《質(zhì)疑答問》：解三角形

1、PAGE PAGE 3解三角形江蘇 黃安成(特級教師)“學(xué)問學(xué)問”，“學(xué)”而欲善“問”.古語云：“學(xué)貴有疑，小遺則小進(jìn)，大疑則大進(jìn)”.提出一個問題比解決一個問題更重要.在學(xué)習(xí)解三角形的過程中，筆者就遇到學(xué)生提出的許多問題，現(xiàn)對這些問題，談?wù)勛约旱囊娊猓桥c同學(xué)們共同探討的良機(jī).問題1 學(xué)習(xí)解三角形有何意義？只是為了應(yīng)付高考嗎？答：這個問題提得十分深刻.如果僅僅理解為應(yīng)付高考，那就大大降低了學(xué)習(xí)解三角形的價值了.我們知道，學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的根本目標(biāo)是發(fā)展思維，提高分析問題與解決問題的能力.三角形具有穩(wěn)定性，若兩條邊與其夾角確定，這個三角形就確定了，另外的邊和角就可以求出來.很有意思，由已知求未知，顯示

2、了數(shù)學(xué)的無窮魅力與威力.雖然我們在生活中，遇到用解三角形解決實(shí)際問題的實(shí)例不是太多，只是在測量時要用一下.但要知道現(xiàn)在的學(xué)習(xí)是為了將來解決更高層次的問題打下堅實(shí)的基礎(chǔ).我國在航天技術(shù)方面具有很強(qiáng)的實(shí)力，衛(wèi)星發(fā)射與宇宙飛船技術(shù)在世界上屬于領(lǐng)先的地位.其中所用的當(dāng)然是高層次的測量技術(shù)，解三角形是不可或缺的基礎(chǔ)，“樹高千尺也忘不了根！”問題2 解三角形的兩條定理我總記不熟，過不長時間記憶就模糊了，怎么辦？答：數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中有一句很有意義的話，叫做“不記而記”.不須費(fèi)勁，更無須死記硬背，就能形成自然牢固的記憶，想忘記都難！關(guān)鍵是自己推導(dǎo)、抓住本質(zhì)、深刻理解.書本上的，老師教的，都是“別人”的，只有通過自己

3、辛勤又富有智慧的勞動而獲得的，才是屬于自己的.另外也要掌握一些記憶的技巧.在直角三角形中，有，順勢一推，這個結(jié)論對任意三角形都適用，且對稱和諧，多么美妙??！怎會記不住呢？不過在任意三角形中，上式中的c就是三角形外接圓的直徑2R，而直角三角形的外接圓的直徑就是斜邊，好玩極了！在直角三角形中，有勾股定理c2=a2+b2，其實(shí)可以改寫成c2=a2+b2-2abcosC 原來余弦定理是勾股定理推廣，借助于特殊記憶一般，好點(diǎn)子.cba圖1問題3 余弦定理的三種形式，我有時難以分辨，怎么辦？答：好辦！一種辦法是用自然語言來定型，即“三角形中，任何一邊的平方等于另外兩條邊的平方和減去這兩條邊與其夾角余弦的乘

4、積”，另一種辦法是利用字母的輪換，如圖1，既然有式，那么就有a2=b2+c2-2bccosA、b2=c2+a2-2cacosB.正弦定理與余弦定理的表達(dá)式分別體現(xiàn)了數(shù)學(xué)的對稱與輪換美.問題4 太好了！這樣一來，我記住兩條定理就不成問題了，可是兩條定理還有許多變形呢！答：熟練掌握了兩條定理的基本形式，變形有什么難！如a=2RsinA等，就是將邊轉(zhuǎn)化為角；等就是將角轉(zhuǎn)化為邊；“邊角互換”是運(yùn)用正弦定理的最常用策略.若已知三邊，求角，則由余弦定理得，其余的由輪換可得，也是邊角之間的轉(zhuǎn)換.這樣就都不會形成記憶的負(fù)擔(dān)，實(shí)現(xiàn)“不記而記”.至于何時將“邊化角”，何時將“角化邊”，要由具體情況而定.現(xiàn)在舉一個

5、“邊角互換”，即用正弦定理證明余弦定理的典型例子.因為b2+c2-2bccosA=4R2sin2B+4R2sin2C-8R2sinBsinCcosA=4R2(sin2B+sin2C-2sinBsinCcosA)又sin2B+sin2C-2sinBsinCcosA=(sin2B-sinBsinCcosA)+(sin2C-sinBsinCcosA)=sinB(sinB-sinCcosA)+sinC(sinC-sinBcosA)=sinBsin(A+C)-sinCcosA+sinCsin(A+B)-sinBcosA=sinB(sinAcosC+cosAsinC-sinCcosA)+sinC(sinA

6、cosB+cosAsinB-sinBcosA)=sinBsinAcosC+sinCsinAcosB=sinA(sinBcosC+sinCcosB)=sinAsin(B+C)=sin2A，所以b2+c2-2bccosA=4R2sin2A=a2，故a2=b2+c2-2bccosA.這里用到了許多以前我們學(xué)過的三角函數(shù)變換的知識，正是復(fù)習(xí)鞏固有關(guān)知識的大好時機(jī).問題5 教材中習(xí)題1.1的問題10(閱讀題)，最難以理解，也很難掌握，我們非常擔(dān)心，怎么辦？答：完全沒有必要去記一般結(jié)論，遇到具體問題能解決就很好了，為此舉一個例子.在ABC中，若已知兩邊a、b與角A，求角B.(1)a=2，b=6，A=30o

7、；(2)a=2，b=4，A=30o；(3)a=3，b=，A=30o.略解：由正弦定理，在(1)中，得sinB=1，這不可能，所以此時無解.在(2)中，得sinB=，此時有一解，B=90o.在(3)中，得sinB=，此時有兩解，B=45o，或B=135o.請注意，這里有ab，所以角B可為鈍角，否則只能為銳角.其余的，由舉一反三可知.問題6 老師經(jīng)常說要“靈活運(yùn)用知識”，請您舉個具體例子好嗎？BACDP圖2答：對此不必感到神秘，一方面所謂“靈活”，絕對離不開基礎(chǔ)知識；另一方面，需要積累、總結(jié)這方面經(jīng)驗.請看下例.如圖2，P是正方形ABCD內(nèi)的一點(diǎn)，若PA：PB：PC=1：2：3，求APB的大小.解

8、析：很自然地，由題意可設(shè)PA=1，PB=2，PC=3，正方形的邊長為x，欲求的角為APB=，下面設(shè)法構(gòu)建關(guān)于未知數(shù)的方程.在APB中，由余弦定理，迅速自然地得cos=.再往下，可能感到有些茫然了，最“好”的辦法是“放棄”，哈哈！這是笑話.還須找到一個式子才行??！正方形的條件沒有用徹底，AB=BC=x，ABC=90o，都還沒有用上呢！若設(shè)PBA=，則PBC=，在ABP中，由正弦定理得sin=.又在PBC中，由余弦定理得cos()=，即sin=，那么sin=，于是得sin=-cos，tan=-1，而是三角形的內(nèi)角，所以=，即APB=.由此例，可總結(jié)那些寶貴經(jīng)驗?zāi)?？題目既然沒有給出任何一條線段的長度，那么我們就掌握了設(shè)線段長的主動權(quán)，就可以由PA：PB：PC=1：2：3直接