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文檔簡介
1、- PAGE 34 - PAGE 34 -第11章 梁的彎曲應力教學(jio xu)提示(tsh):梁純彎曲和橫力彎曲時橫截面上的正應力;梁橫力彎曲時橫截面上的切應力;提高(t go)彎曲強度的若干措施、薄壁桿件的切應力流和彎曲中心。教學要求:掌握梁純彎曲時橫截面上正應力計算公式的推導過程,理解橫力彎曲正應力計算仍用純彎曲公式的條件和近似程度。掌握中性層、中性軸和翹曲等基本概念和含義。熟練掌握彎曲正應力和剪應力強度條件的建立和相應的計算。了解什么情況下需要對梁的彎曲切應力進行強度校核。從彎曲強度條件出發(fā),掌握提高彎曲強度的若干措施。在外荷載作用下,梁截面上一般都有彎矩和剪力,相應地在梁的橫截面
2、上有正應力和剪應力。彎矩是垂直于橫截面的分布內(nèi)力的合力偶矩;而剪力是切于橫截面的分布內(nèi)力的合力。本章研究正應力和剪應力的分布規(guī)律,從而對平面彎曲梁的強度進行計算。11.1梁的彎曲正應力平面彎曲情況下,一般梁橫截面上既有彎矩又有剪力,如圖11.1所示梁的AC、DB段。而在CD段內(nèi),梁橫截面上剪力等于零,而只有彎矩,這種情況稱為純彎曲。下面推導梁純彎曲時橫截面上的正應力公式。應綜合考慮變形幾何關系、物理關系和靜力學關系等三個方面。11.1.1 彎曲正應力一般公式1、變形幾何關系為研究梁彎曲時的變形規(guī)律,可通過試驗,觀察彎曲變形的現(xiàn)象。取一具有對稱截面的矩形截面梁,在其中段的側面上,畫兩條垂直于梁軸
3、線的橫線mm和nn,再在兩橫線間靠近上、下邊緣處畫兩條縱線ab和cd,如圖11.2(a)所示。然后按圖11.1(a)所示施加荷載,使梁的中段處于純彎曲狀態(tài)。從試驗中可以觀察到圖11 .2(b)情況:(1)梁表面的橫線仍為直線,仍與縱線正交,只是橫線間作相對轉動。(2)縱線變?yōu)榍€,而且(r qi)靠近梁頂面的縱線縮短,靠近梁底面的縱線伸長。(3)在縱線伸長區(qū),梁的寬度(kund)減小,而在縱線縮短區(qū),梁的寬度則增加,情況與軸向拉、壓時的變形相似。根據(jù)上述現(xiàn)象,對梁內(nèi)變形與受力作如下假設:變形后,橫截面仍保持平面,且仍與縱線正交;同時,梁內(nèi)各縱向(zn xin)纖維僅承受軸向拉應力或壓應力。前者
4、稱為彎曲平面假設;后者稱為單向受力假設。根據(jù)平面假設,橫截面上各點處均無剪切變形,因此,純彎時梁的橫截面上不存在剪應力。根據(jù)平面假設,梁彎曲時部分纖維伸長,部分纖維縮短,由伸長區(qū)到縮短區(qū),其間必存在一長度不變的過渡層,稱為中性層,如圖11.2(c)所示。中性層與橫截面的交線稱為中性軸。對于具有對稱截面的梁,在平面彎曲的情況下,由于荷載及梁的變形都對稱于縱向對稱面,因而中性軸必與截面的對稱軸垂直。綜上所述,純彎曲時梁的所有橫截面保持平面,仍與變彎后的梁軸正交,并繞中性軸作相對轉動,而所有縱向纖維則均處于單向受力狀態(tài)。從梁中截取一微段dx,取梁橫截面的對稱軸為y軸,且向下為正,如圖11.3 (b)
5、所示,以中性軸為y軸,但中性軸的確切位置尚待確定。根據(jù)平面假設,變形前相距為dx的兩個橫截面,變形后各自繞中性軸相對旋轉了一個角度d,并仍保持為平面。中性層的曲率半徑為,因中性層在梁彎曲后的長度不變,所以又坐標為y的縱向纖維ab變形前的長度為變形后為故其縱向線應變?yōu)?(a)可見,縱向纖維的線應變與纖維的坐標y成正比。2、物理關系因為縱向纖維之間無正應力,每一纖維都處于單向受力狀態(tài),當應力小于比例極限時,由胡克定律知將(a)式代入上式,得 (b)這就是橫截面上正應力(yngl)變化規(guī)律的表達式。由此可知,橫截面上任一點處的正應力與該點到中性軸的距離成正比,而在距中性軸為y的同一橫線上各點處的正應
6、力均相等,這一變化規(guī)律可由圖11.4來表示(biosh)。3、靜力學關系(gun x)以上已得到正應力的分布規(guī)律,但由于中性軸的位置與中性層曲率半徑的大小均尚未確定,所以仍不能確定正應力的大小。這些問題需再從靜力學關系來解決。如圖11.5所示,橫截面上各點處的法向微內(nèi)力dA組成一空間平行力系,而且由于橫截面上沒有軸力,僅存在位于x-y平面的彎矩M,因此, (c) (d) (e) 以式(b)代入式(c),得 (f)上式中的積分代表截面對z軸的靜矩Sz。靜距等于零意味著z軸必須通過截面的形心。以式(b)代入式(d),得 (g)式中,積分是橫截面對y和z軸的慣性積。由于y軸是截面的對稱軸,必然有Iy
7、z=0,所示上式是自然滿足的。以式(b)代入式(e),得 (h)式中積分 (i)是橫截面對z軸(中性軸)的慣性矩。于是,(h)式可以寫成 (11.1)此式表明(biomng),在指定的橫截面處,中性層的曲率與該截面上的彎矩M成正比,與EIz成反比。在同樣(tngyng)的彎矩作用下,EIZ愈大,則曲率愈小,即梁愈不易(b y)變形,故EIz稱為梁的抗彎剛度。再將式(11.1)代入式(b),于是得橫截面上y處的正應力為 (11.2)此式即為純彎曲正應力的計算公式。式中M 為橫截面上的彎矩;Iz 為截面對中性軸的慣性矩;y 為所求應力點至中性軸的距離。當彎矩為正時,梁下部纖維伸長,故產(chǎn)生拉應力,上
8、部纖維縮短而產(chǎn)生壓應力;彎矩為負時,則與上相反。在利用(11.2)式計算正應力時,可以不考慮式中彎矩M和y 的正負號,均以絕對值代入,正應力是拉應力還是壓應力可以由梁的變形來判斷。應該指出,以上公式雖然是純彎曲的情況下,以矩形梁為例建立的,但對于具有縱向對稱面的其他截面形式的梁,如工字形、T 字形和圓形截面梁等仍然可以使用。同時,在實際工程中大多數(shù)受橫向力作用的梁,橫截面上都存在剪力和彎矩,但對一般細長梁來說,剪力的存在對正應力分布規(guī)律的影響很小。因此,(11.2)式也適用于非純彎曲情況。 最大彎曲正應力由式(11.2)可知,在y=ymax即橫截在由離中性軸最遠的各點處,彎曲正應力最大,其值為
9、式中,比值Iz/ymax僅與截面的形狀與尺寸有關,稱為抗彎截面系數(shù),也叫抗彎截面模量。用Wz表示。即為 (11.3)于是,最大彎曲正應力即為 (11.4)可見,最大彎曲正應力與彎矩成正比,與抗彎截面系數(shù)成反比??箯澖孛嫦禂?shù)綜合(zngh)反映了橫截面的形狀與尺寸對彎曲正應力的影響。圖11.6中矩形(jxng)截面與圓形截面的抗彎截面系數(shù)分別為 (11.5) (11.6)而空心圓截面(jimin)的抗彎截面系數(shù)則為 (11.7)式中=d/D,代表內(nèi)、外徑的比值。至于各種型鋼截面的抗彎截面系數(shù),可從型鋼規(guī)格表中查得(見附錄)。例11.1 圖11.7所示懸臂梁,自由端承受集中荷載F作用,已知:h=1
10、8cm,b=12cm,y=6cm,a=2m,F(xiàn)=1.5KN。計算A截面上K 點的彎曲正應力。解 先計算截面上的彎矩截面對中性軸的慣性矩則A 截面上的彎矩為負,K 點是在中性軸的上邊(shng bin),所以為拉應力。11.2 平面(pngmin)圖形的幾何(j h)性質構件在外力作用下產(chǎn)生的應力和變形,都與構件的截面的形狀和尺寸有關。反映截面形狀和尺寸的某些性質的一些量,如拉伸時遇到的截面面積、扭轉時遇到的極慣性矩和這一章前面遇到的慣性矩、抗彎截面系數(shù)等,統(tǒng)稱為截面的幾何性質。為了計算彎曲應力和變形,需要知道截面的一些幾何性質。現(xiàn)在來討論截面的一些主要的幾何性質。11.2.1形心和靜矩若截面形
11、心得坐標為yC和zC(C 為截面形心),將面積得每一部分看成平行力系,即看成等厚、均質薄板的重力,根據(jù)合力矩定理可得形心坐標公式 (a)靜矩又稱面積矩。其定義如下,在圖11.8中任意截面內(nèi)取一點M(z,y),圍繞M點取一微面積dA,微面積對z軸的靜矩為ydA,對y軸的靜矩為zdA,則整個截面對z和y軸的靜矩分別為: (b)有形心坐標公式知: (c)上式中yC和zC是截面形心C的坐標,A是截面面積。當截面形心的位置已知時可以用上式來計算截面的靜矩。從上面可知,同一截面對不同軸的靜矩不同,靜矩可以(ky)是正負或是零;靜矩的單位是長度的立方,用m3 或cm3 、mm3等表示(biosh);當坐標軸
12、過形心時,截面對該軸的靜矩為零。當截面由幾個規(guī)則圖形(txng)組合而成時,截面對某軸的靜矩,應等于各個圖形對該軸靜矩的代數(shù)和。其表達式為 (d) (e)而截面形心坐標公式也可以寫成 (f) (g)11.2.2慣性矩、慣性積和平行移軸定理在圖11.8中任意截面上選取一微面積dA,則微面積dA對z軸和y軸的慣性矩為z2dA和Y2dA。則整個面積對z軸和y軸的慣性矩分別記為Iz和Iy,而慣性積記為Izy,則定義: (h) (i)極慣性矩定義為: (j)從上面可以看出,慣性矩總是大于零,因為坐標的平方總是正數(shù),慣性積可以是正、負和零;慣性矩、慣性積和極慣性矩的單位都是長度的四次方,用m4 或cm4
13、、mm4等表示。同一截面對不同的平行的軸,它們的慣性矩和慣性積是不同的。同一截面對二根平行軸的慣性矩和慣性積雖然不同,但它們之間存在一定的關系。下面討論二根平行軸的慣性矩、慣性積之間的關系。圖11.9所示任意截面對任意軸對z軸和y軸的慣性矩、慣性積分別為Iz、Iy 和Izy 。過形心C有平行于z、y的兩個坐標軸z和y,截面對z、y軸的慣性矩和慣性積為Iz、Iy 和Izy。對ozy坐標系形心坐標為C(a,b)。截面上選取微面積dA,dA的形心坐標為則按照(nzho)慣性矩的定義有上式中第一項為截面對過(dugu)形心坐標軸y軸的慣性矩;第三項為面積的a2倍;而第二項為截面(jimin)過形心坐標
14、軸y軸靜矩乘以2a 。根據(jù)靜矩的性質,對過形心軸的靜矩為零,所以第二項為零。這樣上式可以寫為 (k)同理可得: (l) (m)也就是說,截面對于平行于形心軸的慣性矩,等于該截面對形心軸的慣性矩再加上其面積乘以兩軸間距離的平方;而截面對于平行于過形心軸的任意兩垂直軸的慣性積,等于該面積對過形心二軸的慣性積再加上面積乘以相互平行的二軸距之積。這就是慣性矩和慣性積的平行移軸定理。例11.2 計算圖11.10 所示T 形截面的形心和過它的形心z軸的慣性矩。解 (1)確定截面形心位置選參考坐標系ozy,如圖11.10所示。將截面分解為上面和下面兩個矩形部分,截面形心C的縱坐標為(2)計算截面慣性矩上面矩
15、形與下面矩形對形心軸z的慣性矩分別為11.3 梁的彎曲(wnq)剪應力當進行平面彎曲梁的強度計算時,一般來說,彎曲正應力是支配梁強度計算的主要因素(yn s),但在某些情況上,例如,當梁的跨度很小或在支座附近有很大的集中力作用,這時梁的最大彎矩比較小,而剪力卻很大,如果梁截面窄且高或是薄壁截面,這時剪應力可達到相當大的數(shù)值,剪應力就不能忽略了。下面介紹幾種常見截面上彎曲剪應力的分布規(guī)律和計算公式。11.3.1矩形截面(jimin)梁的彎曲剪應力圖11.11(a)所示矩形截面梁,在縱向對稱面內(nèi)承受荷載作用。設橫截面的高度為h,寬度為b,為研究彎曲剪應力的分布規(guī)律,現(xiàn)作如下假設:橫截面上各點處的剪
16、應力的方向都平行于剪力,并沿截面寬度均勻分布。有相距dx的橫截面從梁中切取一微段,如圖11.12(a)。然后,在橫截面上縱坐標為y處,再用一個(y )縱向截面m-n,將該微段的下部切出,如圖11.12(b)。設橫截面上y處的剪應力為,則由剪應力互等定理可知(k zh),縱橫面m-n上的剪應力在數(shù)值(shz)上也等于。因此,當剪應力確定后,也隨之確定。如圖11.12(a)所示,由于存在剪力FQ,截面1-1與2-2的彎矩將不相同,分別為M和M+dM ,因此,上述兩截面的彎曲正應力也不相同。設微段下部橫截面m1與n2的面積為,在該兩截面上由彎曲正應力所構成的軸向合力分別為N1與N2,則由微段下部的軸
17、向平衡方程x=0可知,由此得 (a)由圖11-12(c)可知 式中,積分代表截面對z軸的靜矩,并用Sz*表示,因此有 (b) (c)將式(b)和式(c)代入式(a),于是得 (11.8)式中:Iz代表(dibio)整個橫截面對中性軸矩z的慣性距;而Sz*則代表y處橫線一側的部分截面(jimin)對z軸的靜距。對于矩形截面,如圖11.13所示,其值為將上式及Iz=bh3/12代入式(11.8)得 (11.9)由此可見:矩形截面(jimin)梁的彎曲剪應力沿截面高度呈拋物線分布(圖11.13);在截面的上、下邊緣(),剪應力=0;在中性軸(y=0),剪應力最大,其值為 (11.10)工字形截面梁的
18、彎曲剪應力工字形截面梁由腹板和翼緣組成。其橫截面如圖11.14所示。中間狹長部分為腹板,上、下扁平部分為翼緣。梁橫截面上的剪應力主要分布于腹板上,翼緣部分的剪應力情況比較復雜,數(shù)值很小,可以不予考慮。由于腹板比較狹長,因此可以假設:腹板上各點處的彎曲剪應力平行于腹板側邊,并沿腹板厚度均勻分布。腹板的剪應力平行于腹板的豎邊,且沿寬度方向均勻分布。根據(jù)上述假設,并采用前述矩形截面梁的分析方法,得腹板上y處的彎曲剪應力為:式中,Iz為整個工字形截面(jimin)對中性軸z的慣性矩,Sz*為y處橫線一側的部分(b fen)截面對該軸的靜矩,b為腹板的厚度。由圖11.14(a)可以看出,y處橫線以下的截
19、面(jimin)是由下翼緣部分與部分腹板的組成,該截面對中性軸z的靜矩為因此,腹板上y處的彎曲剪應力為 (11.11)由此可見:腹板上的彎曲剪應力沿腹板高度方向也是呈二次拋物線分布,如圖11.14(b)所示。在中性軸處(y=0),剪應力最大,在腹板與翼緣的交接處(y=h/2),剪應力最小,其值分別為或 (11.12) (11.13)從以上兩式可見,當腹板的寬度b遠小于翼緣的寬度B,max與min實際上相差不大,所以可以認為在腹板直剪應力大致是均勻分布的。可用腹板的截面面積除剪力FQ,近似地得表示腹板的剪應力,即 (11.14)在工字形截面梁的腹板與翼緣的交接處,剪應力(yngl)分布比較復雜,
20、而且存在應力集中現(xiàn)象,為了減小應力集中,宜將結合處作成圓角。 圓形截面(jimin)梁的彎曲剪應力對于圓截面(jimin)梁,在矩形截面中對剪應力方向所作的假設不再適用。由剪應力互等定理可知,在截面邊緣上各點剪應力的方向必與圓周相切,因此,在水平弦AB的兩個端點上的剪應力的作用線相交于y軸上的某點p,如圖11.15(a)。由于對稱,AB中點C的剪應力必定是垂直的,因而也通過p點。由此可以假設,AB弦上各點剪應力的作用線都通過p點。如再假設AB弦上各點剪應力的垂直分量y是相等的,于是對y來說,就與對矩形截面所作的假設完全相同,所以,可用公式來計算,即 (11.15)式中,b為AB弦的長度,Sz*
21、是圖11.15(b)中陰影部分的面積對z軸的靜矩。在中性軸上,剪應力為最大值max。其值為 (11.16)式中,F(xiàn)Q/A是梁橫截面上平均剪應力。 例11.3 梁截面(jimin)如圖11.16(a)所示,橫截面上剪力FQ=15KN。試計算該截面的最大彎曲(wnq)剪應力,以及腹板與翼緣交接處的彎曲剪應力。截面的慣性矩Iz=8.84106m4。解(1)最大彎曲(wnq)剪應力。最大彎曲剪應力發(fā)生在中性軸上。中性軸一側的部分截面對中性軸的靜矩為所以,最大彎曲剪應力為(2)腹板、翼緣交接處的彎曲剪應力。由圖11.16(b)可知,腹板、翼緣交接線一側的部發(fā)截面對中性軸z的靜矩為所以,該交接處的彎曲剪應
22、力為11.4 梁的強度條件在一般情況下,梁內(nèi)同時存在彎曲正應力和剪應力,為了保證梁的安全工作,梁最大應力不能超出一定的限度,也即,梁必須要同時滿足正應力強度條件和剪應力強度條件。以下將據(jù)此建立梁的正應力強度條件和剪應力強度條件。 彎曲正應力強度條件最大彎曲正應力發(fā)生在橫截面上離中性軸最遠的各點處,而該處的剪應力一般(ybn)為零或很小,因而最大彎曲正應力作用點可看成是處于單向受力狀態(tài),所以,彎曲正應力強度條件為 (11.16)即要求梁內(nèi)的最大彎曲(wnq)正應力max不超過材料(cilio)在單向受力時的許用應力。對于等截面直梁,上式變?yōu)?(11.17)利用上述強度條件,可以對梁進行正應力強度
23、校核、截面選擇和確定容許荷載。 彎曲剪應力強度條件最大彎曲剪應力通常發(fā)生在中性軸上各點處,而該處的彎曲正應力為零,因此,最大彎曲剪應力作用點處于純剪切狀態(tài),相應的強度條件為 (11.18)即要求梁內(nèi)的最大彎曲剪應力max不超過材料在純剪切時的許用剪應力。對于等截面直梁,上式變?yōu)?(11.19)在一般細長的非薄壁截面梁中,最大彎曲正應力遠大于最大彎曲剪應力。因此,對于一般細長的非薄壁截面梁,通常強度的計算由正應力強度條件控制。因此,在選擇梁的截面時,一般都是按正應力強度條件選擇,選好截面后再按剪應力強度條件進行校核。但是,對于薄壁截面梁與彎矩較小而剪力卻較大的梁,后者如短而粗的梁、集中荷載作用在
24、支座附近的梁等,則不僅應考慮彎曲正應力強度條件,而且彎曲剪應力強度條件也可能起控制作用。例11.4 圖11.17(a)所示外伸梁,用鑄鐵制成,橫截面為T字形,并承受均布荷載q作用。試校該梁的強度。已知荷載集度q=25N/mm,截面形心離底邊與頂邊的距離分別為y1=95mm和y2=95mm,慣性矩Iz=8.8410-6m4,許用拉應力t=35MPa,許用壓應力c=140Mpa。解(1)危險截面與危險點判斷。梁的彎矩如圖11.17(b)所示,在橫截面D與B上,分別作用有最大正彎矩與最大負彎矩,因此,該二截面均為危險截面。截面D與B的彎曲正應力分布分別如圖11.17(c)與(d)所示。截面D的a點與
25、截面B的d點處均受壓;而截面D的b點與截面B的c點處均受拉。由于(yuy)|MD|MB|,|ya|yd|,|因此(ync)|a|d|即梁內(nèi)的最在彎曲(wnq)壓應力c,max發(fā)生在截面D的a點處。至于最大彎曲拉應力t,max, 究竟發(fā)生在b點處,還是c點處,則須經(jīng)計算后才能確定。概言之,a,b,c三點處為可能最先發(fā)生破壞的部位。簡稱為危險點。(2)強度校核。由式(11.2 )得a,b,c三點處的彎曲正應力分別為由此得可見,梁的彎曲強度符合要求。例11.5 懸臂(xunb)工字鋼梁AB圖11.18(a),長l=1.2m,在自由(zyu)端有一集中荷載F,工字鋼的型號為18號,已知鋼的許用應力(y
26、ngl)=170Mpa,略去梁的自重,(1)試計算集中荷載F的最大許可值。(2)若集中荷載為45 kN,拭確定工字鋼的型號。解(1)梁的彎矩圖如圖1118(c)所示,最大彎矩在靠近固定端處,其絕對值為Mmax=Fl=1.2F Nm由附錄中查得,18號工字鋼的抗彎截面模量為Wz=185103mm3由公式(11.16)得1.2F(1510-6)(170106)因此,可知F的最大許可值為103N=26.2kN(2)最大彎矩值Mmax=Fl=1.245103Nm=54103Nm按強度條件計算所需抗彎截面系數(shù)為查附錄可知,22b號工字鋼的抗彎截面模量為325cm3 ,所以可選用22b號工字鋼。例11.6
27、 例11.5中的18號工字鋼懸臂梁,按正應力的強度計算,在自由端可承受的集中荷載F=26.2KN。已知鋼材的抗剪許用應力=100Mpa。試按剪應力校核梁的強度,繪出沿著工字鋼腹板高度的剪應力分布圖,并計算腹板所擔負的剪力FQ1。解(1)按剪應力的強度校核。截面(jimin)上的剪力FQ =26.2kN。由附錄查得18號工字鋼截面(jimin)的幾個主要尺寸如圖11.19(a)所示,又由表查得Iz=1660104mm4,由公式(gngsh)(517),得腹板上的最大剪應力可見工字鋼的剪應力強度是足夠的。(2)沿腹板高度剪應力的計算。將工字鋼截面簡化如圖11.19(b)所示,圖中h1=180210
28、.7=158.6(mm)b1=d=6.5mm由公式(11.14)得腹板上最大剪應力的近似值為這個近似值與上面所得26.2Mpa比較,略偏小,誤差為3.9%。腹板上的最小剪應力在腹板與翼緣的連接處,翼緣面積對中性軸的靜矩為由公式(11.8)得腹板上的最小剪應力為得出了max和min值可作出沿著腹板高度的剪應力分布圖如圖11.19(c)所示。(3)腹板所擔負(dnf)剪力的計算。腹板所擔負(dnf)的剪力FQ1等于(dngy)圖11.19(c)所示剪力分布圖的面積A1乘以腹板厚度b1。剪力分布圖面積可以用圖11.19(c)中虛線將面積分為矩形和拋物線弓形兩部分,得由此得可見,腹板所擔歲的剪力占整個
29、截面剪力FQ的96.6%。11.5 提高梁強度的措施前面已指出,在橫力彎曲中,控制梁強度的主要因素是梁的最大正應力,梁的正應力強度條件 為設計梁的主要依據(jù),由這個條件可看出,對于一定長度的梁,在承受一定荷載的情況下,應設法適當?shù)匕才帕核艿牧?,使梁最大的彎矩絕對值降低,同時選用合理的截面形狀和尺寸,使抗彎截面模量W值增大,以達到設計出的梁滿足節(jié)約材料和安全適用的要求。關于提高梁的抗彎強度問題,分別作以下幾方面討論。合理安排梁的受力情況在工程實際容許的情況下,提高梁強度的一重要措施是合理安排梁的支座和加荷方式。例如,圖11.20(a)所示簡以梁,承受均布載荷q作用,如果將梁兩端的鉸支座各向內(nèi)移動
30、少許,例如移動0.2l,如圖11.20(b),則后者的最大彎矩僅為前者的1/5。又如,圖11.21(a)所示簡支梁AB,在跨度中點承受集中荷載P作用,如果在梁的中部設置(shzh)一長為1/2的輔助梁CD 如圖11.21(b),這時,梁AB內(nèi)的最大彎矩將減小一半(ybn)。上述實例說明,合理安排支座和加載方式(fngsh),將顯著減小梁內(nèi)的最大彎矩。11.5.2選用合理的截面形狀從彎曲強度考慮,比較合理的截面形狀,是使用較小的截面面積,卻能獲得較大抗彎截面系數(shù)的截面。截面形狀和放置位置不同Wz/A比值不同,因此,可用比值Wz/A來衡量截面的合理性和經(jīng)濟性,比值愈大,所采用的截面就愈經(jīng)濟合理?,F(xiàn)
31、將跨中受集中力作用的簡支梁為例,其截面形狀分別為圓形、矩形和工字形三種情況作一粗略比較。設三種梁的面積、跨度和材料都相同,容許正應力為170MPa。其抗彎截面系數(shù)Wz和最大承載力比較見表11.1。表11.1 幾種常見截面形狀的Wz和最大承載力比較截面形狀尺寸Wz最大承載力圓形.矩形.工字鋼.從表中可以看出,矩形截面比圓形截面好,工字形截面比矩形截面好得多。從正應力分布規(guī)律分析,正應力沿截面高度線性分布,當離中性軸最遠各點處的正應力,達到許用應力值時,中性軸附近各點處的正應力仍很小。因此,在離中性軸較遠的位置,配置較多的材料,將提高材料的應用率。根據(jù)上述原則,對于抗拉與抗壓強度相同的塑性材料梁,
32、宜采用對中性軸對稱的截面,如工字形截面等。而對于抗拉強度低于抗壓強度的脆性材料梁,則最好采用中性軸偏于受拉一側的截面,便如T字形和槽形截面等。11.5.3 采用(ciyng)變截面梁一般(ybn)情況下,梁內(nèi)不同橫截面的彎矩不同。因此,在按最大彎矩所設計的等截面梁中,除最大彎矩所在截面外,其余截面的材料強度均未得到充分利用。因此,在工程實際中,常根據(jù)彎矩沿梁軸線的變化情況,將梁也相應設計成變截面的。橫截面沿梁軸線變化的梁,稱為變截面(jimin)梁。如圖.22()(b)所示上下加焊蓋板的板梁和懸挑梁,就是根據(jù)各截面上彎矩的不同而采用的變截面梁。如果將變截面梁設計為使每個橫截面上最大正應力都等于
33、材料的許用應力值,這種梁稱為等強度梁。顯然,這種梁的材料消耗最少、重量最輕,是最合理的。但實際上,由于自加工制造等因素,一般只能近似地做到等強度的要求。圖.22()(d)所示的車輛上常用的疊板彈簧、魚腹梁就是很接近等強度要求的形式。本章小結1、梁平面彎曲時,橫截面上一般有兩種內(nèi)力剪力和彎矩 。與此相對應的應力也有兩種剪應力和正應力。剪應力與截面相切,而正應力與截面垂直。2、梁平面彎曲時正應力計算公式為:正應力在橫截面上沿高度成線性分布,在中性軸處正應力為零,截面上下邊緣處正應力最大。3、梁平面彎曲時剪應力計算公式為:這個公式是由矩形截面梁推出的,但也可推廣應用于關于梁縱向對稱面對稱的其它截面形式。如工字形、T形截面梁等。對不同截面梁計算時,應注意代入相應的和。剪應力沿截面高度呈二次拋物線規(guī)律分布,中性軸處的剪應力最大。4、梁的強度計算中,正應力強度條件和剪應力強度條件必須同時滿足。其公式為:對于一般梁正應力強度條件起控制作用,剪應力是次要(cyo)的。即滿足正應力強度條件時,一般剪應力強度條件也能得
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