1996年全國碩士研究生入學統(tǒng)一考試數學一試題

1、閱讀使人充實，會談使人敏捷，寫作使人精確。培根1996年全國碩士研究生入學統(tǒng)一考試數學一試題一、填空題(本題共5個小題，每小題3分，滿分15分，把答案填在題中橫線上.)x 2a(1)設 lim(a)x =8，則 a=.x ：二 x - a(2)設一平面經過原點及點(6,-3,2),且與平面4x-y+2z = 8垂直，則此平面方程為(3)微分方程y-2y，+ 2y = ex的通解為.(4)函數u =ln(x+Jy2 +z2)在A(1,0,1)點處沿A點指向B(3,2,2)點方向的方向導數為. TOC o 1-5 h z ,10 2、(5)設 A是 4M3 矩陣，且 A 的秩 r(A) =2,而

2、B = 02 0，則 r(AB)=-1 0 3二、選擇題(本題共5個小題，每小題3分，滿分15分.在每小題給出的四個選項中，只有 項符合題目要求，把所選項前的字母填在題后的括號內.)(1)已知(x +ay)dx ： ydy為某函數的全微分，則a等于()(x y)(A) -1(B) 0(C) 1(D) 2(2)設f(x)有二階連續(xù)導數，且f(0) =0, lim =23=1，則()x。|x|f (0)是f (x)的極大值f (0)是f (x)的極小值(0, f (0)是曲線y= f(x)的拐點f (0)不是f (x)的極值,(0, f(0)也不是曲線y = f (x)的拐點學問是異常珍貴的東西，

3、從任何源泉吸收都不可恥。阿卜日法拉茲閱讀使人充實，會談使人敏捷，寫作使人精確。培根qQ 設an0(n=12|),且 an收斂，常數九w n 4(0,二)，則級數 (-1)n(ntan-)2a2nn =1(4)(A)絕對收斂(B)條件收斂(C)發(fā)散(D)()收斂性與九有關設 f(x)有連續(xù)白勺導數,f(0)=0, f(0) #0, F(x)=0 (x2 -t2) f (t)dt ,且當 XT 0(A) 1(B) 2(C) 3a00四階行列式0a?b20的值等于0b3%0b400a4時，F(x)與xk是同階無窮小，則k等于(A)31a2 a3 a4 bb2b3b4(D) 4(B)aa2 a3 a4

4、6b2b3b4(C)(a1a2 -b1b2)(a3a4 -b3b4)(D)(a2a3 -b2b3)(a1a4 4)三、(本題共2小題，每小題5分，滿分10分.) 求心形線r =a(1+cos)的全長，其中a 0是常數.(2)設 x1= 10, xn+ = 76+xn(n=1,2,|),試證數列%極限存在，并求此極限.四、(本題共2小題，每小題6分，滿分12分.)計算曲面積分 口(2乂 + 2川丫2+2乂丫,其中$為有向曲面z = x2 + y2(0 W zW 1),其S法向量與z軸正向的夾角為銳角.u =x -2y 一8 2z8 2z*7石 2z(2)設變換uy，可把方程6號+- = 0化簡為

5、 一z =0,求常數a,其u =x ay：:x2Fx：y;y2；u.:v中z=z(x, y)有二階連續(xù)的偏導數.五、(本題滿分7分)一，二 1求級數Z 1的和.njn2 -1)2n六、(本題滿分7分)設對任意x A 0,曲線y = f (x)上點(x, f (x)處的切線在y軸上的截距等于學問是異常珍貴的東西，從任何源泉吸收都不可恥。阿卜日法拉茲閱讀使人充實，會談使人敏捷，寫作使人精確。培根1 x，、，f f (t)dt,求f (x)的一般表達式.x 0七、(本題滿分8分)設f(x)在0,1上具有二階導數，且滿足條件| f (x)區(qū)a , | f (x)區(qū)b ,其中a,b都是非負常數,c(0,

6、1)內任一點,證明| f(c)區(qū)2a + b.2八、(本題滿分6分)設A = E -箕T,其中E是n階單位矩陣，口是n維非零列向量 YT是旨的轉置，證明:A2 = A的充要條件是丫=1；(2)當之Tt =1時，A是不可逆矩陣.九、(本題滿分8分)222已知一次型 f (Xi,X2,必)=5x +5x2+cx3 - 2XiX2 +6XiX3 - 6x2x3 的秩為 2.(1)求參數c及此二次型對應矩陣的特征值；(2)指出方程f (Xi,X2,X3)=1表示何種二次曲面.十、填空題(本題共2小題，每小題3分，滿分6分.)(1)設工廠A和工廠B的產品的次品率分別為 1御2%,現從由A和B的產品分別占

7、60御 40%勺一批產品中隨機抽取一件，發(fā)現是次品，則該次品屬 A生產的概率是 .,則隨機變量(2)設X、刈是兩個相互獨立且均服從正態(tài)分布N (0,(十)2)的隨機變量上-n|的數學期望E(-n ) =.十一、(本題滿分6分.)設*、4是相互獨立且服從同一分布的兩個隨機變量，已知:的分布律為pg = i =13i =1,2,3,又設 X =max(t,“), Y = min( -,n ).學問是異常珍貴的東西，從任何源泉吸收都不可恥。阿卜日法拉茲閱讀使人充實，會談使人敏捷，寫作使人精確。培根23(2)求隨機變量X的數學期望E(X).1996年全國碩士研究生入學統(tǒng)一考試數學一試題解析、填空題(本

8、題共5個小題，每小題3分，滿分15分，把答案填在題中橫線上.)(1)【答案】ln2【解析】這是1父型未定式求極限.方法x 2a,xx - ax-a 3 ax3a、擊&二 3a x -ax-a.3a一令=t ,則當xT 6時，tT 0,x-ax-a產x-a= |im(1 t)t學問是異常珍貴的東西，從任何源泉吸收都不可恥。阿卜日法拉茲閱讀使人充實，會談使人敏捷，寫作使人精確。培根3axlim二 ex、x 2ax lim()x ：二 x-a3alim 3 a-ex-1 =e由題設有 e3a = 8 ,得 a =1 ln8 = ln 2.3、小i x + 2a萬法一：lim .(x-V x -a J

9、=limx_ ：=limlim 1經國2a1-x Jlim i 1 -x /、一 (-a)a2a ee3a二e由題設有 e3a =8 ,得 a =1 ln8 = ln 2.3(2)【答案】2x+2y-3z = 0【解析】方法一：所求平面過原點O與M0(6,-3,2)，其法向量才 -In _OM016-3,2；平面垂直于已知平面 4x-y +2z=8,它們的法向量也互相垂直:n _ n0 = 14,T2J ；由此， n/OM0 n06-3 2=4i 4j4-12取n=2i + 2j 3k ,則所求的平面方程為 2x + 2y3z = 0.方法二：所求平面即為過原點，與兩個不共線的向量(一個是從原

10、點到點 M0(6, -3,2)的向量OM = 6,3,2卜另一是平面4x y+2z=8的法向量= 4,1,2)平行的平面，=0,即2x 2y-3z =0.4-12x -(3)【答案】e (g cosx+C2 sin x + 1)【解析】微分方程y -2y 2y =ex所對應的齊次微分方程的特征方程為 TOC o 1-5 h z HYPERLINK l bookmark4 o Current Document 2x ,r -2r +2=0,解之得h? 二1 i.故對應齊次微分萬程的解為 y = e (C1 cosx + CzSin x).由于非齊次項e,a =1不是特征根，設所給非齊次方程的特解

11、為y*(x) = aex，代入 HYPERLINK l bookmark121 o Current Document xxy -2y +2y=e得a =1(也不難直接看出y (x) = e ),故所求通解為 HYPERLINK l bookmark182 o Current Document xx xy = e (C cosx C2 sin x) e = e (C1 cosx C2 sin x 1).學問是異常珍貴的東西，從任何源泉吸收都不可恥。一一阿卜日法拉茲閱讀使人充實，會談使人敏捷，寫作使人精確。培根【相關知識點】二階線性非齊次萬程解的結構：設 y (x)是二階線性非齊次方程y* + P

12、(x)y+Q(x)y = f(x)的一個特解.Y(x)是與之對應的齊次方程. . _ 一 一 yrP(x)y + Q(x)y = 0的通解，則y = Y(x) +y (x)是非齊次方程的通解.二階常系數線性齊次方程通解的求解方法：對于求解二階常系數線性齊次方程的通解Y(x)，可用特征方程法求解：即 y* + P(x)y+Q(x)y = 0中的P(x)、Q(x)均是常數，方程變?yōu)閥 + py + qy = 0 .其特征方程寫為r2 + pr +q = 0 ,在復數域內解出兩個特征根r1，也；分三種情況：(1)兩個不相等的實數根r1,r2，則通解為y = Cie1+C2e2x;(2)兩個相等的實數

13、根r1=r2，則通解為y = (C1+C2x)e%;(3) 一對共軻復根 =o( 士iP ,則通解為 y = e集(C1cosBx + C2sin Px 1其中 C1,C2 為常數. 對于求解二階線T非齊次萬程y+P(x)y + Q(x)y = f(x)的一個特解y (x),可用待定系數法，有結論如下：如果f (x) = Pm (x)e勺則二階常系數線性非齊次方程具有形如y* (x) = xkQm(x)ex的特解，其中Qm(x)是與Pm(x)相同次數的多項式，而k按人不是特征方程的根、是特征方程的單根或是特征方程的重根依次取0、1或2.如果f (x) =e%P(x)cos6x +Pn(x)si

14、n切x,則二階常系數非齊次線性微分方程y + p(x)y+q(x)y = f (x)的特解可設為y* =xke、 Rm1)(x)coswx + R2)(x)sin wx,其中Rm)(x)與Rm2) (x)是m次多項式，m = maxl,n,而k按九十聞(或九前)不是特征方程的根、或是特征方程的單根依次取為0或1.【分析】先求方向l的方向余弦和L-U 二 u 二 u,：:x ：:y ：:z然后按方向導數的計算公式-:u一cos- x+cos P + cos飛求出方向導數-y二 z學問是異常珍貴的東西，從任何源泉吸收都不可恥。阿卜日法拉茲閱讀使人充實，會談使人敏捷，寫作使人精確。培根【解析】因為與

15、AB同向，為求的方向余弦，將aB = 3-1,-2-0,2-1=2,-2,1單位化，即得 ；=AB = 112,-2,1： - Icos： ,cos ： ,cos ).| AB| 3將函數u=ln(x+Jy +z )分別對x,y, z求偏導數得所以【解析】因為B =【相關知識點】；:ujx1x % y2 z2(1,0,1):u:y；:u；zFu；:la (x：y2 z2) y2 z2(x,y2z2) , y2z2.u.xcos：:uay(1,0,1)(1,0,1)Fu cos - A：zcosA1 2 八，2、 1 1 1= 0 (-)=2 33 2 3 2【答案】2= 10#0,所以矢I 陣

16、 B 可逆，故 r(AB) = r(A) = 2.r(AB) 0,所以由函數極限的局部保號性x Q | x|f (x)可知，在x=0的空心領域內有 一尊A0,即f (x) A0 ,所以f (x)為單調遞增.|x|又由f (0) =0, f(x)在x = 0由負變正，由極值的第一充分條件，x = 0是f(x)的極小值點，即f(0)是f(x)的極小值.應選(B).【相關知識點】極限的局部保號性：設 lim f (x) = A若A 0(或A c 0)=三6 0,當 x的0 x -x0 6 時，f(x)A0(或 f(x)0).(3)【答案】(A)00O0【解析】若正項級數 z an收斂，則工a2n也收

17、斂，且當nT + 8時，有n 1n 1hJm_(ntan) = Jim.tan nn用比較判別法的極限形式，有ntan a2nlim nni :aa2n學問是異常珍貴的東西，從任何源泉吸收都不可恥。阿卜日法拉茲閱讀使人充實，會談使人敏捷，寫作使人精確。培根因為2r a2n收斂，所以lim ntan- a2n也收斂，所以原級數絕對收斂，應選(A). n4x二 n【相關知識點】正項級數比較判別法的極限形式:OQOQ設 un和 vn都是正項級數，且lim%=A,則n 二 UnqQqQ(1)當0 A 若lim三切不存在(不為)，稱ot(x), P(x)不可比較.：(x)(5)【答案】(D)【解析】可直

18、接展開計算= 3)34a2b3b2a2b30-b)b4b2%30a2a4b2-b1b432 b3 0b2%30=(a2% - b2b3)(a1a4 - bh),所以選(D).三、(本題共(1)【解析】2小題，每小題5分，滿分10分.)由極坐標系下的弧微分公式得ds = Jr2(、)+ r 2(S)de = a J(1 +cos)2 +sin29dg=a . 2(1 cos ?)d 1-2acos d9 .2由于r =r)=a(1+cosH)以2n為周期，因而日的范圍是日W0,2冗.又由于r(B) =r(-6),心形線關于極軸對稱.由對稱性，s = 20ds = 4a0cos3d-8a一.日即0

19、=8a.(2)【解析】用單調有界準則由題設顯然有xn 0,數列xn有下界.證明xn單調減：用歸納法.x2 =,6+% =)6+10=40（或Xn 0）, 且 lim = a，那么a20(或a W0).四、（本題共2小題，每小題6分，滿分12分.）（1）【分析一】見下圖所示，S在xOy平面與yOz平面上的投影均易求出，分別為Dxy ：x2+y2 1 ；Dyz: -1 y 1, y2 z 1,或 0 E z 1,-Vz y Vz .X圖1求f fzdxdy，臼然投影到xOy平面上.求jj（2x +z）dydz時，若投影到xOy平面上，被積函S數較簡單且可利用對稱性【分析二】令 P(x, y,z)

20、=2x +z,Q(x, y,z) =0, R(x, y,z) = z,則 I = jjPdydz+ Rdxdy.S TOC o 1-5 h z 這里，+=2+1 =3,若用高斯公式求曲面積分 I ,則較簡單.因S不是封閉曲 Fx：:y：:z面，故要添加輔助曲面.；z 22)(x y )dxdy,：x【解析】方法一：均投影到平面xOy上，則I = (2x z)dydz zdxdy ii(2x z)(SD xy其中 z = x2 y2, Dxy: x2 y2 - 1. HYPERLINK l bookmark188 o Current Document :z,、 一把一 =2x代入，得x2 .一_

21、22_22_I =-4x dxdy ,1.1 2x(x y )dxdy 11 (x y )dxdy , HYPERLINK l bookmark184 o Current Document DxyDxyDxy由對稱性得學問是異常珍貴的東西，從任何源泉吸收都不可恥。阿卜日法拉茲閱讀使人充實，會談使人敏捷，寫作使人精確。培根.2x(x2_2_22y )dxdy = 0 , 11 4x dxdy = 2 11 (x y )dxdy ,DxyD xyD xy所以I - -(x2y2)dxdy.Dxy利用極坐標變換有方法二:2 二 1 二一0 d1.0r3dr - 2 - r4-,40分別投影到y(tǒng)Oz平

22、面與xOy平面.投影到y(tǒng)Oz平面時S要分為前半部分S1: x = Jz-y2與后半部分S2:x= -7z-y2（見圖1）,則I = (2x z)dydz，11 (2x z)dydz，11 zdxdy.SiS2由題設，XSi法向量與x軸成鈍角，而XS2法向量與x軸成銳角.將I化成二重積分得11 (2z - y2 z)dydz，11 (-2、z - y2 z)dydz，11 (x2 y2)dxdyDyzDyzDxyDxy:-4 11 , z - y2dydz，11(x2 y2)dxdy.Dyzz=1! Jz - y2dydz =Dyzdy y2、z - y2dz ;1 22(z-y2)2dy4 1

23、2 3=3 0(1- y) dy24 o 4sin t - 2 cos tdt 3Jljz-y2dydz=(dz6Dyz11 2 二dy =一二z dz =.0 24（這里z : Jz y2dy是半徑為 冊 的圓面積的一半.） Tz11 (x2 y2)dxdy 二Dxyn一（同方法一）.2因此,jejejiI - -4 =-422方法三：添加輔助面 : z =1（x2+y2 W1）,法方向朝下，則學問是異常珍貴的東西，從任何源泉吸收都不可恥。阿卜日法拉茲閱讀使人充實，會談使人敏捷，寫作使人精確。培根! ! (2x z)dydz zdxdy = dxdy - - idxdy -：,SiSi其中D

24、是G在平面xy的投影區(qū)域：x2 +y2 1.S與Si即z=x2 +丫2與2=1圍成區(qū)域Q , S與Si的法向量指向c內部，所以在C上滿足高斯公式的條件，所以! (2x z)dydz zdxdy = -3iiidVS._.G i-3 0 dz I； dxdy - -3 0 二 zdz =D(z)所以其中，一 3因此，I = -3二2-2:z.2二 z:x ：:y(2)D(z)是圓域：x2 + y2 M z,面積為nZ .311 (2x z)dydz zdxdy =-Si2【解析】由多元復合函數求導法則_rv_rv rv_rv rvZ 二 Z 二 u 二 Z 二 v一 =+.:u ；x ;:v :

25、x.Z.y ； u 二 y : v cy=一(一)一(一) f-.,f-.f-.,.x 二 u.x 二 v-2-二 Z 二 u+，得；z,Z.Z-2 a 二 u二 v-2-2二 Z 二 v 二 Z一 十22.u 二x二u：v ex :V_2二 z- 2 cu.2. 2二 z z-2 ,;u；v 二v-2:z-：urxrxxcvcu.x(-y,Z.:ur rz一(一).y 二 v.2二 z-2cu-2-2;u c Z 二V 二 zF+1- V .:y ：:u 2V：:y=-2-2三 2二 u(a-2)-2二 Z-2二 Z二 u：v-：v2二 ycv：uFu-2二 Z二一2 一(三)a () :y

26、 .u .y .v-2Z=-2(2：u.2-二 u二 z二 v、/-)a(y tu：v 二yf2Z-2-.v : Z 二 u-T- T1Fy :v:u ：y-2:z-2Z 2一 4a au v-2:Z-：v2學問是異常珍貴的東西，從任何源泉吸收都不可恥。阿卜日法拉茲閱讀使人充實，會談使人敏捷，寫作使人精確。培根代入6_2_2_2二 z 二 z 二 z.:x2-：x：-y .-y-2) z 6 . 2 .x；2z一 一 一一 2二 x：y二 y：2z：2z二(10 5a)(6 a - a2) 2 = 0 .jujv:v是，令 6+aa? = 0 得 2 = 3或2 = 2.：2za = -2時，

27、10+5a=0,故舍去，a =3時，10+5a =0,因此僅當a =3時化簡為- =0 .；u ； v【相關知識點】 多元復合函數求導法則：若u = u(x,y)和V = v(x, y)在點(x, y)處偏導數存在，函數z = f(u,v)在對應點(u,v)具有連續(xù)偏導數，則復合函數z= f u(x, y), v(x, y)在點(x, y)處的偏導數存在，且；z；:x開：:u.：ujx二 f 二 V+2V ;x；zy二 f 一u 二 f 一v+.:u .:y五、(本題滿分7分)【解析】先將級數分解二 1A =nm(n2 1)2n1=、Uon 1n =2 21n -1CO= - n22QO-z

28、-n =2 2J，1=nm 2n 2 n1-、0 n nn=3 2 nA = A 一 A2.n-1由熟知ln(1+x)哥級數展開式，即ln(1+x)=匕口一xn(1 0,所以yC1,x兩邊積分得y=f(x) =C1 In x C2.方法二：令 y = P(x)，則 y=P，解 xP+P = 0 得 y=P = 5.x再積分得 y = f (x) = C11nx C2.七、(本題滿分8分)【解析】由于問題涉及到f, f與f ”的關系，自然應當利用泰勒公式，而且應在點c展開:學問是異常珍貴的東西，從任何源泉吸收都不可恥。阿卜日法拉茲閱讀使人充實，會談使人敏捷，寫作使人精確。一一培根f ( )2 .

29、f (x) = f (c) + f r(x)(x -c) +(x-c)，在 c與 x 之間.分別取x =0,1得f ( c) Of (0) = f(c) + f(c)(0c)+2(0 c)2, 4 在 c 與 0 之間, TOC o 1-5 h z f (二)2 .f(1)= f(c) + f(c)(1c)+2(1 c)2, q 在 c與 1 之間，1oo兩式相減得f (1)- f(0) = f (c) -f ( 1)(1-c)2 - f ( 0)c2,一100于是f (c) = f(1)-f(0)-f ( 1)(1-c)2-f ( 0)c2.11由此 I f (c)HI f (1) +| f

30、(0) +R f)(1c)2 + R f “(J) c2_ 2a 1b(1 -c)2 c2 : 2a b.八、(本題滿分6分)【解析】(1)因為A=E 里T, UTU為數，紋,為n階矩陣，所以A2=(E- T)(E- T)=E-2 T ( T ) T =E-(2- T ) T, 因此，A2 = A= E - (2 - T ) T = e - T ( T -1) T = 0因為、是非零列向量，所以里, #0,故A2 = Au竺, 1 = 0，即里T =1.(2)反證法.當里丁 =1時，由(1)知A2 = A,若A可逆，則A= A,A2 = A/A= E .與已知A = E-里T /E矛盾，故A是

31、不可逆矩陣. TOC o 1-5 h z 九、(本題滿分8分)【解析】(1)此二次型對應的矩陣為5-13 A = -15-3 .13 -3 c因為二次型秩 r(f) = r(A)=2,由5-13 ”440 ”/400A = | -15-3 t15-3 t16-3(3-3c J13-3c ；13-6c ,可得c =3.再由A的特征多項式學問是異常珍貴的東西，從任何源泉吸收都不可恥。阿卜日法拉茲閱讀使人充實，會談使人敏捷，寫作使人精確。培根5 -5|KEA|= 1-31-3九一53=K(九一4)(九一9)3 九一3求得二次型矩陣的特征值為0,4,9 .2_2(2)因為二次型經正交變換可化為4 y2

32、 +9y3 ,故-.一 .2-2,f (Xi,X2, X3)=1,即 4y2 +9y3 =1.表示橢圓柱面.【相關知識點】主軸定理：對于任一個 n元二次型T Af (X1,X2,|l|,Xn) = X AX,存在正交變換x = Qy ( Q為n階正交矩陣),使得T _T _T_22.2X Ax = y (Q AQ)y = , 2y2 IM %yn ,其中a,%,III, %是實對稱矩陣 A的n個特征值，、的門個列向量口1,支2/1 Fn是A對應于特征值% , %, 111，九n的標準正交特征向量十、填空題(本題共2小題，每小題3分，滿分6分.)、3(1)【答案】-7【解析】設事件 C= 抽取的

33、產品是次品，事件D= 抽取的產品是工廠 A生產的”則事件D表示“抽取的產品是工廠 B生產白T ,依題意有P(D) =0.60,P(D) =0.40,P(C|D) -0.01,P(C | D) -0.02.應用貝葉斯公式可以求得條件概率P(D |C)：P(D |C)=P(D)P(C | D)P(D)P(C | D) P(D)P(C | D)0.6 0.01=30.6 0.01 0.4 0.02 7【相關知識點】貝葉斯公式：設試驗E的樣本空間為S. A為E的事件，B),B2JII,Bn為S的一個劃分，且 P(A)0, P(Bi) 0(i =1,2,|,n),則P(Bi)P(A| Bi)”P(Bi|A)i ,i =1,2,111,