分別代表通常的加、減、乘、點(diǎn)乘、左除、左點(diǎn)除、右除以及右點(diǎn)除等運(yùn)算?！纠浚核膭t運(yùn)算 x = sym(x); f = 2*x2 / (5*x)

4、 f = 2/5*x因式分解和展開MATLAB 提供了符號表達(dá)式的因式分解與展開的函數(shù)，函數(shù)調(diào)用格式為： factor(s)： 對符號表達(dá)式 s 分解因式 expand(s)： 對符號表達(dá)式 s 進(jìn)行展開 collect(s)： 對符號表達(dá)式 s 合并同類項(xiàng) collect(s,v)： 對符號表達(dá)式 s 按變量 v 合并同類項(xiàng) 【例】 ：因式分解與展開 syms a b x y A=a3-b3； factor(A) % 因式分解ans = (a-b)*(a2+a*b+b2) s = (- 6 * x2 - 8 * y2) * (- x2 + 3 * y2); expand(s) % 展開ans

5、 = 6*x4-10*x2*y2-24*y4 factor(sym(180) % 分解因式ans = (2)2*(3)2*(5)符號表達(dá)式的化簡MATLAB 提供的對符號表達(dá)式化簡的函數(shù)有： simplify(s)：應(yīng)用函數(shù)規(guī)則對 s 進(jìn)行化簡 simple(s)： 調(diào)用其他函數(shù)進(jìn)行綜合化簡【例】 ：利用 simplify 化簡函數(shù) s = sym(cos(x)2+sin(x)2); simplify(s) ans = 1【例】 ：利用 simple 化簡函數(shù) s = sym(cos(x)2-sin(x)2); simple(s) simplify: 2*cos(x)2-1radsimp: c

6、os(x)2-sin(x)2factor: (cos(x)-sin(x)*(cos(x)+sin(x)combine: cos(2*x)mwcos2sin: 1-2*sin(x)2ans = cos(2*x)符號表達(dá)式與數(shù)值表達(dá)式的轉(zhuǎn)換利用函數(shù) sym 可以將數(shù)值表達(dá)式轉(zhuǎn)換為符號表達(dá)式。【例】 ： sym(1.5)ans = 3/2 利用函數(shù) eval 可以將符號表達(dá)式轉(zhuǎn)換為數(shù)值表達(dá)式?！纠?： phi = sym(1+sqrt(5)/2); eval(phi)ans = 1.6180符號表達(dá)式中變量的確定利用函數(shù) findsym 可以查找符號表達(dá)式中的變量。格式為：findsym(s,n)

7、 返回符號表達(dá)式 s 中離 x 最近的前 n 個符號變量?！纠?： s = sym(a+b+c); findsym(s,2)ans = c,b w = sym(x2+sin(y)-z) findsym(w,1)ans = x二、符號矩陣符號矩陣也是一種符號表達(dá)式，所以前面介紹的符號表達(dá)式運(yùn)算都可以在矩陣意義下運(yùn)行。1. 符號矩陣的創(chuàng)建【例】 ：A = sym(a , 2*b ; 3*a , 0)A = a, 2*b 3*a, 0注意：符號矩陣的每一行的兩端都有方括號，這是與 MATLAB 字符串矩陣的 一個重要區(qū)別。2 符號矩陣的基本運(yùn)算MATLAB 的符號矩陣的四則運(yùn)算指令，形式上和數(shù)值計(jì)

8、算的雙精度數(shù)的運(yùn)算完全相同。即用 、*、.*、/、./、. 分別代表通常的加、減、乘、點(diǎn)乘、左除、左點(diǎn)除、右除以及右點(diǎn)除等運(yùn)算。【例】：符號矩陣四則運(yùn)算A = sym(a b; c d) A = a, b c, d B = sym(a+b a-b; c+d c-d) B = a+b, a-b c+d, c-d A+B ans = 2*a+b, a 2*c+d, c【例】：符號矩陣四則運(yùn)算 B/A ans = -(-a*d+a*c-b*d-b*c)/(a*d-b*c), (a2-2*a*b-b2)/(a*d-b*c) -(-2*c*d+c2-d2)/(a*d-b*c), (-a*d+a*c-b*

9、d-b*c)/(a*d-b*c) B./A ans = (a+b)/a, (a-b)/b (c+d)/c, (c-d)/d 【例】：符號矩陣的冪 A2 ans = a2+b*c, a*b+b*d a*c+c*d, b*c+d2 A.2 ans = a2, b2 c2, d2符號矩陣的線性代數(shù)運(yùn)算和數(shù)值矩陣一樣，符號矩陣也可以進(jìn)行矩陣的線性代數(shù)運(yùn)算，例如，求一個符號矩陣的行列式的值、求逆、求方陣的特征值和特征向量等?！纠浚悍柧仃嚨木€性代數(shù)運(yùn)算 H = hilb(2)H = 1.0000 0.5000 0.5000 0.3333 H = sym(H)H = 1, 1/2 1/2, 1/3 in

10、v(H) ans = 4, -6 -6, 12 det(H) ans = 1/12【例】：當(dāng) a 取何值時，方程組 有非零解。 syms a A = 1-a -2 4; 2, 3-a 1; 1 1 1-a A = 1-a, -2, 4 2, 3-a, 1 1, 1, 1-a D = det(A); factor(D) ans = -a*(a-2)*(-3+a)所以a = 0、2、3 時，方程組有非零解。練習(xí) 11. 已知 x = 6, y = 5, 利用符號表達(dá)式求2. 分解因式: (a) (b) 22003. 化簡表達(dá)式: (a) (b)4. 已知 完成下列運(yùn)算:(1) (2) 計(jì)算 B 的

11、逆矩陣并驗(yàn)證結(jié)果(3) 取出包括 B 的主對角線元素的下三角陣作為 L(4) 計(jì)算 B 的行列式值三、符號函數(shù)及其應(yīng)用本節(jié)我們介紹幾個常用的符號函數(shù)：limit 求極限diff 求導(dǎo)數(shù)int 求積分symsum 級數(shù)求和taylor Taylor 展開符號函數(shù)的極限limit 用于求函數(shù)極限，其調(diào)用格式如下：limit(f,x,a)：求符號函數(shù) f(x) 的極限值 limit(f,a)： 按 findsym 函數(shù)指示的默認(rèn)變量求極限。limit(f)： 系統(tǒng)默認(rèn) a = 0，即變量趨于 0。limit(f,x,a, right)： 求右側(cè)極限 limit(f,x,a, left)： 求左側(cè)極限

12、【例】：求極限(1). (2). f = sym(sin(a+x) - sin(a-x)/x); limit(f)ans = 2*cos(a) syms x f = sym(x*(sqrt(x2 +1) - x); limit(f,x,inf,left) ans = 1/2符號函數(shù)求導(dǎo)diff 函數(shù)用于對符號表達(dá)式求導(dǎo)數(shù)，其調(diào)用格式如下：diff(f)：按 findsym 函數(shù)指示的默認(rèn)變量對 f 求一階導(dǎo)數(shù)。diff(f,v)：以 v 為自變量，對 f 求一階導(dǎo)數(shù) 。diff(f,n)：按默認(rèn)變量對 f 求 n 階導(dǎo)數(shù)。diff(f,v,n)：以 v 為自變量，對 f 求 n 階導(dǎo)數(shù)。 【例

13、】：設(shè) y = xcos(x)，求 y 、y 。 syms x y = x*cos(x)； diff(y) ans = cos(x)-x*sin(x) diff(y,2) ans = -2*sin(x)-x*cos(x)【例】：在曲線 y = x3 + 3x -2 哪一點(diǎn)的切線與直線 y = 4x -1 平行。依題意，即求曲線哪一點(diǎn)的導(dǎo)數(shù)值為 4。命令如下： y = sym(x3+3*x-2); f = diff(y); g = f - 4; solve(g) ans = 1/3*3(1/2) -1/3*3(1/2)符號積分int 函數(shù)用于求符號函數(shù)的積分，調(diào)用格式如下：int(f)：按 fi

14、ndsym 函數(shù)指示的默認(rèn)變量對 f 求不定積分。int(f,v)：以 v 為自變量，對 f 求不定積分 。int(f,v,a,b)：求被積函數(shù) f 在區(qū)間 a, b 上的定積分。【例】：求下列不定積分(1) (2) syms x t f = (3-x2)3; int(f) ans = 27*x-1/7*x7+9/5*x5-9*x3 g = 5*x*t/(1+x2); int(g,t) ans = 5/2*x*t2/(x2+1)【例】：求下列定積分(1) (2) x = sym(x); int(abs(1-x),1,2)ans = 1/2 f = 1/(1+x2); int(f,-inf,in

15、f) ans = pi練習(xí) 21. 用符號方法求下列極限或?qū)?shù)(1) (2)(3) , 求 y， y2. 用符號方法求下列積分(1) (2) (3)級數(shù)symsum 函數(shù)用于求無窮級數(shù)的和，調(diào)用格式為：symsum(S,v,a,b)，其中 S 表示級數(shù)通項(xiàng)，是一個符號表達(dá)式 v 是求和變量 a 和 b 是求和的首項(xiàng)和末項(xiàng)?！纠浚呵笙铝屑墧?shù)的和(1) (2) syms n s1 = symsum(1/n2,n,1,inf) s1 = 1/6*pi2 s2 = symsum(-1)(n+1)/n,1,inf) s2 = log(2)Taylor 級數(shù)taylor 函數(shù)將函數(shù)展開為冪級數(shù)，調(diào)用格式

16、為：taylor(f,v,n,a) 該函數(shù)將 f 按變量 v 展開為 Taylor 級數(shù)，展開到第 n 項(xiàng)，n 默認(rèn)為 6。參數(shù) a 指定在變量 v = a 處展開，a 默認(rèn)為 0?！纠浚呵蠛瘮?shù)的 Taylor 級數(shù)展開式(1) 求 的 5 階 Taylor 級數(shù)展開 (2) 將 在 x = 1 處按 5 次多項(xiàng)式展開 syms x f1 = sqrt(1-2*x+x3)-(1-3*x+x2)(1/3); f2 = (1+x+x2)/(1-x+x2); taylor(f1,x,5) ans = 1/6*x2+x3+119/72*x4 taylor(f2,6,1) ans = 3-2*(x-1

17、)2+2*(x-1)3-2*(x-1)5四、符號方程求解代數(shù)方程是指未涉及微積分運(yùn)算的方程，可用 solve 函數(shù)求解。調(diào)用格式為：solve(eq1,eq2,.,eqN,v1,v2,.vN) 【例】：解下列方程(1) (2) x = solve(x-(x3-4*x-7)(1/3)=1) x = 3 x = solve(2*sin(3*x-pi/4)-1) 僅標(biāo)出方程左端x = 5/36*pi【例】：求方程組的解。 x y = solve(1/x3+1/y3=28,1/x+1/y=4) x = 1 1/3 y = 1/3 1符號微分方程求解MATLAB 中，用大寫字母 D 表示導(dǎo)數(shù)。例如Dy 表示 y，D2y 表示 y，Dy(0) = 5 表示y(0)=5。符號常微分方程求解通過 dsolve 函數(shù)實(shí)現(xiàn)。調(diào)用格式為：dsolve(eqn,c,v) 求解常微分方程 eqn 在初值條件 c 下的特解?！纠浚呵笪⒎址匠?的通解。 y =dsolve(Dy*x2 + 2*x*y = exp(x),x) y = (exp(x)+C1)/x2 【例】：求微分方程 的特解， 。 y = dsolve(Dy-x2)/(1+y2),y(2)=1,x) y = 1/3*x3-5/3 【例】