投影法及其分類(lèi)

1、2.1 投影法及其分類(lèi)2.2 點(diǎn)的投影2.3 直線(xiàn)的投影2.4 平面的投影 2.5 直線(xiàn)平面及兩平面的相對(duì)位置第2章 點(diǎn)、直線(xiàn)、平面的投影1平行投影法中心投影法1 投影法及其分類(lèi)投影法投射線(xiàn)物體投影面投影投射線(xiàn)通過(guò)物體，向選定的平面進(jìn)行投射，并在該面上得到圖形的方法投影法。投射中心斜投影法正投影法2中心投影法 投射中心、物體、投影面三者之間的相對(duì)距離對(duì)投影的大小有影響。度量性較差。投 影 特 性物體位置改變，投影大小也改變。投射線(xiàn)物體投影面投影投射中心3平行投影法投 影 特 性投影：大小與物體和投影面之間的距離無(wú)關(guān) 度量性較好。工程圖樣多數(shù)采用正投影法繪制。4投影法中心投影法平行投影法正投影法

2、斜投影法5 PbAP 過(guò)空間點(diǎn)A的投射線(xiàn)與投影面P的交點(diǎn)即為點(diǎn)A在P面上的投影。B3B2B1 點(diǎn)在一個(gè)投影面上的投影不能確定點(diǎn)的空間位置。2.2.1 點(diǎn)在一個(gè)投影面上的投影a2.2 點(diǎn)的投影62.2.2 點(diǎn)在兩投影面體系中的投影 投影面 正面投影面（簡(jiǎn)稱(chēng) 正面或V面） 水平投影面（簡(jiǎn)稱(chēng) 水平面或H面）投影軸 ox軸（簡(jiǎn)稱(chēng)x軸）V面與H面的交線(xiàn)HVOX兩個(gè)投影面互相垂直VH7空間點(diǎn)A在兩個(gè)投影面上的投影a點(diǎn)A的水平投影a點(diǎn)A的正面投影XOVHAaaxa注意： 空間點(diǎn)用大寫(xiě)字母表示，點(diǎn)的投影用小寫(xiě)字母表示。8XOVHAaa點(diǎn)的投影規(guī)律:1.aaOX軸2. aax aaxxa=Aa（A到V面的距離）

3、=Aa（A到H面的距離）VaaaX投影面展開(kāi)省略不畫(huà)繞X軸下旋轉(zhuǎn)90不動(dòng)H9HWV2.2.3 點(diǎn)在三投影面體系中的投影投影面正面投影面（簡(jiǎn)稱(chēng)正 面或V面）水平投影面（簡(jiǎn)稱(chēng)水 平面或H面）側(cè)面投影面（簡(jiǎn)稱(chēng)側(cè) 面或W面）投影軸OXZOX軸 V面與H面的交線(xiàn)OZ軸 V面與W面的交線(xiàn)OY軸 H面與W面的交線(xiàn)三個(gè)投影面互相垂直Y10空間點(diǎn)A在三個(gè)投影面上的投影a 點(diǎn)A的水平投影a點(diǎn)A的正面投影a點(diǎn)A的側(cè)面投影XZOVHWAaaaxaazayY11XYZOVHWAaaaxaazay繞Z軸向右旋轉(zhuǎn)90繞X軸向下旋轉(zhuǎn)90不動(dòng)投影面展開(kāi)WVHaaxazZaayayaXYH YWO 省略不畫(huà)12XYZOVHWAa

4、aa點(diǎn)的投影規(guī)律:1. aaOX軸2. aax= aax=xaazayYWZazaXYHayWOaaxayHa aaOZ軸=y=Aa（A到V面的距離）aaz=x=Aa（A到W面的距離）aay=z=Aa （A到H面的距離）aazaay=13aaax例：已知點(diǎn)A的兩個(gè)投影a, a, 求第三aaaaxazaz解法一:解法二:aZOXYWYHZOXYHYW投影a。142.2.4 兩點(diǎn)的相對(duì)位置 兩點(diǎn)的相對(duì)位置指兩點(diǎn)在空間的上下、前后、左右位置關(guān)系。判斷方法：x 坐標(biāo)大的在左 y 坐標(biāo)大的在前z 坐標(biāo)大的在上B點(diǎn)在A點(diǎn)之前、之右、之下。baa abbXYHYWZo15( )a cc重影點(diǎn)： 空間兩點(diǎn)在某

5、一投影面上的投影重合為一點(diǎn)時(shí)，則稱(chēng)此兩點(diǎn)為該投影面的重影點(diǎn)。aac被擋住的投影加( )ZXYWOYH16aa abbb2.3 直線(xiàn)的投影 兩點(diǎn)確定一條直線(xiàn)，將兩點(diǎn)的同面投影用直線(xiàn)連接，就得到直線(xiàn)的同名投影。 直線(xiàn)對(duì)一個(gè)投影面的投影特性3.1 直線(xiàn)的投影特性 BAab直線(xiàn)垂直于投影面 投影重合為一點(diǎn) 積 聚 性直線(xiàn)平行于投影面 投影反映線(xiàn)段實(shí)長(zhǎng) ab=AB直線(xiàn)傾斜于投影面 投影比空間線(xiàn)段短 ab=AB.cosABabAMBa（m）（b）172.3.1 直線(xiàn)在三個(gè)投影面中的投影特性投影面平行線(xiàn) 平行于某一投影面而 與其余兩投影面傾斜投影面垂直線(xiàn)正平線(xiàn)（平行于面）側(cè)平線(xiàn)（平行于面）水平線(xiàn)（平行于面)

6、正垂線(xiàn)（垂直于面）側(cè)垂線(xiàn)（垂直于面）鉛垂線(xiàn)（垂直于面）一般位置直線(xiàn)與三個(gè)投影面都傾斜的直線(xiàn)統(tǒng)稱(chēng)特殊位置直線(xiàn)垂直于某一投影面 其投影特性取決于直線(xiàn)與三個(gè)投影面間的相對(duì)位置。18 投影面平行線(xiàn)XZbaaabbOYHYW水平線(xiàn)實(shí)長(zhǎng)在其平行的那個(gè)投影面 上的投影反映實(shí)長(zhǎng)，并 反映直線(xiàn)與另兩投影面 傾角的真實(shí)大小。另兩個(gè)投影面上的投影 平行于相應(yīng)的投影軸， 其到相應(yīng)投影軸距離反 映直線(xiàn)與它所平行的投 影面之間的距離。投影特性：VHabAaaBbbWZoXY19判斷下列直線(xiàn)是什么位置的直線(xiàn)？側(cè)平線(xiàn)正平線(xiàn)與H面的夾角: 與V面的夾角:與W面的夾角:實(shí)長(zhǎng)實(shí)長(zhǎng)baababbaabba直線(xiàn)與投影面夾角的表示法：Z

7、OXYWYHZOXYHYW20 反映線(xiàn)段實(shí)長(zhǎng)，且垂直 于相應(yīng)的投影軸。 投影面垂直線(xiàn)鉛垂線(xiàn)正垂線(xiàn)側(cè)垂線(xiàn)2.另外兩個(gè)投影，1. 在其垂直的投影面 上，投影有積聚性。投影特性:aba(b)abc(d)cddcef efe(f)ZXOYHYWZOXYHYWZXOYHYW21 一般位置直線(xiàn)ZYHaOXabbaYWb 三個(gè)投影都傾斜于投影軸，其與投影軸的夾角并不反映空間線(xiàn)段與三個(gè)投影面夾角的大小。三個(gè)投影的長(zhǎng)度均比空間線(xiàn)段短，即都不反映空間線(xiàn)段的實(shí)長(zhǎng)。投影特性:HaaAbVBbWabZXOY22cacXabcYWYHbOaZbcAHacaVbBabcCbW2.3.2 直線(xiàn)與點(diǎn)的相對(duì)位置 若點(diǎn)在直線(xiàn)上,

8、則點(diǎn)的投影必在直線(xiàn)的同面投影上。 點(diǎn)的投影將線(xiàn)段的同面投影分割成與空間線(xiàn)段相同的比例。即：AC:CB=ac:cb=ac:cb=ac:cb定比定理XYOZ23例1：判斷點(diǎn)C是否在線(xiàn)段AB上。cabcababcabc在不在abcaabcbc不在應(yīng)用定比定理另一判斷法?XXZXOYHYW24例2：已知點(diǎn)K在線(xiàn)段AB上，求點(diǎn)K正面投影。解法一： （應(yīng)用第三投影）解法二： （應(yīng)用定比定理）aa bbkabkkaabbkkXZOXYHYW252.3.3 兩直線(xiàn)的相對(duì)位置空間兩直線(xiàn)的相對(duì)位置分為： 平行、相交、交叉（異面）。 兩直線(xiàn)平行 空間兩直線(xiàn)平行，則其各同面投影必相互平行，反之亦然。bcdHAdaCc

9、VaDbBacdbcdabOXOX26例：判斷圖中兩條直線(xiàn)是否平行。 對(duì)于一般位置直線(xiàn)，只要有兩組同面投影互相平行，空間兩直線(xiàn)就平行。AB與CD平行。AB與CD不平行。 對(duì)于特殊位置直線(xiàn)，只有兩組同面投影互相平行，空間直線(xiàn)不一定平行。cbaddbacbdcaZXOYHYWdZabccabdOXYHYWabcd272.3.4 兩直線(xiàn)相交 若空間兩直線(xiàn)相交，則其同面投影必相交，且交點(diǎn)的投影必符合空間一點(diǎn)的投影特性。HacVXbDacdkCAkKdbOBcabd bacdkkX28cdkkd例1：過(guò)C點(diǎn)作水平線(xiàn)CD與AB相交。先作正面投影abbacX29例2：判斷直線(xiàn)AB、CD的相對(duì)位置。cabda

10、bcd相交嗎？不相交！為什么？ 交點(diǎn)不符合空間一點(diǎn)的投影特性。判斷方法？ 應(yīng)用定比原理 利用側(cè)面投影X302.3.5 兩直線(xiàn)交叉為什么？?jī)芍本€(xiàn)相交嗎？不相交！ 交點(diǎn)不符合點(diǎn)的投影規(guī)律！cacabddbOXaccAaCVbHddDBbX31accAaCVbHddDBbcacabddbOX1(2)21投影特性： 同面投影可能相交，但 “交點(diǎn)”不符合空間一點(diǎn)的投影規(guī)律。 “交點(diǎn)”是兩直線(xiàn)上的一 對(duì)重影點(diǎn)的投影，用其可幫助判斷兩直線(xiàn)的空間位置。211(2)43(4 )33(4 )34322.4 平面的投影2.4.1 平面的表示法不在同一直線(xiàn)上的三個(gè)點(diǎn) 直線(xiàn)及線(xiàn)外一點(diǎn)abcabcdd兩平行直線(xiàn)abcab

11、c兩相交直線(xiàn)平面圖形cabcabcababcbacabcXXXXX332.4.2 平面的投影特性垂直傾斜投 影 特 性平面平行投影面投影反映實(shí)形平面垂直投影面投影積聚成直線(xiàn)平面傾斜投影面投影為縮小類(lèi)似形 平面對(duì)一個(gè)投影面的投影特性平行ABCabcABCabcABCabc341. 平面在三投影面體系中的投影特性平面對(duì)于三投影面的位置可分為三類(lèi)：投影面垂直面 投影面平行面一般位置平面特殊位置平面垂直于某一投影面，傾斜于另兩個(gè)投影面平行于某一投影面， 垂直于另兩個(gè)投影面與三個(gè)投影面都傾斜 正垂面 側(cè)垂面 鉛垂面 側(cè)平面 正平面 水平面35cc 投影面垂直面abcabba積聚性投影特性： 在它垂直的投

12、影面上的投影積聚成直線(xiàn)。該直線(xiàn)與投影軸的夾角反映空間平面與另外兩投影面夾角的大小。另外兩個(gè)投影面上的投影為類(lèi)似形。ZXOYHYW36abcabcabc 投影面平行面實(shí) 形投影特性：在它所平行的投影面上的投影反映實(shí)形。 另兩個(gè)投影面上的投影分別積聚成與相應(yīng)的投影軸平行的直線(xiàn)。ZXOYHYW37abcacbabc 一般位置平面三個(gè)投影都為類(lèi)似形。投影特性：ZXOYHYW38acbcaabcb例：正垂面ABC與H面的夾角為45，已知其水平投影及頂點(diǎn)B的正面投影，求ABC的正面投影及側(cè)面投影。思考：此題有幾個(gè)解？45ZXOYHYW392.4.3 平面上的直線(xiàn)和點(diǎn)位于平面上的直線(xiàn)應(yīng)滿(mǎn)足的條件： 平面上取

13、任意直線(xiàn)MNABM若一直線(xiàn)過(guò)平面上的兩點(diǎn)，則此直線(xiàn)必在該平面內(nèi)。 若一直線(xiàn)過(guò)平面上的一點(diǎn)且平行于該平面上的另一直線(xiàn)，則此直線(xiàn)在該平面內(nèi)。 PQ40abcbca d d例1：已知平面由直線(xiàn)AB、AC所確定，試在 平面內(nèi)任作一條直線(xiàn)。解法一：解法二：nmnmabcbcaXX41例2：在平面ABC內(nèi)作一條水平線(xiàn)，使其到 H面的距 離為10mm。nmnm10cabcab 唯一解！有多少解？X42 平面上取點(diǎn) 先找出過(guò)此點(diǎn)而又在平面內(nèi)的一條直線(xiàn)作為輔助線(xiàn)，然后再在該直線(xiàn)上確定點(diǎn)的位置。例1：已知K點(diǎn)在平面ABC上，求K點(diǎn)的水平投影。bacakbc 面上取點(diǎn)的方法：dd利用平面的積聚性求解通過(guò)在面內(nèi)作輔助

14、線(xiàn)求解kabcabkckXX43bckadad bckb例2：已知AC為正平線(xiàn)，補(bǔ)全平行四邊形 ABCD的水平投影。解法一：解法二：cadadbcXX44de1010mm例3：在ABC內(nèi)取一點(diǎn)M，并使其到H面V面的 距離均為10mm。bcXbcaaOed452.5 直線(xiàn)與平面及兩平面的相對(duì)位置相對(duì)位置包括平行、相交和垂直。2.5.1 平行問(wèn)題 直線(xiàn)與平面平行 若平面外的一直線(xiàn)平行于平面內(nèi)的某一直線(xiàn)，則該直線(xiàn)與該平面平行。直線(xiàn)與平面平行 平面與平面平行46nacbmabcmn例1：過(guò)M點(diǎn)作直線(xiàn)MN平行于平面ABC。ddX有無(wú)數(shù)解。47例2：過(guò)M點(diǎn)作直線(xiàn)MN平行于V面和平面 ABC。cbamabc

15、mnnddX48 兩平面平行 若一平面上的兩相交直線(xiàn)分別平行于另一平面上的兩相交直線(xiàn)，則這兩平面相互平行。 若兩投影面垂直面相互平行，則它們具有積聚性的那組投影必相互平行。cfbdeaabcdeffgabcdefgabcdeXX49acebbaddfcfekhkhOXmm由于ek不平行于ac,故兩平面不平行。例：判斷平面ABDC與平面EFHM是否平行， 已知ABCDEFMH50 直線(xiàn)與平面相交，其交點(diǎn)是直線(xiàn)與平面的共有點(diǎn)。2.5.2 相交問(wèn)題直線(xiàn)與平面相交平面與平面相交 直線(xiàn)與平面相交要討論的問(wèn)題：(1) 求直線(xiàn)與平面的交點(diǎn)。(2) 判別兩者之間的相互遮擋關(guān)系，即判別可 見(jiàn)性。 我們只討論直線(xiàn)

16、與平面中至少有一個(gè)處于特殊位置的情況。51例：求直線(xiàn)MN與平面ABC的交點(diǎn)K并判別可見(jiàn)性?？臻g及投影分析: 平面ABC是一鉛垂面，其水平投影積聚成一條直線(xiàn)，該直線(xiàn)與mn的交點(diǎn)即為K點(diǎn)的水平投影。 求交點(diǎn) 判別可見(jiàn)性 由水平投影可知，KN段在平面前，故正面投影上kn為可見(jiàn)。 還可通過(guò)重影點(diǎn)判別可見(jiàn)性。 平面為特殊位置abcmncnbamkk1(2)21X52km(n)bmncbaac 直線(xiàn)為特殊位置空間及投影分析: 直線(xiàn)MN為鉛垂線(xiàn)，其水平投影積聚成一個(gè)點(diǎn)，故交點(diǎn)K的水平投影也積聚在該點(diǎn)上。 求交點(diǎn) 判別可見(jiàn)性 點(diǎn)位于平面上，在前，點(diǎn)位于MN上，在后，故k1為不可見(jiàn)。k2 11 (2)X53 兩平面相交 兩平面相交其交線(xiàn)為直線(xiàn)，交線(xiàn)是兩平面的共有線(xiàn)，同時(shí)交線(xiàn)上的點(diǎn)都是兩平面的共有點(diǎn)。要討論的問(wèn)題： 求兩平面的交線(xiàn)方法： 確定兩平面的兩個(gè)共有點(diǎn)。 確定一個(gè)共有點(diǎn)及交線(xiàn)的方向。 只討論兩平面中至少有一個(gè)處于特殊位置的情況。 判別兩平面之間的相互遮擋關(guān)系，即： 判別可見(jiàn)性。54abcdefcfdbeam(n)例：求兩平面的交線(xiàn) MN并判別可見(jiàn)性?？臻g及投影分析： 求交線(xiàn) 判別可見(jiàn)性 從正面投影上可看出，在交線(xiàn)左側(cè)，平面ABC在上，其水平投影可見(jiàn)。mn 平面ABC與DEF都為 正垂面，它們的交線(xiàn)為一條正垂線(xiàn)，兩平面正面投影的交點(diǎn)即為交線(xiàn)的正面投影，