川大離散數(shù)學(xué)習(xí)題5

1、121212121.設(shè)A=(a,b)習(xí)題a,bUN.定義R=DDa,b),(c,d)|ad二be,證明Ab軋,bNR=(證：自反性：由A的定義，abbaa,b)A上的等價關(guān)系,(c,d)|ad=bca,bN關(guān)系12121212a,b,a,bR對稱性設(shè)a,bdR，則adbc即cbdac,d,a,bR傳遞性設(shè)%，b1WdR，則a1d1b、c1cddcaddbcdbdcadbc1121121121212a,b,dR11222.定義復(fù)數(shù)集合的子集合C二a+bii2=-l,a、b.R,a0,在C上定1義關(guān)系S為：(a+bi)S(c+di)ac0。證明：S是C上的一個等價關(guān)1系，并給出S的等價類的幾何說明

2、。證明：因為(a+bi)S(c+di)ac0(a,bR,a.),c.)r:a3,a20(a+bi)S(a+bi)s:(a+bi)S(c+di)ac0ca0(c+di)S(a+bi)t:(a+bi)S(c+di)(c+di)S(u+vi)ac0u0au0(a+bi)S(u+vi)綜上，S是C上的一個等價關(guān)系。1由于ac0,必須a)，c)且a和c同號,故S只有2個等價類，其一是l=a+bi|a0,另一個是于復(fù)平面上右半部和左半部。-1=a+bi|a0，它們分別對應(yīng)3.集合A二1,2,3,4的一個分劃為盲1，2,4，3，求由S導(dǎo)出0的A上的一個等價關(guān)系R.解：A2,3,4厚S0設(shè)A2,3疋A12R，

3、1，2翼，!M2fh?(2flh試確定在4個元素的集合上可以定義出的等價關(guān)系數(shù)目解：每個集合的劃分就可以確定一個等價關(guān)系口集合有多少個劃分就可以確定多少個等價關(guān)系4321CCCC15種。4444設(shè)R和R是非空集合A上的兩個等價關(guān)系.試確定下列各個關(guān)系12是否是A上的等價關(guān)系：如果是，加以證明；如果不是，舉例說明：R八R；(3)r(R-R)；(4DRR11I21212解：RR不是A上的等價關(guān)系12RR是A上的等價關(guān)系12rHR是A上的等價關(guān)系12ROR不是A上的等價關(guān)系6.設(shè)R是非空集合A上的一個二元關(guān)系,具有對稱性和傳遞性.證明如果對每一個x.A,存在y.A使xRy,那么，R是A上的等價關(guān)系。

4、如果對每一個x.A,存在y.A使xRy,那么，R是A上的等價關(guān)系。證明：由題可知，對于每一個x,都存在y使xRy,則非空集合A上所有的元素都存在關(guān)系（x,y），又因為R具有對稱性，則對于所有的x，R中也必然存皿y,x)又因為R具有傳遞性，則對于所有的x,R中也必然存皿x,x),即R具有自反性綜上，據(jù)等價關(guān)系定義，R是A上的等價關(guān)系7.設(shè)M是全體n階矩陣的集合n.如果對矩陣A、B.M,n存在可逆矩陣p.M使得A二PBP-1,則記為AdnB（讀為A相似于B）.證明：D是M上的n等價關(guān)系證明r:設(shè)E是單位矩陣，則.A,A二EAE1.AAs:AB.A=PBP-1.P-1AP=B.B=P-1A(P-1)-1.BAt:AB.BC.A=PBP-1.B=QCQ-1.A=P(QCQ-1)P-1.A=(PQ)C(PQ)-1.AC所以是Mn上的等價關(guān)系.8.設(shè)A是由54的正因子構(gòu)成的集合，丨表示整除.作出偏序集0000002a,.使得是的拓撲排序。（y,x）,所以逆序關(guān)系是反對