（歐陽新龍）中數(shù)數(shù)學試題的編制技術

1、中學數(shù)學試題的 編制技術湖南省教科院 歐陽新龍郵箱：上篇： 常見三類數(shù)學題型的編制 目前，各級各類考試常見的數(shù)學試題類型，有選擇題（單項選擇題）、填空題、判斷題（正誤題或是非題）、簡答題、圖形操作題、 證明題 、計算題、綜合探究題等等。一、選擇題的編制 選擇題是近些年發(fā)展起來的題型，在各級各類考試中占的比例比較大，它的主要功能有： 1.答案的客觀性，無論是單項選擇題，還是多項選擇題，答案是公開確定的，它不因任何外界條件的變化而改變，具有嚴格的客觀標準。 2.內(nèi)容的靈活性，對各類數(shù)學概念、性質(zhì)、公式和法則，進行變形與變式，將可能發(fā)生的典型錯誤都在題中表現(xiàn)出來，考查學生靈活運用基礎知識的能力，在選

2、擇題的編制上也十分靈活，可以用計算表示的定量選擇題；可以用觀察推理判斷定性選擇題；可以將二者結(jié)合起來的定量與定性相結(jié)合選擇題等。 3.方法的多樣性，是指學生答選擇題的技術，可用直接判斷法，如推理法、觀察法、計算法、分析法、猜測法、賦特殊值法、挑選法等，可用間接篩選法，如淘汰法、驗證法、逆推法等。 4.知識的全面性，是指考查的知識點較多，題目的包容量較大，一道較理想的選擇題，可以考查四個以上的知識。 5.評卷的先進性，是指對選擇題的評判?？梢杂脵C器評分和統(tǒng)計，這樣，不僅增加了評卷的準確性，而且節(jié)省了人力，學生答題方便，節(jié)省答題時間，提高答題效率。 相應的選擇題也帶來一些弊端，比如，無法考查學生的

3、解題過程，無法避免盲目猜答案的現(xiàn)象，如果考場不嚴，選擇題為抄襲提供了方便。 選擇題由兩個部分構成，即題干部分和選擇支部分。 題干一般指構成數(shù)學命題的前題條件，是用不完整的語句表示，有時候，用疑問式命題表示，這是完整的陳述句。 例如,“下面的四個命題中，正確的是（ ）”，屬于疑問式的完整陳述句。 也有用否定語句作題干的，如“下面語句不正確的是（ ）”就是否定句。 選擇支是題干的補充，是命題的結(jié)論部分。其中有正確與不正確兩類，正確支是答案，不正確支是干擾支，起迷惑作用。選擇題的編制是一項很細致的艱苦工作，它要求挖掘知識的深廣度，了解學生掌握知識的偏差和出現(xiàn)易混易錯問題的傾向。同時，也應注意那些常被

4、忽略的隱含條件，這是提供對選擇支的設計很充分的依據(jù)。例題 下列三角形不全等的是（ ） A.有兩邊及其夾角對應相等的兩個三角形 B.有三個角對應相等的兩個三角形 C.斜邊和一個銳角對應相等的兩個直角三角形 D.三條邊對應相等的兩個三角形 點評：四個選擇支相互有干擾，要求學生對全等三角形的判定定理相當熟悉才能解答。 二、填空題的編制填空題又叫填充題，它只要求在題目的空白處填上適當?shù)恼Z句（或代數(shù)式），而不要求對所填充的內(nèi)容作任何解釋。填空題的形式很靈活，無論是答題人還是評卷人，都能一目了然的回答與評分。在一個填空題里，可以有一處空白，也可以有兩個或兩個以上的空白?？瞻滋幍奈恢每梢园才旁陬}目的最后，也

5、可以安排在題目的中間，還可以安排在題目的前面。例題： （1）計算方程 的兩個根的等差中項與兩個根的等比中項的乘積等于。 （2）函數(shù) （3）（ ）由于填空題要求的是對正確答案的回憶，所以它適用于知識層次教學目標的測量。編制填空題時應注意下面幾點： 1.填充的內(nèi)容應該是關鍵字詞，并要求與上下文有密切聯(lián)系。 2.一道填空題中不宜有過多長的空白，而且空白處所填的內(nèi)容必須是唯一的。 3.如果是計算題的填空，計算量不宜復雜，切勿將綜合題變?yōu)樘羁疹}。 三、解答題的編制解答題包含了簡答題、作圖題、計算題、證明題、綜合題等等。下面我們只講兩類。 1.計算題的編制 計算題又稱運算題，它是根據(jù)數(shù)學（包括算術、代數(shù)、

6、三角、幾何）中各種運算法則、運算律（交換律、結(jié)合律、分配律）、公式、性質(zhì)、公理、定理、運用各種數(shù)學思想和數(shù)學方法（包括因式分解法，待定系數(shù)法、配方法，排列組合法，數(shù)形結(jié)合與化歸等思想）進行數(shù)與式的運算。數(shù)學的計算貫穿數(shù)學的全部內(nèi)容，涉及的知識相當廣泛，可以說沒有計算就沒有數(shù)學。數(shù)學的計算題是人們最熟練的古老的題型，從數(shù)學產(chǎn)生的那天起，就以計算作為它的主要工具，因此，計算題從最低的運算層次（一位數(shù)的加法）到最高層最復雜的運算層次（運用大型計算機計算），中間的環(huán)節(jié)十分復雜，但是，對于小學、初中、高中所涉及到的計算題，在題型構造上并不復雜，比起選擇題、證明題、綜合題、它是比較容易編制的，只是在編制計

7、算題時，應注意以下幾點：（1）為加強對學生訓練與鞏固應用新知識而編制的計算題，數(shù)字不宜復雜，運算量也不要過大。（2）各級各類考試的試題，計算題是最重要的題型之一。要充分體現(xiàn)反映學生的運算能力，要求技能性較高，運算數(shù)字要適合實際，多著眼于運用公式簡便運算。例如：計算： ，可以用平方差公式速算。（3）編制計算題必須有唯一確定的運算結(jié)果，如果出現(xiàn)含有無理數(shù)或循環(huán)小數(shù)的結(jié)果，必須注明要求的精確或有效數(shù)字。（4）密切結(jié)合實際，防止為了計算而計算，聯(lián)系實際的問題，無論是題設條件，還是最后計算的結(jié)果，所涉及的數(shù)字必須與實際相符，防止主觀脫離實際的臆造數(shù)字。（5）計算題與化簡結(jié)合起來，注意各種數(shù)學方法的靈活運

8、用，計算的過程是數(shù)學優(yōu)化的過程，因此，注意過程的優(yōu)化組合，防止枯燥的單調(diào)重復的計算。2.證明題的編制根據(jù)已知的真命題 ，運用正確的推理方法和一系列邏輯程序（包括演繹推理、歸納推理、類比推理），論證所給命題的真實性。證明題是數(shù)學試題中比較高層次的要求，學生掌握數(shù)學基本理論作為證明的基礎，還要運用各種數(shù)學方法和證明方法，進行邏輯推理，最后，使結(jié)論獲得準確無疑的證明。證明題受年齡和學歷的限制，如果年齡與學歷達不到證明題要求的程度，學生會感到束手無策。證明題在中學數(shù)學學習中，以幾何作為起點，逐步擴展到代數(shù)領域，最后將代數(shù)與幾何結(jié)合起來，構成解析幾何，這是證明題比較集中的學科，因此，對證明題的編制，首先

9、注意到年齡特征和可接受性上。其次，還要遵循以下幾方面： （1）注意證明題的結(jié)構，一般地由已知與求證兩方面構成。已知條件必須明確，條件既不能過剩，也不能不足，條件與結(jié)論通過中間環(huán)節(jié)建立必然聯(lián)系。（2）證明題有兩種表達方式，一種用語言陳述，一種用數(shù)學符號（結(jié)合數(shù)學圖形）表示。前者要求準確、精練；后者要求文圖統(tǒng)一，清晰，明了。（3）因為證明離不開推理與論證，所以，在編制證明題的同時，必須考慮證明的方法，采用哪種推理，這些內(nèi)容是不是學生所熟悉的等，特別是作為重大考試時，證明題的范圍僅限于數(shù)學課程標準要求的，任何超越數(shù)學課程標準限制的證明題，都達不到考試的目的。（4）證明題一般地分直接證明和間接證明兩類

10、，直接證法是根據(jù)論據(jù)，從已知條件出發(fā)，經(jīng)過一次或幾次推理，使結(jié)論獲證。在幾何題證明中，常常用到演繹三段論進行直接推理證明。除直接證明外，就是間接證明，如分析法、綜合法、完全歸納法、反證法、同一法、數(shù)學歸納法等，一個好的證明題，不能僅限于一種證明方法，應該有兩種或兩種以上的證明方法，既能用直接證法，又能用間接證法。這些在編制證明題時，都是不應該忽視的條件。（5）證明題必須符合邏輯要求，遵循形式邏輯的基本規(guī)律。（6）可以借鑒課本中的證明題進行變化，推廣引伸，即將具體問題的結(jié)論推廣到一般問題的結(jié)論，構成新的證明題 。此外，可以把原命題改為等價命題；或把原命題類比同類新命題；或把命題的結(jié)論與條件互換，

11、變成它的逆命題 等?？傊?，編制證明題 必須全面考慮，避免各類錯誤發(fā)生。例題（郴州市試題）如圖1，矩形ABCD中，AB3，BC4，將矩形ABCD沿對角線AC平移，平移后的矩形為EFGH（A、E、C、G始終在同一條直線上），當點E與C重合時停止移動。平移中EF與BC交于點N，GH與BC的延長線交于點M，EH與DC交于點P，F(xiàn)G與DC的延長線交于點Q. 設S表示矩形PCMH的面積，表示矩形NFQC的面積。（1） S與 相等嗎？請說明理由;（2）設AEx，寫出S和x之間的函數(shù)關系式，并求出x取何值時S有最大值，最大值是多少？（3）如圖2，連結(jié)BE，當AE為何值時， 是等腰三角形。圖1圖2評析: 平移和

12、旋轉(zhuǎn)是“空間圖形”的一個重要內(nèi)容。本題將這一內(nèi)容放在一個動態(tài)的背景中，要求學生在運動和變化的過程中把握圖形的幾何特征，既關注幾何圖形的運動結(jié)果，也關注幾何圖形運動的狀態(tài)。下篇：中學數(shù)學試題的編制技術數(shù)學試題的來源（一） 1.源于經(jīng)驗，來自外部世界的實際現(xiàn)象； 2.來自數(shù)學內(nèi)部借助于邏輯組合、一般化、特殊化、巧妙地對概念進行分析和綜合，提出新的問題（希爾伯特）。 綜合來說數(shù)學試題的來源現(xiàn)實世界和數(shù)學自身。數(shù)學試題的來源（二） 數(shù)學活動經(jīng)驗的提煉、升華、運用。一、源于經(jīng)驗，來自外部世界的實際現(xiàn)象問題1：我國是一個水資源很貧乏的大國，人均水資源占有量只有2400立方米，是世界人均水資源占有量的1/4

13、.為了節(jié)約用水，我國各地基本都規(guī)定居民用水標準，標準之內(nèi)和標準之外的價錢是不一樣，而且相差較大。數(shù)學問題之一： 為了節(jié)約用水，某市制定居民用水標準，規(guī)定三口之家每月標準用水量，不超標部分每立方米水費是1.8元，超標部分每立方米水費是4.5元.孫先生八月份用水11立方米，繳水費27.9元. （1）問該市規(guī)定的三口之家每月標準用水量是多少立方米？ （2）已知孫先生繳水費13.5元，求出孫先生六月 份的用水量； （3）孫先生決心采取措施節(jié)約用水，每月平均少用水2立方米，結(jié)果過去一年的用水現(xiàn)在可多用3個月.求現(xiàn)在孫先生每月平均用水量。數(shù)學問題之二：某水池有甲、乙、丙三開關，乙輸水量為每小時6噸，圖是從

14、早晨8點開始水池水的增加量y（噸）與時間x（時）的函數(shù)圖象，其中 OA段只開甲、丙開關，AB段只開乙、丙開關，BC段只開甲、乙開關（1）問水池水量增加2噸，需要幾小時？ （2）問甲、乙、丙三開關誰是進水開關，誰是出水開關？ （3）若甲、乙、丙三開關同時工作，2小時，水池的容量有什么變化？賞析：節(jié)約用水應是全面皆知的常識，立足于學生熟悉生活常識為背景，以方程和函數(shù)等核心知識為載體考查學生的應用意識和基本的數(shù)學建模能力。問題2：木工經(jīng)常用兩塊寬度相等的木板拼接的測量工具進行測量數(shù)學問題：如圖是由四塊寬度相等的木板拼接而成的直角梯形框架，試確定1、2、3、4的大小或關系，并說明理由.賞析：本題以木工

15、使用的測量工具為現(xiàn)實背景，考查學生運用學過的數(shù)學知識來解釋其工具使用的原理，有利于培養(yǎng)學生數(shù)學發(fā)現(xiàn)和應用意識。問題三：數(shù)學原理算數(shù)平均數(shù)大于幾何平均數(shù)在現(xiàn)實生活中的應用 隨著市場開放，所有商品隨行就市，商品價格時漲時降。下面是購買某種常用商品（例如糧食、雞蛋等日常用品）的兩種方式：（1）每次購買的數(shù)量不變；（2）每次購買的金額不變.試比較這兩種方式中，哪一種更合算？問題四：現(xiàn)實生活航海、巡邏、追擊、相遇運動等等編制成的數(shù)學問題數(shù)學問題之一：一艘緝私艇從港口出發(fā)沿著北偏東34方向行駛. 2小時后改變航向， 沿著南偏東40方向行駛. 3小時后，又改變航向，沿著南偏西20方向行駛. 1小時后，在位置

16、P處發(fā)現(xiàn)一艘走私船.問：（1）第一次改變航向時，緝私艇的前進方向轉(zhuǎn)了多少度角？（2）第二次改變航向時，緝私艇的前進方向又轉(zhuǎn)了多少度角？（3）現(xiàn)在緝私艇準備押解走私船從P處返回港口. 假設緝私艇的航速一直不變，試畫出緝私艇從港口出發(fā)直到返回港口的全部航線圖，并根據(jù)這張航線圖近似求出：緝私艇應沿什么方向行駛（可以使用量角器）？需要幾小時返回港口（可以使用有刻度的直尺度量）？.數(shù)學問題之二：閱讀下列材料：“父親和兒子同時出去晨練。如圖，實線表示父親離家的路程y(米)與時間x(分鐘)的函數(shù)圖象；虛線表示兒子離家的路程y(米)與時間x(分鐘)的圖象。由圖象可知，他們在出發(fā)10分鐘時經(jīng)一次，此時離家400

17、米；晨練了30分鐘，他們同時到家?！?根據(jù)閱讀材料給你的啟示，利用指定的直角坐標系(如圖)或用其他方法解答問題：一巡邏艇和一貨輪同時從A港口前往相距100千米的B港口，巡邏艇和貨輪的速度分別為100千米/時和20千米/時，巡邏艇不停的往返于A、B兩港口巡邏(巡邏艇調(diào)頭的時間忽略不計)。貨輪從A港口出發(fā)以后直到B港口與巡邏艇一共相遇了幾次？出發(fā)多少時間巡邏艇與貨輪第三次相遇？此時離A港口多少千米？ 數(shù)學問題之三：甲、乙兩個工程隊分別同時開挖兩段河渠，所挖河渠的長度與挖掘時間之間的關系如圖，請根據(jù)圖象所提供的信息解答下列問題：（1）乙隊開挖到30m時，用了h開挖6h時甲隊比乙隊多挖了m；（2）請你

18、求出：甲隊在的時段內(nèi)，與之間的函數(shù)關系式；乙隊在的時段內(nèi)，與之間的函數(shù)關系式；（3）當為何值時，甲、乙兩隊在施工過程中所挖河渠的長度相等？數(shù)學問題之四：某物流公司的快遞車和貨車每天往返于A、B兩地，快遞車比貨車多往返一趟圖11表示快遞車距離A地的路程（單位：千米）與所用時間（單位：時）的函數(shù)圖象已知貨車比快遞車早1小時出，到達B地后用2小時裝卸貨物，然后按原路、原速返回，結(jié)果比快遞車最后一次返回A地晚1小時請在圖11中畫出貨車距離A地的路程（千米）與所用時間(時)的函數(shù)圖象；(2) 求兩車在途中相遇的次數(shù)（直接寫答案）；(3) 求兩車最后一次相遇時，距離A地的路程和貨車從A地出發(fā)了幾小時(時)

19、數(shù)學問題之五：早晨小欣與媽媽同時從家里出發(fā)，步行與騎自行車到方向相反的兩地上學與上班，圖12是他們離家的路程(米)與時間(分)的函數(shù)圖象媽媽騎車走了10分時接到小欣的電話，即以原速騎車前往小欣學校，并與小欣同時到達學校已知小欣步行速度為每分50米，求小欣家與學校距離及小欣早晨上學需要的時間 OCBAy(米)x(分)問題5：圖2是甲、乙、丙三人玩蹺蹺板的示意圖（支點在中點處），則甲的體重的取值范圍在數(shù)軸上表正確的是（ ）甲乙40kg丙50kg甲圖2 賞析： 本題巧妙地將“翹翹板”這一學生喜聞樂見的游戲形式與不等式組相結(jié)合，既考查了雙基，又體現(xiàn)了對于生活實際的一種數(shù)學抽象與再創(chuàng)造的過程本題源于課本

20、，是課本的例題或習題的類比、改造、延伸和拓展其目的引導教師重視課堂的有效性在教學過程中，如何讓學生真正理解并掌握新知識，如何有效串聯(lián)已有知識點，把握問題的實質(zhì)，例題習題功能的開發(fā)和拓展就是一個能起事半功倍作用的好方法引導廣大教師用好教材，學生學好教材，發(fā)揮教材的擴張效應，將有利于推進素質(zhì)教育和數(shù)學課程改革的順利實施 二、來自于數(shù)學內(nèi)部數(shù)學內(nèi)部借助于邏輯組合、一般化、特殊化、巧妙地對概念進行分析和綜合，提出新的問題1.利用成題編制數(shù)學試題對原題進行邏輯組合、演繹推理原題1：如圖，在四邊形ABCD中，ABCD，E、F分別是AD、BC的中點，延長BA、CD分別與FE的延長線交于M、N，求證：AMED

21、NE。改編之一（條件、結(jié)論等組合）如圖，在四邊形ABCD中，E、F分別是AD、BC的中點，延長BA、CD分別與FE的延長線交于M、N，且AMEDNE，求證：ABCD.改編之二（圖形變化）如圖，ABCD，E、F分別是AD、BC的中點，BA、CD分別與FE交于M、N，求證：AMEDNE。改編之三（圖形變化）如圖，ABCD，E、F分別是AD、BC的中點，BA、CD分別與直線EF交于M、N，求證：AME與DNE互補。原題2：如圖，O是正方形ABCD的中心，正方形OGHK的邊OG、OK與正方形ABCD的邊交于E、F，求證：OEOF. 改編之一：如圖，O是正方形ABCD的中心，正方形OGHK的邊OG、OK

22、與正方形ABCD的邊交于E、F.當正方形OGHK繞點O旋轉(zhuǎn)時，哪些線段的長短在不斷變化，但相等關系不變？改編之二:如圖，O是邊長為a的正方形ABCD的中心，過O、C兩點的圓與正方形ABCD的邊交于E、F，（1）求證：OEOF；（2）求四邊形OECF的面積.2.利用成題編制數(shù)學試題一般化、動態(tài)化原題1：如圖，四邊形ABCD和BEFG均為正方形，則 =_.（結(jié)果不取近似值）)改編問題：如圖，正方形ABCD固定不動，正方形BEFG繞頂點B沿順時針方向旋轉(zhuǎn)，在這個旋轉(zhuǎn)過程中，線段AG、DF、CE發(fā)生了什么變化？什么不變？在備用圖上，再畫正方形BEFG的其他位置，進而觀察、度量、歸納，能發(fā)現(xiàn)什么？原題2

23、： 如圖，A90，ABAC，M是邊AC的中點，ADBM交BC于D，交BM于E，求證：AMBDMC .改編問題：（1）如圖，在RtABC中，BAC90，ABAC，點D、E是線段AC上兩個動點，且ADEC，AMBD，垂足為M，AM的延長線交BC于點N，直線BD與直線NE相交于點F. 試判斷DEF的形狀，并加以證明.（2）若點D、E是直線AC上兩個動點，其他條件不變，試判斷DEF的形狀，并說明理由.3.利用成題編制數(shù)學試題一般化與特殊化相結(jié)合問題1:操作：在ABC中，AC=BC=2，C=90，將一塊等腰直角三角板的直角頂點放在斜邊AB的中點P處將三角板繞點P旋轉(zhuǎn)，三角板的兩直角邊分別交射線AC，CB

24、于D，E兩點圖中的(1),(2),(3)是旋轉(zhuǎn)三角板得到的圖形中的其中3種探究：(1)三角板繞點P旋轉(zhuǎn)，觀察線段 PD和PE之間有什么大小關系?它們的關系為 ，并以圖(2)為例，加以證明(2)三角板繞點P旋轉(zhuǎn)，PBE是否能成為等腰三角形?若能，指出所有情況(即求出PBE為等腰三角形時的CE的長)；若不能，請說明理由(3)若將三角板直角頂點放在斜邊AB上的M處，且AM:MB=1:3，和前面一樣操作，試問線段MD和ME之間又有什么關系?請直接寫出結(jié)論，不必證明(圖(4)供操作、實驗用)結(jié)論為： 改編之一：1、ABC中，AC=BC，P是AB邊的中點，DPE+C=180，求證：PD=PE改編之二:在R

25、tABC中，P是AB邊的中點，PDPE，求證： 改編之三：如圖，正方形ABCD和正方形QMNP，M=B，M是正方形ABCD的對稱中心，MN與AB交于F，AD與QM交于E（1）求證ME=MF；（2）如圖，若將原題中的“正方形”改為“菱形”，其他條件不變，試探索ME與MF的關系，并加以證明；（3）如圖，若將原題中的“正方形”改為“矩形”，且AB=mBD，其他條件不變，試探索ME與MF的關系，并加以證明；（4）根據(jù)前面探索和如圖，你能否將本題推廣到一般的平行四邊形情況？若能，寫出推廣問題和結(jié)論；若不能，請說明理由改編之四:如圖13-1，圖132分別是兩個正方形、正六邊形，其中一個正多邊形的頂點在另一

26、個正多邊形外接圓圓心(1)求圖13-1中,重疊部分面積與陰影部分面積之比；(2)求圖13-2中,重疊部分面積與陰影部分面積之比；(3)根據(jù)前面探索和圖13-3，你能否將本題推廣到一般的正邊形情況（為大于2的偶數(shù)）？若能;寫出推廣問題和結(jié)論;若不能,說明理由如:如圖9-1、9-2、9-3、9-n，M、N分別是O的內(nèi)接正三角形ABC、正方形ABCD、正五邊形ABCDE 、正n邊形ABCDE的邊AB、BC上的點，且BM=CN,連結(jié)OM、ON.(1)求圖9-1中MON的度數(shù);(2)圖9-2中MON的度數(shù)是_,圖9-3中MON的度數(shù)是_;(3)試探究MON的度數(shù)與正n邊形邊數(shù)n的關系(直接寫出答案).A

27、EDFCBMNO圖9-1ABDOMN圖9-2ABCDOMN圖9-3ABCOMNEG圖9-nCC賞析：1、 本題通過三角板的旋轉(zhuǎn)來構造問題，各問題的難度層次分明，逐級遞進，可以引導學生逐步深人思考數(shù)學思維活動特征2、學生在解決這一系列問題的過程中，可以表現(xiàn)出自己在從事觀察、數(shù)學表達、猜想、證明等數(shù)學活動方面的能力數(shù)學思維活動能力發(fā)展特征3、試題讓學生經(jīng)歷一次數(shù)學研究活動，而且在活動中有意識引導學生獲取并積累數(shù)學活動經(jīng)驗形成數(shù)學能力活動中獲取經(jīng)驗（簡單的數(shù)學方法），經(jīng)驗經(jīng)過量的積累并進一步升華形成能力（數(shù)學思想）4、試題進一步改編與研究體現(xiàn)數(shù)學問題的產(chǎn)生特征“是借助于邏輯組合、一般化、特殊化，巧妙

28、地對概念進行分析與綜合，提出新的富有成果的問題” （希爾伯持 ）5、試題有利于學生積累基本的數(shù)學活動經(jīng)驗：特殊一般特殊解題經(jīng)驗：輔助線的基本引發(fā)，特殊化增加已知條件（條件過程，試題難度減弱）問題2：如圖，在正方形ABCD中，E、F分別是BC、CD上的點，且EAF45 ，（1）求證：EFBEFD；（2）若“ E、F分別是BC、CD上的點”改為“E、F分別是BC、CD延長線上的點 ”，試探索線段EF、BE、FD之間關系，并加以證明試題改編一：(源于證明過程)如圖,在四邊形ABCD中,ABAD,BD90,E、F分別是BC、CD上的點,且EAF是BAD的一半,1）求證：EFBEFD；(2)若“ E、F

29、分別是BC、CD上的點”改為“E、F分別是BC、CD延長線上的點 ”,試探索線段EF、BE、FD之間關系,并加以證明試題改編二： 如圖,在四邊形ABCD中,ABAD,B+D180,E、F分別是BC、CD上的點,且EAF是BAD的一半,（1）求證：EFBEFD;(2)若“ E、F分別是BC、CD上的點”改為“E、F分別是BC、CD延長線上的點 ”,試探索線段EF、BE、FD之間關系,并加以證明試題改編三： 如圖，在四邊形ABCD中，ABAD，BD90，BAD 60，E、F分別是BC、CD上的點，且EAF30，求證：EFBEFD.試題改編四：如圖，在四邊形ABCD中，ABAD1，BD90, BAD

30、 120，E、F分別是BC、CD上的點，且EAF60，求：CEF的周長.試題改編五：如圖,用兩個全等的等邊三角形ABC和ACD拼成菱形ABCD. 把一個三角尺的 60角頂點與點A重合,兩邊分別與AB、AC重合. 將三角尺繞點A按逆時針方向旋轉(zhuǎn).（1）當三角尺的兩邊分別與菱形的兩邊BC、CD相交于點E、F時(如圖1),通過觀察或測量BE、CF的長度，你能得出什么結(jié)？并證明你的結(jié)論；(2)當三角尺的兩邊分別與菱的兩邊BC、CD的延長線相交于點E、F時(如圖2),你在(1)中得到的結(jié)論還成立嗎？簡要說明理由. 試題改編六： 如圖，AC是正六邊形外接圓的直徑，EF=BE+DF，求EAF的度數(shù)試題改編七

31、：進一步推廣為正偶數(shù)多邊形試題改編八：如圖，正方形ABCD，E、F分別是BC、CD邊延長線上的點，且EF=BEDF，AGEF于G，求證：AG=AD。試題改編九：如圖，四邊形ABCD,AB=AD,B+D=180,E、F分別是BC、CD邊延長線上的點,且EF=BE+DF，AGEF于G，求證：AG=AD。試題功能分析：1.試題關注問題解決過程，在過程中自主反思，發(fā)現(xiàn)問題，抽象問題本質(zhì)，有利于學生形成良好的數(shù)學學習習慣2.問題經(jīng)歷特殊一般的數(shù)學推廣過程，又用一般規(guī)律指導特殊問題解決3.試題基于特殊問題的類比與推廣，進而發(fā)現(xiàn)問題更為一般性的本質(zhì)，有利于培養(yǎng)學生的創(chuàng)新能力問題3：數(shù)學知識應用拋物線頂點用法

32、 y=a（x-h）2+k如何使用知識用法：在什么情景下使用，如何使用（包括其使用程序）改編試題一:如圖13，拋物線y=的頂點為P，A、B是拋物線上兩點,ABx軸,四邊形ABCD為矩形,CD邊經(jīng)過點P,AB=2 AD(1)求矩形ABCD的面積;(2)如圖14,若將拋物線“y=x2” 改為拋物線“y=x2+bx+c ”,其他條件不變,求矩形ABCD的面積;(3)若將拋物線“y= x2+bx+c”改為拋物線“y=ax2+bx+c”, 其他條件不變,請猜想矩形ABCD的面積；(4)若 “y=x2”改為y=ax2+bx+c”,“AB=2AD”改為“AB=kAD”，其他條件不變，試探索矩形ABCD面積為常

33、數(shù)需要滿足什么條件？并說明理由試題改編之二：如圖18，點C，B分別為拋物線C1：y1=x2+1、拋物線C2：y2=a2x2+b2x+c2的頂點，分別過點B，C作軸的平行線，交拋物線C1，C2于點A，D，且AB=BD(1)求點A的坐標;(2)如圖19,若將拋物線C1:“y1=x2+1”改為拋物線“y1=2x2+b1x+c1”,其他條件不變,求CD的長和a2的值.(3)如圖19,若將拋物線C1：y1=2x2+b1x+c1”改為拋物線“y1=a1x2+b1x+c1”，其他條件不變，求b1+b2的值問題4：已知正三角形ABC，CF是外角平分線，E直線BC上任意一點，AEF=60，求證：AE=EF試題改

34、編之一：已知正方形ABCD，CF是外角平分線，E直線BC上任意一點，AEEF， 求證：AE=EF試題改編之二：如圖,正方形ABCD和正方形BEFC操作：M是線段AE上一動點，從A點至E點移動，DMMN，交對角線BF于點N探究：線段DM和MN之間的關系，并加以證明CFBEDA說明：如果你經(jīng)歷反復探索，沒有找到解決問題的方法，請你把探索過程中的某種思路過程寫出來(要求至少寫3步)；在你經(jīng)歷說明的過程之后，可以從下列、中選取一個補充或更換已知條件，完成你的證明注意：選取完成證明得8分；選取完成證明得5分M、N分別是線段AB、BF的中點；M與B重合附加題當M是線段AE延長線上一動點，DMMN，交對角線

35、BF延長線于點N，探究線段DM和MN之間的關系，并加以證明 試題改編之三：圖1-1、圖1-2是分別由兩個具有公共頂點的正三角形和正四邊形組成的圖形，且其中一個正多邊形的頂點D在另一個正多邊形的邊BC上（1）圖1-1中，求DCE= （直接寫出答案）； （2）圖1-2中，求DCE；（3）當滿足條件的圖形為正n邊形時（如圖1-3），猜想：DCE= （直接寫出答案）圖1-1圖1-2圖1-3試題改編之四：如圖，D是BAC邊BC上一點，BA=BC，下面三個論斷B=ADE，ACB=FCE，DA=DE，這三個論斷任何兩個作為已知條件，第三個作為結(jié)論都是真命題 試題改編之五：如圖，D是BAC邊CB延長線上一點，

36、BA=BC，下面三個論斷ABC=ADE，ACB=FCP，DA=DE，這三個論斷任何兩個作為已知條件，第三個作為結(jié)論都是真命題 試題改編之六：如圖，D是BAC邊BC延長線上一點，BA=BC，下面三個論斷B=ADE，ACB=FCE，DA=DE，這三個論斷任何兩個作為已知條件，第三個作為結(jié)論都是真命題 試題改編之七：點A，B分別是兩條平行線上任意兩點，在直線上找一點C，使BCkAB，連結(jié)AC，在直線AC上任取一點E，作BEFABC，EF交直線于點F（1）如圖15，當k1時，探究線段EF與EB的關系，并加以證明；圖15圖16圖17說明:如果你經(jīng)過反復探索沒有解決問題,請寫出探索過程(要求至少三步);在

37、完成之后,可以自己添加條件(添加的條件限定為ABC為特殊角),在圖16中補全圖形,完成證明(選擇添加條件比原題少得3分)（2）如圖17，若ABC90，k1，探究線段EF與EB的關系，并說明理由試題功能分析：1.試題引導學生經(jīng)歷特殊到一般化的研究過程，雖然問題形式不同，但研究方法類同，學生在研究過程中方法逐漸熟悉，易發(fā)現(xiàn)問題的共同特征，將問題進行推廣2.在研究類比推廣4、5、6時，蘊涵數(shù)學教育重要的價值觀當研究一個復雜問題解決有困難時，可以先研究其特殊部分（或者易解決部分），把獲得的研究方法經(jīng)驗等加以推廣，再解決整個問題3.試題體現(xiàn)一個數(shù)學問題研究和發(fā)展的基本過程4.試題有利于學生掌握數(shù)學核心內(nèi)

38、容，形成數(shù)學能力4.試題是探討在條件弱化的情況下，原來的命題是否仍然成立，這也是科學研究、科學探究的重要方法從另一個角度看，將條件弱化，實際上就是將條件改成更一般地形式，這種研究、這種思維模式對于學生學習數(shù)學是十分有益的，在自己做了這樣的探究后，既有成就感，增加自信，也確實可有效地改善、提升自己的思維水平4.以高等數(shù)學為背景編制試題特殊化編制一：如圖，點A1是位于拋物線y-x26x-4(簡記為P)內(nèi)部、且在直線yx(簡記為L)上的任意點，點A1向右平移到P上的B1，再向上平移到L上的A2，再向左平移到P上的B2，再向下移到L上的A3，如此繼續(xù)下去.(1)若點A1的橫坐標為t,求出t的取值范圍,

39、并求點A2的坐標；(2)若點A1的橫坐標為1.2，試用計算器計算點A2、A3、A4的坐標（精確到0.0001），從中你能發(fā)現(xiàn)計算它們的規(guī)律嗎？并用你發(fā)現(xiàn)的規(guī)律繼續(xù)計算A5、A6的坐標（精確到0.0001）；（3）你能得出關于點列A1、A2、A3、A4、變化趨勢的猜想？編制之二：如圖，在平面直角坐標系xoy中，直線y=x與直線y=-2x+6交與點P，點P1為OP上一點，過P1作平行于x軸的直線交直線y=-2x+6于點P2，過P2作平行于y軸的直線交直線y=x于點P3，過P3作平行于軸的直線交直線于點P4， ，依次類推進行下去設P1點的橫坐標t（1）求點P2，點P3的坐標（用表示）；（2）請你賦予

40、字母t 一個確切的數(shù)值，從 而觀察點P2，P3，P4， ，Pn坐標的變化情 況，判斷當n越來越大時，點PN的坐標趨近為 試題功能分析: 試題編制原理是：不動點原理1.試題使學生經(jīng)歷一次數(shù)學研究探索活動，引導學生進行“自反抽象”（與其他學科的“經(jīng)驗抽樣”有較大區(qū)別）2.試題引導學生學會一種解決問題的策略試驗、發(fā)現(xiàn)、聯(lián)想、推廣3.創(chuàng)設一個新的情景，讓學生探索其中的規(guī)律考查學生學習能力的一個好的方式4.本題考查了學生分類討論思想、運動變化思想的掌握情況以及合情推理的能力，有利于引導學生掌握數(shù)學思想方法的精髓，體現(xiàn)了素質(zhì)教育的要求題5.以探索數(shù)學規(guī)律為目的命制試題問題1：如圖8,ABC和 ABC關于直

41、線MN對稱,ABC和A”B”C”關于直線EF對稱. (1)畫出直線EF; (2)直線MN與EF相交于點O,試探究BOB” 與直線MN、EF所夾 銳角的數(shù)量關系.改編：如圖，直線DE與DF交于點D，ABC與ABC關于DE對稱。（1）作ABC關于直線DF對稱的ABC；（2）試探索BDB與EDF之間的關系，并加以證明。 賞析：本題在考查學生“軸對稱”概念時，改變了以往考試中只關注對稱圖形之間關系的考查的做法，轉(zhuǎn)而從已知圖形的對稱性去確定對稱軸，同時通過問題（2）讓學生運用所學的知識自主探求對稱之間的相關性質(zhì)，考查學生對概念本質(zhì)的理解以及綜合運用知識的能力，強化學科知識內(nèi)部綜合。 問題2:在數(shù)學活動中

42、,小明為了求的值（結(jié)果用n表示）,設計如圖7-1所示的幾何圖形.(1)請你利用這個幾何圖形求 的值為_.(2)請你利用圖7-2,再設計一個能求 的值的幾何圖形.圖7-1圖7-2 賞析：數(shù)學思想方法習得是能圍繞一個數(shù)學核心內(nèi)容設計思維含量由淺入深的問題串，問題不斷拓展延伸，學生對問題認識的深度也在不斷地遞進，學生研究問題的方法也在逐步地熟悉與掌握學生通過比較研究獲得一類問題的解決方法的共同特點即獲得數(shù)學方法，當學生這種數(shù)學活動經(jīng)驗豐富到一定程度時轉(zhuǎn)化為學生的一種思想觀念學生也就領悟其數(shù)學思想 問題3：已知A1、A2、A3是拋物線y= x2 上的三點,A1B1、A2B2、A3B3分別垂直于x軸,垂

43、足為B1、B2、B3,直線A2B2交線段A1A3于點C.(1)如圖11-1，若A1、A2、A3三點的橫坐標依次為1、2、3，求線段CA2的長.(2)如圖11-2,若將拋物線 改為拋物線 , A1、A2、A3三點的橫坐標為連續(xù)整數(shù),其他條件不變,求線段CA2的長.(3)若將拋物線 改為拋物線y=ax2+bx+c, A1、A2、A3三點的橫坐標為連續(xù)整數(shù),其他條件不變，請猜想線段CA2的長(用a、b、c表示,并直接寫出答案).試題改編： 1.原題：已知拋物線y=ax2+bx+c上三點A、B、C的橫坐標為連續(xù)整數(shù)，試探索A、B、C點縱坐標之間的關系2.利用拋物線平移和拋物線自身特征改編試題賞析：1.

44、 本題以二次函數(shù)在平面直角坐標系平面內(nèi)的變化問題為載體，融幾何性質(zhì)與代數(shù)運算為一體的探究性試題，抓住探索研究問題的實質(zhì)，強化數(shù)形結(jié)合的作用本題計算難度不大，且方法也多，結(jié)果簡單都是 ，有利于學生觀察、歸納研究問題的實質(zhì)，因而能較好地考查學生的數(shù)學思維能力2.本體設計抓住拋物線的特征a影響開口方向和開口大小，b、c影響拋物線的位置，拋物線平移a不變，b、c變根據(jù)上述特征改編試題目標在于使學生更好的理解和運用拋物線的特征四、以數(shù)學活動形式為載體編制試題（一）數(shù)學活動過程中所表現(xiàn)出來的思維方式、思維水平，對活動對象、相關知識與方法的理解深度；（二）遷移活動過程中的思想方法，間接考查學生的數(shù)學活動過程

45、；（三）能否通過觀察、實驗、歸納、 類比等活動獲得數(shù)學猜想， 并尋求證明猜想的合理性；（四）能否使用恰當?shù)臄?shù)學語言有 條理地表達自己的數(shù)學思考 過程。問題1： 閱讀下列材料：“父親和兒子同時出去晨練如圖，實線表示父親離家的路程y(米)與時間x(分鐘)的函數(shù)圖象；虛線表示兒子離家的路 程y(米)與時間x (分鐘)的圖象 由圖象可知，他 們在出發(fā)10分鐘 時經(jīng)一次，此時 離家400米；晨練 了30分鐘，他們同時到家” 根據(jù)閱讀材料給你的啟示，利用指定的直角坐標系(如圖)或用其他方法解答問題：一巡邏艇和一貨輪同時從A港口前往相距100千米的B港口，巡邏艇和貨輪的速度分別為100千米/時和20千米/時

46、，巡邏艇不停的往返于A、B兩港口巡邏(巡邏艇調(diào)頭的時間忽略不計)貨輪從A港口出發(fā)以后直到B港口與巡邏艇一共相遇了幾次？出發(fā)多少時間巡邏艇與貨輪第三次相遇？此時離A港口多少千米？試題改編之一：若和解直角三角形知識相融合，如方位角，客船在某方位方向發(fā)生危險發(fā)出求救信號，巡邏艇和貨輪同時都去搶救，問誰先到達等？（諸位自己思考編寫）試題改編之二：如圖 ，邊長為5海里的正方形網(wǎng)格表示某海平面示意圖，其中的陰影部分表示輪船無法通過的海域，甲輪船從A碼頭出發(fā)沿北偏東45方向以每小時10海里速度行駛海里到C地，休息半小時后，再以同樣速度沿正東方向行駛15海里，再沿西北方向行駛海里到達B島（1）在圖1中，畫出甲

47、輪船行 駛的示意圖；（2）乙輪船比甲輪船從A碼頭 晚出發(fā)2小時，并以每小時 海里的速度行駛，途中也不 休息，問：乙輪船能否先到 達B島若能請畫出乙輪船 航線示意圖和說明理由；若 不能，請說明原因賞析：1.題目首先讓學生閱讀一段較為簡單的數(shù)學材料，從中體會情景與圖象的關系以及處理某些問題的方法遷移活動過程中的思想方法2.再讓學生進入另一個相應的情景，著手解決新的問題間接考查學生的數(shù)學活動過程3.有利于考查學生獲得信息及利用所獲得信息解決問題的能力有利于引導培養(yǎng)學生形成良好的學習方式，學會學習有利于數(shù)學形成類比、聯(lián)想等思維方式問題2：如圖1-1，P為RtABC所在平面內(nèi)任意一點（不在直線AC上），

48、ABC=90，M為AB邊中點 操作：以PA、PC為鄰邊作平行四邊形PADC，連結(jié)PM并 延長到點E，使 ME=PM，連結(jié)DE 探究：（1）請猜想 與線段DE有關的三個結(jié)論；圖1-1CDBEMAPP（2）請你利用圖1-2，圖1-3選擇不同位置的點按上述方法操作；（3）經(jīng)歷（2）之后，如果你認為你寫的結(jié)論是正確的，請加以證明；如果你認為你寫的結(jié)論是錯誤的，請用圖1-2或圖1-3加以說明；（注意：錯誤的結(jié)論，只要你用反例給予說明也得分）（4）若將“RtABC”改為“任意ABC”，其他條件不變，利用圖1-4操作，并寫出與線段DE有關的結(jié)論（直接寫答案）CBMAMACBCBMA圖1-2圖1-3圖1-4試

49、題改編之一：已知點O是等邊三角形ABC所在平面上 的任意一點，連結(jié)OA并延長到E，使得AEOA. 以OB、OC為鄰邊作平行四邊形OBFC，連接EF. 求證：（1）EFBC； （2）EF= BC.試題改編之二：已知點O是等腰直角三角形ABC（BC為斜邊）所在平面上的任意一點，連結(jié)OA并延長到E，使得AEOA. 以OB、OC為鄰邊作平行四邊形OBFC，連接EF. 求證：EFBC.EF=BC試題改編之三：已知點O是直角三角形ABC（BC為斜邊）所在平面上的任意一點，連接OA并延長到E，使得AEOA. 以OB、OC為鄰邊作平行四邊形OBFC，連接EF. 求證： EF=BC試題改編之四：已知：ABC是等

50、腰三角形，ABACa，BCb. 在左圖中，點O是ABC內(nèi)的任意一點，而在右圖中，點O是ABC外的任意一點.在這兩張圖中，分別以OB、OC為邊畫出平行四邊形OBDC，并延長OA到E，使得AEOA，再連接DE. 觀察這兩張圖，你能發(fā)現(xiàn)什么？請寫出你得到的兩個猜想，并證明它們 賞析： 本題體現(xiàn)了研究一個問題時比較全面的過程： 第一，對問題情景分析的基礎上先形成猜想 第二，對猜想進行驗證(或證明成立，或予以否定) 第三，在經(jīng)過證明肯定了猜想之后，再做進一步的推廣第四，本題詣在讓學生經(jīng)歷一個科學探究的全過程，人們要研究一個數(shù)學問題時常常要借助已有的數(shù)學知識和相應的數(shù)學活動經(jīng)驗對這個問題進行各種各樣的猜測

51、（因為數(shù)學數(shù)學建模的最高層次是借助知覺思維創(chuàng)造性的發(fā)現(xiàn)數(shù)學事實，正如物理學家、數(shù)學家牛頓說：“沒有大膽的猜想，就沒有偉大的創(chuàng)新”），這些猜測可能是正確的，也可能是錯誤的，為了進一步探索與驗證必須要做相關的數(shù)學實驗和數(shù)學活動，伴隨數(shù)學實驗和數(shù)學活動經(jīng)驗的豐富與發(fā)展人們對這些猜測又進行更新與否定，更新是新的發(fā)現(xiàn)，否定是在數(shù)學實驗和數(shù)學活動中找到反例，經(jīng)過反復實驗你認為是正確的猜測必須進行證明，這樣才能體現(xiàn)課程標準中的證明的必要性作為科學探究兩個重要途徑是擴充與反駁，只有在擴充與反駁的過程中才能推動科學的發(fā)展，伴隨數(shù)學實驗和數(shù)學活動我們可能獲得新的發(fā)現(xiàn)，將問題加以推廣，本題是上述想法的具體落實因此，

52、本題的意義就不在于考查了相應的知識，更在于考查了活動過程，從而也進一步加強了學生對數(shù)學活動過程中的方法與策略的認識及運用問題3：如圖13-1,操作:把正方形CGEF的對角線CE放在正方形ABCD的邊BC的延長線上(CGBC),取線段AE的中點M.探究:線段MD、MF的關系,并加以證明.說明:(1)如果你經(jīng)歷反復探索,沒有找到解決問題的方法,請你把探索過程中的某種思路寫出來(要求至少寫3步);(2)在你經(jīng)歷說明(1)的過程之后,可以從下列、中選取一個補充或更換已知條件,完成你的證明.注意:選取完成證明得10分;選取完成證明得7分;選取完成證明得5分. DM的延長線交CE于點N,且ADNE; 將正

53、方形CGEF繞點C逆時針旋轉(zhuǎn)45(如圖13-2),其他條件不變;在的條件下且CF2AD.附加題：將正方形CGEF繞點C旋轉(zhuǎn)任意角度后(如圖13-3),其他條件不變.探究:線段MD、MF的關系,并加以證明.試題改編與演變歷程：原題1：如圖，在直角梯形ABCD中，M是CD的中點，連結(jié)MA、MB，求證：MAMB.原題：如圖，四邊形ABCD、AEFG都是正方形，M是CF的中點，連接MD、ME， 求證：MDME，且MDME.一般化 四邊形ABCD、AEFG都是正方形，M是CF的中點，連接MD、ME，求證：MDME，且MDME.特殊化 如圖，四邊形ABCD、AEFG都是正方形，M是CF的中點，連接MD、ME，求證：MDME，且MDME.其他演變一：已知AB=AC，AD=AE，BAC=DAE，F(xiàn)、G、H分別為BC、CD、DE邊中點 求證：（1）FG=HG； （2）FGH=180-BAC其他演變二：如圖，AB