2.1.1 橢圓及其標準方程1

1、橢圓及其標準方程（第一課時）教學(xué)設(shè)計一、教材及學(xué)情分析本節(jié)課是全日制普通高級中學(xué)教科書（選修1-1）數(shù)學(xué)（人民教育出版社B版教材）第二章第一節(jié)第一課時橢圓及其標準方程。在必修2第二章中學(xué)生已初步掌握了解析幾何研究問題的主要方法,并在平面直角坐標系中研究了直線和圓這兩個基本的幾何圖形，在選修1-1第二章，教材利用三種圓錐曲線進一步深化如何利用代數(shù)方法研究幾何問題。由于教材以橢圓為重點說明了求方程、利用方程討論幾何性質(zhì)的一般方法,然后在雙曲線、拋物線的教學(xué)中應(yīng)用和鞏固，因此“橢圓及其標準方程”起到了承上啟下的重要作用。本節(jié)內(nèi)容蘊含了許多重要的數(shù)學(xué)思想方法，如：數(shù)形結(jié)合思想、化歸思想等。因此，教學(xué)時

2、應(yīng)重視體現(xiàn)數(shù)學(xué)的思想方法及價值。根據(jù)本節(jié)內(nèi)容的特點，教學(xué)過程中可充分發(fā)揮信息技術(shù)的作用，用動態(tài)作圖優(yōu)勢為學(xué)生的數(shù)學(xué)探究與數(shù)學(xué)思維提供支持。二、教學(xué)目標分析按照教學(xué)大綱的要求，根據(jù)教材分析和學(xué)情分析，確定如下教學(xué)目標：1知識與技能目標：理解橢圓的定義。掌握橢圓的標準方程，在化簡橢圓方程的過程中提高運算能力。2過程與方法目標：學(xué)生經(jīng)歷橢圓概念的產(chǎn)生過程，學(xué)習從具體實例中提煉數(shù)學(xué)概念的方法。初步學(xué)會坐標化的方法求動點軌跡方程，經(jīng)歷運用數(shù)學(xué)思想方法分析和解決問題的過程。3情感態(tài)度價值觀目標：學(xué)生通過活動、觀察、思考、合作、探究、歸納、交流、反思等活動，促進學(xué)生形成研究氛圍和合作意識學(xué)生經(jīng)歷知識的形成過

3、程教學(xué)，從而知其然并知其所以然，體會前人探索的艱辛過程與創(chuàng)新的樂趣通過對橢圓定義的嚴密化，初步體驗扎實嚴謹?shù)目茖W(xué)作風經(jīng)歷橢圓方程的化簡,增強戰(zhàn)勝困難的意志品質(zhì)并體會數(shù)學(xué)的簡潔美、對稱美三、重、難點重點：橢圓的定義、橢圓的標準方程、坐標化的基本思想難點：橢圓標準方程的推導(dǎo)與化簡，坐標法的應(yīng)用關(guān)鍵：含有兩個根式的等式化簡四、教法分析新課程倡導(dǎo)學(xué)生自主學(xué)習，要求教師成為學(xué)生學(xué)習的引導(dǎo)者、組織者、合作者和促進者，使教學(xué)過程成為師生交流、積極互動、共同發(fā)展的過程。本節(jié)課采用讓學(xué)生動手實踐、自主探究、合作交流及教師啟發(fā)引導(dǎo)的教學(xué)方法，按照“情境導(dǎo)入拋出問題解決問題形成理論實踐應(yīng)用回顧反思思維拓展鞏固提高”

4、的程序設(shè)計教學(xué)過程，在突破難點時，讓學(xué)生充分探索化簡的艱難過程，使學(xué)生初步具備冷靜、沉穩(wěn)、準確的化簡習慣。本節(jié)課的難點是橢圓標準方程的推導(dǎo)，為了突破這個難點，在課堂上要盡最大努力讓學(xué)生體會標準方程的推導(dǎo)過程。但課堂上的時間是有限的而學(xué)生的接受能力是有差別的，為此我將推導(dǎo)過程錄了一節(jié)微課供同學(xué)們課后自行學(xué)習使用，從而解決了課堂時間的有限性及學(xué)生接受的差異性，從而使得課堂向課外延伸。同時用多媒體手段輔助教學(xué)，使學(xué)生經(jīng)歷實踐、觀察、猜想、論證、交流、反思等理性思維的基本過程，切實改進學(xué)生的學(xué)習方式，使學(xué)生真正成為學(xué)習的主人五、教學(xué)過程設(shè)計（一）情境導(dǎo)入用2017年4月20日中國發(fā)射首個自主知識產(chǎn)權(quán)的

5、貨運飛船“天舟一號”為切入點引出橢圓，并在生活中尋找橢圓形物體。設(shè)計意圖：使學(xué)生產(chǎn)生學(xué)習興趣和探索欲望（二）學(xué)生實驗體驗數(shù)學(xué)1學(xué)生通過感性認識，動手畫橢圓2展示學(xué)生畫橢圓成果3動態(tài)演示動點生成軌跡的全過程。4通過動態(tài)展示過程，總結(jié)概括橢圓的定義。5引出橢圓的定義：平面上到兩個定點的距離之和為定值（定值大于兩個定點間的距離） 的動點的軌跡是橢圓。設(shè)計意圖：從學(xué)生實驗中導(dǎo)出新課，明確研究課題（三）形成理論建立數(shù)學(xué)1橢圓定義的完善在概括出橢圓定義后，教師用幻燈片給出完善的橢圓定義，并介紹焦點、焦距的定義并提出該橢圓定義是否完善，并對“定義”中的“常數(shù)”的限制進行分析。繼續(xù)深化問題：若常數(shù)=或常數(shù),情

6、況會發(fā)生什么變化？應(yīng)用平面幾何中的“三角形任意兩邊之和大于第三邊”、“兩點之間線段最短”為理論依據(jù)，得出結(jié)論：當常數(shù)=時，與兩個定點的距離之和等于常數(shù)的點的軌跡是線段；當常數(shù)時，與兩個定點的距離之和等于常數(shù)的點的軌跡不存在設(shè)計意圖：使學(xué)生經(jīng)歷橢圓概念的生成和完善過程，提高其歸納概括能力，加深對橢圓本質(zhì)的認識，并逐漸養(yǎng)成嚴謹?shù)目茖W(xué)作風2橢圓的標準方程(1)通過對圓的方程的回顧，引入坐標法求動點軌跡方程的一般步驟：建系設(shè)點、條件列式、代入坐標、化簡方程。(2)建立焦點在軸上的橢圓的標準方程建系設(shè)點：觀察橢圓的幾何特征，如何建系能使方程更簡潔？利用橢圓的對稱性特征以直線為軸，以線段的垂直平分線為軸，

7、建立平面直角坐標系設(shè)焦距為，則設(shè)為橢圓上任意一點，點與點的距離之和為動點滿足的幾何約束條件: 代入坐標：化簡：化簡橢圓方程是本節(jié)課的難點，突破難點的方法是引導(dǎo)學(xué)生思考如何去根號移項后兩次平方法：分析的幾何含義，令得到焦點在軸上的橢圓的標準方程為設(shè)計意圖：進一步熟悉用坐標法求動點軌跡方程的方法，掌握化簡含根號等式的方法，提高運算能力，養(yǎng)成不怕困難的鉆研精神，感受數(shù)學(xué)的簡潔美、對稱美(3)建立焦點在軸上的橢圓的標準方程要建立焦點在軸上的橢圓的標準方程，又不想重復(fù)上述繁瑣的化簡過程，如何去做？此時要借助于化歸思想，抓住圖(1)與圖(2)的聯(lián)系即可化未知為已知，將已知的焦點在軸上的橢圓的標準方程轉(zhuǎn)化為

8、焦點在軸上的橢圓的標準方程通過方程對比發(fā)現(xiàn)，只需將軸、軸的名稱換為軸、軸即可 （1） （2）焦點在軸上的橢圓的標準方程為設(shè)計意圖：體會數(shù)學(xué)中的化歸思想，化未知為已知，避免重復(fù)勞動(4)辨析焦點分別在軸、軸上的橢圓的標準方程的異同點區(qū)別：要判斷焦點在哪個軸上，只需比較與項分母的大小即可若項分母大，則焦點在軸上；若項分母大，則焦點在軸上反之亦然聯(lián)系：它們都是二元二次方程，共同形式為 兩種情況中都有（四）數(shù)學(xué)應(yīng)用鞏固新知例1：已知橢圓的方程為： ，則a_，b_，c_， 焦點坐標為：_ 、_，焦距等于_。如果曲線上一點P到焦點F1的距離為8，則點P到另一個焦點F2的距離等于_。設(shè)計意圖：鞏固橢圓定義例

9、2：若橢圓滿足 焦點在x軸，求該橢圓的標準方程設(shè)計意圖：學(xué)會用待定系數(shù)法求橢圓標準方程變式一：若將“焦點在x軸”的限制條件去掉如何回答？ 設(shè)計意圖：提醒學(xué)生在解題時先要根據(jù)焦點位置判斷使用哪種形式的橢圓標準方程例3若動點P到兩定點F1(4,0)， F2(4,0)的距離之和為8，則動點 P的軌跡為（ ） A. 橢圓 B. 線段F1F2 C. 直線F1F2 D. 不存在設(shè)計意圖：使學(xué)生體會橢圓定義的嚴謹性的重要作用（五）課堂小結(jié)1一個定義：橢圓的定義2兩種方程：橢圓的兩種標準方程3三種數(shù)學(xué)思想：數(shù)形結(jié)合思想、化歸思想、對稱的思想設(shè)計意圖：在總結(jié)時采用“一個知識點、兩種方程、三種思想”的方式，目標明確，重點清晰，易于掌握所學(xué)內(nèi)容，構(gòu)建知識鏈。（六）課后作業(yè)，鞏固提高1思考題：（1）設(shè)計意圖：明確方程表示橢圓的條件，重點區(qū)別