一階線性偏微分方程10文檔

1、第七章一階線性偏微分方程例7-1求方程組AdxBdyB - C yz C - A xz A - B yzCdz一 通積分，其中A, B,C為互不相等的常數(shù)。解由第一個(gè)等式可得ydyA .xdxxyzB -Cxyz即有B -CC -A兩邊積分得方程組的一個(gè)首次積分(x, y,z)B -C由第二個(gè)等式可得A-Bzdz-ydy C - Axyzxyz即有Bydy-C - Ac .八zdz= 0, A-B兩邊積分得方程組的另一個(gè)首次積分叫 X, y, z)C z A-B由于，雅可比矩陣一:(中,彳):(x,y,z)-:ycPxB -C-:yB y c - ABC - AyC z A-B的秩為2,這兩個(gè)

2、首次積分相互獨(dú)立，于是原方程組的通積分為A A 2 BxB-CB 2 yI C -ay2 二 aA-Bz2 =C2。要得到通積分需要評(píng)注：借助于方程組的首次積分求解方程組的方法稱為首次積分法。求得n個(gè)獨(dú)立的首次積分，n為組成方程組的方程個(gè)數(shù)。 用雅可比矩陣的秩來驗(yàn)證首次積分的獨(dú)立性。例7-2求方程組d dt也 dt22,y -x x y 1-x - y x2y2的通解。-1解由原方程組可得dx dy 222x y- = -(xy )(xdt dty2 -i)d(x2222、， 2y ) = -2(xy )(xy2 -1)dt這個(gè)方程關(guān)于變量t和x2 +y2是可以分離的,因此易求得它的通積分為中

3、(x,y,t)=x2y2 -1e2t 二 Ci這是原方程組的一個(gè)首次積分。再次利用方程組，得到=-(x2 + y2),dy dxx y一dt dt即有ddtarctan = -1x由此得到原方程組的另一個(gè)首次積分P(x, y,t) = arctan t = C2x由于，雅可比矩陣為一拜2x：(x, y)y8Px2 y2 2y2t2yx2 y2 2x2 .2 x ye2t所以這兩個(gè)首次積分是相互獨(dú)立的，它們構(gòu)成方程組的通積分。采用極坐標(biāo)，令 x = r cos6, y = r sin 9 ,由這兩個(gè)首次積分推得 TOC o 1-5 h z 1 2t1 - -e e = Ci,r21J+t =C2

4、由此解得1r = -,=41 C1-21川=C2 t因此微分方程組的通解為x(t); C0S(C2 -t),1y-f另外，方程組有零解 x = 0, y = 0。評(píng)注：注意方程組的通積分與通解的關(guān)系,由通積分可以確定通解,但根據(jù)隱函數(shù)存在定理，通解不一定都能表示成顯式形式。dy 1例7-3求解方程組d dxdx y - xdxz解把原方程組寫為dy - dx =-dx二 dz y -x以上方程組中的兩式左右兩邊分別相乘，消去dx,得y -x z由此得到一個(gè)首次積分(y x z = c1 C1代入原方程組第二式，得dx dz =一,Ciz兩邊積分得x . 一In z =+ In C2Ci即xz=

5、C2eCl ,將C1 =(y-xz代入，得到另一個(gè)首次積分zez(i)= C2。并且容易驗(yàn)證它與前一個(gè)首次積分是相互獨(dú)立的，于是這兩個(gè)首次積分構(gòu)成方程組的通 積分。評(píng)注：利用已得到的首次積分消去一部分未知函數(shù)，減少方程和未知函數(shù)的個(gè)數(shù)，以便 得到另外的首次積分。例7-4求解下列一階線性齊次偏微分方程。：:u：:u：:u(4y-5x)+(5t-3y)+ (3x-4t) = 0 二 t二x二 y、：u / 2-u：:u八x - (xy In x - y)二0:xcy二z解1)特征方程組為dt _ dx _ dy4y -5x 5t -3y 3x-4t 將三個(gè)分式作如下變化3dt 4dx 5dy12y

6、 -15x - 20t -12y - 15x - 20t 則利用合比性質(zhì)dt dx dy 3dt 4dx 5dy4y 5x - 5t - 3y - 3x 4t -0從而 d(3t 4x 5y) = 0 ,由此得特征方程組的一個(gè)首次積分G(t, x, y) = 3t +4x +5y = C1。再將特征方程組三個(gè)分式作如下變化2tdt2xdx2ydy 2tdt 2xdx 2ydy2t(4y -5x) - 2x(5t -3y) - 2y(3x -4t) -0222、從而 d(t +x +y )=0 ,由此可得另一首次積分222中(t, x, y) =t + x + y = C2 。包Ct旦:x竺.x

7、。J3 45 的秩為2,所以這兩個(gè)首次無 匕t 2x 2y_積分相互獨(dú)立，因此所求方程的通解為222u = :J (3t 4x 5y,t x y )其中為任意二元連續(xù)可微函數(shù)。2)特征方程組為dx dy dzx xy2 In x - y 1dx .由一 =dz可得一個(gè)首次積分為xln x -z = C1。再由 =得x xy ln x - y2xdy + ydx - xy In xdx = 0 ,兩邊積分，有d (xy) In x1 ln2xyL -、1得另一個(gè)首次積分xyln2容易驗(yàn)證這兩個(gè)首次積分相互獨(dú)立，因此所求方程的通解為2，八 1 In x、 u = :.j(ln x -z,)xy 2

8、其中為任意二元連續(xù)可微函數(shù)。評(píng)注：a）利用比例的性質(zhì)是求首次積分的有效方法;b）求解一階線性偏微分方程實(shí)際上歸結(jié)為求解常微分方程（或方程組）,此例正是利用積分因子轉(zhuǎn)化為恰當(dāng)方程而得到一個(gè)首次積分。例7-5.一工口-:u.；:u角軍萬程 2 ；:x；:y+ A3 = 0,其中Ak(k =1,2,3)是行列式 :z開.:f1.:f1；xz工f2開2開2：x:y.z開3開3開3二 x-y-z的第三行第k個(gè)元素對(duì)應(yīng)的代數(shù)余子式，而f1, f2, f3為已知可微函數(shù)。解原方程的特征方程組為dxdy dz由行列式的性質(zhì)，有ffi：:y flc1 U0,二 z2f-y:-f2_=0 ,：z將特征方程組的三個(gè)

9、分式作如下變化由合比性質(zhì)得二 f-:f1二 f！dxdy1dzjx_ ；y_ jz：:f1：:f1一淚1L 23:x：:y；z-f2dxfdy玉dz；:x_ 二 yjz開2一開2一開2二1-2，二3:x-:y.:z開1:f1開1dx dy dz = 0.:xjyjz；:f2dx-dy；:y.:f2dz = 0,；z于是有 df1 =0,df2 =0,由此得兩個(gè)首次積分 fi（x, y,z）=Ci, f2（x,y,z）=C2,由所給方程知 縱*=1,2,3）不可能全為零，所以這兩個(gè)首次積分還是獨(dú)立的，因此所求方程的通解為u -中（f1（x, y,z）, f2（x,y,z）其中為任意二元連續(xù)可微函

10、數(shù)。評(píng)注：注意行列式的意義及性質(zhì)。z：z22例7-6求斛方程xz + yz = xy ,并求通過曲線 z = x , y = z的積分曲面。：:x:y解這是擬線性偏微分方程，其特征方程組為dxdy dz=，xzyz xy由此得dx=業(yè)，解得一個(gè)首次積分為y=C1。 TOC o 1-5 h z x yxdx dz , - dxdz，一 2代入 =一中得，=,解得另一個(gè)首次積分為 z - xy = C2。xz xy zC1x易知- = C1 , z2 - xy =C2是兩個(gè)獨(dú)立的首次積分，所以原方程的通解是x(-,z2 - xy) =0 x其中為任意二元連續(xù)可微函數(shù)。將 z = x2, y=z2代

11、入兩個(gè)獨(dú)立的首次積分義=C1 , z2 xy = C2中，得x45C2 C； .C；，從而所求的曲面為2z - xy5x,評(píng)注：求柯西問題的解時(shí),關(guān)鍵是尋求任意常數(shù)之間的關(guān)系式，將首次積分代入即可得所求問題的解。.一. 22例7-7求以圓x十y = ax, z=2為準(zhǔn)線，(0,0,0)為頂點(diǎn)的錐面方程。解 設(shè)以f (x, y,z) =0表示任一以原點(diǎn)為頂點(diǎn)的錐面方程，那么錐面在其上任一點(diǎn) (x, y,z)的法線應(yīng)與過此點(diǎn)的向徑垂直，因?yàn)橄驈饺课挥阱F面上。這樣，f (x, y, z)應(yīng)滿足方程x * yf z=0,.x二y二z它的特征方程組為dx它的兩個(gè)獨(dú)立的首次積分為 -zdy dz=,y

12、z= C1,上=C2,故以原點(diǎn)為頂點(diǎn)的錐面的一般方程為 zf (x, y,z)=：& y ;z z )其中為任意二元連續(xù)可微函數(shù)。22要尋找過圓x y=ax, z = 2的錐面，先把z = 2代入首次積分中，得到x = 2Cy =2C2；再以此代入x2y2= ax,即得Ci,C2所滿足的關(guān)系式為2C； -aC1 +2C； =0。最后，將首次積分代入此關(guān)系式中，得到所求的錐面方程為2xax 2y3c 2c 22-十2-=0或2x + 2y axz = 0 。 zzz評(píng)注：先建立頂點(diǎn)在原點(diǎn)的錐面方程， 再求滿足一定條件的特解。 求特解類似于前一題。例7-8求與橢圓面族2二 C2y 2z4正交，且通

13、過直線 x=2y=4z的曲面。解 設(shè)與已知橢圓面族正交的曲面族為&x, y,z） = C，則任一交點(diǎn)（x,y,z）處它們的法線互相垂直，故小應(yīng)滿足線性偏微分方程x*+ 丫先+ 2z0=0,.x 2 二 y二 z它的特征方程組為dx _ 2dy _ dzx y 2z它的通積分為=C1 , 4 = C2。y要尋找通過直線x = 2y =4z的曲面，以x = 2y, z=y代入首次積分中，得到2Gy =2Cy312消去y得到Ci ,C2所滿足的關(guān)系式為-3Ci = I6C2 0最后，將首次積分xz= =Ci，F(xiàn)=C2代入上關(guān)系式中，得到所求的曲面方程為 yy32x =16y z 。評(píng)注：求解柯西問題有時(shí)直接從特征方程組的通積分入手得到任意常數(shù)之間的關(guān)系式，從而求得滿足條件特解。例7-8 一直線在運(yùn)動(dòng)時(shí)常與一固定直線相交成定角，求它運(yùn)動(dòng)時(shí)所成曲面的方程。解 不妨設(shè)這一固定直線為 z軸，所求曲面方程為 u(x,y,z) = 0,則過曲面上任一點(diǎn)(x, y, z)且與z軸夾角為常角 a的直線一定在所求曲面上，此時(shí)若這條直線與 z軸的交點(diǎn)為 TOC o 1-5 h z 一X2 y2(0,0,zo),則 tan a= 土。z -z。由于過該點(diǎn)的法線與此直線的互相垂直，即有