第3章-離散傅里葉變換(DFT)09-10-1-課件

1、3.1 離散傅里葉變換的定義 3.2 離散傅里葉變換的基本性質(zhì)3.3 頻率域采樣3.4 DFT的應(yīng)用舉例第3章 離散傅里葉變換(DFT)第三章 學(xué)習(xí)目標(biāo)理解Fourier變換的幾種形式；理解離散傅里葉變換及性質(zhì)，掌握循環(huán)移位、循環(huán)共軛對(duì)稱性，掌握循環(huán)卷積、線性卷積及二者之間的關(guān)系；掌握頻域采樣理論；理解頻譜分析過程。連續(xù)=非周期離散=周期四種傅里葉變換形式的歸納 時(shí)間函數(shù) 頻率函數(shù) 連續(xù)和非周期 非周期和連續(xù) 連續(xù)和周期（Tp） 非周期和離散（0=2/Tp） 離散（T）和非周期 周期（ s=2/T ）和連續(xù) 離散（T）和周期（Tp） 周期（ s=2/T ）和離散（0=2/Tp） 周期延拓取主值

2、周期延拓取主值DFTIDFTDFSIDFSDFT即DFS，只不過時(shí)、頻域各取一個(gè)主值而已3.1 離散傅里葉變換的定義 一. DFT的定義1. 周期延拓（以N為周期） 用(n)N表示（n mod N），其數(shù)學(xué)上就是表示“n對(duì)N取余數(shù)”， 或稱“n對(duì)N取模值”。 令 0n1N-1, m為整數(shù) 則n1為n對(duì)N的余數(shù)。 例如: 是周期為N=8的序列，則有： 2. 取主值3. DFT定義式時(shí)、頻域各取一個(gè)主值區(qū)間DFSDFT例：x(n)=R4(n) ，求x(n)的8點(diǎn)和16點(diǎn)DFT 解：設(shè)變換區(qū)間N=8， 則設(shè)變換區(qū)間N=16， 則思考： 其4點(diǎn)的DFT結(jié)果？X(ejw)=DTFTR4(n)討論：N為D

3、FT變換區(qū)間長度，即周期延拓的周期、頻域的采樣點(diǎn)數(shù)；同一序列，N不同，DFT不同；通過后補(bǔ)零使N增大，譜線變密高密度譜二. DFT和Z變換的關(guān)系設(shè)序列x(n)的長度為N，其Z變換和DFT分別為：比較上面二式可得關(guān)系式 表明 是Z平面單位圓上幅角為 的點(diǎn)，也即將Z平面單位圓N等分后的第k點(diǎn)，所以X(k)也就是對(duì)X(z)在Z平面單位圓上N點(diǎn)等間隔采樣值。 DFT與序列傅里葉變換的關(guān)系為 DFT的物理意義X(k)可以看作序列x(n)的傅里葉變換X(ej)在區(qū)間0, 2上的N點(diǎn)等間隔采樣，其采樣間隔為N=2/N。DFT與序列傅里葉變換、Z變換的關(guān)系 第一采樣點(diǎn)在正實(shí)軸上三. DFT的隱含周期性 DFT

4、變換對(duì)中，x(n)與X(k)均為有限長序列，但由于WNkn的周期性， 使x(n) 和X(k)均具有隱含周期性，且周期均為N。 對(duì)任意整數(shù)m，總有均為整數(shù) 已知x(n)是長度為N的有限長度序列，X(k)=DFTx(n)，令 ，試求Y(k)=DFTy(n)與X(k)之間的關(guān)系。例題：解：DFT與DFS的關(guān)系：有限長度序列的DFT正好是其周期延拓序列的DFS級(jí)數(shù)系數(shù)的主值序列！3.2 離散傅里葉變換的基本性質(zhì)一. 線性性質(zhì)x1(n)和x2(n)是兩個(gè)有限長序列，長度分別為N1和N2 y(n)=ax1(n)+bx2(n)式中a、 b為常數(shù)， 即NmaxN1, N2， 則y(n)的N點(diǎn)DFT為： （補(bǔ)零

5、問題?。?Y(k)=DFTy(n)=aX1(k)+bX2(k), 0kN-1其中X1(k)和X2(k)分別為x1(n)和x2(n)的N點(diǎn)DFT。 NmaxN1,N2已知x(n)是長度為N的有限長度序列，其N點(diǎn)DFT為X(k)=DFTx(n)，在序列前部補(bǔ)N個(gè)0值，得到序列試求Y(k)=DFTy(n)與X(k)之間的關(guān)系。思考題：二. 循環(huán)移位 1. 定義 一個(gè)長度為N的有限長序列x(n)的循環(huán)移位定義為 y(n)=x(n+m)NRN(n) ：仍為長度為N的序列！ 循環(huán)移位過程示意圖 移出主值區(qū)間的序列值又依次從另一側(cè)移入主值區(qū)間12345n=0N=6左移順時(shí)針轉(zhuǎn)右移逆時(shí)針轉(zhuǎn)2. 時(shí)域循環(huán)移位定

6、理設(shè)x(n)是長度為N的有限長序列，y(n)為x(n)循環(huán)移位，即 則循環(huán)移位后的DFT為 證：利用周期序列的移位性質(zhì)加以證明 可直接按IDFTY(k)證明再利用DFS和DFT關(guān)系 這表明，有限長序列的循環(huán)移位在離散頻域中引入一個(gè)和頻率成正比的線性相移 ，而對(duì)頻譜的幅度沒有影響幅度譜的平移不變性。 已知x(n)是長度為N的有限長度序列，X(k)=DFTx(n)，在序列前部補(bǔ)N個(gè)0值，得到序列試求Y(k)=DFTy(n)與X(k)之間的關(guān)系。思考題： 3. 頻域循環(huán)移位定理調(diào)制特性 對(duì)于頻域有限長序列X(k)，也可看成是分布在一個(gè)N等分的圓周上，所以對(duì)于X(k)的循環(huán)移位，利用頻域與時(shí)域的對(duì)偶關(guān)

7、系，可以證明以下性質(zhì)： 這就是調(diào)制特性時(shí)域序列的調(diào)制等效于頻域的循環(huán)移位。 序列反轉(zhuǎn)序列共軛序列共軛反轉(zhuǎn)序列反轉(zhuǎn)四. 循環(huán)卷積 1、時(shí)域循環(huán)卷積定理有限長序列x1(n)和x2(n)，長度分別為N1和N2， N=maxN1,N2。x1(n)和x2(n)的N點(diǎn)DFT分別為： X1(k)=DFTx1(n) X2(k)=DFTx2(n) 若Y(k)=X1(k)X2(k)，求y(n)=IDFTY(k) ？ NN循環(huán)卷積結(jié)果仍為有限長序列！注意：循環(huán)卷積的長度！計(jì)算步驟：將x2(m)周期化，形成x2(m)N；再反轉(zhuǎn)形成x2(-m)N，取主值序列則得到x2(-m)NRN(m)，通常稱之為x2(m)的圓周反轉(zhuǎn)

8、；對(duì)x2(m)的圓周反轉(zhuǎn)序列圓周右移n，形成 x2(n-m)NRN(m)；當(dāng)n=0,1,2,N-1時(shí)，分別將x1(m)與x2(n-m)NRN(m)相乘，并在m=0到N-1區(qū)間內(nèi)求和，便得到其循環(huán)卷積y(n)。nN-10nN-100m0m0m0m0233211N-1nN兩個(gè)長度小于等于N的序列的N點(diǎn)循環(huán)卷積長度仍為N，與線性卷積不同2、頻域循環(huán)卷積定理x1(n)，x2(n)皆為N點(diǎn)有限長序列，y(n)的N點(diǎn)DFT為 時(shí)域序列相乘，乘積的DFT等于各個(gè)DFT的循環(huán)卷積再乘以1/N。 N)()(1)()()(1)()()(1)()(2111022101kXkXNkRlkXlXNkRlkXlXNnyD

9、FTkYNNNlNNNl=-=-=-=-=證明：對(duì)Y(k)兩邊取 IDFT即可！例題： 3 2 11 2 3 4 4 3 2 1 24 22 24 30 2 8 6 4 6 3 12 912 8 4 16不進(jìn)位乘法！思考：若兩序列作N=7點(diǎn)循環(huán)卷積，結(jié)果如何？求 的DFT的反變換，其中X(k)是序列 的5點(diǎn)DFT。思考題：1、有限長共軛對(duì)稱與共軛反對(duì)稱 設(shè)有限長序列x(n)的長度為N點(diǎn)，則它的有限長共軛對(duì)稱分量xep(n)和有限長共軛反對(duì)稱分量xop(n)分別被重新定義為: nN-1 nN-1 三. 有限長共軛對(duì)稱性4213關(guān)于N/2點(diǎn)的對(duì)稱性共軛對(duì)稱性的基本概念N為偶數(shù)xep(n)為實(shí)數(shù)點(diǎn)為

10、純虛數(shù)點(diǎn)N=8x(n)=xep(n)+xop(n) 0nN-1 x*(N-n)=xep*(N-n)+xop*(N-n) = xep(n)-xop(n) 0nN-1 復(fù)序列對(duì)稱性分析序列DFT復(fù)序列對(duì)稱性分析序列DFT實(shí)序列對(duì)稱性分析序列DFT為零為零實(shí)序列的頻譜具有有限長共軛對(duì)稱性實(shí)偶序列對(duì)稱性分析序列為零為零DFT：實(shí)偶序列的頻譜具有實(shí)偶對(duì)稱性x(n)X(K)實(shí)偶函數(shù)實(shí)偶函數(shù)實(shí)奇函數(shù)虛奇函數(shù)虛奇函數(shù)實(shí)奇函數(shù)虛偶函數(shù)虛偶函數(shù)應(yīng)用舉例：補(bǔ)充作業(yè)：設(shè)實(shí)序列x(n)，N=14，其14點(diǎn)DFT為X(k)，已知前8點(diǎn)值為：X(0)=12 X(1)=-1+3j X(2)=3+4jX(3)=1-5j X(4

11、)=-2+2j X(5)=6+3jX(6)=-2-3j X(7)=10試確定1）X(k)在其他頻率點(diǎn)的值；2）不通過計(jì)算IDFTX(k)，確定下列值： x(0) x(7)五. DFT形式下的帕塞伐定理 證： 令x(n)=y(n)DFT性質(zhì)表(序列長皆為點(diǎn)) X(0), X(1), X(2), , X(N-1) 3.3 頻率域采樣 是否任意一個(gè)頻率特性（例如，理想低通特性）都能用頻域采樣的辦法去逼近呢？其限制條件是什么？頻域采樣后會(huì)帶來什么樣的誤差？在什么條件下才能消除誤差？一、頻域采樣一個(gè)任意的絕對(duì)可和的非周期序列x(n)，其Z變換為：對(duì)X(z)在單位圓上進(jìn)行N點(diǎn)等間隔采樣：分析：由 得到的周

12、期序列 是原非周期序列x(n)的周期延拓，其時(shí)域周期為頻域采樣點(diǎn)數(shù)N。時(shí)域采樣造成頻域的周期延拓，頻域采樣同樣會(huì)造成時(shí)域的周期延拓。 x(n)為無限長序列時(shí)域周期延拓必會(huì)混疊失真，產(chǎn)生誤差；當(dāng)n增加時(shí)信號(hào)衰減得越快，或頻域采樣越密（即采樣點(diǎn)數(shù)N越大），則誤差越小，即xN(n)越接近x(n)；x(n)為有限長序列，長度為M：NM，不混疊，可無失真恢復(fù)；NM，不混疊N=3M，混疊其值為1x(n)=xN(n)內(nèi)插函數(shù)的零極點(diǎn) 零極點(diǎn)對(duì)消恢復(fù)時(shí)，本采樣點(diǎn)值僅由自己決定，不受其他采樣點(diǎn)值影響。用頻域采樣X(k)表示X(ejw)的內(nèi)插公式內(nèi)插函數(shù)：內(nèi)插函數(shù)幅度特性與相位特性(N=5) |1(w-2/N)|

13、當(dāng)變量=0 時(shí)， ()=1；當(dāng) （i=1, 2, , N-1)時(shí)， ()=0。因而可知， 滿足以下關(guān)系： k=0, 1, , N-1 也就是說，函數(shù) 在本采樣點(diǎn) ， 而在其他采樣點(diǎn) 上，函數(shù) 。整個(gè)X(ej)就是由N個(gè) 函數(shù)分別乘上X(k)后求和。 所以很明顯，在每個(gè)采樣點(diǎn)上X(ej)就精確地等于X(k)（因?yàn)槠渌c(diǎn)的插值函數(shù)在這一點(diǎn)上的值為零，沒有影響）即 各采樣點(diǎn)之間的X(ej)值由各采樣點(diǎn)的加權(quán)插值函數(shù)在所求點(diǎn)上的值的疊加得到的。 頻率采樣理論為FIR濾波器的結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)，以及FIR濾波器傳遞函數(shù)的逼近提供了又一個(gè)有力的工具。 對(duì)時(shí)域序列x(n)，X(z)是按z的冪級(jí)數(shù)（即羅朗級(jí)數(shù)）展開的，

14、 x(n)為羅朗級(jí)數(shù)的系數(shù)；對(duì)頻域序列X(k)，X(z)是按函數(shù)集展開的， X(k)為展開系數(shù)；對(duì)時(shí)域序列x(n)，頻響X(ejw) 展成負(fù)正弦級(jí)數(shù)（傅立葉級(jí)數(shù)）， x(n)為負(fù)正弦級(jí)數(shù)的諧波系數(shù)；對(duì)頻域序列X(k)，頻響X(ejw) 展成內(nèi)插函數(shù)的級(jí)數(shù)， X(k)為展開系數(shù)；3.4 DFT的應(yīng)用舉例 DFT在數(shù)字通信、 語言信號(hào)處理、 圖像處理、 功率譜估計(jì)、 仿真、 系統(tǒng)分析、 雷達(dá)理論、 光學(xué)、 醫(yī)學(xué)、 地震以及數(shù)值分析等各個(gè)領(lǐng)域都得到廣泛應(yīng)用。 對(duì)時(shí)域連續(xù)信號(hào)的頻譜進(jìn)行分析計(jì)算信號(hào)各個(gè)頻率分量的幅值、相位和功率（功率譜具有突出主頻率特性，在分析帶有噪聲干擾的信號(hào)時(shí)特別有用）。線性譜估計(jì)

15、（傳統(tǒng)譜估計(jì)）數(shù)據(jù)直接FFT求譜，對(duì)譜的模取平方運(yùn)算得功率譜（周期圖法），或?qū)?shù)據(jù)自相關(guān)函數(shù)求譜即為功率譜（自相關(guān)法）。對(duì)被處理數(shù)據(jù)以外數(shù)據(jù)作了不合理假設(shè)；假設(shè)以被處理數(shù)據(jù)長度為一周期，以外為其周期延拓或全為零，準(zhǔn)確程度受數(shù)據(jù)截取長度影響；數(shù)據(jù)較短時(shí)，估計(jì)出來的值方差大，分辨率低，甚至面目全非。為便于數(shù)學(xué)處理，對(duì)截?cái)嘈盘?hào)做周期延拓，得到虛擬的無限長信號(hào)。 用計(jì)算機(jī)進(jìn)行測試信號(hào)處理時(shí)，不可能對(duì)無限長的信號(hào)進(jìn)行測量和運(yùn)算，而是取其有限的時(shí)間片段進(jìn)行分析，這個(gè)過程稱信號(hào)截?cái)唷?周期延拓信號(hào)與真實(shí)信號(hào)是不同的：能量泄漏誤差 信號(hào)的時(shí)域波形分析 超門限報(bào)警 信號(hào)類型識(shí)別 基本參數(shù)識(shí)別 Pp-p信號(hào)的頻域

16、分析 信號(hào)頻域分析是采用傅立葉變換將時(shí)域信號(hào)x(t)變換為頻域信號(hào)X(f)，從而幫助人們從另一個(gè)角度來了解信號(hào)的特征。 8563ASPECTRUM ANALYZER 9 kHz - 26.5 GHz傅里葉變換X(t)= sin(2nft)0 t0 f信號(hào)頻譜X(f)代表了信號(hào)在不同頻率分量成分的大小，能夠提供比時(shí)域信號(hào)波形更直觀，豐富的信息。 時(shí)域分析與頻域分析的關(guān)系時(shí)間幅值頻率時(shí)域分析頻域分析 時(shí)域分析只能反映信號(hào)的幅值隨時(shí)間的變化情況，除單頻率分量的簡諧波外，很難明確揭示信號(hào)的頻率組成和各頻率分量大小。 圖例：受噪聲干擾的多頻率成分信號(hào) 大型空氣壓縮機(jī)傳動(dòng)裝置故障診斷故障診斷通過振動(dòng)信號(hào)頻

17、譜分析，確定最大頻率分量，然后根據(jù)轉(zhuǎn)速和傳動(dòng)鏈，找出故障點(diǎn)。xa(t)Xa(j)x(n)x(n)d(n)xN(n)NxN(n)Xa(ejw)XN(k)NXN(k)抽樣t=nTs截短周期延拓周期延拓取一個(gè)周期周期延拓s=2/TsXa(ejw)*D(ejw)卷積抽樣0 =/N周期延拓取一個(gè)周期FTDTFTDTFTDFSDFT一、用DFT對(duì)連續(xù)信號(hào)作譜分析的基本步驟信號(hào)的頻譜分析：計(jì)算信號(hào)的傅立葉變換T0=NT=N/fsF0=1/T0=1/NT=fs/N1.頻域抽樣：一個(gè)周期分N段，采樣間隔F0時(shí)域周期延拓：周期為T0=1/F0 0=2F0 頻域采樣間隔 用DFT計(jì)算理想低通濾波器頻響曲線 截取一段

18、T0=8sfs=4Hz,T=0.25sN=T0/T=32,F0=1/NT=0.125HzH(k)=TDFTh(n) k=0,1,.31h(n)=ha(nT)R32(n)2.低頻處逼近好，高頻處因混疊失真而逼近不好二、譜分析誤差及參數(shù)選擇1、混疊失真抽樣造成的誤差時(shí)域抽樣：fs2fh， fs限制譜分析范圍頻域抽樣：F0=1/T0，F(xiàn)0為頻譜分辨率若想同時(shí)提高最高頻率與頻率分辨率，必須N2、截短效應(yīng)（降低頻譜分辨率 混疊失真） 周期延拓后的信號(hào)與真實(shí)信號(hào)是不同的，下面我們就從數(shù)學(xué)的角度來看這種處理帶來的誤差情況。 將截?cái)嘈盘?hào)譜 XT()與原始信號(hào)譜X()相比較可知，它已不是原來的兩條譜線，而是兩段

19、振蕩的連續(xù)譜. 原來集中在f0處的能量被分散到兩個(gè)較寬的頻帶中去了，這種現(xiàn)象稱之為頻譜能量泄漏。周期延拓信號(hào)與真實(shí)信號(hào)是不同的：能量泄漏誤差克服方法：增加窗函數(shù)的長度；用緩慢截短方式，不加矩形窗。改用旁瓣能量較小的余弦窗、三角形窗、升余弦窗等?？朔椒ǎ盒盘?hào)整周期截?cái)喑Ｓ么昂瘮?shù)3、 為提高效率,通常采用FFT算法計(jì)算信號(hào)頻譜，設(shè)數(shù)據(jù)點(diǎn)數(shù)為N，采樣頻率為Fs。則計(jì)算得到的離散頻率點(diǎn)為: Xs(Fi) ， Fi = i *Fs / N , i = 0，1，2，.，N/2 X(f)f0f 如果信號(hào)中的頻率分量與頻率取樣點(diǎn)不重合，則只能按四舍五入的原則，取相鄰的頻率取樣點(diǎn)譜線值代替。 柵欄效應(yīng)誤差實(shí)驗(yàn)

20、： 能量泄漏與柵欄效應(yīng)的關(guān)系 頻譜的離散取樣造成了柵欄效應(yīng)，譜峰越尖銳，產(chǎn)生誤差的可能性就越大。 例如，余弦信號(hào)的頻譜為線譜。當(dāng)信號(hào)頻率與頻譜離散取樣點(diǎn)不等時(shí)，柵欄效應(yīng)的誤差為無窮大。 實(shí)際應(yīng)用中，由于信號(hào)截?cái)嗟脑颍a(chǎn)生了能量泄漏，即使信號(hào)頻率與頻譜離散取樣點(diǎn)不相等，也能得到該頻率分量的一個(gè)近似值。 從這個(gè)意義上說，能量泄漏誤差不完全是有害的。如果沒有信號(hào)截?cái)喈a(chǎn)生的能量泄漏，頻譜離散取樣造成的柵欄效應(yīng)誤差將是不能接受的。 能量泄漏分主瓣泄漏和旁瓣泄漏，主瓣泄漏可以減小因柵欄效應(yīng)帶來的譜峰幅值估計(jì)誤差，有其好的一面，而旁瓣泄漏則是完全有害的。為使頻率分辨率提高一倍， F0=5 Hz， 要求只有

21、通過增加信號(hào)的有效持續(xù)時(shí)間T0來增加采樣點(diǎn)數(shù)N才能得到高分辨率譜；通過后補(bǔ)零使N增加得到高密度譜。高分辨率譜和高密度譜差異比較高密度譜是在原有序列后插零；高分辨譜是增加采樣點(diǎn)；高密度譜呈許多譜線型,而且當(dāng)補(bǔ)充0越多, 譜線也越密集； 高分辨率譜則在取樣點(diǎn)達(dá)到一定程度后， 譜線一定了，也沒有那種密集度。例：x(n)為周期序列，周期N=14所以抽樣點(diǎn)數(shù)至少為14點(diǎn)?；蛘咭?yàn)轭l率分量分別為500、600、700HZ；得F0=100HZ最大公約數(shù)N=fs/F0=1400/100=14所以最少記錄點(diǎn)數(shù)N=14。T0=NT=512*(1/3000)=0.17利用DFT可將時(shí)域難以辨識(shí)的小信號(hào)在頻域輕易辨別

22、出來Kf對(duì)一個(gè)連續(xù)時(shí)間信號(hào)xa(t)采樣1秒得到一個(gè)4096個(gè)采樣點(diǎn)的序列：（1）若采樣后沒有發(fā)生頻譜混疊，xa(t)的最高截止頻率是多少？（2）若計(jì)算采樣信號(hào)的4096點(diǎn)DFT，頻率采樣值X(k)兩點(diǎn)之間的模擬頻率間隔是多少Hz？思考題 單位圓與非單位圓采樣 線性卷積具有重要的物理意義（求解LTI系統(tǒng)輸出），循環(huán)卷積不具有此物理意義；時(shí)域循環(huán)卷積在頻域上相當(dāng)于兩序列的DFT的乘積，而計(jì)算DFT可以采用它的快速算法快速傅里葉變換（FFT）， 因此循環(huán)卷積與線性卷積相比，計(jì)算速度可以大大加快；如果信號(hào)以及系統(tǒng)的單位脈沖響應(yīng)都是有限長序列， 那么是否能用求解循環(huán)卷積來代替線性卷積運(yùn)算而不失真呢？時(shí)

23、間反轉(zhuǎn)且線性移位循環(huán)的作時(shí)間反轉(zhuǎn)且相對(duì)第一個(gè)序列循環(huán)移位3、有限長序列的線性卷積與循環(huán)卷積關(guān)系設(shè)x1(n)是N1點(diǎn)的有限長序列（0nN1-1），x2(n)是N2點(diǎn)的有限長序列（0nN2-1）。 （1）線性卷積 x1(m)的非零區(qū)間為 0mN1-1 x2(n-m)的非零區(qū)間為 0n-mN2-1 y1(n)是N1+N2-1 點(diǎn)有限長序列，即線性卷積的長度等于參與卷積的兩序列的長度之和減1。 （2）x1(n)與x2(n)的循環(huán)卷積。進(jìn)行N點(diǎn)的循環(huán)卷積，討論N取何值時(shí)，循環(huán)卷積才能代表線性卷積？ NmaxN1, N2NN循環(huán)卷積正是周期卷積取主值序列循環(huán)卷積等于線性卷積以循環(huán)卷積點(diǎn)數(shù)N為周期的周期延拓

24、序列的主值序列NN1+N2-1，循環(huán)卷積等于線性卷積；NN1+N2-1，線性卷積延拓發(fā)生混疊，兩者部分相等（N1+N2-1-NnN-1），部分不等；NNN1+N2-1NN1+N2-1，不混疊yc(n)=yl(n)NN1+N2-1，混疊yc(n) yl(n)NN1+N2-1NN1+N2-1-NnN-1LN1+N2-1L+混疊+與線卷相等部分=發(fā)生混疊后循環(huán)卷積結(jié)果N1=5N2=4N1 +N2 -1 =8L=64、快速卷積用DFT計(jì)算線性卷積DFTDFTIDFTyc(n)x1(n)x2(n)用DFT計(jì)算循環(huán)卷積X1(k)X2(k)x1(n)*x2(n)用DFT計(jì)算線性卷積補(bǔ)N-N1個(gè)零補(bǔ)N-N2個(gè)零N點(diǎn)DFTN點(diǎn)DFTN點(diǎn)IDFTx1(n)x2(n)x1(