物理光學(xué)衍射光柵

1、衍射光柵按空間周期性規(guī)律，在一定范圍內(nèi)改變?nèi)肷涔獠ǖ恼穹蛭幌嗟难b置稱為衍射光柵，簡稱為光柵。光柵的這種作用也稱作對入射光波的“振幅調(diào)制”和“位相調(diào)制”。這樣，在一個(gè)調(diào)制周期內(nèi)出射的光波可以看成是一個(gè)“光束”，因此光柵按其調(diào)制周期把入射光波分割成多束相干光。通常，利用與觀察夫瑯和費(fèi)衍射相同的方法，在透鏡的后焦面上或遠(yuǎn)處的屏幕上觀察這多束光的干涉圖形：光柵干涉圖。由于光柵在調(diào)制和分割波面時(shí)必然以某種方式限制了入射擊光波的傳播，所以總是伴隨著衍射現(xiàn)象，光柵干涉圖兼有衍射圖形的特性。實(shí)際上，如果把光柵看作是一個(gè)限制光波傳播的衍射光屏，那么光柵干涉圖可以用夫瑯和費(fèi)衍射理論計(jì)算。換言之，光柵干涉圖上的復(fù)

2、振幅分布與剛通過光柵的光分布之間有傅里葉變換的關(guān)系(可能相差一個(gè)二次位相因子)。然而，在多數(shù)實(shí)際應(yīng)用中，人們主要利用光柵干涉圖的多光束干涉特點(diǎn)，因此我們稱它為“干涉圖”而不稱為“衍射圖”。一、 衍射光柵的分類可以從各種不同的角度對光柵分類。(一)、二維光柵和三維光柵根據(jù)對入射波的調(diào)制是在二維空間還是在三維空間中實(shí)現(xiàn)，可以分為“二維光柵”和“三維光柵”。二維光柵的工作表面可以是平面狀的(平面光柵)，也可以是凹球面等曲面形狀的(凹面光柵)。后者除了分割波面外，還有一定的聚集能力。大多數(shù)二維光柵調(diào)制波面的周期性規(guī)律只與一個(gè)直角坐標(biāo)分量有關(guān)，與另一個(gè)坐標(biāo)分量無關(guān)。換言之，它由一系列平行等距線條組成。這

3、類光柵有時(shí)稱作“一維光柵”。三維光柵又稱“體(積)光柵”。晶體因其原子(或晶胞)在空間的規(guī)則排列，對X射線起到三維光柵的作用。經(jīng)過適當(dāng)曝光和處理的厚感光乳膠層，也構(gòu)成對光學(xué)波段輻射的三維光柵。實(shí)際上，一切二維光柵的“工作表面”都有一個(gè)不為零的厚度，應(yīng)該看作是三維光柵的一種特殊情形。在這種情形中，厚度的影響可以忽略不計(jì)。(二)、振幅光柵和位相光柵根據(jù)光柵所調(diào)制的是入射波的振幅還是位相，可以分為“振幅光柵”和“位相光柵”。在透明基底上制作大量透光和不透光相間的平行線條，即得到“一維振幅光柵”，細(xì)而密的金屬絲網(wǎng)格可以看成是“二維振幅光柵”?，F(xiàn)有的位相光柵都通過對入射光波的不同地點(diǎn)引入不同附加光程的方

4、式實(shí)現(xiàn)位相調(diào)制。它們在原理上屬于三維光柵。在一定條件下，可以認(rèn)為附加光程在一個(gè)“面”上產(chǎn)生，這時(shí)可近似當(dāng)作二維光柵處理。三維光柵必然對入身光波作位相調(diào)制，因此它是一種位相光柵。嚴(yán)格地說，大多數(shù)實(shí)際光柵都同時(shí)調(diào)制入射波的振幅和位相，振幅光柵或位相光柵的區(qū)別只是強(qiáng)調(diào)哪一種調(diào)制起主要作用。(三)、透射光柵和反射光柵根據(jù)所研究的干涉場與入射波所在空間位在光棚的異側(cè)還是同側(cè)，可以分成“透射光柵”和“反射光柵”。有些光柵同時(shí)產(chǎn)生透射的和反射的多相干光束，需視其使用方式?jīng)Q定它屬于哪一類。(四)、其它分類光柵還可以按其制作方法、工作波段、光柵材料等等進(jìn)行分類。例如按制作方法有“(機(jī)械)刻線光柵”、“(模壓)復(fù)

5、制光柵”、“全息光柵”等，按工作波段有“紅外光柵”、“紫外光柵”等，按材料有“石英光柵”、“金屬光柵”等。圖1 雙縫夫瑯和費(fèi)衍射axzL1L2SbddsinfP 二、雙縫夫瑯和費(fèi)衍射實(shí)驗(yàn)裝置如圖1所示，設(shè)兩個(gè)縫的寬度同為a，兩縫之間不透光部分長度為b，兩縫中心距離為d，則a+b=d。當(dāng)用極細(xì)的平行于雙縫的線光源S作光源時(shí)，可看到在透鏡L2后焦面上的光強(qiáng)度分布?？衫酶道锶~變換計(jì)算。建立的坐標(biāo)系也畫在圖1中。光源S發(fā)出的光波經(jīng)過透鏡L1后變成平面波。在單位振幅的平面波正入射時(shí)，B(，)=1，所以：A(，)=T(，)=rect() (1)式中“矩形函數(shù)”rect()函數(shù)的范圍是： (2)A(，)的

6、傅里葉變換a (f，f)為： (3)其中式中(f)是狄拉克函數(shù)。而，于是得到P點(diǎn)的光場強(qiáng)度為： (4)而P點(diǎn)的光強(qiáng)度則為： (5)其中I0=Ca2為單縫衍射在y軸上各點(diǎn)的光強(qiáng)度，而。，根據(jù)圖1所示的幾何關(guān)系，在大距離、很小尺寸的近似下，則=kdsin，可見是雙縫對應(yīng)點(diǎn)到P點(diǎn)的位相差。，同樣的近似下，。式(5)表明，雙縫衍射圖樣的光強(qiáng)度分布由兩個(gè)因子決定：其一是，它表示寬度為a的單縫的夫瑯和費(fèi)衍射圖樣的光強(qiáng)度分布；其二是，它表示光強(qiáng)度同為I0而位相相差為的兩束光所產(chǎn)生的干涉圖樣的光強(qiáng)度分布。因此，我們可以這樣理解；雙縫的夫瑯和費(fèi)衍射圖樣乃是單縫衍射圖樣和雙縫干涉圖樣的組合，是衍射和干涉這兩個(gè)因素

7、聯(lián)合作用的結(jié)果。從圖2不難看出狹縫的干涉條紋由因子決定，而所表示的衍射因子則可以看作是對干涉條紋的強(qiáng)度起調(diào)制作用。圖2 雙縫夫瑯和費(fèi)衍射圖樣的光強(qiáng)度分布根據(jù)式(5)可知，出現(xiàn)單縫衍射光強(qiáng)度極小值的條件為： (n=1，2，3，)即asin=n (n=1，2，3，) (6)出現(xiàn)雙縫干涉光強(qiáng)度極小值的條件為：=kdsin=(m+)2 (m =0，1，2，3，)即dsin=(m+) (m=0，1，2，3，) (7)出現(xiàn)雙縫干涉光強(qiáng)度極大值的的條件為：=kdsin=2m (m =0，1，2，3，)即dsin=m (m=0，1，2，3，) (8) 如果由dsin=m確定的干涉極大的方向正好與由asin=n

8、確定的衍射極小的方向重合，那末第m級干涉極大將不會出現(xiàn)。某一極干涉極大因與衍射極小重合而不出現(xiàn)的現(xiàn)象稱為缺級現(xiàn)象。即當(dāng) (9)時(shí)發(fā)生缺級。例如d/a2，則缺少2，4，6各級；d/a3，則缺少3，6，9各級。圖2 多縫夫瑯和費(fèi)衍射abddsin(C)(B)zii(A)-abxzL1L2SdfPGz(A1)z(A2)z(A3)三、多縫夫瑯和費(fèi)衍射光柵衍射觀察光柵衍射的裝置如圖2A所示。設(shè)光柵G包含有N條寬度為a的狹縫，相鄰兩狹縫中心之間的距離為d，d也稱為光柵常數(shù)?，F(xiàn)在求單色平面波通過光柵后在透鏡然而上任一點(diǎn)P所產(chǎn)生的光振動(dòng)。與雙縫衍射一樣也可以應(yīng)用夫瑯和費(fèi)公式計(jì)算，只不過現(xiàn)在要完成的是N個(gè)縫上露

9、出波面的積分。只是現(xiàn)在出現(xiàn)了軸的原點(diǎn)的定位問題。根據(jù)單縫和雙縫的情況很容易確定，當(dāng)N為奇數(shù)時(shí)，如圖2A1所示，軸的原點(diǎn)定在光柵中心縫的中央，圖2A1中畫出了3條狹縫；而當(dāng)N為偶數(shù)時(shí)，如圖2A2所示，軸的原點(diǎn)定在光柵中心不透光部分的中央，圖2 A2中畫出了4條狹縫。而為了計(jì)算簡便起見，我們也可將軸的原點(diǎn)定在第一個(gè)狹縫的下邊緣，如圖2A3所標(biāo)明的那樣，同樣觀察屏上的x軸的原點(diǎn)的處理也是一樣。在第三種情況下，以下所說的衍射光線的傳播方向用與光柵G的法線(圖2A的)方向的夾角(圖2 A的角)表示。但是無論怎樣確定軸的原點(diǎn)，所討論的關(guān)于光強(qiáng)分布的結(jié)果都是相同的。為普遍起見，我們討論傾斜入射于光柵G的平面

10、波的情況，即極細(xì)狹縫S處于透鏡L1的左焦平面上，但不在其中垂線上，這樣的平面波的入射方向即其波矢與軸、z軸的方位如圖2B所示，設(shè)波矢在z平面內(nèi)。設(shè)入射平面波的振幅為1，這不影響最終的討論結(jié)果，于是入射平面波到達(dá)光柵G左側(cè)時(shí)的波函數(shù)則為：對于圖2A1所示的坐標(biāo)，光柵G的透射系數(shù)T(，)為： 于是 (10a)其中。對于圖2A2所示的坐標(biāo)，光柵G的透射系數(shù)T(，)為： 則 (10b)其中。而對于圖2A3所示的情況，光柵G的透射系數(shù)T(，)為： 于是 (10c)其中l(wèi)=1，2，N。我們首先求(10a)的A(，)的傅里葉變換a (f，f)為：雙縫夫瑯和費(fèi)衍射里的一些結(jié)論依然適用，例如：其中。采用相同的近

11、似，可令： (11)于是計(jì)算出：于是得到P點(diǎn)的光場強(qiáng)度為： (12a)按照相同的步驟，我們也可求出(10b)的A(，)的傅里葉變換a(f，f)以及P點(diǎn)的光場強(qiáng)度分布公式，結(jié)果和上述結(jié)果相同，故這里節(jié)略。而按照相同的步驟，我們求得(10c)的A(，)的傅里葉變換a(f，f)則為：而得到P點(diǎn)的光場強(qiáng)度則為： (12b)可見(12b)表示的光場強(qiáng)度比(12a)表示的光場強(qiáng)度在位相上多，但是P點(diǎn)的光強(qiáng)度則相同，為： (13)其中，原因是I=EE*，可見位相這時(shí)不起作用。如果令：=Ha/2 和 =Hd則有： (14)由上式可見與雙縫衍射的情形一樣，光強(qiáng)度由兩個(gè)因子決定。單縫的夫瑯和費(fèi)衍射因子；是干涉因子

12、，表示多縫干涉的結(jié)果，顯然當(dāng)N=2，i=0時(shí)，就是前面所講的平面波正入射時(shí)的雙縫夫瑯和費(fèi)衍射。因此，光柵衍射圖樣乃是單縫衍射圖樣與N個(gè)單縫多光束干涉圖樣的組合?？梢韵氲玫?，當(dāng)縫的數(shù)目N增加后，衍射圖樣最顯著的改變是亮條紋變細(xì)。此外當(dāng)N增大時(shí)，在相鄰主極大之間出現(xiàn)次極大，次極大的數(shù)目隨N的增多而增加，但次極大的強(qiáng)度比主極大小的多。實(shí)際使用的光柵N是相當(dāng)大的。例如一塊寬為60毫米的平面光柵，若在每毫米內(nèi)有1200條縫，則該光柵的總縫數(shù)N7200。這樣，亮條紋就非常明銳，成為一些在暗背景上的亮線。衍射光柵條紋的這些特點(diǎn)可以通過對式(14)的討論得出。對于涉因子，I(P)的極值位置可以由令其對(/2)

13、的導(dǎo)數(shù)為零得到。 (15)由上式第二行的后一個(gè)方括號得到：Ntg(/2)=tg(N/2) (16)容易證明當(dāng) (m=1，2，3，)即=d(sini-sin)=m (m=1，2，3，) (17)在衍射角為的方向上產(chǎn)生主極大，并且有 (18)用因子sinc2來乘這些主極大強(qiáng)度，可以看作是對主極大起調(diào)制作用。因此，各極大之間的強(qiáng)度比與雙縫衍射一樣。對主極大而言，若光柵常數(shù)d一定，它們的相對強(qiáng)度和位置是不隨縫數(shù)的增加而改變的，不管是N縫還是雙縫都是一樣的。由(15)第二行前一方括號為零求得： (19)滿足該條件時(shí)，使得I(P)=0，顯然式(19)是干涉極小值條件。滿足這個(gè)條件的這些值給出了干涉因子中的

14、零極小值位置。如果用m表示整數(shù)，則在屬于 2m，2(m+1)這個(gè)周期內(nèi)，共有(N-1)個(gè)值能滿足(19)式：=2(m+1/N)，2(m+2/N)，2m+(N-1)/N (20)代入的具體值，利用(11)有：d(sini-sin) = (m+1/N)，(m+2/N) ，m+(N-1)/N (21)可見在兩相鄰主極大之間有N-1個(gè)零值，而兩零值之間有一個(gè)次極大，因此兩相鄰主極大之間有N-2個(gè)次極大。易見(14)中的衍射因子為零的方向由=n (n1， 2，3)即：a(sini-sin)n (n1，2，3) (22)如果(17)的極大值被衍射因子調(diào)制，與(22)的極小值重合時(shí)，極大值將消失，這和雙縫衍

15、射類似，也是缺級現(xiàn)象?？梢?，在衍射光柵中也有缺級現(xiàn)象，其規(guī)律與雙縫衍射相同。圖3izi四、光柵方程、光柵的色散與分辨本領(lǐng)(一)光柵方程由(17)式可知，決定光柵衍射主極大方向的公式為： (m=1，2，3，) (23)我們稱之為光柵方程。它是使用光柵的基本方程式。實(shí)際使用的光柵除了透射光柵外，還有反射光柵，光柵方程(23)都適用。但是(23)是從圖2的光路推導(dǎo)出來的，在圖2的情況下，入射光和衍射光分別在光柵法線的兩側(cè)，所以(23)適用于入射光和衍射光分別在光柵法線的兩側(cè)的情況。但是入射光和衍射光都在光柵法線的同側(cè)，將如何呢？首先我們看看當(dāng)i不變化，即圖2的入射光不變的情況，這時(shí)我們考慮一下對稱于

16、光柵法線的方向，此時(shí)衍射角為負(fù)值，(23)左邊的-sin為正值，于是(23)變?yōu)椋?(m=1，2，3，) (24)接下來我們看看衍射角不變，而i發(fā)生變化的情況，這時(shí)入射光如圖3所示，假設(shè)縫數(shù)為奇數(shù)，采用2A1的坐標(biāo)系，那么入射平面波到達(dá)光柵G左側(cè)時(shí)的波函數(shù)則為：于是 (10a)其中。以后的推導(dǎo)都相同，而得到的決定光柵衍射主極大方向的公式為：d(-sini-sin)=m (m=1，2，3，)即為：d(sini+sin)=m (m=1，2，3，) (24)可見，入射光與衍射光處于法線同側(cè)，光柵方程為(24)。這段論述是針對透射式光柵而得到的結(jié)論，如果光柵是反射式的，那么入射光將圖2的光柵G的右側(cè)入

17、射，針對入射方向、衍射方向的不同，討論過程類似，而得到的結(jié)論相同。因此光柵方程的普遍形式可寫成： d(sinisin)=m (m=1，2，3，) (25)式中，(+)號表示衍射光和入射光在光柵法線的同一側(cè)，(-)號表示它們各在法線一側(cè)。可以證明，在透射光柵中，光柵方程與光柵材料的折射率無關(guān)，普遍式(25)也同樣適用。(二)光柵光譜與色散由光柵方程(25)可知，主極大的衍射角與波長有關(guān)。對于給定常數(shù)d的光柵，當(dāng)用多色光照明時(shí)，除零級外，不同波長的同一級主極大，均不重合即發(fā)生“色散”現(xiàn)象。因此，在透鏡的后焦面上將得到該多色光所有波長的各級亮線，這些亮線稱為光柵光譜線。圖4表示了波長l400nm和2

18、500nm的兩種光波的光譜線，可見兩種波長的零級譜線重合，而其它級次的譜線彼此分開，分開的程度隨級次增高而增大。圖4 光柵光譜通常用角色散或線色散表示不同波長譜線分開的程度。波長相差1埃的兩條譜線之間的角距離稱為角色散。可由光柵方程(25)對波長的微分求得： (26)線色散是焦平面上波長相差1埃的兩條譜線之間的距離它可以表示為： (27)式中f為透鏡的焦距。色散是光譜儀的一個(gè)重要指標(biāo)，光譜儀的色散愈大，就愈容易將兩條靠近的譜線分開，由于實(shí)用光柵的常數(shù)d都很小，所以光柵具有很大的色散能力。這一特性，使光柵成為一種優(yōu)良的光譜儀器。如果我們在角不大的地方觀察光柵光譜，cos幾乎不隨而變化，所以色散差

19、不多是一個(gè)常數(shù)，色散為常數(shù)的光譜稱為勻排光譜。測定這種光譜的波長時(shí)，可用線性內(nèi)插法，這也是光柵光譜相對于棱鏡光譜的優(yōu)點(diǎn)之一。圖5表示了l400nm，2500nm和3600nm的三種波長的譜線，可見第2級光譜與第3級光譜部分重迭。由光柵方程可知，的第m+1級與+的第m級重迭在某一位置時(shí)，有(m+1) m(+)因此，/m (28)在滿足式(28)的的光譜范圍內(nèi)，可以觀察到互相分開(即不發(fā)生重迭)的譜線，稱為自由光譜區(qū)。圖5 光柵光譜的重級現(xiàn)象(三)光柵的分辨本領(lǐng)分辨本領(lǐng)是光譜儀器的另一個(gè)重要指標(biāo)，它與光柵的色散有直接的關(guān)系。在光譜儀中，分辨本領(lǐng)乃是指分辨兩個(gè)很靠近的譜線的能力，又稱為色分辨本領(lǐng)。光柵有了很大的色散，還不保證有可能分辨兩條靠近的光譜線l和2。色散決定了l和2這兩種波長的譜線之間的角距離或線距離，但光譜線并不是一條幾何線，而是從極大到極小或快或慢逐漸過渡的干涉條紋。隨著光柵縫數(shù)N的增加，從極大到極小的過渡愈陡，即譜線愈細(xì)銳。圖6表示了兩條譜線的外形，當(dāng)它們靠近到一定程度，觀察到的光強(qiáng)度將是l和2所產(chǎn)生的光強(qiáng)度之和。根據(jù)瑞利判據(jù)，如果一條譜線強(qiáng)度極大值與另一譜線的第一個(gè)極小值重合時(shí)，兩條譜線剛好分辨。譜線的銳度愈大，光柵的分辨本領(lǐng)也愈大。圖6 光柵分辨極限 對于正入射的平面光來說，此時(shí)i=0，