概率統(tǒng)計(jì)模型分析—決策模型

1、概率統(tǒng)計(jì)模型分析決策模型 決策是人們?cè)谏詈凸ぷ髦衅毡榇嬖诘囊环N活動(dòng)，是為解決當(dāng)前或未來(lái)可能發(fā)生的問(wèn)題，選擇最佳方案的一種過(guò)程。比如，某人決定要到某地出差，而天氣預(yù)報(bào)可能有寒流，考慮出差是否要帶棉大衣，帶上棉大衣無(wú)寒流是個(gè)累贅，若不帶又可能遇上寒流而挨凍，到底帶不帶？這就要他作出決策;又如生產(chǎn)某種產(chǎn)品的工廠，若對(duì)此種產(chǎn)品的市場(chǎng)需求不是很了解，生產(chǎn)的數(shù)量太小，影響企業(yè)收入，生產(chǎn)的數(shù)量太大，又勢(shì)必造成產(chǎn)品積壓，影響資金周轉(zhuǎn)，給企業(yè)造成損失，到底生產(chǎn)多少為宜？這就需 要有關(guān)人員通過(guò)市場(chǎng)調(diào)查后作出決策。所以， 小到個(gè)人生活，大至企業(yè)經(jīng)營(yíng)以及國(guó)家的政 治經(jīng)濟(jì)問(wèn)題，都需要決策。一、展銷會(huì)選址問(wèn)題：某公司為

2、擴(kuò)大市場(chǎng)，要舉辦一個(gè)產(chǎn)品展銷會(huì)，會(huì)址打算選擇甲、乙、丙三地，獲利情況除了與會(huì)址有關(guān)外，還與天氣有關(guān)，天氣分為晴、陰、多雨三種，據(jù)天氣預(yù)報(bào)，估計(jì)三種天氣情況可能發(fā)生概率為，其收益情況見(jiàn)表42，現(xiàn)要通過(guò)分析，確定會(huì)址，使收益最大。在決策問(wèn)題中，把面臨的幾種自然情況稱為自然狀態(tài)或客觀條件，簡(jiǎn)稱為狀態(tài)或條件，如N1，N2，N3，這些是不可控因素，把A1，A2，A3稱為行動(dòng)方案或策略，這些是可控因素，至于選擇哪個(gè)方案由決策者決定。表42中右下方的數(shù)字4，6，1，5，4，6，2，稱為益損值，根據(jù)這些數(shù)字的含義不同，有時(shí)也稱為效益值或風(fēng)險(xiǎn)值，由它們構(gòu)成的矩陣 稱為決策的益損矩陣或風(fēng)險(xiǎn)矩陣，表42 中的P1，

3、P2，P3是各狀態(tài)出現(xiàn)的概率。一般地，如果決策問(wèn)題的可控因素，即行動(dòng)方案用Ai（i=1m）表示，狀態(tài)用Nj（j=1n）表示，在Nj狀態(tài)下采用Ai行動(dòng)方案的益損值用aij表示，Nj狀態(tài)下的概率用Pj（j=1n）表示，可得到?jīng)Q策矩陣（或稱益損矩陣）的一般結(jié)構(gòu)，如表43所 示。二、風(fēng)險(xiǎn)決策問(wèn)題當(dāng)n1，且各種自然狀態(tài)出現(xiàn)的概率 可通過(guò)某種途徑獲得時(shí)的決策問(wèn)題，就是風(fēng)階決策問(wèn)題。如例就是風(fēng)險(xiǎn)決策問(wèn)題，對(duì)于這類問(wèn)題，我們介紹兩種決策準(zhǔn)則和相應(yīng)的解決方法。 1. 最大可能準(zhǔn)則 由概率論知識(shí)，一個(gè)事件的概率就是該事件在一次試驗(yàn)中發(fā)生的可能性大小，概率越大，事件發(fā)生的可能性就越大?；谶@種思想，在風(fēng)險(xiǎn)決策中我們

4、選擇一種發(fā)生概率最大的自然狀態(tài)來(lái)進(jìn)行決策，而不顧及其他自然狀態(tài)的決策方法，這就是最大可 能準(zhǔn)則。這個(gè)準(zhǔn)則的實(shí)質(zhì)是將風(fēng)險(xiǎn)型決策問(wèn) 題轉(zhuǎn)化為確定型決策問(wèn)題的一種決策方法。 若對(duì)例按最大可能準(zhǔn)則進(jìn)行決策，則因?yàn)樽匀粻顟B(tài) 出現(xiàn)的概率 最大，因此就在這種自然狀態(tài)下進(jìn)行決策，通過(guò)比較可知，采取 行動(dòng)方案獲利最大。因此，采用 方案是最優(yōu)決策。 應(yīng)該指出，如果各自然狀態(tài)的概率較接近時(shí)，一般不使用這種決策準(zhǔn)則。 2.期望值準(zhǔn)則（決策樹(shù)法） 如果把每個(gè)行動(dòng)方案看作隨機(jī)變量，在每個(gè)自然狀態(tài)下的效益值看作隨機(jī)變量的取值，其概率為自然狀態(tài)出現(xiàn)的概率，則期望值準(zhǔn)則就是將每個(gè)行動(dòng)方案的數(shù)學(xué)期望計(jì)算出來(lái)，視其決策目標(biāo)的情況選

5、 擇最優(yōu)行動(dòng)方案。 若對(duì)例按期望值準(zhǔn)則進(jìn)行決策，則需要計(jì)算各行動(dòng)方案的期望收益，事實(shí)上顯然， 最大，所以采取行動(dòng)方案 最佳，即選擇甲地舉辦展銷會(huì)效益最大。 值得提出的是，為了形象直觀地反映決策問(wèn)題未來(lái)發(fā)展的可能性和可能結(jié)果所作的預(yù)測(cè)而采用的決策樹(shù)法就是按期望值準(zhǔn)則進(jìn)行決策的一種方案。以例來(lái)說(shuō)明其決策步驟。例的決策樹(shù)如圖41所示，其中： 表示決策點(diǎn)，從它引出的分枝叫方案分 枝，其數(shù)目就是方案數(shù) 表示機(jī)會(huì)節(jié)點(diǎn)，從它引出的分支叫概率分 支，每條概率分支代表一種自然狀態(tài)，并標(biāo) 有相應(yīng)狀態(tài)發(fā)生的概率。 稱為末稍節(jié)點(diǎn)，右邊數(shù)字表示各方案在不同 自然狀態(tài)下的益損值。 計(jì)算各機(jī)會(huì)節(jié)的期望值，并將結(jié)果標(biāo)在節(jié)點(diǎn)止

6、方，再比較各機(jī)會(huì)節(jié)點(diǎn)上標(biāo)值的大小，進(jìn)行決策，在淘汰方案分枝上標(biāo)“”號(hào)，余下方案即為最優(yōu)方案，最優(yōu)方案的期望值標(biāo)在決策點(diǎn)的上方。本例上方標(biāo)為最大，因此選定方案 ，其收益數(shù)值的期望。 投資決策 問(wèn)題的提出投資決策問(wèn)題：為了生產(chǎn)某種產(chǎn)品，設(shè)計(jì)了兩個(gè)基建方案，一是建大廠，二是建小廠，大廠需要投資300萬(wàn)元，小廠需要投資160萬(wàn)元，兩者的使用期都是10年。估計(jì)在此期間，產(chǎn)品銷路好的可能性是，銷路差的可能性是，若銷路好，建大廠每年收益100萬(wàn)元，建小廠每年收益40萬(wàn)元；若銷路差，建大廠每年損失20萬(wàn)元，建小廠每年收益10萬(wàn)元（詳見(jiàn)表31），試問(wèn)應(yīng)建大廠還是建小廠？進(jìn)一步的，將投資分為前三年和后七年兩期考慮

7、，根據(jù)市場(chǎng)預(yù)測(cè)，前三年銷路好的概率為，而如果前 三年的銷路好，則后七年銷路好的概率為，如果前三年的銷路差，則后七年的銷路肯定差，在這種情況下，建大廠和建小廠哪個(gè)方案好？圖41 決策樹(shù)注意：決策問(wèn)題的目標(biāo)如果是效益（如利潤(rùn)、投資、回報(bào)等）應(yīng)取期望值的最大值，如果決策目標(biāo)是費(fèi)用的支出或損失，則應(yīng)取期望值的最小值。（2）多級(jí)決策問(wèn)題下面以投資決策問(wèn)題為例，說(shuō)明決策方法。（a）畫(huà)決策樹(shù)（圖42） （b）計(jì)算各點(diǎn)的益損期望值：點(diǎn)2：0.7100+0.3(-20)10(年)-300（大廠投資）=340萬(wàn)元點(diǎn)3：0.740+0.31010(年)-160（小廠投資）=150萬(wàn)元由此可見(jiàn)，建大廠的方案是合理的。

8、現(xiàn)在考慮一種情況：假定對(duì)投資決策問(wèn)題分為前三年和后七年兩期考慮。根據(jù)市場(chǎng)預(yù)測(cè)，前三年銷路好的概率為，而如果前三年銷路好，則后七年銷路好的概率為，如果前三年銷路差，則后七年的銷路肯定差，在這種情況下，建大廠和建小廠那個(gè)方案好？（a）畫(huà)出決策樹(shù)如下（圖43）圖43 決策樹(shù)（b）計(jì)算各點(diǎn)的益損期望值點(diǎn)4：0.9100+0.1(20)7(年)=616萬(wàn)元點(diǎn)5：1.0(20)7(年)= 140萬(wàn)元點(diǎn)2：0.71003(年)+0.7616+0.3(20)3(年)+0.3(140) 300(大廠投資)=281.2點(diǎn)6：0.940+0.1107(年)=259點(diǎn)7：1.0107(年)=70點(diǎn)3：0.7403(年

9、)+0.7259+0.3103(年)+0.370160(小廠投資)=135.3通過(guò)比較，建大廠仍然是合理方案。上例只包括一個(gè)決策點(diǎn)，稱為單級(jí)決策問(wèn)題。在有此實(shí)際問(wèn)題中將包括兩個(gè)或兩個(gè)以上的決策點(diǎn)，稱為多級(jí)決策問(wèn)題，可利用同樣的思路進(jìn)行決策。 例4.2 某工程采正常速度施工，若無(wú)壞天氣的影響，可確保在30天內(nèi)按期完成工程，但據(jù)天氣預(yù)報(bào)，15天后肯定變壞，有40%的可能出現(xiàn)陰雨天氣，但這不會(huì)影響工程進(jìn)度;有50%的可能遇到小風(fēng)暴而使工期推遲15天;另有10%的可能遇到大風(fēng)暴而使工期推遲20天。對(duì)于以上可能出現(xiàn)的情況，考慮兩種方案：（1）提前加班，確保工程在15天內(nèi)完成，實(shí)施 此方案需增加額外支付1

10、8 000元。（2）先維持原定的施工進(jìn)度，等到15天后根據(jù) 實(shí)際出現(xiàn)的天氣狀況再作對(duì)策： a）若遇陰雨天，則維持正常進(jìn)度，不必支付額外 費(fèi)用。 b）若遇小風(fēng)暴，則有下述兩個(gè)供選方案：一是抽空（風(fēng)暴過(guò)后）施工，支付工程延期損失費(fèi)20 000元，二是采用應(yīng)急措施，實(shí)施此措施可能有三種結(jié)果：有50%的可能減少誤工期1天，支付延期損失費(fèi)和應(yīng)急費(fèi)用24 000元; 的可能減少誤工期2天，支付延期損失費(fèi)和應(yīng)急費(fèi)用18 000元;有20%的可能減少 誤工期3天支付延期損失費(fèi)和應(yīng)急費(fèi)用 12 000元。3）若遇大風(fēng)暴，則仍然有兩個(gè)方案可供選擇： 一是抽空進(jìn)行施工，支付工程的延期損失費(fèi) 50 000元;二是采取

11、應(yīng)急措施，實(shí)施此措施可能 有三種結(jié)果：有70%的可能減少誤工期 2天，支付 延期損失費(fèi)及應(yīng)急費(fèi)用54 000元;有20%可能減小 誤工期3天，支付延期損失費(fèi)及應(yīng)急費(fèi)用46 000元;有10%的可能減少誤工期4天，支付延期損失費(fèi)及應(yīng)急費(fèi)用38 000元。 試進(jìn)行決策，選擇最佳行動(dòng)方案。 解 （1）據(jù)題意畫(huà)出決策樹(shù)，如圖44。（2）計(jì)算第一級(jí)機(jī)會(huì)點(diǎn)E,F的損失費(fèi)用期望值 將19 800和50 800標(biāo)在相應(yīng)的機(jī)會(huì)點(diǎn)上，然后在第一級(jí)決策點(diǎn)C,D外分別進(jìn)行方案比較：首先考察C點(diǎn)，其應(yīng)急措施支付額外費(fèi)用的期望值較少，故它為最佳方案，同時(shí)劃去抽空施工的方案分枝，再在C上方標(biāo)明最佳方案期望損失費(fèi)用19 80

12、0元;再考慮D外的情況，應(yīng)急措施比抽空施工支付的額外費(fèi)用的期望值少，故劃去應(yīng)急措施分標(biāo)，在D上方標(biāo)上 50 000元。 （3）計(jì)算第二級(jí)機(jī)會(huì)點(diǎn)B的損失費(fèi)用期望值 將其標(biāo)在B的上方，在第二級(jí)決策點(diǎn)A處進(jìn)行比較，發(fā)現(xiàn)正常進(jìn)度方案為最佳方案，故劃去提前加班的方案分枝，并將14 900標(biāo)在A點(diǎn)上方。 因此，合理的決策應(yīng)是開(kāi)始以正常施工進(jìn)度進(jìn)行施工，15天后再根據(jù)具體情況作進(jìn)一步?jīng)Q策，若出現(xiàn)陰雨天，則維持正常 速度;若出現(xiàn)小風(fēng)暴可采用應(yīng)急措施;若出現(xiàn)大風(fēng)暴，則進(jìn)行抽空施工。三、不確定型決策 當(dāng)風(fēng)險(xiǎn)決策問(wèn)題的自然狀態(tài)發(fā)生的概率既不知道、也無(wú)法預(yù)先估計(jì)或利用歷史資料得到時(shí)的決策問(wèn)題就稱為不確定型決策問(wèn)題。仍

13、用 ，表示決策問(wèn)題中的自然狀態(tài)，表示行動(dòng)方案， 表示在自然狀態(tài) 下采取第 種行動(dòng)方的益損值。若 為效益值時(shí)取正值;若 為損失值時(shí)取負(fù)值。下面介紹幾不確定型 的決策則。 1. 樂(lè)觀準(zhǔn)則 樂(lè)觀準(zhǔn)則的思想就是對(duì)客觀情況總是持樂(lè)觀態(tài)度，事事都合人意，即選最大效益的最大值 所對(duì)應(yīng)的行動(dòng)方案作為決策。 2. 悲觀準(zhǔn)則 悲觀準(zhǔn)則的思想就是對(duì)客觀情況總是持悲觀態(tài)度，萬(wàn)事都不會(huì)如意，即總是把事情的結(jié)果估計(jì)的很不利，因此就在最壞的情況下找一個(gè)較好的行動(dòng)方案。也就是在每個(gè)狀態(tài)下的最小效益值中選最大值 所對(duì)應(yīng)的行動(dòng)方案作為決策。 3. 等可能準(zhǔn)則 等可能準(zhǔn)則的思想就是既然不能斷定哪種 自然狀態(tài)出的可能性的大小，就認(rèn)為

14、各自然狀 態(tài)出現(xiàn)的可能性相同，即 。然后按 風(fēng)險(xiǎn)決策的方法進(jìn)行決策。例4.3 某廠有一種新產(chǎn)品，其推銷策略有 三種可供選擇，但各方案所需資金、時(shí)間都不同，加上市場(chǎng)情況的差別，因而獲利和虧損情況不同，而市場(chǎng)情況有三種： 需求量大， 需求量一般， 需求量低。市場(chǎng)情況的概率并不知道，其效益值見(jiàn)表43。 （1）用樂(lè)觀法進(jìn)行決策。 （2）用悲觀法進(jìn)行決策。 （3）用等可能法進(jìn)行決策。 表4-3解 （1）因?yàn)槊總€(gè)行動(dòng)方案在各種狀態(tài)下的最大效益值為所以最大效益的最大值為其最大值50對(duì)應(yīng)的行動(dòng)方案為 ，因此用樂(lè)觀法的決策結(jié)果是執(zhí)行策略 。 （2）因?yàn)槊總€(gè)行動(dòng)方案在各種狀態(tài)下的最小值為所以，最小效益值的最大值為

15、其最大值10對(duì)應(yīng)的行動(dòng)方案為 。因此用悲觀法決策的結(jié)果是應(yīng)執(zhí)行策略 。（3）取 計(jì)算出各行動(dòng)方案的期望值為 顯然 都達(dá)到最大值，這時(shí)究竟選那一個(gè)策略可由決策者的偏好決定，若是樂(lè)觀型的，可選 ，否則選 。 從本例可以看出，對(duì)不確定型的決策問(wèn)題，采用不同的決策準(zhǔn)則所得到的結(jié)果并非無(wú)全一致。但難說(shuō)哪個(gè)準(zhǔn)則好，哪個(gè)準(zhǔn)則不好。究竟在實(shí)際問(wèn)題中采用哪個(gè)準(zhǔn)則，依決策者對(duì)各種自然狀態(tài)的看法而定。因此，為了改進(jìn)不確定型決策，人們總是設(shè)法得到各自然狀態(tài)發(fā)生的概率，然后進(jìn)行決策。討論題：抗災(zāi)決策根據(jù)水情資料，某地汛期出現(xiàn)水平水情的概率為，出現(xiàn)高水水情的概率為，出現(xiàn)洪水水情的概率為。位于江邊的某工地對(duì)其大型施工設(shè)備擬

16、定三個(gè)處置方案：（1）運(yùn)走需支付運(yùn)費(fèi)18萬(wàn)元；（2）修堤壩保護(hù)，須支付修壩費(fèi)5萬(wàn)元；（3）不作任何防范，不需任何支出；若采用方案（1），那么無(wú)論出現(xiàn)任何水情都不會(huì)遭受損失；若采用方案（2），則緊當(dāng)發(fā)生洪水時(shí)，因堤壩沖垮而損失600萬(wàn)元的設(shè)備；若采用方（3），那么當(dāng)出現(xiàn)平水水位時(shí)不遭受損失，發(fā)生高水位時(shí)損 失部分設(shè)備100萬(wàn)元，發(fā)生洪水時(shí)損失設(shè)備 600萬(wàn)元。根據(jù)上述條件，選擇最佳方案。決策樹(shù) 由此看來(lái)，運(yùn)走是最佳方案ABC運(yùn)走修壩不發(fā)生洪水 發(fā)生洪水 不 防平水位 高水位 發(fā)生洪水 -18萬(wàn)元-5萬(wàn)元-605萬(wàn)元0-100萬(wàn)元-600萬(wàn)元-65-80-184.3 最佳預(yù)訂票策略 問(wèn)題的提出在激

17、烈的市場(chǎng)競(jìng)爭(zhēng)中，航空公司為爭(zhēng)取更多的客源而開(kāi)展的一個(gè)優(yōu)質(zhì)服務(wù)項(xiàng)目是預(yù)訂票業(yè)務(wù)。公司承諾，預(yù)先訂購(gòu)機(jī)票的乘客如果未能按時(shí)前來(lái)登機(jī)，可以乘坐下一班機(jī)或退票，無(wú)需附加任何費(fèi)用。當(dāng)然也可以訂票時(shí)只訂座，登機(jī)時(shí)才付款，這兩種辦法對(duì)于下面的討論是等價(jià)的。設(shè)某種型號(hào)的飛機(jī)容量為n，若公司限制預(yù)定n張機(jī)票，那么由于總會(huì)有一些訂了機(jī)票的乘客不按時(shí)來(lái)登機(jī)，致使飛機(jī)因不滿員飛行而利潤(rùn)降低，甚至虧本，如果不限制訂票數(shù)量呢，那么當(dāng)持票按時(shí)前來(lái)登機(jī)的乘客超過(guò)飛機(jī)容量時(shí)，必然會(huì)引起那些不能登機(jī)飛走的乘客（以下稱被擠掉者）的抱怨，公司不管以什么方式予以補(bǔ)救，也會(huì)導(dǎo)致受損和一定的經(jīng)濟(jì)損失，如客員減少，擠掉以后班機(jī)乘客，公司無(wú)償

18、供應(yīng)食宿，付給一定的賠償金等。這樣，綜合考慮公司經(jīng)濟(jì)利益，必然存在一個(gè)恰當(dāng)訂票數(shù)量和限額。 假設(shè)飛機(jī)容量為300，乘客準(zhǔn)時(shí)到達(dá)機(jī)場(chǎng)而未乘上飛機(jī)賠償費(fèi)是機(jī)票價(jià)格的10%，飛行費(fèi)用與飛機(jī)容量、機(jī)票價(jià)格成正比（由統(tǒng)計(jì)資料知，比例系數(shù)為，乘客不按時(shí)前來(lái)登機(jī)的概率為），請(qǐng)你: 1）建立一個(gè)數(shù)學(xué)模型，給出衡量公司經(jīng)濟(jì)利益和社會(huì)聲譽(yù)的指標(biāo)，對(duì)上述預(yù)定票業(yè)務(wù)確定最佳的預(yù)定票數(shù)量。2）考慮不同客源的不同需要，如商人喜歡上述這種無(wú)約束的預(yù)定票業(yè)務(wù)，他們寧愿接受較高的票價(jià)，而按時(shí)上下班的雇員或游客，會(huì)愿意以若不能按時(shí)前來(lái)登機(jī)則機(jī)票失效為代價(jià)，換取較低額的票價(jià)。公司為降低風(fēng)險(xiǎn)，可以把后者作為基本客源。根據(jù)這種實(shí)際情況

19、，制定更好的預(yù)訂票策略。4.4.2 模型的假設(shè)及符號(hào)說(shuō)明（1）模型的假設(shè)假設(shè)預(yù)訂票的乘客是否按時(shí)前來(lái)登機(jī)是隨機(jī)的。假設(shè)已預(yù)訂票的乘客不能前來(lái)登機(jī)的乘客數(shù)是一個(gè)隨機(jī)變量。假設(shè)飛機(jī)的飛行費(fèi)用與乘客的多少無(wú)關(guān)。（2）符號(hào)說(shuō)明n：飛機(jī)的座位數(shù)，即飛機(jī)的容量；g：機(jī)票的價(jià)格；f：飛行的費(fèi)用；b：乘客準(zhǔn)時(shí)到達(dá)機(jī)場(chǎng)而未乘上飛機(jī)的賠償費(fèi)；m：售出的機(jī)票數(shù)；k：已預(yù)訂票的乘客不能前來(lái)登機(jī)的乘客數(shù)，即遲到的乘客數(shù)，它是一個(gè)隨機(jī)變量；pk：已預(yù)訂票的m個(gè)乘客中有k個(gè)乘客不能按時(shí)前來(lái)登機(jī)的概率；p：每位乘客遲到的概率；Pj（m）：已預(yù)訂票前來(lái)登機(jī)的乘客中至少擠掉j人的概率，即社會(huì)聲譽(yù)指標(biāo)；S：公司的利潤(rùn)；ES：公司的

20、平均利潤(rùn)。 問(wèn)題的分析及數(shù)學(xué)模型（1）問(wèn)題的分析通過(guò)上面引進(jìn)的符號(hào)易知，賠償費(fèi)b，飛行費(fèi)用fng，每位乘客遲到的概率p，已預(yù)訂票的m個(gè)乘客中，恰有k個(gè)乘客不能按時(shí)前來(lái)登機(jī)，即遲到的乘客數(shù)k服從二項(xiàng)分布B（m，p），此時(shí)，當(dāng)m-kn時(shí)，說(shuō)明m-k個(gè)乘客全部登機(jī)，此時(shí)利潤(rùn)S =（m - k）g - f當(dāng)m-kn時(shí)，說(shuō)明有n個(gè)乘客登機(jī)，有m-k-n個(gè)乘客沒(méi)有登上飛機(jī)，即被擠掉了，此時(shí)利潤(rùn)S = ng f - (m k - n) b根據(jù)以上的分析，利潤(rùn)S可表示為：遲到的乘客數(shù)k=0,1,2,m-n-1時(shí)，說(shuō)明有m-k-n個(gè)乘客被擠掉；遲到的乘客數(shù)k=m-n，m-n+1，m時(shí)，說(shuō)明已來(lái)的m-k個(gè)乘客全部登機(jī)了。于是平均利潤(rùn)因?yàn)樗杂捎趉B（n，p）， ，可知，隨機(jī)變量k的數(shù)學(xué)期望E（k）=mp，此時(shí)，（2）數(shù)學(xué)模型通過(guò)以上對(duì)問(wèn)題的分析，可以在一定的社會(huì)聲譽(yù)指標(biāo)Pj（m）范圍內(nèi)，尋求合適的m，根據(jù)fNg的關(guān)系，使得目標(biāo)函數(shù)ES/f達(dá)到最大，即 下面考慮社會(huì)聲譽(yù)指標(biāo)。由于m=n+k+j，所以k=m-n-j，即當(dāng)被擠掉的乘客數(shù)為j時(shí)，等價(jià)的說(shuō)法是恰有m-n-j個(gè)遲到的乘客。 公司希望被擠掉的乘客人數(shù)不要太多，被擠掉的概率不要太大，可用至少擠掉j人的概率作為聲譽(yù)指標(biāo)，相應(yīng)地