點亮高中數(shù)學(xué)形象思維之花(共14頁)

1、點亮高中數(shù)學(xué)形象思維(xn xin s wi)之花淺談對高中數(shù)學(xué)形象思維(xn xin s wi)培養(yǎng)的研究江蘇省蘇州第十中學(xué)(zhngxu) 朱嘉雋數(shù)學(xué)思維建立在數(shù)學(xué)學(xué)科的基礎(chǔ)之上，是人腦對數(shù)學(xué)對象及其相互作用按照一般思維規(guī)律進行間接性、概括性的反映。前蘇聯(lián)數(shù)學(xué)家斯托里亞爾在他的著作數(shù)學(xué)教育學(xué)一書中提出：“數(shù)學(xué)教學(xué)是數(shù)學(xué)活動的教學(xué)（思維活動的教學(xué)）?！币虼?，數(shù)學(xué)思維問題是數(shù)學(xué)教育的核心問題。數(shù)學(xué)形象思維是數(shù)學(xué)思維的一種類型，同時也是形象思維在數(shù)學(xué)學(xué)科中的具體表現(xiàn)，它是在數(shù)學(xué)學(xué)科領(lǐng)域（包括數(shù)學(xué)教育領(lǐng)域）中，依靠對與數(shù)學(xué)對象有關(guān)的各種形象材料的感知意識得到理解，以數(shù)學(xué)表象、數(shù)學(xué)聯(lián)想和數(shù)學(xué)想象為基

2、本形式，以觀察與實驗、聯(lián)想與類比、猜想與總結(jié)等數(shù)學(xué)形象方法為基本途徑的思維方式。1. 數(shù)學(xué)形象思維的特點（1）形象性 形象與抽象相對，數(shù)學(xué)形象思維所反映的是客觀數(shù)學(xué)對象的外在特征，通過能為感官所感知的圖象、圖式和符號來表達和描述，這使數(shù)學(xué)教學(xué)具有循序漸進、由表及里的特點，符合學(xué)生的普遍認(rèn)知規(guī)律。（2）整體性數(shù)學(xué)形象思維對客觀數(shù)學(xué)對象的認(rèn)識和加工不是邏輯歸納、步步推進的，而是調(diào)用多種形象材料，對其進行整體把握、多向比較，在數(shù)學(xué)教學(xué)中，它有助于學(xué)生迅速從整體上把握住問題的實質(zhì)。圖1-1圖1-2【例1】有這樣一個問題：向高為的水瓶中注水，直至注滿為止，如果水量與高的函數(shù)關(guān)系如圖（圖1-1）所示，那么

3、水瓶的形狀最有可能是下列圖（圖1-2）中的哪一個？我們從整體上對問題(wnt)進行把握，利用條件給出的關(guān)于水量和水位高的函數(shù)圖像圖，對其進行認(rèn)真觀察和分析，抓住特點(tdin)思考與判斷，這需要比較(bjio)強的形象思維能力.（3）模糊性 形象思維對問題的反映是粗線條的反映，對問題的把握是大體上的把握，因此其對問題的分析往往是定性的，在實際的數(shù)學(xué)思維活動中，需要將數(shù)學(xué)邏輯思維與數(shù)學(xué)形象思維相互結(jié)合。（4）想象性想象是運用已有的形象材料形成新表象的過程，致力于獲得新的思維產(chǎn)物。數(shù)學(xué)是思維的體操，數(shù)學(xué)思維能力的提升需要一個人具備必要的想象能力，一個有較強想象能力的人一定程度上也具有較強的創(chuàng)新能力

4、，想象力的提高同時對數(shù)學(xué)形象思維的發(fā)展有很大的推動作用。 【例2】 2001年全國高考題：如圖（圖2-1），在底面是直角梯形的四棱錐SABCD中，圖2-1，SA=AB=BC=1，AD=.（1）求四棱錐SABCD的體積； （2）求面SCD與面SBA所成的二面角的正切值.本題第（2）小題要求(yoqi)確定的二面角的平面角不易得到(d do).僅從題目(tm)條件出發(fā)不易下手，但是通過觀察，發(fā)現(xiàn)面SCD、面SBA、面ABCD兩兩相交，因此面SCD與面SBA的交線必過面SCD、面SBA與面ABCD的交線AB與DC的交點，為此延長BA、CD相交于E，連結(jié)SE，則SE是所求二面角的棱.（圖2-2）圖2-

5、2（5）創(chuàng)造性數(shù)學(xué)形象思維的想象性客觀上要求其具備創(chuàng)造性，人們也是在不斷思維的過程中持續(xù)培養(yǎng)起創(chuàng)新意識和創(chuàng)新精神的。2. 高中數(shù)學(xué)教學(xué)中數(shù)學(xué)形象思維的作用（1）有效促進對數(shù)學(xué)基本概念的理解與運用由于高中生自身的學(xué)習(xí)特點和發(fā)展規(guī)律，他們往往難以直接接受具有高度抽象性的邏輯思維結(jié)論。學(xué)生在學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)時會把這些概念轉(zhuǎn)化為自己善于把握、易于感知的形象材料，這個過程依托于數(shù)學(xué)形象思維來完成對相關(guān)數(shù)學(xué)概念的理解和記憶?！纠?】等比數(shù)列概念形成.等比數(shù)列是一個十分抽象的概念，也需要很高的數(shù)學(xué)技巧.教材給出了如放射性元素半衰期、轎車折舊價值和投資年收益等日常生活實例，這很好地激發(fā)了學(xué)生的興趣，并能促成學(xué)生思考.

6、值得一提的是，等比數(shù)列的概念和之前學(xué)生學(xué)習(xí)過的指數(shù)函數(shù)模型有相近甚至是相同的部分，這樣在學(xué)科模塊和專題之間建立知識聯(lián)想與遷移，也豐富了學(xué)生的知識面.此外，有一些與此相關(guān)的故事，如古代國王和大臣棋盤擺米粒的趣聞、分期付款中的盈虧問題等，都非常精彩，學(xué)生們喜聞樂見，也能同樣達到學(xué)習(xí)基本概念的目的.（2）有助于提出數(shù)學(xué)問題(wnt)、解決實際問題數(shù)學(xué)形象思維(xn xin s wi)作為學(xué)生樂于采用的數(shù)學(xué)思維方式，并不僅僅停留在將數(shù)學(xué)(shxu)的抽象形式從形象材料“擺渡”到邏輯層次，更能啟發(fā)學(xué)生進一步發(fā)現(xiàn)未知的領(lǐng)域，從發(fā)現(xiàn)新問題入手，繼而發(fā)現(xiàn)新思路、新方法、新模式，對于解決實際問題有著積極的指導(dǎo)作

7、用和促進意義?！纠?】一個求最大容積的問題。高中數(shù)學(xué)導(dǎo)數(shù)應(yīng)用中有這樣一個問題：一塊的鐵皮，做成一個沒有頂?shù)蔫F盒子，如何進行剪拼才可使這個鐵盒子的容積達到最大？學(xué)生在解決這個問題的過程中，都會想到設(shè)這塊長方形鐵皮四角剪去的小正方形邊長為，得到最后的鐵盒子的底面長為，寬為，故容積為，通過求導(dǎo)求出這個關(guān)于的函數(shù)的最大值即可.在實際的解題中，有學(xué)生提出，既然是剪拼，那剪去的四個小正方形為何不可以繼續(xù)拼接在鐵盒子上，從而擴大容積呢？這個想法是非常難能可貴的，我們在數(shù)學(xué)基本知識的教學(xué)中，往往為了應(yīng)用而應(yīng)用，并沒有真正地考慮到實際中存在的各種可能.學(xué)生提出的剪拼鐵皮的新方案，就是從原有的形象材料入手，通過個

8、人的積極思考，發(fā)現(xiàn)新的問題，并大膽提了出來，為我們的教學(xué)注入了新的活力和動力. （3）與邏輯思維有機結(jié)合，協(xié)同發(fā)揮作用數(shù)學(xué)形象思維和數(shù)學(xué)邏輯思維在解決數(shù)學(xué)問題中所表現(xiàn)出的作用是相互的，兩者往往都可以達到各自的目的，但是在實際問題面前又需要相互配合、彼此協(xié)同，才能真正(zhnzhng)做到解決一個問題?！纠?】圖的使用.在集合的有關(guān)知識中，經(jīng)常會遇到容斥問題.例如(lr)這樣一個問題：某班有學(xué)生50人，期中進行語文、數(shù)學(xué)、外語三門課程考試，已知有9人語文得滿分,有12人數(shù)學(xué)得滿分,有14人外語得滿分，且有6人語文、數(shù)學(xué)都得滿分，有3人語文、外語都得滿分，有8人外語、數(shù)學(xué)都得滿分，此外，還有2人這

9、三門課程都得滿分，請問恰有一門課程得滿分的有幾人？恰有兩門課程(kchng)得滿分的有幾人？遇到這樣的問題，學(xué)習(xí)過容斥原理的學(xué)生，完全可以借助于數(shù)學(xué)邏輯思維來解決，但是利用容斥原理列式反而十分繁瑣，遠(yuǎn)不及采用圖簡捷（圖3），這里數(shù)學(xué)形象思維的作用就體現(xiàn)出來了.圖3（4）有利于發(fā)展數(shù)學(xué)思維數(shù)學(xué)形象思維在教學(xué)過程中起到了啟發(fā)學(xué)生思維、完善學(xué)生學(xué)習(xí)能力的作用，對于學(xué)生全面思維能力的培養(yǎng)，特別是創(chuàng)新思維能力的培養(yǎng)，具有積極的意義，這也使得學(xué)生的思考更趨于合理全面，避免形成思維定勢，使學(xué)生的思維水平得到質(zhì)的提升?！纠?】函數(shù)(hnsh)最值問題與數(shù)形結(jié)合.如這樣一個(y )問題：求函數(shù)的最小值. 函數(shù)最

10、值問題(wnt)與定義域聯(lián)系，學(xué)生求出的范圍后，想辦法消去根式進行處理.但這樣的做法十分繁瑣，有機械學(xué)習(xí)的嫌疑，缺乏科學(xué)性.如果換一個思路，引導(dǎo)和發(fā)展學(xué)生的全面思維，適時合情地使學(xué)生們學(xué)會轉(zhuǎn)換條件、利用結(jié)論，就能感到“柳暗花明又一村”.把這個函數(shù)最值問題轉(zhuǎn)化為平面上兩點間的距離問題，就會豁然開朗了。因為我們可以發(fā)現(xiàn)兩個根式相加的形式和平面解析幾何中的兩點距離公式有相似之處，所以展開了合情聯(lián)想，將原式整理成，在平面上就表示為軸上一點到兩個定點的距離之和，求函數(shù)最小值，就是求這個距離之和的最小值，根據(jù)平面解析幾何關(guān)于直線的知識，我們可以很快得出最小值即為線段長（是關(guān)于軸的對稱點），同時我們還可以求

11、出滿足條件的，即求出函數(shù)取最小值時的取值.（圖4）圖43. 數(shù)學(xué)(shxu)形象思維在高中教學(xué)中的實踐探究（1）全面展示對數(shù)學(xué)表象(bioxing)的加工過程，喚起對形象思維的需要對于某一個特殊的事物采用個別考察的方式，將其特性反映(fnyng)出來。學(xué)生對于這些事物內(nèi)在所含有的共同特性是具有感知能力的，但是對其進行系統(tǒng)概括又是需要過程的，建立起對數(shù)學(xué)表象的加工過程，將這一過程全面展現(xiàn)給學(xué)生，幫助學(xué)生理解領(lǐng)會?！局本€斜率】直線斜率的概念在平面直角坐標(biāo)系中不容易理解，在教學(xué)中可以采用樓梯坡度的概念來幫助解決.學(xué)生對樓梯坡度的陡峭或平坦有直觀的感受，能夠理解當(dāng)樓梯高度越高時坡度也就越大，因此坡度反

12、映了樓梯的一種陡峭程度，即.由此引入直線的斜率，學(xué)生就能順利理解斜率是描述直線傾斜程度的一個量，并且在處理方式上和坡度的概念是相似的，這樣我們就把現(xiàn)實生活中的具體例子進行了加工抽象，通過形象思維建立起對數(shù)學(xué)基本概念的理解.（2）啟發(fā)學(xué)生進行整體思考，適度展開發(fā)散思維形象思維具有整體性，學(xué)生對于數(shù)學(xué)對象的理解和思考往往最容易缺失整體性。在教學(xué)中，應(yīng)該特別重視培養(yǎng)學(xué)生思考時的整體觀念和全面意識，進行多點思考、全面思考?！究臻g直線垂直關(guān)系的證明】如圖（圖5-1），在正三棱柱側(cè)面的三條對角線中，若有，求證：.圖 5-1圖 5-2從原圖出發(fā)，思維被局限在單個的正三棱柱中，難以直接發(fā)現(xiàn)問題的結(jié)論，此時如果

13、嘗試從整體的角度(jiod)出發(fā)，在原正三棱柱的上下各補接一個同樣的正三棱柱，問題就迎刃而解了.（3）建立幾何背景，加深(jishn)理解。高中數(shù)學(xué)中有不少的基本知識點都有其內(nèi)(q ni)在的幾何背景，教師和學(xué)生都容易忽視這一點。其實，基本概念的幾何背景具有直觀清晰的特點，對于幫助學(xué)生加深理解、糾正謬誤會起到事半功倍的效果。【基本不等式的幾何解釋】基本不等式可以從代數(shù)角度證明，從幾何角度進行解釋則顯得更加直觀通俗.如圖（圖6），“在圓中，半徑不小于半弦，”就是對基本不等式的一種簡單解釋. 圖6（4）緊抓數(shù)形結(jié)合，溝通代數(shù)知識和幾何圖形之間的關(guān)系數(shù)形結(jié)合既是一種數(shù)學(xué)思想又是一種數(shù)學(xué)方法，也是數(shù)學(xué)

14、形象思維最典型最廣泛的一種具體形式。在教學(xué)過程中，恰當(dāng)準(zhǔn)確地應(yīng)用數(shù)形結(jié)合，能夠提高學(xué)生的學(xué)習(xí)能力，使學(xué)生感到數(shù)學(xué)基本概念之間相互聯(lián)系、融匯貫通的緊密關(guān)系，從而增強學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣，同時也有助于學(xué)生進行理解和記憶。數(shù)形結(jié)合體現(xiàn)出數(shù)學(xué)的美感和智慧，對于培養(yǎng)學(xué)生認(rèn)識數(shù)學(xué)、欣賞數(shù)學(xué)、理解數(shù)學(xué)有著巧妙而重要的作用?！窘獬?choyu)方程中的數(shù)形結(jié)合運用】對超越方程的解的求法，可以通過函數(shù)圖像加以解決。例如：方程的解的個數(shù)為 .把方程(fngchng)兩邊看成函數(shù)，即原方程解的個數(shù)就轉(zhuǎn)化(zhunhu)為兩個函數(shù)圖像交點的個數(shù)，如圖（圖7），易知這兩個函數(shù)的圖像只有兩個交點，因此原方程解的個數(shù)為兩個.圖

15、7圖8又如，2003年全國高考題：使成立的的取值范圍是 .如圖（圖8），在同一直角坐標(biāo)系中作出函數(shù)，的圖像，易知兩個函數(shù)圖像交于點.的取值范圍是.【函數(shù)圖像的運用】函數(shù)問題轉(zhuǎn)化為圖像來思考，碰到棘手的問題時學(xué)會畫出圖像，就能化難為簡.例如：已知二次函數(shù)的一個根比1大，一個根比1小，求實數(shù)的取值范圍 . 這是典型的二次函數(shù)根的分布問題，如果根據(jù)(gnj)題意作函數(shù)圖像，就會發(fā)現(xiàn)滿足條件的函數(shù)圖像只有一種形式（圖9），這樣的函數(shù)必在處為負(fù)值(f zh)，本題就轉(zhuǎn)化為求，故得到(d do)，即圖9又如：方程有兩個不相等的實根，則實數(shù)的取值范圍是 .根式方程可以轉(zhuǎn)化為函數(shù)理解，方程兩邊是兩個函數(shù)： 方

16、程有兩個不同的解，即函數(shù)圖像有兩個不同的交點，因此構(gòu)建滿足有兩個不同交點時的函數(shù)圖像構(gòu)形（圖10）. 聯(lián)系函數(shù)的截距的取值，可以從圖像上得到的取值為. 圖10（5）把握(bw)基本概念的變化規(guī)律，培養(yǎng)由靜到動的思維觀點高中數(shù)學(xué)的教學(xué)大多是研究靜止?fàn)顟B(tài)下的數(shù)量關(guān)系和空間圖形，較少涉及運動變化的對象，學(xué)生也因此容易感到數(shù)學(xué)知識浮于表面，與個人生活無關(guān)，喪失(sngsh)學(xué)習(xí)興趣和學(xué)習(xí)動力在所難免。這一點警示我們在教學(xué)中要注重對數(shù)學(xué)對象的變化研究，并且盡可能地讓學(xué)生自主參與到這種研究過程中來，體驗探究的樂趣。圖11-1圖11-2【指、對數(shù)函數(shù)的變化趨勢】學(xué)生(xu sheng)對指、對數(shù)函數(shù)的理解大

17、都是抽象的，一旦發(fā)生變化往往應(yīng)對不及，學(xué)生過于死記硬背，只記得一兩個圖像，而沒有通盤考慮.使用幾何畫板演示展示指、對數(shù)函數(shù)圖像的動態(tài)變化（如圖11-1、圖11-2），同時這兩類函數(shù)互為反函數(shù)，它們有各自的特性也有彼此的聯(lián)系，這些都是光靠靜態(tài)的個別的特殊函數(shù)無法展現(xiàn)的. 圖12【圓冪定理的幾種形式】在幾何證明中有很多是動態(tài)變化的，而相關(guān)結(jié)論隨著圖形的變化往往保持著數(shù)學(xué)意義上的一致性.圓冪定理中的切線長定理、切割線定理和割線定理就是很好的例子（圖12），這體現(xiàn)了數(shù)學(xué)概念中變化與統(tǒng)一的辯證關(guān)系.（6）合理轉(zhuǎn)化條件，利用(lyng)結(jié)論，展開數(shù)學(xué)聯(lián)想聯(lián)想溝通了數(shù)學(xué)基本概念之間的相互關(guān)系，并且反映了一類

18、數(shù)學(xué)對象的性質(zhì)。更廣泛意義上的聯(lián)想不僅局限在由一個概念拓展到幾個推論，更多是在數(shù)學(xué)對象之間共同特征的溝通，這種溝通可以是數(shù)形結(jié)合，可以是化歸轉(zhuǎn)換，也可以是遷移發(fā)散。聯(lián)想本質(zhì)上表現(xiàn)(bioxin)出了學(xué)生對數(shù)學(xué)形象認(rèn)識的一種逐步提高，通過聯(lián)想，能夠?qū)崿F(xiàn)舉一反三、觸類旁通，進一步促成學(xué)生創(chuàng)造性思維的培養(yǎng)和發(fā)展?！究臻g圖形與平面圖形的轉(zhuǎn)換】如圖，有一只螞蟻(my)在正四棱錐底面的點，沿正四棱錐的表面爬行，最后爬行到棱的中點處，試問，這只螞蟻應(yīng)該選擇什么爬行路線才可使爬行的距離最短？圖13這個問題本身建立在立體幾何中關(guān)于棱錐的基礎(chǔ)上，如果展開聯(lián)想，這只螞蟻是在正四棱錐的表面上爬行的，因此其爬行的路線其

19、實就是在一個平面上.通過這樣的聯(lián)想，就可以突破立體幾何的空間概念，將這個正四棱錐沿一條棱剪開并攤平放置在一個平面上，即得到由四個全等等腰三角形依次拼接組成的一個多邊圖形（圖13）.螞蟻從點爬行到點最短距離即為線段，因為兩點之間線段最短. 【對開發(fā)空間想象能力的嘗試】2000年全國高考題：如圖所示（圖14），分別是正方體的面、面的中心，則四邊形在該正方體的面上的射影可能是 .（把可能的圖的序號都填上）圖14本題(bnt)設(shè)計巧妙，在思考上要求學(xué)生具有較強的空間想象能力，而空間想象能力的積累需要依靠(yko)學(xué)生在長期的思維訓(xùn)練中形成，這個過程是數(shù)學(xué)形象思維和數(shù)學(xué)邏輯思維交互作用的結(jié)果. 高中數(shù)學(xué)依托于數(shù)學(xué)思想，滲透在高中數(shù)學(xué)教學(xué)的各個方面，數(shù)學(xué)形象思維的作用和表現(xiàn)也遠(yuǎn)遠(yuǎn)不止于上述列舉的這些內(nèi)容，我們教育工作者應(yīng)當(dāng)了解學(xué)生的學(xué)習(xí)特點，遵循學(xué)生的認(rèn)知過程，不斷推進(tujn)數(shù)學(xué)形象思想的培養(yǎng)，增強學(xué)生運用數(shù)學(xué)形象思維的意識，并且與數(shù)學(xué)邏輯思維相配合，全面提高數(shù)學(xué)能力，綜合鍛煉數(shù)學(xué)思維，積累經(jīng)驗、享受成功。主要參考文獻1. 錢學(xué)森主