第九章 社會研究的定量分析(共17頁)

1、PAGE PAGE 19第九章 社會(shhu)研究的定量分析作為社會調(diào)查研究對象的社會現(xiàn)象有其質(zhì)和量兩方面，我們對整理好的資料也必須展開定性和定量兩方面的分析，缺一不可。但是，定性分析是以研究者的理論功底為基礎，主要靠個人的悟性。定量分析就不同(b tn)了，它是我們每個人通過學習都可以統(tǒng)一掌握的技術。所以學習社會調(diào)查研究方法，課堂教學在資料分析方面重點講得是統(tǒng)計分析，定性分析所需要的悟性則留給學習者平時逐步積累。91 統(tǒng)計調(diào)查資料(zlio)及其整理經(jīng)過調(diào)查收集上來的資料雖然是大量的，卻很可能是雜亂無章的，用它來直接做分析往往有困難。統(tǒng)計整理是對調(diào)查數(shù)據(jù)資料的條理化、系統(tǒng)化和有序化，通過它

2、，社會調(diào)查研究才能進入統(tǒng)計分析階段。因此，資料整理是溝通社會調(diào)查和資料分析的橋梁。不過，資料整理在很多情況下是一個自然過程，并非一定先要專門學習不可。但調(diào)查來的數(shù)據(jù)資料有所不同，它的整理有一套規(guī)范的做法，這是需要專門學習的。所以與統(tǒng)計分析相匹配，課堂教學在資料整理方面重點講得是調(diào)查數(shù)據(jù)資料的整理，主要是指統(tǒng)計調(diào)查資料的整理，簡稱統(tǒng)計整理。當然其他調(diào)查資料的整理也能觸類旁通，由此受到啟發(fā)。一、統(tǒng)計分組和頻數(shù)分布統(tǒng)計整理是與統(tǒng)計分組相聯(lián)系的。所謂統(tǒng)計分組，就是將情況相同或相近的數(shù)據(jù)資料加以分門別類的歸并，使之簡單明晰，以便為統(tǒng)計分析中提取各種有用信息打下基礎。頻數(shù)分布是統(tǒng)計分組的結果，它是指眾多的

3、調(diào)查數(shù)據(jù)在各個組（各類別、各等級或各區(qū)間）出現(xiàn)或發(fā)生的次數(shù)。頻數(shù)分布是對客觀事物自然形成的分布狀態(tài)的集中反映和描述。如一個學校的學生的性別有男也有女，而且男同學和女同學的人數(shù)不盡相同，我們將這種情況如實地描述出來，便得到該校學生性別的頻數(shù)分布。將原始資料編排成序列資料，再把序列資料編制成為頻數(shù)分布表（頻數(shù)用f表示）。這樣一來，學生總體中的性別分布狀況就清晰地呈現(xiàn)出來了。原始資料 次序資料 分組資料，這反映了對資料進行整理和簡化的順序。這三種形式是依次逐步簡化和條理化的，使人們看起來越來越容易、越來越清楚。二、頻率(pnl)分布與總體內(nèi)部結構分組資料雖然簡單明了，但不能直接顯示出總體內(nèi)部結構。為

4、了(wi le)實現(xiàn)這個要求，就要在分組資料的基礎上派生出頻率分布表（頻率用P表示(biosh)）。頻率就是各組人數(shù)占總體人數(shù)的比重，即PfN。比重都小于1，經(jīng)常用百分數(shù)來表達，它反映了對象總體的內(nèi)部結構。而累計頻數(shù)或頻率，我們便得到向上累計（F）或向下累計（F）頻數(shù)表或頻率表。這也是我們常常應用在資料整理之中以便描述的方法之一。 三、圖示法把無序的原始資料整理成頻數(shù)分布表，是表示統(tǒng)計資料的一種有效方式，我們可以稱為列表法。其實，用圖示法來表示統(tǒng)計資料比列表法更能一目了然。我們可以根據(jù)整理好的頻數(shù)分布（或頻率分布和累積百分數(shù)分布）繪制出相應的統(tǒng)計圖。最常用的有直方圖、條形圖、折線圖、曲線圖等。

5、92 統(tǒng)計分析一：描述統(tǒng)計調(diào)查數(shù)據(jù)資料經(jīng)分類整理后，已經(jīng)使雜亂無章的原始數(shù)據(jù)資料成為有系統(tǒng)、有條理的數(shù)據(jù)資料，這就為統(tǒng)計分析中提取各種有用信息打下了基礎。而在社會調(diào)查的定量研究中，描述統(tǒng)計是基礎。所謂描述統(tǒng)計就是討論范圍僅以搜集資料本身為限，而不予以擴大。包括推論統(tǒng)計在內(nèi)，沒有描述統(tǒng)計作為基礎，想要運用好也是不可能的。描述統(tǒng)計所用數(shù)學較少，實用性又很強，因此在社會調(diào)查研究中使用的機會很多。一、集中趨勢統(tǒng)計量1算術平均數(shù)（）簡單算術平均數(shù)統(tǒng)計原始資料，計算簡單算術平均，其公式為 （9.1）加權算術平均數(shù)統(tǒng)計分組資料，計算(j sun)加權算術平均，其公式為 （9.2）式中f代表頻數(shù)(pn sh)

6、，由于各變量值Xi對于總體的影響(yngxing)要由各組頻數(shù)fi所決定，所以fi也稱為權數(shù)。這樣一來，在統(tǒng)計分析中，凡對應于分組資料的計算式，都被稱為加權式。而對應于未分組資料的計算式，則被稱為原始式。值得注意的是，在統(tǒng)計計算中，權數(shù)不僅用來衡量總體中各變量值在總體中作用，同時也反映了對象總體的內(nèi)部結構，所以它有兩種表現(xiàn)形式：絕對數(shù)（頻數(shù)）和相對數(shù)（頻率）。這樣一來，加權算術平均數(shù)也可以依據(jù)頻率分布來計算，（9.2）式也可以寫成 （9.3）（注：分組資料有單項式和組距式兩種。對組距式分組資料要做近似處理，即用每組的組中值mi來權充該組劃一的變量值Xi。）2中位數(shù)（Md）用中位數(shù)作為集中趨勢統(tǒng)

7、計量，在許多場合能發(fā)揮很好的作用。所謂中位數(shù)，是把一組數(shù)據(jù)分成相等的兩部分，一半數(shù)值比它小，一半數(shù)值比它小，它居中。所以中位數(shù)也是一種反映現(xiàn)象一般水平和集中趨勢的有代表性的數(shù)值。原始資料的中位數(shù)對于原始資料求中位數(shù)，只要先將各個數(shù)值按大小排序，再將居中的那個數(shù)值拿出來就行了。分組資料的中位數(shù)對于組距式分組資料求中位數(shù)，首先按排序的方法找出中位數(shù)組，再按下面的公式近似求得中位數(shù) （9.4）式中的L代表中位數(shù)組下限，N代表總體單位數(shù)，F(xiàn)m-1代表低于中位數(shù)組下限的累積頻數(shù)，fm代表中位數(shù)組的頻數(shù)，h代表中位數(shù)組的組距。（注：對于單項式分組資料，不用近似計算，可很簡單得到中位數(shù)。）3眾數(shù)（M0）“眾

8、”即多的含義。眾數(shù)是在一組數(shù)據(jù)中，出現(xiàn)(chxin)次數(shù)“最多”的那一個（或幾個）數(shù)值。眾數(shù)只與數(shù)值出現(xiàn)的次數(shù)(csh)有關，因而它可以用于定距資料，也可以用于定類、定序資料。應該指出，眾數(shù)有時不存在，有時有兩個以上。原始資料(zlio)的眾數(shù)對于原始資料的眾數(shù)，一般情況下只要按眾數(shù)的定義直接識別就可以了。分組資料的眾數(shù)對于組距式分組資料求眾數(shù)的方法，是先按最高頻數(shù)找出眾數(shù)組，再按下面的公式近似求得眾數(shù)。 （9.5）式中1為眾數(shù)組頻數(shù)與前一組頻數(shù)之差，2為眾數(shù)組頻數(shù)與后一組頻數(shù)之差，h0為眾數(shù)組的組距。（注：對于單項式分組資料，不用近似計算，可很簡單得到眾數(shù)。）二、離中趨勢統(tǒng)計量所謂離中趨勢，

9、是指各數(shù)據(jù)之間的差距和離散程度。離中趨勢統(tǒng)計量有全距、異眾比、標準差等，它們不僅可以綜合地顯示數(shù)據(jù)的離散程度，還可以用來判別平均數(shù)的代表性。離勢小，平均數(shù)的代表性高；離勢大，平均數(shù)代表性低。1全距（R） 全距，也稱極差，它是一組數(shù)據(jù)中最大值（XN）與最小值（X1）之差，說明變量值的最大變動范圍，其分式為 （9.6）2異眾比率（VR）所謂異眾比率，是指非眾數(shù)的頻數(shù)與總體單位數(shù)的比值。很顯然，它可以用于定距資料，也可以用于定類、定序資料。異眾比率的公式如下 （9.7） 式中為眾數(shù)的頻數(shù)，N為總體單位數(shù)。3標準差（S）在統(tǒng)計分析中，對于定距變量，用標準差來作為離中趨勢統(tǒng)計量是最基本的做法。這是指在一

10、組數(shù)據(jù)中，各數(shù)值之間的差距(chj)是不相等的，有的差距大，有的差距小，以它們之間平均相差多少作為標準來衡量一組數(shù)據(jù)的離散程度，即標準差。更準確地講，標準差用于衡量各數(shù)值相對于算術平均數(shù)的平均偏離程度。原始(yunsh)資料的標準差一個(y )數(shù)據(jù)與該組數(shù)據(jù)的算術平均數(shù)的差叫離差。當一個數(shù)據(jù)大于時，離差是正值，反之則為負值。為了消除離差正負號的影響，可求所有離差平方的算術平均，這是所謂的均方差，簡稱方差（S2）。將方差開平方后所得的值就是標準差。方 差： （9.8）標準差： （9.9）（注：標準差的公式展開后可以寫成，用此式算起來較快。）分組資料標準差與加權算術平均的道理相同，當我們要處理分組

11、資料時，計算標準差需用加權式 （9.10）值得注意的是，計算分組資料的標準差，也可以依據(jù)頻率分布來進行，（9.10）式由此可以寫成 （9.11） 或者 （9.12）93 統(tǒng)計分析二：推論統(tǒng)計在社會調(diào)查研究中，抽樣調(diào)查被公認為是一種最完善、最有科學根據(jù)的調(diào)查方法。由于大數(shù)規(guī)律起作用，只要樣本是隨機產(chǎn)生的，且容量足夠大，計算出來的樣本統(tǒng)計量就和總體參數(shù)非常接近。這樣一來，在調(diào)查對象很多、范圍很大而不可能對每個單位都進行調(diào)查的情況下，往往采用抽樣調(diào)查的方法來認識問題和研究問題。抽樣調(diào)查不僅有其他非全面調(diào)查省時間與經(jīng)費的優(yōu)點，同時又有普查能夠了解總體的優(yōu)點。然而抽樣調(diào)查也有一個缺點，就是它在數(shù)學上要求

12、比較高。也就是說，用樣本統(tǒng)計量來推論總體參數(shù)，我們(w men)不僅要學習描述統(tǒng)計，還要學習推論統(tǒng)計。推論統(tǒng)計(tngj)是對抽樣調(diào)查來講的。描述統(tǒng)計固然對處理樣本資料也有效，但樣本能否代表總體，能在多大的程度上代表總體，只有推論通過統(tǒng)計才能得出結論。所以抽樣調(diào)查一定要有推論統(tǒng)計。推論統(tǒng)計涉及到概率論、抽樣分布、假設檢驗、參數(shù)估計等一些(yxi)比較深奧的知識。一、概率與概率分布在描述統(tǒng)計中，頻率的概念是非常重要的，因為頻率分布包含著關于統(tǒng)計對象的幾乎所有重要信息。與此相對應，在推論統(tǒng)計中概率的概念是非常重要的，因為概率分布包含著關于統(tǒng)計對象的幾乎所有重要信息。在推論統(tǒng)計中，概率又是與隨機現(xiàn)象

13、相聯(lián)系的一個概念。所謂隨機現(xiàn)象，是指事先不能精確預言其結果的現(xiàn)象，所有這些現(xiàn)象都有一個共同的特點，那就是在給定的條件下，觀察所得的結果不止一個。而相應地，變量X在推論統(tǒng)計中也被頻繁地稱為隨機變量。隨機變量可能實現(xiàn)的結果不止一個，但內(nèi)中也有一定的規(guī)律性。如大量觀察，我們會發(fā)現(xiàn)婦女生男生女的可能性幾乎一樣大，都是05，這就是概率。對隨機變量而言，可能的某一結果發(fā)生的頻率隨試驗次數(shù)增大而逐步穩(wěn)定到某一數(shù)值這個經(jīng)驗事實，在概率論中便是大數(shù)定律。在推論統(tǒng)計中，概率和概率分布有著如同在描述統(tǒng)計中頻率和頻率分布那樣的聯(lián)系?，F(xiàn)在我們了解了概率，但作為隨機現(xiàn)象的全面研究這還很不夠。概率僅僅告知了隨機現(xiàn)象某一局部

14、結果發(fā)生的可能性有多大，概率分布則要在滿足完備性(窮舉)和互不相容性(互斥)的前提下，回答隨機現(xiàn)象一共會出現(xiàn)多少種結果，以及每種結果所伴隨的概率是多少，如著名的二項分布。把概率分布與前面所講的頻數(shù)分布、頻率分布作一比較，就會發(fā)現(xiàn)它們(特別是頻率分布與概率分布)非常相像。當然概率分布與頻率分布也有重要區(qū)別：頻率分布是經(jīng)資料整理而來的，概率分布卻是先驗的；頻率分布隨樣本不同而有所不同，概率分布卻是唯一的；頻率分布有對應的頻數(shù)分布，概率分布則沒有。因此頻率分布被稱為隨機變量的統(tǒng)計分布或經(jīng)驗分布，而概率分布則被稱為隨機變量的理論分布。二、分布函數(shù)對于離散型隨機變量，X的取值是可數(shù)的，可以對X的每個可能

15、取值xi計算其實現(xiàn)的概率Pi ，我們便得到了離散型隨機變量的概率分布，即 P(X=xi)Pi (913)二項分布是最著名(zhmng)的離散型隨機變量的概率分布，它的數(shù)學(shxu)表達式是P(X=x)pxqn-x (914)連續(xù)型隨機變量(su j bin lin)X的取值充滿某一區(qū)間，甚至可以是一切實數(shù)。所以討論X取一指定值xi的概率是沒有意義的，其概率分布也無法用表的形式表示出來。為此，我們引進概率密度(x)的概念來表達連續(xù)型隨機變量的概率分布。 (x) (915)這樣一來，連續(xù)型隨機變量X在區(qū)間x1 ，x2上的概率等于概率密度曲線(x)下面x1與x2兩點之間面積，即 P(x1 Xx2

16、) (916)由于上述問題的存在，在推論統(tǒng)計中，為了能把對隨機變量的概率的研究在數(shù)學上統(tǒng)一起來，人們引入了分布函數(shù)F(x)的概念，并把它定義為 F(x)P（Xx） (917) 它表示隨機變量X小于某一取值x的概率，即隨機變量從最遠的起點()到我們所取的x點的所有概率的總和。有了分布函數(shù)，就可以很容易得到隨機變量X取值在任意區(qū)間x1 ，x2上的概率，即P(x1 Xx2 )F (x2 )- F (x1 ) (918) 對于離散型隨機變量，如果它的概率分布是已知的，那么很容易求出它的分布函數(shù) F(x)P（Xx） (919) 對于離散型隨機變量，分布函數(shù)也可以寫成 F(x)P（Xx） 上式是對大于等于

17、x的一切P（X）求和，表示隨機變量X的取值大于等于x的概率是多少。上式是對小于等于x的一切P（X）求和，表示隨機變量X的取值小于等于x的概率是多少。 對于連續(xù)型隨機變量，如果它的概率密度函數(shù)是已知的，那么根據(jù)簡單的微積分知識就可以得到F(x)P（Xx） (920) 對于連續(xù)型隨機變量，分布函數(shù)也可以寫成F(x)P（Xx） 上式表示隨機變量X的取值大于等于x的概率是多少。上式表示隨機變量X的取值小于等于x的概率是多少。 綜上所述，分布函數(shù)(hnsh)和概率分布或概率密度有一一對應的關系。概率分布(離散變量)或概率密度(連續(xù)變量)換算成分布函數(shù)是很容易。反過來，知道了分布函數(shù)，可以很容易得到隨機變

18、量X的取值在任意(rny)區(qū)間x1 ，x2上的概率(gil)。F(x)和P(X= xi) (離散變量)或(x) (連續(xù)變量)的關系，就像向上累計頻率和頻率的關系一樣。不同之處在于，F(xiàn)(x)累計的是概率。但使用分布函數(shù)的好處是很明顯的，它不僅在數(shù)學上統(tǒng)一了對離散型隨機變量和連續(xù)型隨機變量概率的研究，而且由于它計算概率的起點都固定為，因而可以把概率值換算成表，以易于求得任何區(qū)間的概率，從而達到計算快捷和應用廣泛之目的。三、數(shù)學期望與變異數(shù) 在前面統(tǒng)計分組的討論中，我們在得到頻數(shù)(或頻率)分布后，為了對變量有系統(tǒng)概括的認識，分別研究了它的集中趨勢和離中趨勢。而為了量度集中趨勢和離中趨勢，我們分別討論

19、了算術平均數(shù)和標準差。很顯然，現(xiàn)在當我們面對隨機變量的概率分布時，也要對隨機變量的集中趨勢和離中趨勢作概括性的描述，這就引出數(shù)學期望和變異數(shù)這兩個概念。 所謂數(shù)學期望，是反映隨機變量X取值的集中趨勢的理論均值(算術平均)，記作E(X)。 對于離散型隨機變量，只要用概率代替頻率，數(shù)學期望的計算方法與分組資料算術平均數(shù)的計算方法完全相似，即 E(X)x1PIx2 P2 xnPn (921)對于連續(xù)型隨機變量，數(shù)學期望涉及無窮限積分，其計算公式為 E(X) (922) 數(shù)學期望也常常記為，在推論統(tǒng)計中同總體均值的記號，而則在推論統(tǒng)計中被作為樣本均值的記號。數(shù)學期望和總體均值一樣，都是唯一的，不過它是

20、一個先驗的理論值。由于它是用隨機變量各取值分別乘以取值的概率來計算的，因此數(shù)學期望又可稱為隨機變量的加權算術平均數(shù)。樣本均值依據(jù)統(tǒng)計數(shù)據(jù)計算而來，但它具有隨機性。在統(tǒng)計推論中，E(X)和都是為服務的：E(X)是“期望”，是“估計”。數(shù)學期望反映了隨機變量的集中趨勢，但僅知道集中趨勢還不夠，還應該知道隨機變量在均值周圍的離散程度，即離中趨勢。變異數(shù)是綜合反映隨機變量取值分散程度的指標，其功能相當于描述統(tǒng)計中已討論過的方差及標準差，記用D(X)。對于離散型隨機變量，只要用概率代替頻率，變異數(shù)的計算方法與分組資料方差的計算方法完全相似，即 D(X) (923)對于連續(xù)型隨機變量，則變異(biny)數(shù)

21、涉及無窮限積分，其計算公式為 D(X) （ 924) 由于變異數(shù)的單位是隨機變量單位的平方。為了使隨機變量變異指標的單位與其本身(bnshn)的單位相同，將D(X)開方(取正值(zhn zh)稱作隨機變量X的標準差；同時為了更明確的表示D(X)與標準差之間只是開方關系，索性把D(X)寫成，并直接稱D(X)為隨機變量X的方差。于是有 D(X) (925) (926)很顯然隨機變量X的變異數(shù)也可以寫成 D(X)E(X)2 (927)使用(827)式計算方差比較復雜，所以在處理實際問題時更多的是采用方差計算的簡化公式 E (X2)E (X) 2 (928)當然不難理解，在推論統(tǒng)計中隨機變量變異數(shù)的記

22、號常常同總體方差的記號，即用表示之。而S2則被作為樣本方差的記號。變異數(shù)和總體方差一樣，都是唯一的，不過它是一個先驗的理論值。樣本方差S2依據(jù)統(tǒng)計數(shù)據(jù)計算而來，但它具有隨機性。四、假設檢驗與二項分布的應用對于一枚硬幣被重復拋擲的二項試驗，研究者實際上從來不用經(jīng)驗的方法求得概率分布，因為通常我們只對一項試驗進行一次或幾次，抽取樣本也是一個或至多不過幾個。二項分布是用數(shù)學或演繹推理的方法求得的一種理論分布。既然如此，如果實際抽樣得到的結果偏巧就是概率分布預示的最不可能出現(xiàn)的結果，那么我們是認定純屬巧合，還是開始對用數(shù)學或演繹推理方法求得的概率以及理想試驗的種種前提假設產(chǎn)生懷疑?這就是假設檢驗的核心

23、問題。 概率分布不是一種研究者從資料中看到的分布，我們討論它，不是出于對數(shù)學的愛好，而是因為統(tǒng)計推論的有關工作需要它。所有的統(tǒng)計檢驗都包含某些特定的步驟，列示如下：(1)建立假設；(2)求抽樣分布；(3)選擇顯著性水平(shupng)和否定域(4)計算(j sun)檢驗統(tǒng)計量； (5)判定(pndng)。五、正態(tài)分布與標準正態(tài)分布 如果說二項分布是離散型隨機變量最具典型意義的概率分布，那么連續(xù)型隨機變量最具典型意義的概率分布就是正態(tài)分布了。實踐中常見的一類連續(xù)型隨機變量，多數(shù)服從或近似服從正態(tài)分布。 (Xx) （9.29） 式中和e都是常數(shù)，分別近以等于314和272；和2分別是總體均值和方差

24、。 我們在統(tǒng)計分析時，經(jīng)常性的重要工作是要確定給定區(qū)間所含總體單位數(shù)的比重，也就是變量X的取值在這個給定區(qū)間內(nèi)出現(xiàn)的頻率。因此在對有限總體的數(shù)據(jù)進行分組時，得到相對頻數(shù)分布是很重要的。對于連續(xù)變量，過去由于分組有限，只能加以近似地討論。現(xiàn)在，由于正態(tài)曲線的一些異乎尋常的數(shù)學性質(zhì)，使得這項工作非但不困難，反而變得簡單易行。一般作法是引入新的隨機變量Z Z （9.30）上式表明，Z代表以標準差為單位表示的變量值離開均值的偏差，即代表經(jīng)標準化之后的X對的離差。故Z經(jīng)常被稱為變量X的標準分，或稱Z分數(shù)；Z亦被稱為標準正態(tài)變量。 如果把Z代入（9.29）式，我們便得到了以Z分數(shù)所表達的標準正態(tài)分布，其概

25、率密度為(Z) （9.31） 比較（9.29）和（9.31）式，很容易得知標準正態(tài)變量的數(shù)學期望E(Z)0，變異數(shù)(即方差)D(Z)1。實際上，標準正態(tài)分布(Z)只是一般正態(tài)分布的一個特例，即0，21的正態(tài)分布，簡記作N(0，1)。對于一般正態(tài)分布則簡記為N(，2)。正態(tài)分布是最具典型意義的連續(xù)型隨機變量的概率分布：經(jīng)過X的標準分Z，可以將任何正態(tài)分布N(，2)轉(zhuǎn)換成標難正態(tài)分布N(0，1)；運用分布函數(shù)的定義，并利用正態(tài)曲線的對稱性，通過下式（分布函數(shù)）計算編制出正態(tài)分布表。以后只要知道分布是正態(tài)的，有關計算只要查表就成了。 F(Z)P（0ZZ） （9.32） 六、中心極限定理(dngl)與

26、正態(tài)檢驗 我們知道，概率論中用來闡明大量隨機現(xiàn)象平均結果的穩(wěn)定性的定理，是著名的大數(shù)定理。其具體內(nèi)容是：頻率穩(wěn)定于概率，平均值穩(wěn)定于期望值。但是，大量隨機現(xiàn)象的穩(wěn)定性不僅表現(xiàn)在平均結果上，同時也表現(xiàn)在分布上，這就是中心極限(jxin)定理所要闡明的內(nèi)容。仔細考慮統(tǒng)計量和與之相對應的未知參數(shù)的接近程度，引出了研究和應用抽樣分布的課題。顯然，推論統(tǒng)計需要有一座能夠架通抽樣調(diào)查和抽樣分布的橋梁。中心極限定理告訴我們：如果從任何一個具有均值和方差(fn ch)2的總體(可以具有任何形式)中重復抽取容量為n的隨機樣本，那么當n變得很大時，樣本均值的抽樣分布接近正態(tài)，并具有均值和方差。假設檢驗應用正態(tài)分布

27、和二項分布有兩點區(qū)別：抽樣分布在這里是連續(xù)的而非離散的，否定域的大小可以和顯著性水平的要求精確地一致起來。計算檢驗統(tǒng)計量不再像在應用二項分布時那樣，可以不勞而獲了。很顯然，為了能使用現(xiàn)成的正態(tài)分布表，關鍵是要從樣本資料中計算出在N(0，1)形式下的統(tǒng)計量Z，再根據(jù)Z是否落在否定城內(nèi)而對被檢驗假設的取舍做出決定。七、點估計與區(qū)間估計在推論統(tǒng)計中，相對于假設檢驗，參數(shù)估計要容易理解得多。所謂參數(shù)估計，即由樣本的指標數(shù)值推斷總體的相應的指標數(shù)值，它包括點估計和區(qū)間估計。所謂點估計，就是根據(jù)樣本數(shù)據(jù)算出一個單一的估計值，用來估計總體的參數(shù)值。所謂區(qū)間估計，就是計算抽樣平均誤差，指出估計的可信程度，進而

28、在點估計的基礎上，確定總體參數(shù)的所在范圍或區(qū)間。區(qū)間估計是求所謂置信區(qū)間的方法。置信區(qū)間就是我們?yōu)榱嗽黾訁?shù)被估計到的信心而在點估計兩邊設置的估計區(qū)間，它的寬度是2。但是，設置一個區(qū)間是容易的，當我們對參數(shù)被估計到的信心不足時，我們總可以放寬區(qū)間。如果這個區(qū)間的大小不受限制，我們就可以把參數(shù)被估計到的信心提高到任何水平。但是區(qū)間加大，估計的效度隨之降低。當我們的信心提高到絕對時，估計的價值也隨之喪失貽盡。所以，在滿足一定可靠性要求的前提下一定不能大。根據(jù)中心(zhngxn)極限定理，由于抽樣平均數(shù)的正態(tài)分布和第一類錯誤的概率可以計算的緣故，求置信區(qū)間的方法其實很簡單。除了變換一點思路來重溫過去

29、的知識，這里不涉及任何新的基本概念。具體做法是：從點估計值(如樣本均值)起向兩側(cè)(lin c)展開一定倍數(shù)（）的抽樣(chu yn)平均誤差()，并估計總體參數(shù)很可能就包含在這個區(qū)間之內(nèi) - (9.33) 9.4 相關與回歸分析在資料的定量分析方面，前面我們已經(jīng)討論了頻數(shù)分布表（參見表9.1）及其處理。但是同樣由調(diào)查數(shù)據(jù)整理而來，相關表也是我們經(jīng)常需要面對的一種統(tǒng)計表。處理相關表，意味著我們開始與雙變量統(tǒng)計方法打交道了。雙變量統(tǒng)計與單變量統(tǒng)計最大的不同之處是，客觀事物間的關聯(lián)性開始披露出來。下面我們以定距定距變量的線性相關為例來探究其兩大內(nèi)容：相關分析和回歸分析。一、變量之間的相互關系提到變量

30、之間的關系，人們很容易想到變量間的確定性關系。確定性關系的特點是：當一個變量值確定后，另一個變量值也就完全確定了。確定性關系往往可以表示成函數(shù)形式，與此不同，在變量間的非確定性關系中，給定了一個變量值，另一個變量值還可以在一定的范圍內(nèi)變化。通常這類非確定性關系被稱為相關關系，它必須借助于統(tǒng)計手段才能加以研究，故又稱為統(tǒng)計相關。1、相關程度與方向由于數(shù)學手段上的局限性，相關分析最先披露的卻是定距定距變量間能近似地表現(xiàn)為一條直線的線性相關。而對于線性相關，一般采用皮爾遜相關系數(shù)（記作r）這一指標來量度相關關系程度或強度：當l時，表示為完全相關；當r=0時，表現(xiàn)為無相關或零相關；當01時，表現(xiàn)為不完

31、全相關。但在采用相關系數(shù)r這一指標時必須注意到，存在著完善曲線而r0的情況。當變量間相關時，還可以探討其相關方向，可以分正和負兩個方向。所謂正相關關系是指一個變量的值增加時，另一變量的值也增加。而負相關關系是指一個變量的值增加時，另一變量的值卻減少。2、因果關系除了相關程度與方向這兩種性質(zhì)外，還應注意兩個變量的相關關系是否具有因果性。因果關系是一種非對稱關系，這時只是自變量影響因變量，因變量不會反過來影響自變量。如果不能確定或無法區(qū)分變量的作用方向，這種情況就稱為對稱關系。二、皮爾遜相關系數(shù)1、相關表和相關圖 相關表是在定距測量的層次上，反映兩變量之間對應關系的數(shù)據(jù)表，它是積差系數(shù)計算的依據(jù)。

32、就像頻數(shù)分布圖和頻數(shù)分布表的對應關系一樣，將相關表所示的各個有對應關系的數(shù)據(jù)在直角坐標系上畫出來(ch li)，以直觀地觀察X和Y之間的相互(xingh)關系，即得相關圖。相關圖又稱散點圖。2、積差系數(shù)(xsh)的導出和計算 r (935)這就是用來測量兩個定距變量相關強度和方向的積差系數(shù)，即皮爾遜相關系數(shù)。積差系數(shù)是協(xié)方差與兩個隨機變量X、Y的標準差乘積的比率。直接采用(935)式來計算積差系數(shù)比較麻煩，實際計算時，一般采用它的展開式 r (936)三、線性回歸分析在分析定距變量間的關聯(lián)性時，最初關注的僅僅是變量相關的強度和方向，比如用積差系數(shù)對線性相關關系的強度進行測量。然而積差系數(shù)并不能

33、表明X和Y之間的因果關系，要明確一個變量的變化能否由另一個變量的變化來解釋，或通過已知變量精確地預測未知變量，就要進行回歸分析。在回歸分析中，如果自變量只有一個，則稱為一元回歸；如果自變量有兩個或兩個以上則稱為多元回歸。而根據(jù)回歸方程式的特征，又可以分為線性回歸和非線性回歸。線性回歸分析，一般是先依據(jù)相關表做出散點圖，直觀地估計X和Y關聯(lián)性。如果兩變量的確呈現(xiàn)出一定的線性相關趨勢，便可以設所要求的回歸直線方程為 (937)式中有兩個參數(shù)和b，和b一確定，回歸直線方程也就唯一地確定下來了。而這是通過運用最小平方法來加以解決的： (939a) (939b)在回歸方程中，b有十分重要的意義，被稱為回

34、歸系數(shù)。9.5 動態(tài)(dngti)分析(fnx)與指數(shù)(zhsh)分析對于資料的定量分析，時間數(shù)列是我們經(jīng)常需要面對的第三種統(tǒng)計表。由于普通人都熟悉的緣故，在社會研究中，時間數(shù)列的編制是無須專門討論的。但它的重要性，與頻數(shù)分布表、相關表相比，毫不遜色。時間數(shù)列是某一指標的數(shù)值按時間先后順序排列而成的一個序列，也稱動態(tài)數(shù)列。時間數(shù)列反映事物發(fā)展變化的過程、方向和結果，由此構成了社會研究對社會動態(tài)加以定量描述或推斷的基本依據(jù)。一、時間數(shù)列的構成及指標分析時間數(shù)列按其排列的指標不同可分為：總量指標時間數(shù)列、相對指標時間數(shù)列和平均指標時間數(shù)列。在這三種時間數(shù)列中，總量指標時間數(shù)列是基本數(shù)列，其余兩種是

35、派生數(shù)列。總量指標時間數(shù)列按其所反映的資料的性質(zhì)不同，又可以區(qū)分為時期數(shù)列和時點數(shù)列?？偭恐笜藭r間數(shù)列一般由兩個基本要素構成，即被研究現(xiàn)象所屬的時間(t)和反映該現(xiàn)象在各個時間上的統(tǒng)計指標數(shù)值(或者Y)。 在統(tǒng)計學中，對時間數(shù)列中順序排列的統(tǒng)計指標的各數(shù)值，引出了“發(fā)展水平”這個概念，一般用符號“”表示，并就此展開一系列對時間數(shù)列的指標分析。 以總量指標時間數(shù)列為基礎構造的動態(tài)分析指標被分成兩大類：一是動態(tài)比較指標；二是動態(tài)平均指標。構造時間數(shù)列比較指標有兩種方法：減法和除法。用減法得到的動態(tài)比較指標，具有同原資料相同的計量單位，表達絕對量的變化；用除法得到的動態(tài)比較指標，表達相對量的變化，且

36、都是無名數(shù)。正因為如此，按慣例，時間數(shù)列的動態(tài)比較指標有三種，即增長量、發(fā)展速度和增長速度。時間數(shù)列的動態(tài)平均指標則是對發(fā)展水平以及上面三種動態(tài)比較指標求平均而得到的，因而共有四種,即平均發(fā)展水平以及平均增長量、平均發(fā)展速度、平均增長速度。二、時間數(shù)列的趨勢分析時間數(shù)列也可以在直角坐標系上給出其相應的圖形，稱為歷時曲線。趨勢分析就是通過修勻、擬合歷時曲線的方法，消除原時間數(shù)列中因某些偶然因素引起的不規(guī)則變動，從而比較明顯地反映出現(xiàn)象發(fā)展的基本趨勢。注意：在對時間數(shù)列作趨勢分析時，各時間上的統(tǒng)計指標數(shù)值一般習慣用表示。通常，趨勢分析是對項數(shù)很多的時間數(shù)列進行的一種分析。由于項數(shù)較多，所以現(xiàn)象長期

37、變動有可能顯示出某種規(guī)律性。在統(tǒng)計學中，趨勢分析也是以直線型趨勢為基礎，然后再拓展到曲線型趨勢。 當原時間數(shù)列呈直線變動時，我們可以用一條直線來擬合它，設直線擬合方程為 (956)顯然，只要方程中參數(shù)和可以確定，那么通過該方程我們就可以得到任何時間上指標數(shù)值()所對應的擬合值()。而用最小平方法確定最佳擬合直線，我們在前面回歸直線方程的求解中已經(jīng)詳細討論過。所以，現(xiàn)在只要將散點圖和歷時曲線加以類比，同時將X用t來置換就行了。于是我們得 (957a) (957b) 三、指數(shù)(zhsh)分析 指數(shù)這一概念，起始于反映物價變動，最早由英國的優(yōu)漢于1650年首創(chuàng)。后來，隨著資本主義商品經(jīng)濟的發(fā)展，指數(shù)

38、被拓展為用來(yn li)反映各種動態(tài)相對數(shù)?，F(xiàn)在指數(shù)的概念又得到進一步拓展，英國百科全書給出了這樣的定義：“指數(shù)(zhsh)是用來測定一個變量值對一個特定的變量值大小的相對數(shù)?！彼栽谏鐣芯康亩糠治鲋?指數(shù)既包括動態(tài)指數(shù)，又包括靜態(tài)指數(shù)。動態(tài)指數(shù)泛指兩個不同時間上的指標對比而計算的相對數(shù)，靜態(tài)指數(shù)則是指那些與時間先后無關的統(tǒng)計指數(shù)，如環(huán)境質(zhì)量指數(shù)、歐?，斨笖?shù)等等。1、動態(tài)指數(shù)及其分類對社會動態(tài)作比較分析有兩種基本方法：用報告期指標數(shù)值除以基期指標數(shù)值；用報告期指標數(shù)值減去基期指標數(shù)值。動態(tài)指數(shù)是原始涵義上的統(tǒng)計指數(shù)，它是動態(tài)統(tǒng)計分析的進一步發(fā)展，動態(tài)指數(shù)不僅可以說明事物單項變動的程度，而

39、且可以綜合地反映社會動態(tài)的總變動，進而可以分析和測定總變動中各因素變動的影響程度。為了說明這一點，我們先要對動態(tài)指數(shù)作個體指數(shù)和綜合指數(shù)的分類。 個體指數(shù)是說明單項事物變動的比較指標，用符號表示。實質(zhì)上，個體指數(shù)就是同一現(xiàn)象的報告期指標數(shù)值與基期指標數(shù)值對比而得到的發(fā)展速度指標，即。綜合指數(shù)是說明由多個項目組成的復雜現(xiàn)象總體綜合變動的比較指標，一般用符號表示。有了個體指數(shù)和綜合指數(shù)的區(qū)分后，對數(shù)量指標指數(shù)和質(zhì)量指標指數(shù)加以區(qū)分也是非常重要的。數(shù)量指標指數(shù)是說明總體在規(guī)模、水平上數(shù)量變動的指數(shù)，指數(shù)化因素是物量、人數(shù)這些數(shù)量指標。質(zhì)量指標指數(shù)是說明總體在內(nèi)涵上數(shù)量變動的指數(shù)，指數(shù)化因素是物價、成

40、本、生活費用、勞動生產(chǎn)率這些質(zhì)量指標。由于綜合指數(shù)和個體指數(shù)有著計算上的聯(lián)系，故可把個體數(shù)量指數(shù)和個體質(zhì)量指數(shù)分別表示為 (959 (9602、質(zhì)量指標綜合(zngh)指數(shù)質(zhì)量指標綜合(zngh)指數(shù)（）的數(shù)學(shxu)表達式 (961對商品價格指數(shù)，在(961式中，商品銷售量(Q)則被稱為同度量因素，它具有兩個作用：可作為一種中介，使原來不能直接加總的各商品的價格，過渡到能夠加總的商品的價值總量。起到加權作用，如商品價格可通過銷售量反映出它對總變動影響的大與小，故統(tǒng)計中又把同度量因素稱為權數(shù)。但是，為了反映商品價格的變動程度，必須把同度量因素(如商品銷售量Q)固定起來，假定其不變。這就產(chǎn)生了一個將同度量因素固定在基期還是報告期的問題。從我國指數(shù)編制的實踐來看，長期以來習慣采用報告期的數(shù)量指標