3 勾股定理的應(yīng)用2

1、數(shù)學(xué)八年級下北師大新課標第一章第二節(jié)勾股定理的應(yīng)用-最短距離問題教學(xué)設(shè)計西安市第70中學(xué) 范聰聰內(nèi)容和內(nèi)容解析：本節(jié)是義務(wù)教育課程標準北師大版教科書八年級（上）第一章勾股定理第三節(jié)具體內(nèi)容是運用勾股定理解決簡單的立體圖形上的最短距離問題，進一步發(fā)展應(yīng)用意識。本節(jié)課是七年級圖形的展開與折疊知識的延續(xù)，需要把立體圖形展開成平面圖形后，利用兩點之間線段最短在平面上找到最短距離，并運用勾股定理求出最短距離。同時本節(jié)課從圓柱（側(cè)面）中來又回到圓柱（內(nèi)部）中去，最后也為九年級要學(xué)習(xí)的視圖與投影埋下伏筆。目標和目標解析：本節(jié)課的重點是利用勾股定理解決立體圖形上的最短距離問題，難點是如何尋找和計算最短距離。設(shè)

2、計“螞蟻怎樣走最近？”這個有趣的實際情景，讓學(xué)生了解實際問題可以轉(zhuǎn)化成數(shù)學(xué)問題，讓學(xué)生體驗數(shù)學(xué)源于生活，又應(yīng)用于生活；在經(jīng)歷尋找和計算“最短距離”的過程中，讓學(xué)生理解，為什么要把立體圖形展開成平面圖形，使學(xué)生逐漸形成思維上的轉(zhuǎn)化思想，進一步體會數(shù)學(xué)的應(yīng)用價值；學(xué)生要探究并掌握立體圖形轉(zhuǎn)化成平面圖形后，最短距離的尋找方法和利用勾股定理的計算方法，這也使學(xué)生積累利用數(shù)學(xué)知識解決日常生活中實際問題的經(jīng)驗和方法，逐步形成積極參與數(shù)學(xué)活動的意識。教學(xué)問題診斷分析：學(xué)情分析：學(xué)生在七年級已學(xué)習(xí)過圖形的展開與折疊，并了解兩點之間線段最短，有一定基礎(chǔ)。本節(jié)課要求學(xué)生在實際問題中自己尋找并計算最短距離，而八年級

3、學(xué)生審題能力，審題方法，數(shù)學(xué)思維習(xí)慣已逐漸養(yǎng)成，但解決實際問題的能力仍需培養(yǎng)；內(nèi)容預(yù)設(shè)：一，本節(jié)課學(xué)生可能遇到的第一個問題，在尋找“最短距離”的過程中，在展開后的平面圖形上不能準確找到螞蟻或食物所在的“點”，而找不準“關(guān)鍵點”的原因：缺乏空間想象能力；懶于動手操作實踐；沒能完全感受到立體圖形展成平面圖形帶來的好處；習(xí)慣養(yǎng)成問題（審題意識，審題方法）。二，極個別學(xué)生在計算最短距離時出問題，究其原因：缺乏利用數(shù)學(xué)知識解決實際問題的能力；對勾股定理的掌握不夠扎實；缺乏由點（螞蟻和食物）到線（最短距離）再到面（直角三角形）的意識。三，在探究長方體表面的最短距離問題時，展開方式“找不全”，容易遺漏。究其

4、原因：沒有真正理解展開的原因，展開后的好處；考慮問題不夠全面，急于求成；教學(xué)支持條件分析：根據(jù)教學(xué)問題的診斷，將螞蟻的移動路線；食物所在的“點”；由點到線生成的最短距離；以及最短距離所在的面的生成都利用多媒體演示，直觀，生動，并將練習(xí)題用多媒體呈現(xiàn)，提高課堂效率教學(xué)過程設(shè)計：教學(xué)環(huán)節(jié)教師活動學(xué)生活動設(shè)計意圖激情導(dǎo)入激情導(dǎo)入（螞蟻在圓柱體上爬行）1.引導(dǎo)學(xué)生復(fù)習(xí)圓柱體的展開圖2.演示動畫引出3.課題板書：勾股定理的應(yīng)用最短距離）學(xué)生回顧圓柱體的展開圖1.幫助學(xué)生溫故知新；2.通過視覺激活學(xué)生思維，生成問題過程體驗問題情景一：螞蟻和食物分別在圓柱體上相對的頂點處，求螞蟻怎樣走最近？提問：（回憶）怎

5、樣確定平面上兩點間的最短距離？立體圖形上的最短距離問題如何解決？（強調(diào)螞蟻在側(cè)面爬行）學(xué)生審題，思考并作答1.由有趣的實際問題引入，激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)興趣；2.解決實際問題首先是審清題意，所以給學(xué)生留出時間審題；3.兩個問題的提出，啟發(fā)學(xué)生把立體圖形展開成平面圖形，并用平面圖形的知識來解決立體圖形中最短距離問題。使學(xué)生體會數(shù)學(xué)上的轉(zhuǎn)化思想以及數(shù)學(xué)源于生活，又服務(wù)于生活分析解決問題情境一，尋找并計算最短距離黑板畫圓柱體及其側(cè)面展開圖；提問：在展開圖上螞蟻和食物這兩個“關(guān)鍵點”應(yīng)標在哪里？（教師可借助多媒體或教具引導(dǎo)學(xué)生尋找關(guān)鍵點）；最短距離怎么體現(xiàn)？怎樣計算最短距離？多媒體演示，（給出圓柱體的高與底面

6、半徑）思考并作答，在計算最短距離時，一名學(xué)生分析思路，指明圓柱體上的數(shù)量和展開圖上的數(shù)量之間一一對應(yīng)關(guān)系，以及如何利用勾股定理進行計算1.教師黑板畫圖，為學(xué)生在黑板上板書變式訓(xùn)練一做準備；2.通過先尋找“關(guān)鍵點”，再找到“最短距離”，最終在直角三角形內(nèi)利用勾股計算最短距離這一過程，使學(xué)生再次領(lǐng)悟任何一個幾何圖形都是由基本元素“點”，“線”，“面”構(gòu)成，回歸幾何的本真！變式訓(xùn)練一多媒體演示（食物所在點B向下移動）學(xué)生觀察思考，一名學(xué)生黑板板書該訓(xùn)練是問題情境一的變式，體現(xiàn)數(shù)學(xué)的多樣性和靈活性，直接檢驗學(xué)生是否已經(jīng)掌握剛才所學(xué)知識變式訓(xùn)練二多媒體演示（圓柱體上從A到B繞行一圈，A點和B點在圓柱同側(cè)

7、）1.學(xué)生觀察思考，一名學(xué)生分析思路2.總結(jié)立體圖形中計算最短距離三步曲：“展”（立體展平面）“找”（找最短距離“算”（算最短距離）1.該訓(xùn)練是問題情境一的再次變式，引導(dǎo)學(xué)生體會正確尋找“關(guān)鍵點”這個最基本幾何元素的重要性，進一步發(fā)展學(xué)生空間想象力2.培養(yǎng)學(xué)生歸納總結(jié)的能力。問題情境2：探究長方體表面的最短距離問題1.多媒體演示，教師在黑板畫圖2.提問：長方體有幾個面組成？長方體怎么展開？至少需要展開幾個面？3.教師在黑板上標出六個面4.教師用教具演示展開過程并畫出第一種展開方式，標出關(guān)鍵點和最短距離5.為什么長方體有六種展開方式？（長，寬，高的組合），為什么排除后只有三種？（重復(fù)）6.多媒體

8、展示三種展開方式的計算結(jié)果1.審題2.學(xué)生回答第一種展開方式3.小組合作，交流討論其它展開方式，并上黑板展示交流結(jié)果4.在教師引導(dǎo)下，學(xué)生對六種展開方式分析排除，最終歸納出三種方式5.計算比較得出最短距離1.本環(huán)節(jié)在圓柱體的基礎(chǔ)上提升難度，變?yōu)殚L方體，引導(dǎo)學(xué)生由淺入深，由圓柱體側(cè)面展開一個面上的最短距離，到長方體展開兩個面才能找到最短距離；2.教師利用多媒體，動態(tài)展示第一個展開圖，起到示范作用，使學(xué)生上黑板有的放矢；3.引導(dǎo)學(xué)生理解有六種展開方式的原因（源于長，寬，高的組合）4.通過計算比較得出最短距離。本環(huán)節(jié)很好的滲透了分類討論思想。變式練習(xí)多媒體演示提問：如何最快找出長方體上最短距離？1.

9、審題，思考，作答（一名學(xué)生黑板板書）2.在教師引導(dǎo)下發(fā)現(xiàn)最快找到最短距離的方式（當(dāng)組合成的直角邊最小時，所求距離最短）本環(huán)節(jié)是對問題情境二的鞏固和提高，同時引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)解決問題的最佳方案。拓展延伸1.多媒體演示（圓柱體內(nèi)的最短距離問題）2.提問：該圓柱需要展開嗎？3.教師引導(dǎo)1.審題，思考，回答（該圓柱不需要展開）2.小組討論3.學(xué)生分析思路4.引導(dǎo)學(xué)生關(guān)注并總結(jié)立體圖形“表面”的最短距離問題才需要展開，而“內(nèi)部”的問題不需要展開本題是本節(jié)課的拓展延伸，由前面兩個情境中立體圖形的“表面”最短距離問題轉(zhuǎn)變成為立體圖形“內(nèi)部”的最短距離問題，這也為九年級的視圖學(xué)習(xí)埋下伏筆。同時，該環(huán)節(jié)也使整節(jié)課從

10、圓柱中來又回圓柱中去，首尾呼應(yīng)，畫上了圓滿的句號。目標檢測設(shè)計：1.如圖,一圓柱高8cm,底面半徑為cm，一只螞蟻從點A爬到點B處吃食,要爬行的最短路程是_cm.設(shè)計目的：本題檢測學(xué)生對基礎(chǔ)圖形的掌握 2.如圖：是一圓柱玻璃杯，從內(nèi)部測得底面半徑為6cm,高為16cm，現(xiàn)有一根長為22cm的吸管任意放入杯中，則吸管露在杯口外的長度最少為 cm設(shè)計目的：本題針對本節(jié)課的拓展延伸，檢驗學(xué)生是否掌握立體圖形 內(nèi)部的最短距離問題，也為以后要學(xué)習(xí)的視圖打基礎(chǔ)。3.如圖，在棱長為1 cm的正方體的一個頂點A處有一只螞蟻，現(xiàn)沿著表面要向頂點B處爬行的最短距離是（ ）BAA.3 B. 根號5 C.2 D.1設(shè)計目的：本題由正方體開始，過渡到下一題的長方體，由特殊到一般。4.如圖，長方體的長為15 cm，寬為10 cm