2018年普通高等學(xué)校招生全國統(tǒng)一考試數(shù)學(xué)(浙江卷)-試卷真題、答案及詳細(xì)解析

1、絕密 啟用前2018年普通高等學(xué)校招生全國統(tǒng)一考試數(shù)學(xué)(浙江卷)本試題卷分選擇題和非選擇題兩部分.全卷共4頁,選擇題部分1至2頁;非選擇題部分2至4頁.滿分150分,考試時間120分鐘.考生注意:1.答題前,請務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號用黑色字跡的簽字筆或鋼筆分別填寫在試題卷和答題紙規(guī)定的位置上.2.答題時,請按照答題紙上“注意事項”的要求,在答題紙相應(yīng)的位置上規(guī)范作答.在本試題卷上的作答一律無效.參考公式:若事件A,B互斥,則柱體的體積公式P(A+B)=P(A)+P(B)V=Sh若事件A,B相互獨(dú)立,則其中S表示柱體的底面積,h表示柱體的高P(AB)=P(A)P(B)錐體的體積公式若事件A在

2、一次試驗中發(fā)生的概率是p,則n次V=13Sh獨(dú)立重復(fù)試驗中事件A恰好發(fā)生k次的概率其中S表示錐體的底面積,h表示錐體的高Pn(k)=Cnkpk(1-p)n-k(k=0,1,2,n)球的表面積公式臺體的體積公式S=4R2V=13(S1+S1S2+S2)h球的體積公式其中S1,S2分別表示臺體的上、下底面積,V=43R3h表示臺體的高其中R表示球的半徑選擇題部分(共40分)一、選擇題:本大題共10小題,每小題4分,共40分.在每小題給出的四個選項中,只有一項是符合題目要求的.1.已知全集U=1,2,3,4,5,A=1,3,則UA=()A.B.1,3C.2,4,5D.1,2,3,4,52.雙曲線x2

3、3-y2=1的焦點坐標(biāo)是()A.(-2,0),(2,0)B.(-2,0),(2,0)C.(0,-2),(0,2)D.(0,-2),(0,2)3.某幾何體的三視圖如圖所示(單位:cm),則該幾何體的體積(單位:cm3)是()A.2B.4C.6D.84.復(fù)數(shù)21-i(i為虛數(shù)單位)的共軛復(fù)數(shù)是()A.1+iB.1-iC.-1+iD.-1-i5.函數(shù)y=2|x|sin 2x的圖象可能是()6.已知平面,直線m,n滿足m,n,則“mn”是“m”的()A.充分不必要條件B.必要不充分條件C.充分必要條件D.既不充分也不必要條件7.設(shè)0p1,則()A.a1a3,a2a3,a2a4C.a1a4D.a1a3,

4、a2a4非選擇題部分(共110分)二、填空題:本大題共7小題,多空題每題6分,單空題每題4分,共36分.11.我國古代數(shù)學(xué)著作張邱建算經(jīng)中記載百雞問題:“今有雞翁一,值錢五;雞母一,值錢三;雞雛三,值錢一.凡百錢,買雞百只,問雞翁、母、雛各幾何?”設(shè)雞翁,雞母,雞雛個數(shù)分別為x,y,z,則x+y+z=100,5x+3y+13z=100,則z=81時,x=,y=.12.若x,y滿足約束條件x-y0,2x+y6,x+y2,則z=x+3y的最小值是,最大值是.13.在ABC中,角A,B,C所對的邊分別為a,b,c.若a=7,b=2,A=60,則sin B=,c=.14.二項式3x+12x8的展開式的

5、常數(shù)項是.15.已知R,函數(shù)f(x)=x-4,x,x2-4x+3,x.當(dāng)=2時,不等式f(x)1)上兩點A,B滿足AP=2PB,則當(dāng)m=時,點B橫坐標(biāo)的絕對值最大.三、解答題:本大題共5小題,共74分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.18.(本題滿分14分)已知角的頂點與原點O重復(fù),始邊與x軸的非負(fù)半軸重合,它的終邊過點P-35,-45.(1)求sin(+)的值;(2)若角滿足sin(+)=513,求cos 的值.19.(本題滿分15分)如圖,已知多面體ABCA1B1C1,A1A,B1B,C1C均垂直于平面ABC,ABC=120,A1A=4,C1C=1,AB=BC=B1B=2.(1)證

6、明:AB1平面A1B1C1;(2)求直線AC1與平面ABB1所成的角的正弦值.20.(本題滿分15分)已知等比數(shù)列an的公比q1,且a3+a4+a5=28,a4+2是a3,a5的等差中項.數(shù)列bn滿足b1=1,數(shù)列(bn+1-bn)an的前n項和為2n2+n.(1)求q的值;(2)求數(shù)列bn的通項公式.21.(本題滿分15分)如圖,已知點P是y軸左側(cè)(不含y軸)一點,拋物線C:y2=4x上存在不同的兩點A,B滿足PA,PB的中點均在C上.(1)設(shè)AB中點為M,證明:PM垂直于y軸;(2)若P是半橢圓x2+y24=1(x8-8ln 2;(2)若a3-4ln 2,證明:對于任意k0,直線y=kx+

7、a與曲線y=f(x)有唯一公共點.數(shù)學(xué)(浙江卷)1.CA=1,3,U=1,2,3,4,5,UA=2,4,5,故選C.2.Ba2=3,b2=1,c2=a2+b2=3+1=4.c=2.又焦點在x軸上,焦點坐標(biāo)為(-2,0),(2,0).3.C由三視圖可知該幾何體為直四棱柱.S底=12(1+2)2=3,h=2,V=Sh=32=6.4.B21-i=2(1+i)(1-i)(1+i)=2(1+i)2=1+i,復(fù)數(shù)21-i的共軛復(fù)數(shù)為1-i.5.D因為在函數(shù)y=2|x|sin 2x中,y1=2|x|為偶函數(shù),y2=sin 2x為奇函數(shù),所以y=2|x|sin 2x為奇函數(shù).所以排除選項A,B.當(dāng)x=0,x=

8、2,x=時,sin 2x=0,故函數(shù)y=2|x|sin 2x在0,上有三個零點,排除選項C,故選D.6.A當(dāng)m,n時,由線面平行的判定定理可知,mnm;但反過來不成立,即m不一定有mn,m與n還可能異面.故選A.7.D由題意可知,E()=01-p2+112+2p2=12+p,D()=0-12-p21-p2+1-12-p212+2-12-p2p2=12-2p2+2p+12=-p2-p+14-12=-p-122+12,p(0,1).故當(dāng)p在(0,1)內(nèi)增大時,D()先增大后減小.8.D當(dāng)點E不是線段AB的中點時,如圖,點G是AB的中點,SH底面ABCD,過點H作HFAB,過點E作EFBC,連接SG

9、,GH,EH,SF.可知1=SEF,2=SEH,3=SGH.由題意可知EFSF,故tan 1=SFEF=SFGHSHGH=tan 3.13.又tan 3=SHGHSHEH=tan 2,32.132.當(dāng)點E是線段AB的中點時,即點E與點G重合,此時1=3=2.綜上可知,132.9.Ae為單位向量,b2-4eb+3=0,b2-4eb+4e2=1.(b-2e)2=1.以e的方向為x軸正方向,建立平面直角坐標(biāo)系,如圖.OE=2e,OB=b,OA=a,=3.由(b-2e)2=1,可知點B在以點E為圓心,1為半徑的圓上.由|a-b|=|OA-OB|=|BA|,可知|a-b|的最小值即為|BA|的最小值,即

10、為圓上的點B到直線OA的距離.又直線OA為y=3x,點E為(2,0),點E到直線OA的距離d=232=3.|BA|的最小值為3-1,即|a-b|的最小值為3-1.10.B設(shè)等比數(shù)列的公比為q,則a1+a2+a3+a4=a1(1-q4)1-q,a1+a2+a3=a1(1-q3)1-q.a1+a2+a3+a4=ln(a1+a2+a3),a1+a2+a3=ea1+a2+a3+a4,即a1(1+q+q2)=ea1(1+q+q2+q3).又a11,q1,即q+q20,解得q0舍去).由a11,可知a1(1+q+q2)1,a1(1+q+q2+q3)0,即1+q+q2+q30,即(1+q)+q2(1+q)0

11、,即(1+q)(1+q2)0,這與q-1相矛盾.1+q+q21,即-1qa3,a2b=2,B為銳角.cos B=1-sin2B=47=277.cos C=-cos(A+B)=sin Asin B-cos Acos B=32217-27712=37-2714=714.由余弦定理,得c2=a2+b2-2abcos C=7+4-227714=7+4-2=9.c=3.14.7二項式3x+12x8的通項為Tr+1=C8rx138-r12x-1r=12rC8rx8-r3-r=12rC8rx8-4r3,當(dāng)r=2時,8-4r3=0.故展開式的常數(shù)項為122C82=14872=7.15.(1,4)(1,3(4,

12、+)當(dāng)=2時,f(x)=x-4,x2,x2-4x+3,x2.當(dāng)x2時,f(x)=x-40,解得x4,2x4.當(dāng)x2時,f(x)=x2-4x+30,解得1x3,1x2.綜上可知,1x4,即f(x)0的解集為(1,4).分別畫出y1=x-4和y2=x2-4x+3的圖象如圖,由函數(shù)f(x)恰有2個零點,結(jié)合圖象可知14.故的取值范圍為(1,3(4,+).16.1 260分兩類:第一類:從0,2,4,6中取到0,則沒有重復(fù)數(shù)字的四位數(shù)有C31C52A31A33=540;第二類:從0,2,4,6中不取0,則沒有重復(fù)數(shù)字的四位數(shù)有C32C52A44=720.所以沒有重復(fù)數(shù)字的四位數(shù)共有540+720=1

13、260種.17.5設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2).P(0,1),AP=(-x1,1-y1),PB=(x2,y2-1).AP=2PB,-x1=2x2,1-y1=2(y2-1),即x1=-2x2,y1=3-2y2.又x124+y12=m,(-2x2)24+(3-2y2)2=m,即4x224+4y22-12y2+9=m.又x224+y22=m,4m-12y2+9=m,即12y2=3m+9,4y2=m+3.x224+m+342=m,即x22+m2+6m+94=4m,即x22=-m24+52m-94.當(dāng)m=5時,x22的最大值為4,即點B橫坐標(biāo)的絕對值最大.18.解 (1)由角的終邊過點P-35,

14、-45,得sin =-45,所以sin(+)=-sin =45.(2)由角的終邊過點P-35,-45,得cos =-35,由sin(+)=513,得cos(+)=1213.由=(+)-,得cos =cos(+)cos +sin(+)sin ,所以cos =-5665或cos =1665.19.解法一 (1)證明:由AB=2,AA1=4,BB1=2,AA1AB,BB1AB,得AB1=A1B1=22,所以A1B12+AB12=AA12,故AB1A1B1.由BC=2,BB1=2,CC1=1,BC1BC,CC1BC,得B1C1=5,由AB=BC=2,ABC=120,得AC=23,由CC1AC,得AC1

15、=13,所以AB12+B1C12=AC12,故AB1B1C1.因此AB1平面A1B1C1.(2)如圖,過點C1作C1DA1B1,交直線A1B1于點D,連接AD.由AB1平面A1B1C1,得平面A1B1C1平面ABB1,由C1DA1B1,得C1D平面ABB1,所以C1AD是AC1與平面ABB1所成的角.由B1C1=5,A1B1=22,A1C1=21,得cosC1A1B1=67,sinC1A1B1=17,所以C1D=3,故sinC1AD=C1DAC1=3913.因此,直線AC1與平面ABB1所成的角的正弦值是3913.解法二 (1)證明:如圖,以AC的中點O為原點,分別以射線OB,OC為x,y軸的

16、正半軸,建立空間直角坐標(biāo)系O-xyz.由題意知各點坐標(biāo)如下:A(0,-3,0),B(1,0,0),A1(0,-3,4),B1(1,0,2),C1(0,3,1).因此AB1=(1,3,2),A1B1=(1,3,-2),A1C1=(0,23,-3).由AB1A1B1=0,得AB1A1B1.由AB1A1C1=0,得AB1A1C1.所以AB1平面A1B1C1.(2)設(shè)直線AC1與平面ABB1所成的角為.由(1)可知AC1=(0,23,1),AB=(1,3,0),BB1=(0,0,2).設(shè)平面ABB1的法向量n=(x,y,z).由nAB=0,nBB1=0,即x+3y=0,2z=0,可取n=(-3,1,0

17、).所以sin =|cos|=|AC1n|AC1|n|=3913.因此,直線AC1與平面ABB1所成的角的正弦值是3913.20.解 (1)由a4+2是a3,a5的等差中項,得a3+a5=2a4+4,所以a3+a4+a5=3a4+4=28,解得a4=8.由a3+a5=20,得8q+1q=20,解得q=2或q=12,因為q1,所以q=2.(2)設(shè)cn=(bn+1-bn)an,數(shù)列cn前n項和為Sn,由cn=S1,n=1,Sn-Sn-1,n2,解得cn=4n-1.由(1)可知an=2n-1,所以bn+1-bn=(4n-1)12n-1.故bn-bn-1=(4n-5)12n-2,n2,bn-b1=(b

18、n-bn-1)+(bn-1-bn-2)+(b3-b2)+(b2-b1)=(4n-5)12n-2+(4n-9)12n-3+712+3.設(shè)Tn=3+712+11122+(4n-5)12n-2,n2,12Tn=312+7122+(4n-9)12n-2+(4n-5)12n-1,所以12Tn=3+412+4122+412n-2-(4n-5)12n-1,因此Tn=14-(4n+3)12n-2,n2,又b1=1,所以bn=15-(4n+3)12n-2.21.(1)證明 設(shè)P(x0,y0),A14y12,y1,B14y22,y2.因為PA,PB的中點在拋物線上,所以y1,y2為方程y+y022=414y2+x02,即y2-2y0y+8x0-y02=0的兩個不同的實根.所以y1+y2=2y0,因此,PM垂直于y軸.(2)解 由(1)可知y1+y2=2y0,y1y2=8x0-y02,所以|PM|=18(y12+y22)-x0=34y02-3x0,|y1-y2|=22(y02-4x0).因此,PAB的面積SPAB=12|PM|y1-y2|=324(y02-4x0)32.因為x0