充分感知積累表象理解本質(zhì)(共5頁)

1、PAGE PAGE 8充分感知 積累表象(bioxing) 理解本質(zhì)源于一道平行四邊形特性(txng)試題的思考【摘 要】2012年，義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)修訂稿終于面世，他帶著課改十年來的經(jīng)驗總結(jié)重新步入(b r)廣大教師的視野。他指出，在數(shù)學(xué)課程中要注重發(fā)展學(xué)生的空間觀念、幾何直觀和推理能力等。因此，我們的小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)應(yīng)該順應(yīng)發(fā)展，把握時代要求，幫助學(xué)生積累過程性經(jīng)驗，真正掌握多視角的、有過程的、相關(guān)聯(lián)的數(shù)學(xué)，在積累豐富空間表象的基礎(chǔ)上發(fā)展空間觀念，讓學(xué)生真正理解數(shù)學(xué)知識的本質(zhì)?！娟P(guān)鍵詞】試題；平行四邊形特性；空間觀念；數(shù)學(xué)本質(zhì)；緣起在2012年四年級上冊數(shù)學(xué)期末檢測中，有一道考查學(xué)生關(guān)于平

2、行四邊形特性掌握程度的試題。當(dāng)我翻閱試卷，大范圍的錯誤現(xiàn)象深深地刺痛了我的神經(jīng)。隨即，我便進(jìn)行了抽樣調(diào)查，可是調(diào)研的數(shù)據(jù)（正確率僅為19%）卻讓我陷入了沉思，它促使我重新對小學(xué)生空間觀念的發(fā)展進(jìn)行考量。我開始翻閱教材和歷年的檢測卷，試圖對這個數(shù)據(jù)進(jìn)行系統(tǒng)分析：到底是什么因素阻礙了學(xué)生思維的運作，關(guān)于這個內(nèi)容學(xué)生能想到什么，學(xué)生怎么會想不到運用平行四邊形特性的知識來解決問題呢？教材解讀如圖，是人教版四年級上冊“平行四邊形特性”的教學(xué)過程。教學(xué)參考指出，讓學(xué)生通過實物操作體會平行四邊形的不穩(wěn)定性。同時，也讓學(xué)生進(jìn)一步看到了平行四邊形和長方形的聯(lián)系和區(qū)別。學(xué)生通過對長方形框架的操作，能夠體會：在拉動

3、長方形框架變?yōu)槠叫兴倪呅蔚倪^程中，平行四邊形具有易變性，容易變形；長方形是特殊的平行四邊形；在拉到過程中，圖形的周長不變，形狀、面積發(fā)生了變化。同時，這也能夠幫助學(xué)生以后進(jìn)一步體會三角形的穩(wěn)定性；更重要的是，這是學(xué)生以后學(xué)習(xí)平行四邊形面積，破解“平行四邊形面積不等于鄰邊乘鄰邊”的有利證據(jù)。因此，該知識點的教學(xué)意義重大。另外，在“拉動”過程中，我們發(fā)現(xiàn)：“改變平行四邊形的位置（呈傾斜狀）然后向相反方向拉”與“在平放狀態(tài)下向相反方向拉”所產(chǎn)生的教學(xué)效果是不一樣的。因為，對于四年級學(xué)生來說，他們關(guān)于“位置”和“形狀”兩個概念的理解存在偏差，有所混淆（見調(diào)查表）。試題分析經(jīng)檢索，我將本市自2008年至

4、2012年的小學(xué)數(shù)學(xué)四年級上冊期末檢測卷中的此類試題（其中2009年、2011年未涉及此知識點）作為問題研究的對象，借此進(jìn)一步分析近年來課程改革對于培養(yǎng)小學(xué)生空間觀念提出的新要求。例1：把一個木制的平行四邊形框架拉成一個長方形，（ ）A、周長和面積都不變 B、周長變了，面積不變C、周長不變，面積變了D、周長和面積都變了 （200801選擇）例2：把一個平行四邊形框架拉成長方形，面積不變，周長變大。（ ）（201001判斷）例3：用4cm、4cm 、7cm 、7cm 四根小棒可以搭（ ）個形狀不同的平行四邊形。A、1 B、2 C、無數(shù) （201201選擇）自2008年以來(yli)，試題的改變在

5、一定程度上表明：不能簡單地將“拉一拉”視為學(xué)生(xu sheng)已經(jīng)理解了平行四邊形的易變性，這樣的學(xué)習(xí)過程缺少思維含量。另外，這樣的操作也不利于學(xué)生充分理解它與長方形之間的密切聯(lián)系；學(xué)生不僅要根據(jù)(gnj)操作經(jīng)驗、語言描述或通過想象得到圖形，還要能夠運用運動的觀點分析圖形的變化以及與相關(guān)圖形之間的區(qū)別與聯(lián)系；教師要通過各種手段強化學(xué)生在學(xué)習(xí)過程中的“第一印象”，使學(xué)生對幾何圖形的特征、性質(zhì)有充分的感知與理解；當(dāng)然，從試題的發(fā)展中我們也發(fā)現(xiàn)，數(shù)學(xué)對學(xué)生運用綜合知識解決問題的要求在逐步提高。在以往教學(xué)中，我將此知識點作為重點進(jìn)行教學(xué)，效果也盡如人意。但是，19%的出現(xiàn)卻成了心中的一種隱痛。因

6、此，我對隨機(jī)抽樣的四年級100名學(xué)生進(jìn)行了深入的試題分析與學(xué)生訪談，結(jié)果如下：201201試題分析表（樣本：100人）試題選項比例典型思路原因分析用4cm、4cm 、7cm 、7cm 四根小棒可以搭（ ）個形狀不同的平行四邊形。A、127%生1：我覺得不管怎么搭都是邊長為4、4、7、7的平行四邊形。平行四邊形對邊相等的概念深入學(xué)生心中，在強烈的數(shù)據(jù)刺激下，學(xué)生輕視了形狀的變化。生2：因為我覺得不可能是無數(shù)個，我畫出了一個，轉(zhuǎn)來轉(zhuǎn)去（轉(zhuǎn)紙）就這么一個。學(xué)生思維定勢，對于形狀不同有自己“獨特的”觀點，概念理解存在偏差。生3：我搭的是長方形，轉(zhuǎn)一轉(zhuǎn)還是長方形。學(xué)生在思考形狀不同時并不是很深入，對平行

7、四邊形的嘗試并不完善。B、254%生1：我畫了一個 ，然后把它反著豎起來過來 ，所以是兩種。學(xué)生認(rèn)為形狀不同就是位置不同，對“形狀不同”的理解存在明顯偏差。（注：調(diào)查中學(xué)生人數(shù)最多。）生2：我想到了一個平行四邊形和一個長方形。學(xué)生搭出了這兩個圖形，從形狀不同的思考說明學(xué)生已關(guān)注了長方形和平行四邊形的區(qū)別與聯(lián)系。生3：我想到了一個平行四邊形，拉到另一個平行四邊形，所以是兩種。學(xué)生體會到平行四邊形的易變性，但是缺少對拉動過程中各種圖形的分析，缺少變化的圖形表象。C、無數(shù)19%生1：四根小棒搭一個平行四邊形，有的大，有的扁，所以有無數(shù)個。學(xué)生通過畫出不同的形狀平行四邊形來分析問題，說明學(xué)生的思維需要

8、形象的支撐。生2：先搭一個平行四邊形，然后角度斜一下就行了，這樣就有無數(shù)個。學(xué)生對于平行四邊形的易變性理解地十分透徹，在頭腦中留下了明顯的表象，還能夠通過推理來解決問題。生3：我畫了一下，比2個多，所以有無數(shù)個。學(xué)生通過畫圖解決了問題，但沒有真正明白“無數(shù)”的含義，即學(xué)生對“無限”的理解是有難度的。從表中可見：學(xué)生能夠通過操作、想象畫出平行四邊形（包括長方形），這和學(xué)生這一學(xué)期的知識經(jīng)歷有關(guān)；大部分學(xué)生對于“形狀不同的平行四邊形”的理解存在偏差，即對圖形的形狀和圖形的位置兩個概念有所混淆，是造成錯誤的主要原因；通過畫圖來解決此問題是學(xué)生主要的解題策略，合理推理也是一種有效的途徑，但這只是個別學(xué)

9、生的“專利”；學(xué)生不能運用平行四邊形的易變性來解決問題，說明學(xué)生對“容易變形”理解不深入，心中缺少表象支撐，思維還不夠靈活。另外，相關(guān)數(shù)據(jù)信息的強刺激、較明顯要素的影響也給學(xué)生解題造成了干擾。綜上分析(fnx)，學(xué)生(xu sheng)并沒有(mi yu)完全理解、掌握平行四邊形的易變性。空間想象能力的缺失導(dǎo)致學(xué)生的知識形成過程出現(xiàn)斷層，缺乏必要的表象支撐使得學(xué)生思維基礎(chǔ)脆弱。當(dāng)然，這與學(xué)生缺少“應(yīng)用平行四邊形的易變性解決問題或分析生活現(xiàn)象”的經(jīng)歷也有關(guān)系。同樣，教材也只提出了一個研究問題“說一說日常生活中運用平行四邊形容易變形這一性質(zhì)的例子?！币蚨覀兊慕虒W(xué)決不能浮于表面的“拉一拉”，要更

10、多地幫助學(xué)生借助操作或想象理解“平行四邊形容易變形，在拉動過程中會產(chǎn)生無數(shù)種形狀。”教學(xué)建議培養(yǎng)小學(xué)生的空間觀念，不僅要強化學(xué)生的操作與想象，使其充分感知對象的特點，給學(xué)生留下充足的思考經(jīng)驗，還應(yīng)該提倡學(xué)生“說數(shù)學(xué)”，實現(xiàn)操作、語言和思維的統(tǒng)一，幫助學(xué)生真正理解概念的核心。根據(jù)教材與試題的分析，筆者提出兩方面的教學(xué)建議，與大家共同商榷。一、關(guān)于教師方面的建議第一，深入挖掘教材深度與廣度，讓學(xué)生“拉”得有價值。由于學(xué)生在三年級就認(rèn)識了平行四邊形，知道了它的基本特征：平行四邊形對邊相等。因此，本知識點的教學(xué)起點可定為“想一想平行四邊形有什么特點？然后選擇合適的小棒，搭出你心中的平行四邊形。拉一拉，

11、你發(fā)現(xiàn)了什么？”然后，學(xué)生從提供的、長度不一的幾種小棒中（如1cm、2cm、4cm、8cm各3根）選擇四根搭出平行四邊形，教師相機(jī)反饋以下三個層次的問題：層次1.為什么同學(xué)們搭出了不同形狀的平行四邊形？層次2.為什么有些同學(xué)選擇了長度不一樣的小棒，卻搭出了形狀相同的平行四邊形？層次3.為什么有些同學(xué)選擇了長度一樣的小棒，卻搭出了形狀不同的平行四邊形？通過以上3個問題主要解決：選擇的小棒長度不同，搭出的平行四邊形（形狀、大?。┳匀灰膊煌@樣的起點符合學(xué)生認(rèn)識事物的規(guī)律；選擇的小棒長度不同，只要鄰邊的角度相同，搭出的平行四邊形的形狀就可能相同；選擇的小棒的長度相同，由于鄰邊的角度不同，搭出的平行

12、四邊形的形狀就可能不同。接著，以“誰有本領(lǐng)利用手中的平行四邊形變出其他的平行四邊形？”從而，逐步揭示平行四邊形容易變形，具有易變性。這樣，學(xué)生通過選、搭、拉三個過程，對平行四邊形的特征、性質(zhì)和變化有了較為豐富、全面的認(rèn)識。當(dāng)然，教師在展示過程中，要有意識地通過變式將“位置”與“形狀”兩個概念作適當(dāng)?shù)膮^(qū)分，防止學(xué)生形成“形狀不同就是位置不同”的錯誤觀念。最后，教師適當(dāng)拓展，以“如果給你5根小棒，你能搭出多少個形狀不同的五邊形呢？6根呢？”當(dāng)學(xué)生經(jīng)歷想象之后，教師出示五邊形、六邊形學(xué)具，通過拉一拉進(jìn)一步深化學(xué)生對“易變性”的理解。這樣，也為以后學(xué)習(xí)三角形穩(wěn)定性埋下思維的種子。第二，類比推理，明辨數(shù)

13、學(xué)知識之間的內(nèi)部聯(lián)系。俗話說，萬變不離其宗。在溝通(gutng)長方形與平行四邊形之間的聯(lián)系時，亦可在變中求不變。首先，在拉動平行四邊形過程中，教師追問“什么(shn me)變了，什么沒變？”學(xué)生(xu sheng)自然而然地明白“形狀、大?。娣e）變了，周長沒變?！比缓螅梢话愕教厥?，引導(dǎo)學(xué)生研究“從特殊位置的長方形拉到平行四邊形（或者從平行四邊形拉到長方形）是否也有這樣的關(guān)系呢？”此時，學(xué)生在推理的過程中牢牢抓住變化的核心，進(jìn)而明確兩者之間的聯(lián)系。第三，靜中有動，動靜結(jié)合，突顯數(shù)學(xué)本質(zhì)。學(xué)生通過實物操作對“面積變了，周長不變”有了一定的認(rèn)識。但是，當(dāng)我們的教學(xué)脫離直觀，用語言描述呈現(xiàn)時，學(xué)

14、生就好像 “忘了”。此時，教師要有機(jī)結(jié)合信息技術(shù)手段，輔以方格圖以及豐富的顏色，通過運動變化的演示、靜態(tài)圖形的展示來進(jìn)一步讓學(xué)生理解面積變了，周長沒變。同時，為五年級學(xué)習(xí)平行四邊形面積做合理地滲透。當(dāng)學(xué)生從實物直觀抽象到圖形直觀時，學(xué)生的思維水平也提高了，接著引導(dǎo)學(xué)生通過想象變化過程來加深此知識點的理解。這樣由易到難、從局部到整體，動靜相結(jié)合，使學(xué)生牢牢把握平行四邊形特性的本質(zhì)。第四，學(xué)以致用，讓學(xué)生根據(jù)經(jīng)驗再次體會概念本質(zhì)。2012年數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)指出：學(xué)生獲得知識，必須建立在自己思考的基礎(chǔ)上，可以通過接受學(xué)習(xí)的方式，也可以通過自主探索等方式；學(xué)生應(yīng)用知識并逐步形成技能，離不開自己的實踐。有關(guān)

15、學(xué)者的研究也表明，小學(xué)生偏向于用日常語言來表征空間概念。因此，教師應(yīng)組織學(xué)生進(jìn)行實踐探索，思考、交流生活中平行四邊形易變性的應(yīng)用實例，幫助學(xué)生積累思考、分析、應(yīng)用數(shù)學(xué)的活動經(jīng)驗，深入體會容易變形的價值。二、關(guān)于學(xué)生方面的建議第一，提高學(xué)生將“抽象數(shù)學(xué)問題”向“經(jīng)驗化問題”轉(zhuǎn)化的能力。解決問題是一個復(fù)雜的思維過程，要提高學(xué)生的解決問題的能力，必須提升學(xué)生提取、加工、處理信息的能力。從而，使學(xué)生運用元認(rèn)知將分解后的信息整合成自己已經(jīng)研究過的、經(jīng)歷過的數(shù)學(xué)問題，通過回憶、再現(xiàn)，逐步化歸到原有的知識基礎(chǔ)或生活經(jīng)驗之中，進(jìn)而解決相關(guān)的數(shù)學(xué)問題。第二，提供變式，提升學(xué)生解決問題的靈活性與創(chuàng)造性。學(xué)生可以搭

16、出平行四邊形，卻很難想到不同的平行四邊形，較難遷移到“斜”一點，就“變”出了無數(shù)個平行四邊形。由此可見，學(xué)生無法將“搭”與“拉”通過“畫圖”的方式聯(lián)系在一起，進(jìn)一步聯(lián)想到運用平行四邊形特性來解決問題?；蛟S，以上這三組變式的試題和教學(xué)的思路能夠給我們的教學(xué)帶來更多的活力，提高學(xué)生思維的靈活性和深刻性。第三，豐富學(xué)生感知，提升學(xué)生的推理能力。推理是人們學(xué)習(xí)和生活中經(jīng)常使用的思維方式，也是數(shù)學(xué)的基本思維方式。修訂稿明確要求：教師在教學(xué)過程中，應(yīng)該設(shè)計適當(dāng)?shù)膶W(xué)習(xí)活動，引導(dǎo)學(xué)生通過觀察、嘗試、估算、歸納、類比、畫圖等活動發(fā)現(xiàn)一些規(guī)律，猜測某些結(jié)論，發(fā)展合情推理能力。正如學(xué)生所說“先搭一個平行四邊形，然后

17、角度斜一下就行了，這樣就有無數(shù)個。”當(dāng)學(xué)生得到充分的感知體驗之后，學(xué)生能自動地進(jìn)行數(shù)學(xué)化，猜測可能的結(jié)果，然后通過推理得到“無數(shù)個”的結(jié)論。當(dāng)然，發(fā)展學(xué)生的推理能力是一個長期的、循序漸進(jìn)的過程。因此，在教學(xué)時，教師可以根據(jù)學(xué)生的年齡特征提出不同程度的要求，培養(yǎng)學(xué)生思考的有序性、邏輯性，積累推理的經(jīng)驗，為發(fā)展合情推理能力積蓄力量。啟示(qsh)小小的一道(ydo)試題讓我對“平行四邊形特性(txng)”有了更為深刻的反思，讓我清醒地認(rèn)識到：我們的教學(xué)應(yīng)該要深入挖掘知識所蘊含的知識價值與思想價值，設(shè)計出揭示概念的核心的、有深度的、有廣度的數(shù)學(xué)活動，讓學(xué)生從直觀操作中感知對象，然后運用語言進(jìn)行表征，在心中烙下豐富的“看得見、摸得著、想得到、畫得下”的空間表象，給學(xué)生一個立體的、相關(guān)聯(lián)的數(shù)學(xué)。從此，學(xué)生在一個充滿觀察、操作、想象和推理的過程中，通過自己的方式刻畫圖形，提高空間直覺和推理能力，最終發(fā)展空間觀念。當(dāng)然，在這段漫長的探索旅程中，我也明白了，想要使學(xué)生全面地掌握知識，理解數(shù)學(xué)的本質(zhì)，教師一定要從歷史的視角加強對習(xí)題的研究與開發(fā)，只有不斷地摸索，才能從小試題中獲得大智慧?！緟⒖嘉墨I(xiàn)】1.中華人民共和國教育部制定，義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011年版），北京師范大學(xué)出版社。2.朱德江，小學(xué)生數(shù)學(xué)素養(yǎng)培養(yǎng)策略與案例，北京師范大學(xué)出版社，2008