《微積分初步》輔導6----不定積分

1、PAGE 4PAGE 5微積分初步輔導6不定積分一、學習重難點解析（一）關于原函數(shù)與不定積分概念1. 原函數(shù)與不定積分是兩個不同的概念, 它們又是緊密相連的. 對于定義在某區(qū)間上的函數(shù)f(x),若存在函數(shù)F(x), 使得該區(qū)間上的每一個點x處都有成立, 則稱F(x)是f(x)的一個原函數(shù)；而（為任意常數(shù)）稱為f(x)的不定積分. 2. f(x)如果有原函數(shù), 則有無窮多個；而且任意兩個原函數(shù)之間僅相差一個常數(shù). 求f(x)的不定積分是求其全體原函數(shù), 而只要求出一個原函數(shù)F(x), 再加上任意常數(shù)c,就得到了f(x)的全體原函數(shù). 因此原函數(shù)與不定積分是個體與全體的關系. 3. f(x)的不定

2、積分中隱含著積分常數(shù),在計算的結(jié)果中一定要有積分常數(shù)c. 如果被積函數(shù)f(x)是由幾個函數(shù)的代數(shù)和構(gòu)成時, 計算中要利用積分的性質(zhì), 將其分為幾個積分的代數(shù)和, 但是不必每個積分都加積分常數(shù), 當積分號消失時是一定要加上積分常數(shù)c. （二）關于不定積分的性質(zhì)1. 求導數(shù)（或微分）與求不定積分互為逆運算, 這是教材中的性質(zhì)1. 由這個性質(zhì)可以知道, 對一個函數(shù)若先求導數(shù)（或微分）再求積分等于該函數(shù)加上任意常數(shù)c；若先求積分再求導數(shù)（或微分）則兩種運算相互抵消, 結(jié)果等于被積函數(shù)（或被積表達式）. 例如. 2. 教材3. 1. 2中的性質(zhì)2和性質(zhì)3是不定積分的運算性質(zhì), 將它們結(jié)合起來有. （三）

3、不定積分的幾何意義函數(shù)的原函數(shù)的幾何圖形稱為的積分曲線, 的不定積分是的一蔟積分曲線, 這蔟積分曲線在橫坐標相同的點處的斜率是相同的. （四）關于不定積分的計算1. 積分基本公式是積分計算的最終依據(jù), 在積分計算時, 必須將積分號中的被積表達式與某個基本公式中被積表達式的形式完全相一致, 方可利用公式求出積分. 2. 第一換元積分法（湊微分法）主要是處理復合函數(shù)求積分的方法, 它的基本思想是“變換積分變量, 使新的積分對于新的積分變量好求原函數(shù)”, 采用的手段是 “湊微分”, 將湊成, 如果說被積函數(shù)可以湊成這樣兩個因子的乘積（其中一個是的函數(shù), 另一個是的導數(shù)）, 方可使用第一換元積分法.

4、注意這里的一定要含在原被積函數(shù)中. 例如, 積分對于, 原被積函數(shù)為, 令, 將, 其中的因子2是的導數(shù), 是為了換元而湊出來的, 而因子是為了與原積分的保持相等而乘上去的, 于是有=其中要注意：（1） 在微分中我們已經(jīng)習慣了, 而在積分計算中常常是反過來使用, 即. 例如將；（2）在積分計算中, 不但要熟悉基本積分公式, 還要熟悉基本微分公式, 熟悉常見的湊微分形式：（3）用第一換元法的目的是求出積分, 因此, 換元以后的積分必須容易求出積分. 一般地, 換元后的函數(shù)是積分基本公式中函數(shù)的形式或積分基本公式中函數(shù)的線性組合形式. 二、典 型 例 題例1 驗證和是同一個函數(shù)的原函數(shù), 并說明兩

5、個函數(shù)的關系. 分析 依原函數(shù)的定義, 若和的導數(shù)都是某個函數(shù)的原函數(shù), 即有, 則和是的原函數(shù). 所以, 只需驗證和的導數(shù)是否為同一個函數(shù)即可. 解 因為 所以和是同一個函數(shù)的兩個原函數(shù). 且有說明兩個原函數(shù)之間僅相差一個常數(shù). 例2 已知某曲線y=f(x)在點x處的切線斜率為, 且曲線過點, 試求曲線方程. 分析 根據(jù)不定積分的幾何意義, 所求曲線方程為過點, 斜率是的積分曲線. 解 且曲線過點, 即, 得出于是所求曲線方程為例3 判斷下列等式是否正確. （1）（2）分析 （1）, （2）根據(jù)不定積分的性質(zhì)進行判斷；解 （1）依照不定積分的性質(zhì)所以, 等式成立. （2）依照不定積分的性質(zhì)所

6、以, 等式不成立. 正確的應為例4 計算下列積分：（1）（2）分析 對于（1）, （2）利用基本積分公式和積分運算性質(zhì)進行積分, 注意在計算時, 對被積函數(shù)要進行適當?shù)淖冃危?解（1）將被積函數(shù)變形為= =. （2）將被積函數(shù)變形為再利用積分公式和積分運算性質(zhì)得 =說明：本例在求積分的方法直接積分法. 這種方法適用與那些只用到基本積分公式和積分運算性質(zhì), 或者對被積函數(shù)進行適當變形就 可以運用積分公式求積分的題目. 在解題中應該注意：1熟悉基本積分公式；2在解題中經(jīng)常要對被積函數(shù)進行適當?shù)牡淖冃危ɡ纾?）中將二項和的平方展開；（2）中將乘到括號里邊去；（3）中將絕對值打開）, 變形的目的是使

7、被積函數(shù)為積分基本公式中的函數(shù)或它們的線性組合. 這些方法和技巧的掌握是基于平時的練習；3如果連續(xù)試探幾次, 進行不同的變形后仍無法達到目的, 則應考慮其它積分方法求解. 例5 計算下列積分：（1）； （2）分析 注意到這幾個被積函數(shù)都是復合函數(shù), 對于復合函數(shù)的積分問題一般是利用湊微分法（第一換元積分法）, 在計算中要明確被積函數(shù)中的中間變量, 設法將對求積分轉(zhuǎn)化為對求積分.（1）將被積函數(shù)看成, 其中, 且, 于是, , 這時對于變量可以利用公式求積分. （2）將被積函數(shù)看成, 其中, 且, 于是, 這樣對于變量可以利用積分公式求積分. 解 （1）= = （2） （） = 說明：第一換元積分法是積分運算的重點, 也是難點. 一般地, 第一換元積分法所處理的函數(shù)是復合函數(shù), 故此法的實質(zhì)是復合函數(shù)求導數(shù)的逆運算. 在運算中始終要記住換元的目的是使換元后的積分容易求原函數(shù). 應用第一換元積分法時, 首先要牢記積分基本公式, 明了基本公式中的變量換成的函數(shù)時公式仍然成立. 同時還要熟悉微分學中的微分基本公式,