系統(tǒng)可靠性課件：第六章 可修復系統(tǒng)可靠性

1、第六章 可修復系統(tǒng)可靠性第一節(jié) 維修及其數(shù)量指標 第二節(jié) 馬爾柯夫過程第三節(jié) 串聯(lián)可修系統(tǒng)第四節(jié) 并聯(lián)可修系統(tǒng) 第五節(jié) 可修復系統(tǒng) 第六節(jié) 串并聯(lián)可修系統(tǒng) 第七節(jié) 柔性連接系統(tǒng)可靠性第八節(jié) 實例研究 習題第一節(jié) 維修及其數(shù)量指標 一、維修性特征量 1維修度M（t）維修度（Maintainability）是指在規(guī)定的條件下使用的可維修產(chǎn)品，在規(guī)定的時間內(nèi)，按規(guī)定的程序和方法進行維修時，保持或恢復到能完成規(guī)定功能的概率，記為M（t）。 M（t）P（Yt） （6-1） 2維修密度函數(shù)m（t） 如果維修度函數(shù)M（t）連續(xù)可導，則M（t）的導數(shù)稱為維修密度函數(shù)，記為m（t）。 m（t） (6-2) 若已

2、知維修密度函數(shù)m（t），則 M（t）=3修復率（t） 修復率指修理時間已達到某一時刻但尚未修復的產(chǎn)品在該時刻后的單位時間內(nèi)完成修理的概率，可表示為（t）。它是用單位時間修復發(fā)生故障的產(chǎn)品的比例來度量維修性的一個尺度。 （t）= （6-3） 若M（t）服從指數(shù)分布，即 M（t）1et (6-4) 則修復率為常數(shù)。4平均修復時間MTTR 平均修復時間是指可修復的產(chǎn)品的平均修理時間，其估計值為修復時間總和與修復次數(shù)之比，記作MTTR（Mean Time To Repair）。 MTTR = E(Y )= (6-5) 若修復時間服從指數(shù)分布，如式（6-4）所示，則平均修復時間是修復率的倒數(shù)，即 MTT

3、R = (6-6)維修性特征量和可靠性特征量的關系1、 對應關系M（t）與F（t）、m（t）與f（t）、（t）與（t）、MTBF與MTTR是對應的；2、區(qū)別可靠性指標依據(jù)的是從開始工作到故障發(fā)生的時間（壽命）數(shù)據(jù)，而維修性指標依據(jù)的是發(fā)生故障后進行維修所花費的時間修復時間數(shù)據(jù)。兩者相比，維修時間數(shù)據(jù)比壽命數(shù)據(jù)要小得多。另外，可靠性是由設計、制造、使用等因素所決定的，而維修性是人為地排除故障，使產(chǎn)品的功能恢復，因而人為因素影響更大。 例6-1 某電視機廠的維修站修理了該廠生產(chǎn)的20臺電視機，每臺的修理時間（單位為min）如下：48，59，68，86，90，105，110，120，126，128，

4、144，150，157，161，172，176，180，193，198，200。試求：（1）160min的維修度；（2）MTTR；（3）120min時的修復率，t15min。解（1） 0.65（2）MTTR MTTR（485968198200）/20133.55min （3） （t） 于是（120）= 1.1%二、有效性特征量1有效度（1）瞬時有效度（Instantaneous Availability）：瞬時有效度指在某一特定瞬時，可修產(chǎn)品保持正常工作使用狀態(tài)或功能的概率 （2）平均有效度（Mean Availability）：可修產(chǎn)品在時間區(qū)間0，t內(nèi)的平均有效度，即瞬時有效度A（t）在0

5、，t內(nèi)的平均值，記為（t）。（3）穩(wěn)態(tài)有效度（Steady Availability）：穩(wěn)態(tài)有效度或稱為時間有效度（Time Availability），又叫可工作時間比UTR（Up Time Ratio），記為A（）或A。它是時間t時瞬時有效度A（t）的極限，即 A（）A (6-9) 穩(wěn)態(tài)有效度也可表示為 A （6-10） U可維修的系統(tǒng)、機器、設備或部件等 產(chǎn)品平均能正常工作的時間，單位為h D產(chǎn)品平均不能工作時間，單位為h。 或表達為 A (6-11) 當可靠度R（t）和維修度M（t）均為指數(shù)分布，且MTBF ，MTTR= 時，有 A （6-12） 如上所述的瞬時、任務、穩(wěn)態(tài)有效度之間的

6、關系，見圖6-1。 圖6-1 瞬時、任務、穩(wěn)態(tài)有效度（4）固有有效度（Inherent Availability）：固有有效度可表示為 A （6-13） 式中 MADT（Mean Active Down Time）平均實際不能工作時間； MTBF平均無故障工作時間。固有有效度也可表示為 A（t1，t2） (6-14) 式中 MTBM（Mean Time Between Maintenances）兩次維修間平均時間； 平均維修時間。第二節(jié) 馬爾柯夫過程一、隨機過程的概念 設E是隨機試驗， 是它的樣本空間，T是一個參數(shù)集，若對于每一個 ,都有隨機變量 與之對應，則稱隨機變量族 為隨機過程或隨機函數(shù)

7、，通常記作 或 。二、馬爾柯夫過程的概念 1馬爾柯夫性 設 是一個隨機過程，如果 在時刻 所處的狀態(tài)為已知時，它在時刻所處狀態(tài)的條件分布與其在 之前所處的狀態(tài)無關，通俗地說，就是在知道隨機過程“現(xiàn)在”的條件下，其“將來”的條件分布不依賴于“過去”，則稱 具有馬爾柯夫性。2馬爾柯夫過程 設 的狀態(tài)空間為S， 如果 ，在條件 ， ， 下， 的條件分布函數(shù)恰好等于在條件 下的條件分布函數(shù)，即 （6-15） 則稱為馬爾柯夫過程。馬爾柯夫過程可以按時間和狀態(tài)是連續(xù)的或是離散的進行分類： （1）時間與狀態(tài)均為離散的馬爾柯夫過程，稱為離散時間馬爾柯夫鏈； （2）時間連續(xù)但狀態(tài)離散的馬爾柯夫過程，稱為時間連續(xù)

8、馬爾柯夫鏈； （3）時間與狀態(tài)均為連續(xù)的馬爾柯夫過程，稱為連續(xù)馬爾柯夫過程。本節(jié)主要介紹在可修系統(tǒng)可靠性分析中廣泛應用的連續(xù)時間的馬爾柯夫鏈的概念及其基本性質(zhì)。 三、連續(xù)時間的馬爾柯夫鏈 1定義 設隨機過程 的狀態(tài)空間為S，若對所有的 及 ，有 （6-16） 則稱 為時間連續(xù)的馬爾柯夫鏈，并稱式（6-16）為轉(zhuǎn)移概率，記作 （6-17） 2性質(zhì) 設 是狀態(tài)空間為S時間連續(xù)的齊次馬爾柯夫鏈，則其性質(zhì)有： 性質(zhì)1 對 和 ，滿足 （1） （2） （3） 其中（3）即為切普曼柯爾莫哥洛夫方程。性質(zhì)2 對任意 ，有 即連續(xù)時間齊次馬爾柯夫鏈的有限維概率分布由它的初始分布和轉(zhuǎn)移概率所確定。性質(zhì)3 對任意

9、 ，有 即對時間來說有可逆性。性質(zhì)4 對任意 ，有 即已知現(xiàn)在，那么過去與將來是獨立的。性質(zhì)5 （遍歷性定理） 設 是狀態(tài)空間 的時間連續(xù)的齊次馬爾柯夫鏈，若存在 ，使對于一切 都有 ，則極限 存在且與i無關,其中 是方程組 的滿足條件 的唯一解。四、計算齊次馬爾柯夫可修系統(tǒng)可靠性特征量的方法和步驟 下面以單部件可修復系統(tǒng)為例，說明計算齊次馬爾柯夫可修系統(tǒng)可靠性特征量的方法和步驟。為了討論方便，我們作如下假定： （1）組成系統(tǒng)的部件的壽命和維修時間的分布均為指數(shù)分布； （2） 表示系統(tǒng)在時刻t的狀態(tài)； （3）每個部件所處狀態(tài)是相互獨立的。若系統(tǒng)是由一個部件和一組維修人員組成，此時部件工作，系統(tǒng)

10、亦工作；部件故障，系統(tǒng)也就故障。該系統(tǒng)是最簡單的可修復系統(tǒng)。若系統(tǒng)處于修復狀態(tài)，則當部件修復后，部件重新開始工作，系統(tǒng)也就處于工作狀態(tài)了。用1表示系統(tǒng)的正常狀態(tài)，2表示故障狀態(tài)，則 是一個齊次馬爾柯夫鏈。假定部件的故障率及修復率分別為 和 ，根據(jù)圖6-2，可寫出馬爾柯夫鏈的轉(zhuǎn)移概率矩陣 （又稱為微系數(shù)矩陣），即 表示t時系統(tǒng)處于狀態(tài)i的條件下，又經(jīng)過 后變成狀態(tài)j的狀態(tài)轉(zhuǎn)移概率（是條件概率），簡稱轉(zhuǎn)移率。 其意義如下： 單部件系統(tǒng)有兩個隨機變量X和Y，每個變量有2個狀態(tài)，所以系統(tǒng)共有 個狀態(tài)。其轉(zhuǎn)移率如下： 1 表示t時系統(tǒng)處于正常條件下，又經(jīng)過 后，仍正常的概率。 當 很小時，第三項以后是高

11、階無限小，以 表示，所以計算可忽略之。 即得2 表示t時系統(tǒng)故障，經(jīng)過 已修復，系統(tǒng)又正常的轉(zhuǎn)移概率。3 表示t時系統(tǒng)正常，經(jīng)過 后變成故障的轉(zhuǎn)移率。 4 表示t時系統(tǒng)故障，又經(jīng)過 后仍然故障的轉(zhuǎn)移率。 即： （6-18） 令 則利用全概率公式可得 （6-19） 由于 則將式（6-19）整理求極限后可寫成微分方程組 (6-20) 將式（6-20）寫成矩陣形式 （6-21） 因為 ，代入式（6-20）中，整理可得則由 ，可知 通解為（1）當開始時刻 ，系統(tǒng)處于工作狀態(tài)，即初始條件為 ，可知 ，則 和 特解為 由于 是系統(tǒng)處于工作狀態(tài)的概率，也就是系統(tǒng)的有效度 ，即（2）如開始時刻（ ），系統(tǒng)處于

12、故障狀態(tài)，即初始條件為 ， ,則 故 和 的特解為 此時系統(tǒng)的有效度為（3）如果求 時系統(tǒng)穩(wěn)態(tài)有效度 ，不論初始狀態(tài)如何，都可得 (6-22) 這意味著在系統(tǒng)已運行了很長一段時間后，系統(tǒng)處于平穩(wěn)狀態(tài)，其穩(wěn)態(tài)有效度 與初始狀態(tài)無關。求穩(wěn)態(tài)可用度的簡易方法，具體過程如下：（1）分析系統(tǒng)的狀態(tài)，寫出狀態(tài)向量 ；（2）畫出狀態(tài)轉(zhuǎn)移圖，寫出轉(zhuǎn)移概率矩陣 以及 ；（3）聯(lián)立方程 ，刪除成線性關系的方程，補充 ；（4）求解方程組，得到穩(wěn)態(tài)可用度。第三節(jié) 串聯(lián)可修系統(tǒng)一、n臺相同設備、一組維修人員的情況 設在 和 之間極小的時間 內(nèi)，臺設備故障率均為 ，修復率均為 時,用1表示系統(tǒng)正常工作，用2表示系統(tǒng)處于故

13、障狀態(tài)。是一個齊次馬爾柯夫鏈，正常工作狀態(tài)空間 。系統(tǒng)的轉(zhuǎn)移概率矩陣為在工程上一般關心的是系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)可用度，設 代表 時刻系統(tǒng)正常概率， 代表 t時刻系統(tǒng)故障概率，狀態(tài)向量 轉(zhuǎn)移概率矩陣 為 （6-24） 足夠長時間后，系統(tǒng)處于各個狀態(tài)的概率達到穩(wěn)定，即 時， 或其中，為單位矩陣，0為零向量， 是轉(zhuǎn)移概率矩陣對角線元素減1后得到的矩陣，稱為轉(zhuǎn)移率矩陣。 由式（6-24）得即上述兩個方程線性相關，舍去1個，補充方程 ，得解得 即系統(tǒng)穩(wěn)態(tài) 可用度為 （6-25） 二、n臺不同設備、一組維修人員的情況 當臺設備故障率分別為修復率分別為時, 定義 是一個齊次馬爾柯夫鏈，正常工作狀態(tài)空間 。若發(fā)生故障后

14、一組維修人員立刻進行維修，則在和之間極小的時間內(nèi)的轉(zhuǎn)移概率矩陣為 相應的轉(zhuǎn)移概率矩陣P為轉(zhuǎn)移率矩陣為由微分方程 及 解得 系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)有效度 （6-26）第四節(jié) 并聯(lián)可修系統(tǒng) 一、 n臺相同設備、一組維修人員的情況 系統(tǒng)由n臺相同設備和一組維修人員組成，每臺設備的故障率為 ，修復率為 ，修復后設備的壽命分布不變。在此假定下，系統(tǒng)有 個可能狀態(tài)。定義 可以證明， 是一個齊次馬爾柯夫鏈，正常工作狀態(tài)空間 。其轉(zhuǎn)移概率矩陣為由微分方程 及 解得 系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)有效度為 （6-27） 當 ，即系統(tǒng)由兩臺相同設備和一組維修人員組成時，其轉(zhuǎn)移概率矩陣為經(jīng)求解得到系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)有效度為 （6-28）二、兩臺不同設備、

15、一組維修人員的情況 系統(tǒng)由兩臺不同設備和一組維修人員并聯(lián)組成，其故障率及維修率分別為，及，其余條件同前述。該系統(tǒng)共有5個狀態(tài)： 0設備1，2都正常工作，系統(tǒng)正常； 1設備1正常，設備2故障，系統(tǒng)正常； 2設備2正常，設備1故障，系統(tǒng)正常； 3設備1在修理，設備2處于待修，系統(tǒng)故障； 4設備2在修理，設備1處于待修，系統(tǒng)故障。定義 時刻t時系統(tǒng)處于狀態(tài) 是一個齊次馬爾柯夫鏈，正常工作狀態(tài)空間 。其轉(zhuǎn)移概率矩陣為由微分方程 及 解得穩(wěn)態(tài)有效度為 （6-29）第五節(jié) 可修復系統(tǒng) 系統(tǒng)由臺相同設備和一組維修人員組成。當且僅當至少有臺設備工作時，系統(tǒng)才工作，當有臺設備故障時，系統(tǒng)故障。系統(tǒng)故障期間臺好的

16、設備也停止工作，不會故障，直到有一臺設備修復時，又有臺好的設備同時進入工作狀態(tài)，此時系統(tǒng)重新進入工作狀態(tài)。顯然，當時，系統(tǒng)是臺相同設備的并聯(lián)系統(tǒng)，當時，系統(tǒng)是臺相同設備的串聯(lián)系統(tǒng)。 可修復系統(tǒng)共有 個不同的狀態(tài)，定義 時刻 時有 臺設備故障 時系統(tǒng)處于故障狀態(tài)，因此正常工作狀態(tài)空間 是一個齊次馬爾柯夫鏈 .系統(tǒng)的轉(zhuǎn)移概率矩陣為由微分方程 及 可得系統(tǒng)穩(wěn)態(tài)有效度為 （6-30）第六節(jié) 串并聯(lián)可修系統(tǒng) 設系統(tǒng)是由兩臺相同設備B并聯(lián)（故障率為 ，修復率為 ），再與設備 （故障率為 ，修復率為 ）串聯(lián)，形成串并聯(lián)可修系統(tǒng)， 當設備發(fā)生故障時由1個修理工負責 在時刻系統(tǒng)可能的狀態(tài)有系統(tǒng)的狀態(tài)向量為 并且

17、 。狀態(tài)轉(zhuǎn)移概率矩陣P為 令 以及 ，可舍去狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣 中第2列對應的方程，得 解得系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)可用度 為 (6-31)第七節(jié) 柔性連接系統(tǒng)可靠性 剛性連接系統(tǒng) 是指系統(tǒng)設備之間緊密相連，環(huán)節(jié)之間不設緩沖設施。 柔性連接系統(tǒng) 是指設備之間設置緩沖設施，以實現(xiàn)銜接和減輕前后設備間的相互影響 緩沖設施的串聯(lián)柔性連接系統(tǒng)的可靠性求法 :（1）假設條件（2）系統(tǒng)的狀態(tài)（3）狀態(tài)轉(zhuǎn)移方程（4）狀態(tài)的穩(wěn)態(tài)概率第八節(jié) 實例研究 某露天煤礦表層黃土的剝離采用輪斗挖掘機膠帶連續(xù)工藝系統(tǒng)，已經(jīng)投入生產(chǎn)的第一套連續(xù)工藝系統(tǒng)包括1#和2#輪斗挖掘機、1#和2#履帶式轉(zhuǎn)載機（皮帶車A）、工作面膠帶輸送機及位于膠帶機上的

18、軌道式電纜和漏斗車、滑撬式轉(zhuǎn)載機（皮帶車B）、端幫膠帶輸送機、排土場膠帶輸送機及位于膠帶機上的軌道式轉(zhuǎn)載機和履帶式排土機等12臺設備。系統(tǒng)布置如圖6-13所示。第一套連續(xù)工藝系統(tǒng)的布置 BWE11輪斗挖掘機BWE22輪斗挖掘機BWA22A型皮帶車BWA11A型皮帶車BWB11B型皮帶車B111輪斗工作面膠帶機B102輪斗工作面膠帶機B12、B12-1、B12-2端幫膠帶機B13排土線膠帶機SP11排土機第一套輪斗系統(tǒng)（兩臺）年設計能力為9Mm3（實方），自1996年投入生產(chǎn)以來，最高在2003年完成8.20Mm3（實方），與設計能力相差0.80Mm3，其主要原因是輪斗系統(tǒng)設備停機時間太長，年工

19、作時間太短（不足3000h），遠遠低于設計的工作時間4000h。從系統(tǒng)可靠性的角度分析，原因之一是工藝系統(tǒng)中各設備在設計、制造中存在的缺陷，使設備的固有可靠度偏低；原因之二是生產(chǎn)條件、環(huán)境、操作、維修以及管理等因素，使系統(tǒng)的使用可靠度較低。在系統(tǒng)投入使用后，可靠性工作主要是現(xiàn)場可靠性數(shù)據(jù)的收集與分析，可靠性指標的計算，分析影響系統(tǒng)可靠度的主要因素，找出系統(tǒng)的薄弱環(huán)節(jié)，提出提高系統(tǒng)使用可靠度的途徑，為系統(tǒng)的改進及設備改型工作提供依據(jù)，從而提高現(xiàn)有連續(xù)工藝系統(tǒng)的生產(chǎn)能力。各臺設備的工作時間和故障時間分布參數(shù)及穩(wěn)態(tài)有效度如表6-1所列。表6-1 各臺設備的工作時間和故障時間分布參數(shù)及穩(wěn)態(tài)有效度設備B

20、WE1BWA2B11BWE2BWA1B10故障率0.00150.000610.00150.001590.00060.0015修復率0.00880.00750.01270.00830.00730.0141穩(wěn)態(tài)有效度0.85460.92370.89350.84720.92710.9062設備BWB1B12B12-1B12-2B13SP1故障率0.00210.00290.00030.00040.00060.0007修復率0.06210.02070.04990.03480.01530.0150穩(wěn)態(tài)有效度0.96710.87720.99470.98800.96240.9583現(xiàn)行一機一線子系統(tǒng)布置如圖6

21、-14所示。圖6-14 現(xiàn)行一機一線子系統(tǒng)布置其穩(wěn)態(tài)有效度的計算過程如下。BWE1、BWA2和B11組成串聯(lián)可修系統(tǒng)，將其簡化為等效子系統(tǒng)；同理，BWE2、BWA1、BWB1和B10組成串聯(lián)可修系統(tǒng)，將其簡化為等效子系統(tǒng)；B12、B12-1、B12-2、B13和SP1組成串聯(lián)可修系統(tǒng)，將其簡化為等效子系統(tǒng)，簡化后的系統(tǒng)如圖6-15所示。圖6-15 簡化后的系統(tǒng)圖再將、組成的并聯(lián)系統(tǒng)簡化為等效子系統(tǒng)，系統(tǒng)最終簡化為圖6-16的形式。經(jīng)過一系列的簡化后，整個系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)有效度就可以方便地計算。圖6-16 最終簡化的系統(tǒng)圖對子系統(tǒng)(圖6-17)： 圖6-17 子系統(tǒng)(X13)(X12)(X11)BWA2B11BWE1 故障率： =111213 修復率： = 對子系統(tǒng)(圖6-18)：圖6-18 子系統(tǒng)(X22)(X22)(X24)(X21)BWB1BWA1BWE2B10故障率： =212223 24 修復率： = 對子系統(tǒng)(圖6-19)：圖6-19 子系統(tǒng)(X31)(X32)(X33)(X34)(X35)B12-1B12-2SP1B13B12故障率：=313233 3435 修復率： = 對子系統(tǒng)(圖6-20)：圖6-20 子系統(tǒng)系統(tǒng)的狀態(tài)有： 0， 、均工作，系統(tǒng)工作； 1， 工作，修理，系統(tǒng)工作； X（t）=2， 工作，修理，系統(tǒng)工作； 3， 修理，待修，系統(tǒng)修理 4， 修理，待修，