教學(xué)課件·微積分(第三版)

1、微 積 分（第三版）引 論 微積分思路預(yù)備知識 初等數(shù)學(xué)小結(jié)第一章 函數(shù)與極限第二章 導(dǎo)數(shù)與微分第三章 導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用第四章 不定積分第五章 定積分第六章 二元微積分第七章 無窮級數(shù)與一階 微分方程目錄第一章 函數(shù)與極限1.1 函數(shù)的類別與基本性質(zhì)基本初等函數(shù)共有六大類：1.常量函數(shù)y=c (c為常數(shù))2.冪函數(shù)y=x (為常數(shù))3.指數(shù)函數(shù)y=ax (a0,a1)4.對數(shù)函數(shù)y=logax (a0,a1)5.三角函數(shù)6.反三角函數(shù)第一章 函數(shù)與極限1.1 函數(shù)的類別與基本性質(zhì)定義1.1若函數(shù)是由基本初等函數(shù)經(jīng)過有限次的四則運算與有限次的復(fù)合運算構(gòu)成的，且用一個數(shù)學(xué)表達式表示，則稱這樣的函數(shù)為初等

2、函數(shù)。定義1.2已知函數(shù)定義域被分成有限個區(qū)間，若在各個區(qū)間上表示對應(yīng)規(guī)則的數(shù)學(xué)表達式一樣，但單獨定義各個區(qū)間公共端點處的函數(shù)值；或者在各個區(qū)間上表示對應(yīng)規(guī)則的數(shù)學(xué)表達式不完全一樣,則稱這樣的函數(shù)為分段函數(shù)。第一章 函數(shù)與極限1.1 函數(shù)的類別與基本性質(zhì)1.奇偶性定義1.3已知函數(shù)f(x)的定義域為D，對于任意點xD，若恒有f(-x)=-f(x)，則稱函數(shù)f(x)為奇函數(shù)；若恒有f(-x)=f(x)，則稱函數(shù)f(x)為偶函數(shù)。第一章 函數(shù)與極限1.1 函數(shù)的類別與基本性質(zhì)2.有界性定義1.4已知函數(shù)f(x)在區(qū)間I(可以是開區(qū)間,也可以是閉區(qū)間或半開區(qū)間)上有定義,若存在一個常數(shù)M0,使得對于

3、所有點xI,恒有|f(x)|M,則稱函數(shù)f(x)在區(qū)間I上有界;否則稱函數(shù)f(x)在區(qū)間I上無界.第一章 函數(shù)與極限1.1 函數(shù)的類別與基本性質(zhì)3.單調(diào)性定義1.5已知函數(shù)f(x)在開區(qū)間J內(nèi)有定義,對于開區(qū)間J內(nèi)的任意兩點x1,x2,當(dāng)x2x1時,若恒有f(x2)f(x1),則稱函數(shù)f(x)在開區(qū)間J內(nèi)單調(diào)增加,開區(qū)間J為函數(shù)f(x)的單調(diào)增加區(qū)間;若恒有f(x2)f(x),則稱函數(shù)值f(x0)為函數(shù)f(x)的極大值,點x0為函數(shù)f(x)的極大值點;若恒有f(x0)f(x),則稱函數(shù)值f(x0)為函數(shù)f(x)的極小值,點x0為函數(shù)f(x)的極小值點.第一章 函數(shù)與極限1.1 函數(shù)的類別與基本

4、性質(zhì)5.最值定義1.7已知函數(shù)f(x)在區(qū)間I(可以是開區(qū)間,也可以是閉區(qū)間或半開區(qū)間)上有定義,且點x0I.對于任意點xI,若恒有f(x0)f(x),則稱函數(shù)值f(x0)為函數(shù)f(x)在區(qū)間I上的最大值,點x0為函數(shù)f(x)在區(qū)間I上的最大值點;若恒有f(x0)f(x),則稱函數(shù)值f(x0)為函數(shù)f(x)在區(qū)間I上的最小值,點x0為函數(shù)f(x)在區(qū)間I上的最小值點.第一章 函數(shù)與極限1.2 幾何與經(jīng)濟方面函數(shù)關(guān)系式1.幾何方面函數(shù)關(guān)系式(1)矩形面積S等于長x與寬u的積,即S=xu特別地,正方形面積S等于邊長x的平方,即S=x2(2)長方體體積V等于底面積(矩形面積)S與高h的積,即V=Sh

5、(3)圓柱體體積V等于底面積(圓面積)r2(r為底半徑)與高h的積,即V=r2h側(cè)面積(相當(dāng)于矩形面積)S等于底周長2r與高h的積,即S=2rh第一章 函數(shù)與極限1.2 幾何與經(jīng)濟方面函數(shù)關(guān)系式1.幾何方面函數(shù)關(guān)系式例1欲圍一塊面積為216 m2的矩形場地,矩形場地東西方向長xm、南北方向?qū)抲m,沿矩形場地四周建造高度相同的圍墻,并在正中間南北方向建造同樣高度的一堵墻,把矩形場地隔成兩塊,試將墻的總長度Lm表示為矩形場地長xm的函數(shù).解:已設(shè)矩形場地長為xm、寬為um,如圖11.第一章 函數(shù)與極限1.2 幾何與經(jīng)濟方面函數(shù)關(guān)系式1.幾何方面函數(shù)關(guān)系式第一章 函數(shù)與極限1.2 幾何與經(jīng)濟方面函數(shù)

6、關(guān)系式1.幾何方面函數(shù)關(guān)系式例3欲做一個容積為V0的圓柱形封閉罐頭盒,試將圓柱形封閉罐頭盒表面積S表示為底半徑r的函數(shù).解:已設(shè)圓柱形封閉罐頭盒底半徑為r,再設(shè)高為h,如圖13.第一章 函數(shù)與極限1.2 幾何與經(jīng)濟方面函數(shù)關(guān)系式2.經(jīng)濟方面函數(shù)關(guān)系式(1)在生產(chǎn)過程中,產(chǎn)品的總成本C為產(chǎn)量x的單調(diào)增加函數(shù),記作C=C(x)C=C(x)=C0+C1(x)(3)產(chǎn)品全部銷售后總收益R等于產(chǎn)量x與銷售價格p的積.R=R(x)=xp(x)(4)產(chǎn)品全部銷售后獲得的總利潤L等于總收益R減去總成本C,即L=L(x)=R(x)-C(x)(5) 需求量Q為銷售價格p的函數(shù),這個函數(shù)稱為需求函數(shù),記作Q=Q(p

7、)第一章 函數(shù)與極限1.2 幾何與經(jīng)濟方面函數(shù)關(guān)系式2.經(jīng)濟方面函數(shù)關(guān)系式第一章 函數(shù)與極限1.3 極限的概念與基本運算法則第一章 函數(shù)與極限1.3 極限的概念與基本運算法則第一章 函數(shù)與極限1.3 極限的概念與基本運算法則第一章 函數(shù)與極限1.3 極限的概念與基本運算法則推論1如果有限個變量u1,u2,um的極限都存在,則極限lim(u1+u2+um)=limu1+limu2+limum推論2如果有限個變量u1,u2,um的極限都存在,則極限limu1u2um=limu1limu2limum推論3如果極限limv存在,k為常數(shù),則極限limkv=klimv 若分段函數(shù)在分界點左右的數(shù)學(xué)表達式

8、一樣,則直接計算其極限;若分段函數(shù)在分界點左右的數(shù)學(xué)表達式不一樣,則應(yīng)分別計算其左極限與右極限,只有左極限與右極限都存在且相等,極限才存在.第一章 函數(shù)與極限1.4 無窮大量與無窮小量定義1.11若變量y的絕對值在變化過程中無限增大,則稱變量y為無窮大量,記作limy=或y性質(zhì)1正無窮大量與正無窮大量的和仍為正無窮大量,負無窮大量與負無窮大量的和仍為負無窮大量;性質(zhì)2無窮大量與無窮大量的積仍為無窮大量.定義1.12若極限limy=0,則稱變量y為無窮小量.性質(zhì)1無窮小量與無窮小量的和、差、積仍為無窮小量;性質(zhì)2無窮小量與有界變量的積仍為無窮小量.第一章 函數(shù)與極限1.4 無窮大量與無窮小量定理

9、1.4變量y的極限為A等價于變量y-A為無窮小量.第一章 函數(shù)與極限1.5 未定式極限第一章 函數(shù)與極限1.5 未定式極限第一章 函數(shù)與極限1.5 未定式極限第一章 函數(shù)與極限1.5 未定式極限第一章 函數(shù)與極限1.6 兩個重要極限第一章 函數(shù)與極限1.6 兩個重要極限第一章 函數(shù)與極限1.6 兩個重要極限第一章 函數(shù)與極限1.6 兩個重要極限第一章 函數(shù)與極限1.6 兩個重要極限第一章 函數(shù)與極限1.7 函數(shù)的連續(xù)性性質(zhì)1如果函數(shù)f(x)在閉區(qū)間a,b上連續(xù),則函數(shù)f(x)在閉區(qū)間a,b上有界,存在最大值與最小值;性質(zhì)2如果函數(shù)f(x)在閉區(qū)間a,b上連續(xù),且函數(shù)值f(a)與f(b)異號,則

10、在開區(qū)間(a,b)內(nèi)至少存在一點,使得f()=0(a0,a1)y=axlna特別地,若a=e,則得到指數(shù)函數(shù)y=ex的導(dǎo)數(shù)y=ex例5(2x)=2xln2第二章 導(dǎo)數(shù)與微分2.3 導(dǎo)數(shù)的基本公式例6求函數(shù)y=xe-ex+ee的導(dǎo)數(shù).解:注意到函數(shù)y的表達式中第3項ee為常數(shù)項,其導(dǎo)數(shù)等于零,所以導(dǎo)數(shù)y=exe-1-ex+0=exe-1-ex例7求函數(shù)y=x2ex的導(dǎo)數(shù).解:y=(x2)ex+x2(ex)=2xex+x2ex=(2x+x2)ex第二章 導(dǎo)數(shù)與微分2.3 導(dǎo)數(shù)的基本公式(2)y=cosxy=-sinx(3)y=tanxy=sec2x(4)y=cotxy=-csc2x第二章 導(dǎo)數(shù)與微

11、分2.3 導(dǎo)數(shù)的基本公式例13求函數(shù)y=exsinx的導(dǎo)數(shù).解:y=(ex)sinx+ex(sinx)=exsinx+excosx=ex(sinx+cosx)例15求函數(shù)y=tanx+cotx的導(dǎo)數(shù).解:y=sec2x-csc2x第二章 導(dǎo)數(shù)與微分2.3 導(dǎo)數(shù)的基本公式第二章 導(dǎo)數(shù)與微分2.4 復(fù)合函數(shù)導(dǎo)數(shù)運算法則復(fù)合函數(shù)導(dǎo)數(shù)運算法則如果函數(shù)u=u(x)在點x處可導(dǎo),函數(shù)y=f(u)在對應(yīng)點u處可導(dǎo),則復(fù)合函數(shù)y=f(u(x)在點x處可導(dǎo),且導(dǎo)數(shù)y=f(u(x)u(x)在求復(fù)合函數(shù)y的導(dǎo)數(shù)時,首先如1.1那樣引進中間變量u,將復(fù)合函數(shù)y分解為基本初等函數(shù)y=f(u)與函數(shù)u=u(x),然后根據(jù)

12、復(fù)合函數(shù)導(dǎo)數(shù)運算法則計算導(dǎo)數(shù)y,其步驟如下:步驟1計算導(dǎo)數(shù)f(u)的表達式,并表示為自變量x的函數(shù),得到f(u(x).在這個過程中,并不急于計算導(dǎo)數(shù)u(x)的表達式,僅在導(dǎo)數(shù)y的表達式中將因式u(x)乘在因式f(u(x)的后面;步驟2計算導(dǎo)數(shù)u(x)的表達式:若函數(shù)u(x)為基本初等函數(shù)或簡單函數(shù),則立即求出導(dǎo)數(shù)u(x)的表達式,因而得到導(dǎo)數(shù)y的表達式;若函數(shù)u(x)仍為復(fù)合函數(shù),則繼續(xù)分解復(fù)合函數(shù)u=u(x),并重復(fù)上述步驟,直至最終得到導(dǎo)數(shù)y的表達式.第二章 導(dǎo)數(shù)與微分2.4 復(fù)合函數(shù)導(dǎo)數(shù)運算法則例1求函數(shù)y=(3x+2)10的導(dǎo)數(shù).解:將復(fù)合函數(shù)y=(3x+2)10分解為y=u10與u=

13、3x+2根據(jù)復(fù)合函數(shù)導(dǎo)數(shù)運算法則,得到復(fù)合函數(shù)y對自變量x的導(dǎo)數(shù)y=(u10)u(3x+2)=10u9(3x+2)=10(3x+2)9(3x+2)=30(3x+2)9y=10(3x+2)9(3x+2)=30(3x+2)9第二章 導(dǎo)數(shù)與微分2.4 復(fù)合函數(shù)導(dǎo)數(shù)運算法則第二章 導(dǎo)數(shù)與微分2.4 復(fù)合函數(shù)導(dǎo)數(shù)運算法則第二章 導(dǎo)數(shù)與微分2.4 復(fù)合函數(shù)導(dǎo)數(shù)運算法則第二章 導(dǎo)數(shù)與微分2.5 隱函數(shù)的導(dǎo)數(shù)第二章 導(dǎo)數(shù)與微分2.5 隱函數(shù)的導(dǎo)數(shù)第二章 導(dǎo)數(shù)與微分2.5 隱函數(shù)的導(dǎo)數(shù)第二章 導(dǎo)數(shù)與微分2.6 高階導(dǎo)數(shù)第二章 導(dǎo)數(shù)與微分2.6 高階導(dǎo)數(shù)第二章 導(dǎo)數(shù)與微分2.6 高階導(dǎo)數(shù)函數(shù)在屬于定義域的點x0處

14、的二階導(dǎo)數(shù)值為二階導(dǎo)數(shù)的表達式中自變量x用數(shù)x0代入所得到的數(shù)值.第二章 導(dǎo)數(shù)與微分2.6 高階導(dǎo)數(shù)第二章 導(dǎo)數(shù)與微分2.7 微分第二章 導(dǎo)數(shù)與微分2.7 微分第二章 導(dǎo)數(shù)與微分2.7 微分第二章 導(dǎo)數(shù)與微分2.7 微分定理2.5如果函數(shù)y=f(u)可微,函數(shù)u=u(x)也可微,則函數(shù)y的微分表達式同樣具有下面的形式dy=f(u)du這個結(jié)論稱為微分形式不變性,它是不定積分換元積分法則的理論基礎(chǔ).第二章 導(dǎo)數(shù)與微分2.7 微分定理2.5如果函數(shù)y=f(u)可微,函數(shù)u=u(x)也可微,則函數(shù)y的微分表達式同樣具有下面的形式dy=f(u)du這個結(jié)論稱為微分形式不變性,它是不定積分換元積分法則的

15、理論基礎(chǔ).第三章 導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用3.1 洛必達法則第三章 導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用3.1 洛必達法則第三章 導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用3.1 洛必達法則第三章 導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用3.2 函數(shù)曲線的切線求函數(shù)曲線y=f(x)上點M0(x0,y0)處切線方程的步驟如下:步驟1計算一階導(dǎo)數(shù)f(x),再在一階導(dǎo)數(shù)f(x)的表達式中,自變量x用切點橫坐標(biāo)x0代入,得到函數(shù)f(x)在切點橫坐標(biāo)x0處的一階導(dǎo)數(shù)值f(x0);步驟2若一階導(dǎo)數(shù)值f(x0)為有限值,則所求切線斜率為f(x0),所求切線方程的點斜式為y-y0=f(x0)(x-x0)當(dāng)一階導(dǎo)數(shù)值f(x0)=0時,所求切線方程為y=y0;若一階導(dǎo)數(shù)值f(x0)=,則所求切線方程為x=x0.第

16、三章 導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用3.2 函數(shù)曲線的切線例2求函數(shù)曲線y=e2x+x2上點(0,1)處的切線方程.解:計算一階導(dǎo)數(shù)y=e2x(2x)+2x=2e2x+2x于是所求切線斜率為y|x=0=2所以所求切線方程為y-1=2(x-0)即有2x-y+1=0第三章 導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用3.2 函數(shù)曲線的切線第三章 導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用3.3 函數(shù)的單調(diào)區(qū)間與極值定理3.1已知函數(shù)f(x)在開區(qū)間J內(nèi)可導(dǎo),那么:(1)如果在開區(qū)間J內(nèi)一階導(dǎo)數(shù)f(x)恒為正,則開區(qū)間J為可導(dǎo)函數(shù)f(x)的單調(diào)增加區(qū)間;(2)如果在開區(qū)間J內(nèi)一階導(dǎo)數(shù)f(x)恒為負,則開區(qū)間J為可導(dǎo)函數(shù)f(x)的單調(diào)減少區(qū)間.推論如果在開區(qū)間J內(nèi)一階導(dǎo)數(shù)f(x)恒非負

17、(或恒非正),且使得一階導(dǎo)數(shù)f(x)=0的點x只是一些孤立的點,則開區(qū)間J為可導(dǎo)函數(shù)f(x)的單調(diào)增加區(qū)間(或單調(diào)減少區(qū)間).定義3.1若可導(dǎo)函數(shù)f(x)在點x0處的一階導(dǎo)數(shù)值f(x0)=0,則稱點x0為可導(dǎo)函數(shù)f(x)的駐點.對于可導(dǎo)函數(shù),極值點一定為駐點,但駐點不一定為極值點,駐點是否為極值點與一階導(dǎo)數(shù)在其左右變號不變號有著緊密的聯(lián)系.第三章 導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用3.3 函數(shù)的單調(diào)區(qū)間與極值定理3.2已知點x0為可導(dǎo)函數(shù)f(x)的駐點,當(dāng)點x從駐點x0的左方變化到右方時,那么:(1)如果一階導(dǎo)數(shù)f(x)變號,且從正號(或負號)變化到負號(或正號),則駐點x0為可導(dǎo)函數(shù)f(x)的極大值點(或極小值點)

18、;(2)如果一階導(dǎo)數(shù)f(x)不變號,則駐點x0不為可導(dǎo)函數(shù)f(x)的極值點.求可導(dǎo)函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間與極值的步驟如下:步驟1確定可導(dǎo)函數(shù)f(x)的定義域D;步驟2計算一階導(dǎo)數(shù)f(x);步驟3在定義域D內(nèi),若一階導(dǎo)數(shù)f(x)恒非負(或恒非正),則可導(dǎo)函數(shù)f(x)的單調(diào)增加區(qū)間(或單調(diào)減少區(qū)間)為定義域D,這時當(dāng)然無極值.否則令一階導(dǎo)數(shù)f(x)=0,求出可導(dǎo)函數(shù)f(x)的全部駐點,并轉(zhuǎn)入步驟4;步驟4可導(dǎo)函數(shù)f(x)的全部駐點將定義域D分成幾個開區(qū)間,列表判斷在這幾個開區(qū)間內(nèi)一階導(dǎo)數(shù)f(x)的正負號,于是確定可導(dǎo)函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間、極值點,計算極值點處的函數(shù)值即為極值.單調(diào)增加用記號表示,

19、單調(diào)減少用記號表示.第三章 導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用3.3 函數(shù)的單調(diào)區(qū)間與極值第三章 導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用3.3 函數(shù)的單調(diào)區(qū)間與極值列表如表32:x(0,e)e(e,+)f(x)+0-f(x)第三章 導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用3.3 函數(shù)的單調(diào)區(qū)間與極值例5求函數(shù)f(x)=x2e-x的單調(diào)區(qū)間與極值.解:函數(shù)定義域D=(-,+),計算一階導(dǎo)數(shù)f(x)=2xe-x+x2e-x(-x)=2xe-x-x2e-x=(2x-x2)e-x令一階導(dǎo)數(shù)f(x)=0,注意到指數(shù)函數(shù)e-x恒大于零,得到駐點x=0與x=2.列表如表33:所以函數(shù)f(x)=x2e-x的單調(diào)減少區(qū)間為(-,0),(2,+),單調(diào)增加區(qū)間為(0,2);極小值為f(0)=0

20、,極大值為f(2)=4e-2.第三章 導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用3.3 函數(shù)的單調(diào)區(qū)間與極值第三章 導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用3.4 函數(shù)的最值定理3.3已知點x0為可導(dǎo)函數(shù)f(x)的駐點,且二階導(dǎo)數(shù)f(x)在駐點x0處及其左右連續(xù),那么:(1)如果二階導(dǎo)數(shù)值f(x0)0,則駐點x0為可導(dǎo)函數(shù)f(x)的極小值點.例1求函數(shù)f(x)=x2e-x的極值.解:函數(shù)定義域D=(-,+),計算一階導(dǎo)數(shù)f(x)=2xe-x+x2e-x(-x)=2xe-x-x2e-x=(2x-x2)e-x令一階導(dǎo)數(shù)f(x)=0,注意到指數(shù)函數(shù)e-x恒大于零,得到駐點x=0與x=2.再計算二階導(dǎo)數(shù)f(x)=(2-2x)e-x+(2x-x2)e-x(-x)=

21、(2-2x)e-x-(2x-x2)e-x=(2-4x+x2)e-x得到在駐點x=0處的二階導(dǎo)數(shù)值f(0)=20根據(jù)定理3.3,于是駐點x=0為極小值點;又得到在駐點x=2處的二階導(dǎo)數(shù)值f(2)=-2e-20根據(jù)定理3.3,于是唯一駐點x=4為唯一極小值點,再根據(jù)定理3.4,這個唯一極小值點x=4也為最小值點.所以函數(shù)f(x)=x2-8x+7在定義域D=(-,+)內(nèi)有最小值,最小值為f(4)=-9.第三章 導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用3.4 函數(shù)的最值求可導(dǎo)函數(shù)f(x)在閉區(qū)間a,b上的最大值與最小值的步驟如下:步驟1計算一階導(dǎo)數(shù)f(x),并令一階導(dǎo)數(shù)f(x)=0,求出可導(dǎo)函數(shù)f(x)在開區(qū)間(a,b)內(nèi)的所有駐

22、點;步驟2計算可導(dǎo)函數(shù)f(x)在這些駐點處的函數(shù)值,同時計算可導(dǎo)函數(shù)f(x)在兩個端點處的函數(shù)值f(a),f(b);步驟3比較上述計算得到的函數(shù)值大小,其中最大者為所求最大值,最小者為所求最小值.第三章 導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用3.4 函數(shù)的最值例4求函數(shù)f(x)=x4-8x2+3在閉區(qū)間-1,3上的最大值與最小值.解:計算一階導(dǎo)數(shù)f(x)=4x3-16x=4x(x2-4)令一階導(dǎo)數(shù)f(x)=0,得到駐點x=-2,x=0及x=2,容易看出駐點x=0與x=2在開區(qū)間(-1,3)內(nèi),而駐點x=-2不在開區(qū)間(-1,3)內(nèi).再計算函數(shù)f(x)在駐點x=0,x=2及兩個端點x=-1,x=3處的函數(shù)值f(0)=3f(

23、2)=-13f(-1)=-4f(3)=12比較這些函數(shù)值的大小,得到最大者為f(3)=12,最小者為f(2)=-13.所以函數(shù)f(x)=x4-8x2+3在閉區(qū)間-1,3上的最大值為f(3)=12,最小值為f(2)=-13.第三章 導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用3.5 函數(shù)曲線的凹向區(qū)間與拐點定義3.2已知函數(shù)f(x)在開區(qū)間J內(nèi)可導(dǎo),若函數(shù)曲線y=f(x)在開區(qū)間J內(nèi)位于其上任意一點處切線的上方,則稱函數(shù)曲線y=f(x)在開區(qū)間J內(nèi)上凹,開區(qū)間J為函數(shù)曲線y=f(x)的上凹區(qū)間;若函數(shù)曲線y=f(x)在開區(qū)間J內(nèi)位于其上任意一點處切線的下方,則稱函數(shù)曲線y=f(x)在開區(qū)間J內(nèi)下凹,開區(qū)間J為函數(shù)曲線y=f(x)

24、的下凹區(qū)間.定理3.5已知函數(shù)f(x)在開區(qū)間J內(nèi)二階可導(dǎo),那么:(1)如果在開區(qū)間J內(nèi)二階導(dǎo)數(shù)f(x)恒為正,則開區(qū)間J為函數(shù)曲線y=f(x)的上凹區(qū)間;(2)如果在開區(qū)間J內(nèi)二階導(dǎo)數(shù)f(x)恒為負,則開區(qū)間J為函數(shù)曲線y=f(x)的下凹區(qū)間.推論如果在開區(qū)間J內(nèi)二階導(dǎo)數(shù)f(x)恒非負(或恒非正),且使得二階導(dǎo)數(shù)f(x)=0的點x只是一些孤立的點,則開區(qū)間J為函數(shù)曲線y=f(x)的上凹區(qū)間(或下凹區(qū)間).第三章 導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用3.5 函數(shù)曲線的凹向區(qū)間與拐點定義3.3在函數(shù)曲線y=f(x)上,凹向改變的分界點稱為函數(shù)曲線y=f(x)的拐點.定理3.6已知函數(shù)f(x)二階可導(dǎo),點x0為二階導(dǎo)數(shù)f(

25、x)=0的根,那么:(1)如果在點x0左右二階導(dǎo)數(shù)f(x)變號,則點(x0,f(x0)為函數(shù)曲線y=f(x)的拐點;(2)如果在點x0左右二階導(dǎo)數(shù)f(x)不變號,則點(x0,f(x0)不為函數(shù)曲線y=f(x)的拐點.在函數(shù)f(x)二階可導(dǎo)時,求函數(shù)曲線y=f(x)的凹向區(qū)間與拐點的步驟如下:步驟1確定二階可導(dǎo)函數(shù)f(x)的定義域D.步驟2計算一階導(dǎo)數(shù)f(x)、二階導(dǎo)數(shù)f(x).步驟3在定義域D內(nèi),若二階導(dǎo)數(shù)f(x)恒非負(或恒非正),則函數(shù)曲線y=f(x)的上凹區(qū)間(或下凹區(qū)間)為定義域D,這時當(dāng)然無拐點.否則令二階導(dǎo)數(shù)f(x)=0,求出全部根,并轉(zhuǎn)入步驟4.步驟4二階導(dǎo)數(shù)f(x)=0的全部根

26、將定義域D分成幾個開區(qū)間,列表判斷在這幾個開區(qū)間內(nèi)二階導(dǎo)數(shù)f(x)的正負號,于是確定函數(shù)曲線y=f(x)的凹向區(qū)間、拐點橫坐標(biāo),計算拐點橫坐標(biāo)處的函數(shù)值即為拐點縱坐標(biāo).上凹用記號表示,下凹用記號表示.第三章 導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用3.5 函數(shù)曲線的凹向區(qū)間與拐點所以函數(shù)曲線y=6x2-x3的上凹區(qū)間為(-,2),下凹區(qū)間為(2,+);拐點為(2,16).第三章 導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用3.5 函數(shù)曲線的凹向區(qū)間與拐點例3求函數(shù)曲線y=(x2-2)ex的凹向區(qū)間與拐點.解:函數(shù)定義域D=(-,+),計算一階導(dǎo)數(shù)、二階導(dǎo)數(shù)y=2xex+(x2-2)ex=(x2+2x-2)exy=(2x+2)ex+(x2+2x-2)ex=(

27、x2+4x)ex令二階導(dǎo)數(shù)y=0,得到根x=-4與x=0.列表如表36:所以函數(shù)曲線y=(x2-2)ex的上凹區(qū)間為(-,-4),(0,+),下凹區(qū)間為(-4,0);拐點為(-4,14e-4),(0,-2).第三章 導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用3.6 經(jīng)濟方面函數(shù)的邊際與彈性定義3.4總成本函數(shù)C=C(x)對產(chǎn)量x的一階導(dǎo)數(shù)C(x)稱為邊際成本函數(shù).第三章 導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用3.6 經(jīng)濟方面函數(shù)的邊際與彈性第三章 導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用3.7 幾何與經(jīng)濟方面函數(shù)的優(yōu)化幾何與經(jīng)濟方面函數(shù)的優(yōu)化的類型有兩種:類型1求使得消耗為最小的最優(yōu)解;類型2求使得效益為最大的最優(yōu)解.幾何與經(jīng)濟方面函數(shù)優(yōu)化的求解步驟如下:步驟1根據(jù)實際問題的具體情

28、況,確定自變量與因變量,建立它們之間的函數(shù)關(guān)系即目標(biāo)函數(shù)關(guān)系式;步驟2求目標(biāo)函數(shù)的極值點,往往也為最值點,即得最優(yōu)解.例1一塊正方形紙板的邊長為a,將其四角各截去一個大小相同的邊長為x的小正方形,再將四邊折起做成一個無蓋方盒,問所截小正方形邊長x為多少時,才能使得無蓋方盒容積V最大?解:已設(shè)所截小正方形邊長為x,從而無蓋方盒底邊長為a-2x,如圖38.第三章 導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用3.7 幾何與經(jīng)濟方面函數(shù)的優(yōu)化第三章 導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用3.7 幾何與經(jīng)濟方面函數(shù)的優(yōu)化例3欲做一個容積為250m3的圓柱形無蓋蓄水池,已知池底材料價格為池周圍材料價格的2倍,問圓柱形無蓋蓄水池池底半徑r與高h各為多少時,才能使得所用

29、材料費T最省?解:已設(shè)圓柱形無蓋蓄水池池底半徑為rm,高為hm,如圖310.第三章 導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用3.7 幾何與經(jīng)濟方面函數(shù)的優(yōu)化第三章 導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用3.7 幾何與經(jīng)濟方面函數(shù)的優(yōu)化第三章 導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用3.7 幾何與經(jīng)濟方面函數(shù)的優(yōu)化計算一階導(dǎo)數(shù)L(Q)=-12Q+24令一階導(dǎo)數(shù)L(Q)=0,得到唯一駐點Q=2.再計算二階導(dǎo)數(shù)L(Q)=-120于是唯一駐點Q=2為唯一極大值點,也為最大值點,為最優(yōu)解.計算此時目標(biāo)函數(shù)值,得到L(2)=14為最優(yōu)值.所以批量Q為2t時,才能使得每批商品全部銷售后獲得的總利潤L最大,最大利潤值為14萬元.第四章 不定積分4.1 不定積分的概念與基本運算法則定義4.1已知函

30、數(shù)F(x)在區(qū)間I(可以是開區(qū)間,也可以是閉區(qū)間或半開區(qū)間)上可導(dǎo),若一階導(dǎo)數(shù)F(x)=f(x),則稱函數(shù)F(x)為f(x)在區(qū)間I上的原函數(shù).定理4.1如果函數(shù)F(x)為f(x)的一個原函數(shù),則函數(shù)族F(x)+c(c為任意常數(shù))也為函數(shù)f(x)的原函數(shù),且函數(shù)f(x)的任意一個原函數(shù)都是這個函數(shù)族中的一個函數(shù).第四章 不定積分4.1 不定積分的概念與基本運算法則第四章 不定積分4.1 不定積分的概念與基本運算法則法則1如果函數(shù)u=u(x),v=v(x)都存在原函數(shù),則不定積分(uv)dx=udxvdx法則2如果函數(shù)v=v(x)存在原函數(shù),k為非零常數(shù),則不定積分kvdx=kvdx第四章 不定

31、積分4.2 不定積分基本公式第四章 不定積分4.2 不定積分基本公式4.三角函數(shù)sinxdx=-cosx+ccosxdx=sinx+csec2xdx=tanx+ccsc2xdx=-cotx+c例9求不定積分tan2xdx.解:tan2xdx=(sec2x-1)dx=tanx-x+c第四章 不定積分4.2 不定積分基本公式第四章 不定積分4.2 不定積分基本公式第四章 不定積分4.3 湊微分第四章 不定積分4.3 湊微分第四章 不定積分4.4 不定積分第一換元積分法則不定積分第一換元積分法則如果不定積分f(x)dx=F(x)+c函數(shù)u=u(x)可導(dǎo),且一階導(dǎo)數(shù)u(x)連續(xù),則對于中間變量u同樣有

32、不定積分f(u)du=F(u)+c這個法則說明:在積分變量為自變量x的不定積分表達式中,若將自變量記號x換成中間變量記號u,則不定積分表達式仍然成立.根據(jù)中間變量u與自變量x的函數(shù)關(guān)系類型,分下列兩種基本情況討論復(fù)合函數(shù)的不定積分.1.第一種基本情況所求不定積分為f(ax+b)dx(a,b為常數(shù),且a0)其中被積函數(shù)的對應(yīng)關(guān)系f為4.2不定積分基本公式中某個被積函數(shù)的對應(yīng)關(guān)系.這時應(yīng)該引進中間變量u=ax+b,它是自變量x的線性函數(shù),在求解過程中須應(yīng)用4.3線性湊微分.第四章 不定積分4.4 不定積分第一換元積分法則第四章 不定積分4.4 不定積分第一換元積分法則第四章 不定積分4.4 不定積

33、分第一換元積分法則第四章 不定積分4.4 不定積分第一換元積分法則第四章 不定積分4.4 不定積分第一換元積分法則第四章 不定積分4.5 有理分式的不定積分第四章 不定積分4.5 有理分式的不定積分第四章 不定積分4.5 有理分式的不定積分第四章 不定積分4.6 不定積分第二換元積分法則不定積分第二換元積分法則已知函數(shù)f(x)連續(xù),對不定積分f(x)dx作變量代換x=(t),函數(shù)x=(t)單調(diào)可導(dǎo),且一階導(dǎo)數(shù)(t)連續(xù),如果對于自變量t,有不定積分f(t)(t)dt=F(t)+c則對于自變量x,有不定積分f(x)dx=F(x)+c第四章 不定積分4.6 不定積分第二換元積分法則第四章 不定積分

34、4.7 不定積分分部積分法則第四章 不定積分4.7 不定積分分部積分法則2.第二種基本情況(1)被積函數(shù)為乘積xnex(n為正整數(shù)),這時必須首先應(yīng)用4.3非線性湊微分將乘積exdx湊微分,然后應(yīng)用不定積分分部積分法則求解;(2)被積函數(shù)為乘積xnsinx或xncosx(n為正整數(shù)),這時必須首先應(yīng)用4.3非線性湊微分將乘積sinxdx或cosxdx湊微分,然后應(yīng)用不定積分分部積分法則求解;(3)被積函數(shù)為乘積xlnx(-1),這時必須首先應(yīng)用4.3非線性湊微分將乘積xdx湊微分,然后應(yīng)用不定積分分部積分法則求解.例3求不定積分xexdx.解:xexdx=xd(ex)=xex-exdx=xex

35、-ex+c第四章 不定積分4.7 不定積分分部積分法則第四章 不定積分4.7 不定積分分部積分法則例9填空題不定積分xd(e-x)=.解:根據(jù)不定積分分部積分法則,因而所求不定積分xd(e-x)=xe-x-e-xdx=xe-x+e-xd(-x)=xe-x+e-x+c于是應(yīng)將“xe-x+e-x+c”直接填在空內(nèi).例10填空題已知函數(shù)f(x)的二階導(dǎo)數(shù)f(x)連續(xù),則不定積分xf(x)dx=.解:應(yīng)用4.3一般湊微分,有關(guān)系式f(x)dx=df(x),根據(jù)不定積分分部積分法則,并注意到函數(shù)f(x)為其一階導(dǎo)數(shù)f(x)的一個原函數(shù),因而所求不定積分xf(x)dx=xdf(x)=xf(x)-f(x)d

36、x=xf(x)-f(x)+c于是應(yīng)將“xf(x)-f(x)+c”直接填在空內(nèi).第五章 定積分5.1 定積分的概念與基本運算法則例1曲邊梯形的面積已知函數(shù)曲線y=f(x)(f(x)0),直線x=a,x=b,它們與x軸圍成的圖形稱為曲邊梯形,考慮其面積S,如圖51.用n-1個分點a=x0 x1x2xn-1xn=b將x軸上的閉區(qū)間a,b任意分成n個首尾相連的小閉區(qū)間x0,x1,x1,x2,xn-1,xn這些小閉區(qū)間的長度分別為x1=x1-x0,x2=x2-x1,xn=xn-xn-1在各分點處作平行于y軸的直線,將曲邊梯形分成n個小曲邊梯形.顯然,所求曲邊梯形的面積S等于這n個小曲邊梯形面積之和.第五

37、章 定積分5.1 定積分的概念與基本運算法則第五章 定積分5.1 定積分的概念與基本運算法則第五章 定積分5.1 定積分的概念與基本運算法則第五章 定積分5.2 變上限定積分第五章 定積分5.2 變上限定積分第五章 定積分5.2 變上限定積分第五章 定積分5.3 牛頓萊不尼茲公式第五章 定積分5.3 牛頓萊不尼茲公式第五章 定積分5.3 牛頓萊不尼茲公式第五章 定積分5.3 牛頓萊不尼茲公式第五章 定積分5.3 牛頓萊不尼茲公式第五章 定積分5.4 定積分換元積分法則第五章 定積分5.4 定積分換元積分法則第五章 定積分5.4 定積分換元積分法則第五章 定積分5.4 定積分換元積分法則第五章

38、定積分5.4 定積分換元積分法則第五章 定積分5.5 定積分分部積分法則定積分分部積分法則如果函數(shù)u=u(x),v=v(x)在閉區(qū)間a,b上都可導(dǎo),且一階導(dǎo)數(shù)u(x),v(x)在閉區(qū)間a,b上都連續(xù),則定積分第五章 定積分5.5 定積分分部積分法則2.第二種基本情況(1)被積函數(shù)為乘積xnex(n為正整數(shù)),這時必須首先應(yīng)用4.3非線性湊微分將乘積exdx湊微分,然后應(yīng)用定積分分部積分法則求解;(2)被積函數(shù)為乘積xnsinx或xncosx(n為正整數(shù)),這時必須首先應(yīng)用4.3非線性湊微分將乘積sinxdx或cosxdx湊微分,然后應(yīng)用定積分分部積分法則求解;(3)被積函數(shù)為乘積xlnx(-1

39、),這時必須首先應(yīng)用4.3非線性湊微分將乘積xdx湊微分,然后應(yīng)用定積分分部積分法則求解.第五章 定積分5.5 定積分分部積分法則第五章 定積分5.5 定積分分部積分法則第五章 定積分5.6 廣義積分第五章 定積分5.6 廣義積分1.第一種基本情況2.第二種基本情況3.第三種基本情況第五章 定積分5.6 廣義積分第五章 定積分5.6 廣義積分第五章 定積分5.6 廣義積分第五章 定積分5.7 平面圖形的面積考慮一類特殊的曲線四邊形或曲線三邊形或曲線兩邊形,如圖55、圖56、圖57及圖58,自下向上觀察其圖形,上下兩條曲線邊分別為曲線y=(x)與y=(x)(x)(x)0),左右平行(重合)于y軸

40、的直線邊分別為直線x=a與x=b或上下兩條曲線邊交點的橫坐標(biāo)分別為x=a與x=b(ab).圖55圖56圖57圖58第五章 定積分5.7 平面圖形的面積第五章 定積分5.7 平面圖形的面積例1求由曲線y=ex與直線y=x-1,x=0,x=1圍成平面圖形的面積S.解:畫出曲線y=ex與直線y=x-1,x=0,x=1,得到它們圍成的平面圖形,如圖59.第五章 定積分5.7 平面圖形的面積第五章 定積分5.7 平面圖形的面積例3求由拋物線y=x2與直線x+y=2圍成平面圖形的面積S.解:畫出拋物線y=x2與直線x+y=2,得到它們圍成的平面圖形,如圖511.附錄 二元微分學(xué)1 二元函數(shù)的一階偏導(dǎo)數(shù)第六

41、章 二元微積分1 二元函數(shù)的一階偏導(dǎo)數(shù)第六章 二元微積分1 二元函數(shù)的一階偏導(dǎo)數(shù)第六章 二元微積分1 二元函數(shù)的一階偏導(dǎo)數(shù)第六章 二元微積分2 二元函數(shù)的二階偏導(dǎo)數(shù)第六章 二元微積分2 二元函數(shù)的二階偏導(dǎo)數(shù)例1求二元函數(shù)z=x3y2-5xy4的二階偏導(dǎo)數(shù).解:計算一階偏導(dǎo)數(shù)zx=3x2y2-5y4zy=2x3y-20 xy3所以二階偏導(dǎo)數(shù)zxx=(3x2y2-5y4)x=6xy2zxy=(3x2y2-5y4)y=6x2y-20y3zyx=(2x3y-20 xy3)x=6x2y-20y3zyy=(2x3y-20 xy3)y=2x3-60 xy2在例1中有關(guān)系式:zxy=zyx,這反映出在某種條件

42、下計算二階偏導(dǎo)數(shù)的一種規(guī)律.經(jīng)過深入討論可以得到結(jié)論:如果二階偏導(dǎo)數(shù)zxy與zyx都連續(xù),則有關(guān)系式zxy=zyx下面所討論的二元函數(shù)都滿足這個結(jié)論的條件,因此只需計算三個二階偏導(dǎo)數(shù).第六章 二元微積分2 二元函數(shù)的二階偏導(dǎo)數(shù)第六章 二元微積分3 二元函數(shù)的全微分定理6.1如果二元函數(shù)z=f(x,y)的兩個一階偏導(dǎo)數(shù)fx(x,y),fy(x,y)皆在點(x0,y0)處連續(xù),則二元函數(shù)z=f(x,y)在點(x0,y0)處可微.二元可微函數(shù)z=f(x,y)在區(qū)域E上任意點(x,y)處的全微分值稱為二元可微函數(shù)z=f(x,y)的全微分,記作dz=fx(x,y)x+fy(x,y)y二元可微函數(shù)z=f(

43、x,y)的全微分表達式為dz=fx(x,y)dx+fy(x,y)dy第六章 二元微積分3 二元函數(shù)的全微分第六章 二元微積分3 二元函數(shù)的全微分第六章 二元微積分4 二元函數(shù)的極值定義6.4若二元函數(shù)f(x,y)在點(x0,y0)處的兩個一階偏導(dǎo)數(shù)值皆為零,即fx(x0,y0)=0,且fy(x0,y0)=0,則稱點(x0,y0)為二元函數(shù)f(x,y)的駐點.定理6.2已知點(x0,y0)為二元可微函數(shù)f(x,y)的駐點,且二階偏導(dǎo)數(shù)fxx(x,y),fxy(x,y),fyy(x,y)皆在駐點(x0,y0)處及其附近連續(xù),引進記號A=fxx(x0,y0),B=fxy(x0,y0),C=fyy(x

44、0,y0),那么:(1)如果關(guān)系式B2-AC0且有A0,則駐點(x0,y0)為二元可微函數(shù)f(x,y)的極大值點;(2)如果關(guān)系式B2-AC0,則駐點(x0,y0)為二元可微函數(shù)f(x,y)的極小值點;(3)如果關(guān)系式B2-AC0,則駐點(x0,y0)不是二元可微函數(shù)f(x,y)的極值點.第六章 二元微積分4 二元函數(shù)的極值求二元可微函數(shù)f(x,y)的極值的步驟如下:步驟1確定二元函數(shù)f(x,y)的定義域D.步驟2計算一階偏導(dǎo)數(shù)fx(x,y),fy(x,y).步驟3令一階偏導(dǎo)數(shù)fx(x,y)=0,且fy(x,y)=0,若此方程組無解,則二元函數(shù)f(x,y)無駐點,當(dāng)然無極值.否則求出二元函數(shù)f

45、(x,y)的全部駐點,并轉(zhuǎn)入步驟4.步驟4計算二階偏導(dǎo)數(shù)fxx(x,y),fxy(x,y),fyy(x,y),得到在駐點處的二階偏導(dǎo)數(shù)值A(chǔ),B,C,根據(jù)定理6.2判斷駐點是否為極值點,計算極值點處的二元函數(shù)值即為極值.第六章 二元微積分4 二元函數(shù)的極值第六章 二元微積分4 二元函數(shù)的極值5 二次積分考慮xy平面上最簡單的有界閉區(qū)域D=(x,y)|axb,cyd(a,b,c,d皆為常數(shù))它是一類特殊的矩形閉區(qū)域,其中上下兩條平行(重合)于x軸的直線邊分別為直線y=d與y=c,左右兩條平行(重合)于y軸的直線邊分別為直線x=a與x=b.第六章 二元微積分5 二次積分作為上述特殊的矩形閉區(qū)域的推廣

46、,繼續(xù)考慮xy平面上一類特殊的有界閉區(qū)域D=(x,y)|axb,(x)y(x)它是一類特殊的曲線四邊形閉區(qū)域或曲線三邊形閉區(qū)域或曲線兩邊形閉區(qū)域, 自下向上觀察其圖形,上下兩條曲線邊分別為曲線y=(x)與y=(x),左右平行(重合)于y軸的直線邊分別為直線x=a與x=b或上下兩條曲線邊交點的橫坐標(biāo)分別為x=a與x=b。第六章 二元微積分5 二次積分定義6.9若二元函數(shù)f(x,y)在有界閉區(qū)域D=(x,y)|axb,(x)y(x)上連續(xù),則稱一元函數(shù)S(x)=f(x,y)dy在閉區(qū)間a,b上的定積分為二元函數(shù)f(x,y)在有界閉區(qū)域D上先對自變量y積分、后對自變量x積分的二次積分,記作dxf(x

47、,y)dy=dx其中變量x,y稱為積分變量,二元函數(shù)f(x,y)稱為被積函數(shù),有界閉區(qū)域D稱為積分區(qū)域.第六章 二元微積分6二重積分的概念與基本運算法則例1曲頂柱體的體積已知曲面z=f(x,y)(f(x,y)0),xy平面上的有界閉區(qū)域D以及通過閉區(qū)域D的邊界且平行于z軸的柱面,它們圍成的圖形稱為曲頂柱體,考慮其體積第六章 二元微積分6二重積分的概念與基本運算法則用xy平面上的曲線將有界閉區(qū)域D任意分成n個小閉區(qū)域D1,D2,Dn這些小閉區(qū)域的面積分別為1,2,n在各小閉區(qū)域邊界處作平行于z軸的柱面,將曲頂柱體分成n個小曲頂柱體.顯然,所求曲頂柱體的體積V等于這n個小曲頂柱體體積之和.在每個小

48、閉區(qū)域上任取一點,這些點分別為(1,1),(2,2),(n,n)曲面z=f(x,y)上對應(yīng)點的高度分別為f(1,1),f(2,2),f(n,n)第六章 二元微積分6二重積分的概念與基本運算法則以小閉區(qū)域面積i為底、曲面z=f(x,y)上對應(yīng)點高度f(i,i)為高的小平頂柱體體積近似代替相應(yīng)小曲頂柱體體積(i=1,2,n),于是所求曲頂柱體體積Vf(1,1)1+f(2,2)2+f(n,n)n=f(i,i)i用記號表示n個小閉區(qū)域面積中的最大者,即=max1,2,n對于有界閉區(qū)域D的所有分法,點(i,i)(i=1,2,n)的所有取法,當(dāng)0時,若n個小平頂柱體體積之和即總和f(i,i)i的極限都存在且相同,則稱此極限為所求曲頂柱體的體積V=f(i,i)i在上面具體問題中,從抽象的數(shù)量關(guān)系來看,歸結(jié)為:計算特殊結(jié)構(gòu)的總和的極限.第六章 二元微積分6二重積分的概念與基本運算法則定義6.10已知二元函數(shù)f(x,y)在有界閉區(qū)域D上有定義,將有界閉區(qū)域D任意分成n個小閉區(qū)域,其面積分別為i(i=1,2,n),在每個小閉區(qū)域上任取一點(i,i)(i=1,2,n),作總和f(i,i)i.對于有界閉區(qū)域D的所有分法,點(i,i)(i=1,2,n)的