直線方程及其位置關(guān)系講義-2022屆高三數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)（Word版無(wú)答案）

1、高三數(shù)學(xué)第一輪復(fù)習(xí)專(zhuān)題：直線方程及其位置關(guān)系第一部分 直線的傾斜角和斜率一、直線的傾斜角和斜率： 過(guò)平面直角坐標(biāo)系的一點(diǎn)有無(wú)數(shù)條直線，它們的傾斜程度不同，我們用傾斜角表示直線的傾斜程度。1.直線的傾斜角：當(dāng)與x軸相交時(shí)，我們?nèi)軸作為基準(zhǔn)，x軸的正方向與向上的方向之間所成的角叫做的傾斜角。 故傾斜角范圍：2.直線的斜率：斜率定義：傾斜角不為的直線，把傾斜角的正切值叫做這條直線的斜率。即。 傾斜角為的直線，其斜率不存在。任何一條直線都有傾斜角，但不一定都有斜率。斜率的變化規(guī)律：當(dāng)傾斜角增大時(shí)，斜率如何變化？是與的分界線。在與這兩段區(qū)間，斜率都隨傾斜角的增大而增大。直線傾斜規(guī)律：斜率的絕對(duì)值越大，

2、直線越陡； 斜率的絕對(duì)值越小，直線越平緩。二、兩點(diǎn)法求斜率：注意：斜率公式與兩點(diǎn)順序無(wú)關(guān)；常用的是用斜率求傾斜角，而不是用傾斜角求斜率。例1。已知A（-2，3），B（3，2），P（0，-2），過(guò)點(diǎn)P的與線段AB有公共點(diǎn)，求的斜率的變化范圍。分析：從PB開(kāi)始繞點(diǎn)P作逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，與線段AB相交，從增大到，再?gòu)脑龃蟮?，故。?。過(guò)P（-1，2）的與線段AB相交，若A（-2，-3），B（3，0），求的斜率的變化范圍。例3。已知三點(diǎn)A（a，2），B（5，1），C（-4，2a）在同一直線上，求a的值。第二部分 直線的方程一、點(diǎn)斜式方程：（最常用）經(jīng)過(guò)點(diǎn)，且斜率為。設(shè)是上不同于的任一點(diǎn)，則。即點(diǎn)斜式方程為：

3、注意：點(diǎn)斜式方程不能用來(lái)表示斜率不存在的直線。（缺陷）表示斜率不存在的直線，用。例。寫(xiě)出點(diǎn)斜式方程：二、斜截式方程： 若的斜率為，與y軸的交點(diǎn)為（0，b），則即斜截式方程為：。注意：截距不是距離，它可為正值，可為負(fù)值，可為0值。注意：斜截式方程不能用來(lái)表示斜率不存在的直線，因斜截式方程來(lái)源于點(diǎn)斜式方程。（缺陷）xyO-24畫(huà)直線圖形方法：先找出直線與軸、軸交點(diǎn)坐標(biāo)。例。畫(huà)出圖象。令 令故描出兩點(diǎn)，連出一條直線即可。三、兩點(diǎn)式方程：已知兩點(diǎn)，在上。，即注意：不能用來(lái)表示斜率不存在或斜率為0的直線。已知直線上兩點(diǎn)，寫(xiě)方程時(shí)通常用點(diǎn)斜式，而不用兩點(diǎn)式。四、截距式方程：與軸交點(diǎn)為，與軸交點(diǎn)為。 注意：

4、截距式方程不能用來(lái)表示斜率不存在或斜率為0或過(guò)原點(diǎn)的直線，因此，一般不用截距式，而用點(diǎn)斜式方程。例。求過(guò)點(diǎn)且在兩軸上截距相等的直線方程。解：設(shè)所求直線方程為：。令；令。由題意得： 所求直線方程為：。注意：兩點(diǎn)式方程與截距式方程一般不用。五、一般式方程：（最終形式） 以上的四類(lèi)方程本質(zhì)上都是點(diǎn)斜式方程，而點(diǎn)斜式方程有一個(gè)最大的缺陷：不能用來(lái)表示斜率不存在的直線。 有沒(méi)有一個(gè)方程能用來(lái)表示所有的直線呢？這就是一般式方程。二元一次方程：叫做直線的一般式方程。當(dāng)時(shí)，可化為：，此為直線的斜截式方程； （斜率存在）當(dāng)時(shí)，因不能同時(shí)為0，則，方程可化為：，它表示一條垂直于x軸的直線。 （斜率不存在）故二元一

5、次方程表示一條直線。規(guī)律：對(duì)于直線來(lái)說(shuō)，區(qū)分斜率是否存在最為關(guān)鍵。 對(duì)一般式方程的研究：首先看，決定斜率是否存在；。其次看，決定斜率是否為0；。最后看，決定直線是否過(guò)原點(diǎn)；。注意： 記好A、B不能同時(shí)為0；記好；直線方程最后都要統(tǒng)一寫(xiě)成一般式方程。 寫(xiě)成一般式方程的要求： （1）一般式方程中不能有分母；（2）x在前，y在后，x系數(shù)為正；（3）右邊等于0。例1。寫(xiě)出點(diǎn)斜式方程，并化成一般式方程：解：（2）點(diǎn)斜式方程為：，即，故一般式方程為：。例2。直線，若此直線斜率不存在，求值。解：由題意得： 。例3。直線方程的系數(shù)滿足什么條件時(shí)，這條直線有以下性質(zhì)？（1）與兩坐標(biāo)軸都相交；（2）只與軸相交；（

6、3）只與軸相交；（4）是軸所在直線；（5）是軸所在直線。第三部分 兩條直線的位置關(guān)系一、兩直線平行：1.斜截式方程：設(shè)，若，則與的傾斜角與相等，且、在上截距不相等。即 ，也即。 故當(dāng)直線、斜率均不存在，即，則2.一般式方程： 當(dāng)時(shí)，則、斜率均存在。 當(dāng)時(shí)，、斜率都不存在 例 綜合，（記法） （用法）注意：與平行的直線可設(shè)為： 例1。求過(guò)點(diǎn)A（1，-4）且與直線平行的直線的方程。解：（一）用一般式。設(shè)所求直線方程為：將A（1，-4）代入得： 故所求直線方程為：。（二）用點(diǎn)斜式。所求直線方程為：，即，故所求直線方程為：。評(píng)論：用點(diǎn)斜式還需要轉(zhuǎn)化為一般式，容易算錯(cuò)，不如直接設(shè)成一般式。例2。，平行，

7、求值。解：由可得： 。例3。若下列各組中兩方程表示的直線平行，求值。（1）（2）二、兩直線垂直：1.直線、斜率均存在，設(shè)為，2.一般式方程： 當(dāng)時(shí)，則、斜率均存在，。當(dāng)有一個(gè)為0時(shí)，不訪設(shè)，則斜率不存在， 綜合，例1。求過(guò)點(diǎn)A（2，1）且與直線垂直的的方程。解：設(shè)所求直線方程為：，即，故所求直線方程為：。例2。當(dāng)為何值時(shí)，、互相垂直？解： ，。例3。、，求值，使得：；。例4。若下列兩方程表示的直線垂直，求值。（1）（2）（3）三、兩條直線的交點(diǎn)坐標(biāo)：若二元一次方程組有唯一解，則兩直線相交，該解為交點(diǎn)坐標(biāo)；若方程組無(wú)解，則兩直線平行；若方程組有無(wú)窮多解，則兩直線重合。因此可用方程組解的情況判斷兩

8、直線位置關(guān)系。例1。判斷下列各對(duì)直線的位置關(guān)系：（1）（2）（3）（4）專(zhuān)題：直線系方程一、平行直線系：（斜率固定）例1. 。斜率為2的平行直線系。例2. 。斜率為的平行直線系。二、過(guò)定點(diǎn)的直線系：（斜率不固定）例1. 。過(guò)定點(diǎn)的直線系。令，即令參數(shù)乘以0，得例2. 。過(guò)定點(diǎn)的直線系。令，即令參數(shù)乘以0，得例3. 。過(guò)定點(diǎn)的直線系。令，即令參數(shù)乘以0，得例4. 原式可化為：，即把項(xiàng)單獨(dú)提出來(lái)。令且，解得：，此為過(guò)定點(diǎn)的直線系方程。例5.過(guò)兩直線交點(diǎn)的直線系方程可設(shè)為：。四、距離問(wèn)題：1.兩點(diǎn)間的距離： 2.點(diǎn)到直線的距離：點(diǎn)到的距離：3.兩條平行直線間的距離： 若，與間距離為：注意：用此公式求

9、兩平行直線間的距離時(shí)，要保證系數(shù)對(duì)應(yīng)相等。例1。求兩點(diǎn)間的距離：（1）A（6，0），B（-2，0）（2）A（0，-4），B（0，-1）（3）P（6，0），Q（0，-2）（4）M（2，1），N（5，-1）例2。求點(diǎn)到直線的距離：（1）O（0，0），（2）O（0，0），（3）A（-2，3），（4）B（1，0），（5）C（1，-2），例3。求兩平行線間的距離：（1）（2）（3）（4）（5）例4。求與平行，且與它的距離為的直線的方程。例5。已知兩條平行直線，求與它們等距離的平行線的方程。五、對(duì)稱(chēng)問(wèn)題：1.中心對(duì)稱(chēng)：點(diǎn)關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱(chēng)：點(diǎn)關(guān)于點(diǎn)的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)為：直線關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱(chēng)：直線關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱(chēng)的直線為：例1。求關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱(chēng)的直線的方程。解：設(shè)為上任一點(diǎn)，則關(guān)于對(duì)稱(chēng)點(diǎn)在上