第3講實內(nèi)積空間

1、第3講 實內(nèi)積空間內(nèi)容：1. 實內(nèi)積空間正交基及正交補與正交投影內(nèi)積空間的同構(gòu)正交變換與對稱變換在線性空間中，元素(向量)之間的運算僅限于元素(向 量)的線性運算但是，如果以向量作為線性空間的一個模 型，則會發(fā)現(xiàn)向量的度量(即長度)與向量間的位置關(guān)系在線 性空間的理論中沒有得到反映，而這些性質(zhì)在許多實際問題 中卻是很關(guān)鍵的因此，將在抽象的線性空間中引進內(nèi)積運 算，導出內(nèi)積空間，并討論正交變換與正交矩陣及對稱變換 與對稱矩陣1 內(nèi)積空間在解析幾何中，向量的長度與夾角等度量性質(zhì)都可以通 過向量的數(shù)量積來表示，而向量的數(shù)量積具有以下的代數(shù)性 質(zhì)：對稱性(a, p)=( p, a )；可加性(a +

2、d丫 ) = (a方)+ (p, y )；齊次 性 (ka, p ) = k(a, p), Vk g R ；非負性(a, a) N 0，當且僅當a二0 時,(a,a) = 0 .以數(shù)量積為基礎，向量的長度與夾角可表示為：|a| = %. (a,a)， cos =(0包.可見數(shù)量積的概念蘊涵著長度與夾角的概念，將該概念推廣至抽象的線性空間定義1.1設V是實線性空間，若對于V中任意兩個元素 (向量)a和P，總能對應唯一的實數(shù)，記作(a, P)，且滿足 以下的性質(zhì)：(1)對稱性(a, P )二(P ,a)(2)可加性(a + P, y ) = (a, y) + (P, y)(3)齊次性 (ka, P

3、) = k(a, P), Vk g R(4)非負性(a ,a) 0， 當且僅當a =0 時，(a ,a) = 0 則稱該實數(shù)是v中向量a和p的內(nèi)積稱內(nèi)積為實數(shù)的實線性空間v為歐幾里得(Euclid)空間 簡稱為歐氏空間.稱定義了內(nèi)積的線性空間為內(nèi)積空間例1.1 在n維向量空間Rn中，任意兩個向量:若規(guī)定:(a,p) = xy + x y + + x y=x y =atp，k=1k 0，同樣可驗證，這也則容易驗證，這符合內(nèi)積的定義，是Rn中向量a和P的內(nèi) 積.另外，若規(guī)定：(a, p) = Zkx/kk=1是Rn中向量a和P的內(nèi)積.由此可見，在同一個實線性空間的元素之間，可以定義 不同的內(nèi)積，即

4、內(nèi)積不是唯一的.從而，同一個實線性空間 在不同內(nèi)積下構(gòu)成不同的歐氏空間例1.2在L/上連續(xù)的實函數(shù)的實線性空間cL,b中，對任意函數(shù)f（ x）,式x） e C a, b ，定義：（f, g）“f （x） g （x粒，則可以a證明這是ca ,b 上f（ x）與g（ x）的一種內(nèi)積.歐氏空間v中的內(nèi)積具有如下的性質(zhì)(o,a) = (a, o) = 0, Va e V(2) (a, kP) = k(a, P), Va, 0 e V, Vk e R(a,P+y) = (a,P) + (a,y),Va,p,y eV(4) (Zk xZi.y.) = Ek? (xy) i=1j=1j=1 i=1事實上，由

5、定義1.1有： (o,a) = (00 ,a) = 0(0 ,a) = 0 ；（a, k 0） = （k 0, a） = k （0 ,a） = k （a, 0）；（a,0 +y） = （0 +y,a） = （0,a） + （y,a） = （a,0） + （a,y）；因此，性質(zhì)至成立，再結(jié)合數(shù)學歸納法容易驗證性質(zhì) 也成立.定義1.2設a是歐氏空間v中的任一元素（向量），則 非負實數(shù)，時稱為元素（向量）a的長度或模，記作ai .稱 長度為1的元素（向量）稱為單位元素（向量），零元素（向 量）的長度為0由定義1.2易知，元素（向量）的長度具有下列性質(zhì)（1）|ka|=|k|-a|,Vk e R, Va

6、 e V（2）當a0o時，-1 a = 1即L a是一個單位元素（向量）.通N 網(wǎng)常稱此為把非零元素（向量）a單位化定理1.1（Cauchy-Schwarz不等式）.設a, P是歐氏空間V中 的任意兩個元素（向量），則不等式（a, P ）|郃|邛|，對Va, Pe V均 成立，并且當且僅當a與P線性相關(guān)時，等號成立證明：當a與P至少有一個是零元素（向量）時，結(jié)論 顯然成立.現(xiàn)在設a, p均為非零元素（向量），則(a, B)(P?P)仇a-舒因此有ka, p ）1 （a, a）（p, P），即（a,p）|a.p.而且當且僅當 a =（ r ）p， 即a與p線性相關(guān) （p, p ）時，等號成立.定

7、義1.3設x與y是歐氏空間V中的任意兩個元素（向量），則稱e= arccos。為,與y的夾角，記作1, y,即lxl |y|=e = arccos（： y） ,（0 K ）同lyl例1.3 試證明歐氏空間-中成立三角不等式證明 因X + y| |x| + |y|, Vx, y e V x + yI2 = (x + y, x + y) = (x, x) + 2(x, y) + (y, y)，由Cauchy - Schwarz不等式，有|x + y2 = |x|2 + 2(x, y) + |y|2 |x2 + 2|x| |y| + |y|2 = (|x + y|)2，即有 |x + y| 0，從而

8、有k = 0 (i = 1,2 ,m)， 所以a ,a , ,a線性無i12m關(guān)推論：在八維歐氏空間中，正交元素（向量）組所含元 素（向量）的個數(shù)不會超過幾個定義2.3在幾維歐氏空間v中，由幾個元素（向量）構(gòu) 成的正交元素（向量）組稱為v的正交基；由單位元素（向 量）組成的正交基叫作標準正交基定理2.2 （Schmidt正交化方法）設 ,an是n維歐氏 空間v的任意一個基，則總可將其進行適當運算后化為v的 一個正交基，進而將其化為一個標準正交基證明 因為 ,am線性無關(guān)，所以a產(chǎn)0 （i=1,2, ,n）首先，取P1二a1；其次，令p =a 絲色）p，則可得兩個正交元素（向量）2（P, pJ1

9、11p1,p2；再次，令p =a 空山P 巴山p，則得到三個正交元素3 （P , P ）1 （P , P ） 21122（向量）01, p2, p3.依此進行下去，一般有o (aP ) o (a.，B)r，(P，P ) 1 (B，B) 21122(a P)r / . 9 q) d i、p ( - 2,355 n)(B ,B )-i-l i-1這樣得到V的一個正交基.再將其單位化，令y = P (,2,則可得V的一組標準正交基y ,y ,.|P | /1 2例 2.1 在r4中，將基a =(1,1,0,0)t，a =(1,0,1,0)t，a =( 123a = (l,-l,-l,l)r ,用Sc

10、hmidt正交化方法化為標準正交基.4解先正交化P = oc22(a，B)r _1 1Av.(P ,P ) i 2 2 1 1(a , B ) r 31 p (p,p) 11 1(a )n111 nP2=(-3,3,3，)r，-(P,P) 1(a )1 1再單位化43(P ,p)22o (a , B )P -43-2 (P,P)33,0,0)r_ 1 R 112 八、|P2| 2展 46 J6Y = in-r 0=(3 IP3I 3Y = J-P =(4 IP4I 41111- 9， 9 77)，2 2 2 2HL就是所要求的標準正交基.例2.2設逐是維歐氏空間v的一個標準正交基,12, nX

11、 = X +% HFX 9y = y j s -y 8 9 則有1 12 2n n(x,y) = (xcei,y,ej) =xyi ,i=1j=1i=1在標準正交基下，v中任意兩個元素(向量)的內(nèi)積等于它們對應坐標的乘積之和定義2.4設)e2,e”是n維歐氏空間V的一個基，x，y在 其基下的坐標表示分別為x = (x , x，,x ) t，y = (y , y ,.,y ) t，12 n(x 工xe.，i=1y = ,)，貝1有i =1(羽y) = (xe ,y e ) = x (e ,e )yii jji=1 j=1i=1j=1 其中，G = G(gj)為n階方陣， 矩陣，它為對稱可逆矩陣i

12、jj= Exgijyj = xTGy -i=1j=1g1(e, e J ij 1,2,n 稱 G 為度量12 n2 正交補與正交投影定義2.5設可和嗎是歐氏空間V的兩個子空間，若對 任意的x e wy e w總有(x, y)= 0成立，則稱%與w正交，記作 卬Iw2 .若對某個確定的x及任意的ye W，總有(x, y) = 0成立， 則稱x與w正交，記作x W -例 2.3設W1= (x,y,0)1x, y e R,w2=(0,0, Z)1Z e R ,則容易得可和嗎均為R 3的子空間，且叫 w2 -定理2.3設wJw2,.,w是歐氏空間V的子空間，且兩兩 正交，則叫+ w2 +. +卬是直和

13、.證明設一 W, (i = 1,2,s)且aa2 + a=o，分別用ai在上式兩邊作內(nèi)積，得(a , a ) = 0，即a= 0(i = 1,2,s),即iiiw + W2+w是直和.定義2.6設可和嗎是歐氏空間v的兩個子空間，若W 1W，且 W + W = v， 則稱 W與W互為正交補，記作W = W1 或12121212叫W2 = v 定理2.4歐氏空間v的任一個子空間w，都存在唯一 的正交補w 1.證明 先證存在性.設） 2., e m是子空間W的一個標準 正交基，則可以擴充為v的一個標準正交基：e ,e ,e ,e ,e，顯然：w 1 = l(e，,e)m+1n12 ,m m +1n再

14、證唯一性.設w與w都是w的正交補，則v = W W，12v = W W2，令任意的 x e W2, X 豐 o，貝 UX 電 W，且(x, y ) = 0, V ye W，所同理有W1 u W2 .因此得 W1 = W2 定理2.4既證明了歐氏空間中任意子空間的正交補是存 在且唯一的，又給出了正交補的計算方法.另外，v中的任 一向量X都可唯一地分解為x - y + z, y e W, z e W1 由此可引進正投影的概念定義2.7設x是歐氏空間v中任意的一個元素（向量），W是v的一個子空間，且x被分解為x - y + z, y e W, z e W1.，則稱y 元素（向量）為x元素（向量）在子

15、空間W上的正投影（又稱 內(nèi)投影）.顯然（W1） 1-W，故z為元素（向量）x在W1上的正 投影例2.4設W-（x ,0,0） x e R ，則W 是 R 3的一個子空間，且它的正交補為W,=(0, y, z)| y, z e R .若a=(,b, c) e R3，a在w上的 正投影為(,0,0)，在w 上的正投影為(0, b, c).3實內(nèi)積空間的同構(gòu)定義3.1設v與u是兩個歐氏空間，若存在v到u的一個 對應a，使o (a + 0) = o (a) + o (0), Va, 0 e V;o (a),o (0) e Uo (ka) = ko (a), Va e V, Vk e R;ko (a)

16、e U (o (a),o (0 ) = (a, 0), Va, 0 e V;o (a),o (0) e U則稱o為V到U的一個同構(gòu)映射，并稱歐氏空間V與U同構(gòu)同構(gòu)作為歐氏空間的關(guān)系與線性空間的同構(gòu)相同，因此 有：同構(gòu)的有限維歐氏空間必有相同的維數(shù)；任意一個維 歐氏空間均與R”同構(gòu)此外，歐氏空間的同構(gòu)還具有以下性質(zhì)：反身性：任意 一個歐氏空間V均與自己同構(gòu)；對稱性:若V與V，同構(gòu)，則V，與 V同構(gòu)；傳遞性:若V與V，同構(gòu)，V，與V同構(gòu)，則V與V同構(gòu)事實上，(1) V到V的恒等映射是一個同構(gòu)映射；設o是V到V，的同構(gòu)映射，記。一1為o的逆映射，則對Va, 0 e V 有g(shù)(o(a) + o(p)

17、= g(o(a + p) = a + 0 =g(o(a) + o-i(o(p)，o-i(ko(a) = o-i(o(ka) = ka = ko-i(o(a)，9 一 19 (a),o - 19 (P) = (a, P) = 9 (a),o (P)， 即。一1是V，到V的一個同構(gòu)映射.) 傳遞性的證明留作習題正交變換與對稱變換正交變換與正交矩陣定義4.1設V是一個歐氏空間，a是V上的線性變換， 如果對任意的元素(向量)a, Pe V，均有(。(a), a (P)二(a, P)成立, 則稱a是V上的一個正交變換例如，恒等變換是一個正交變換，坐標平面上的旋轉(zhuǎn)變 換也是一個正交變換正交變換可以從以下幾

18、個方面來刻 畫定理4.1設a是歐氏空間V上的一個線性變換，則下列 命題是等價的：a是一個正交變換；(2)保持元素(向量)的長度不變，即對任意的ae V，有a (a)| 二 |a ；v中的任意一個標準正交基在下的象仍是一個標準 正交基；在任一個標準正交基下的矩陣是正交矩陣，即AAt = At A = E ,證明 采用循環(huán)證法。(1) n (2)若a是一個正交變換，則對 Va, Pe V，有(。(a ),。(P)二(a, P)，取 Ja，有 (o (a),o (a) = (a, a)即 卜(a)|2 二 |a |2，也即0(a)| = a| ,n設 )2,.是V的一個標準正交基，貝U(0()，0(

19、 .) = ( , ) = ： . 一 j，即0( ),0( ),.,O( )是一個標準正 TOC o 1-5 h z i J i J 10, I 牛 j12n交基.n（4）及=（1）證明略.推論：正交變換與正交矩陣有一一對應關(guān)系2 22例4.1V V3，試判斷a是否為正交矩陣?0 - 2 血 13322-26 31 0 0解因為AAT = at A10 1 0 I， 所以A是正交矩陣.0 0 1此外,正交矩陣還具有以下性質(zhì)：正交矩陣是可逆矩陣, 且det A二1或-1 ；正交矩陣的逆矩陣仍是正交矩陣；兩個正交 矩陣的乘積仍是正交矩陣；實方陣A為正交矩陣的充要條件 是：A的行（或列）向量組為標準正交向量組2對稱變換與對稱矩陣定義4.2設o是歐氏空間V上的一個線性變換，若對Va, Pe V，均有（o （a）, P ）二（a