2022高考總復習 數(shù)學(人教A理一輪)課時規(guī)范練44　空間幾何中的向量方法

1、 課時規(guī)范練44空間幾何中的向量方法基礎鞏固組1.若直線l的方向向量與平面的一個法向量的夾角等于120,則直線l與平面所成的角等于() A.120B.60C.30D.60或302.兩平行平面,分別經(jīng)過坐標原點O和點A(2,1,1),且兩平面的一個法向量n=(-1,0,1),則兩平面間的距離是()A.32B.22C.3D.323.已知四棱錐P-ABCD的底面ABCD是邊長為2的正方形,PA=PD=5,平面ABCD平面PAD,M是PC的中點,O是AD的中點,則直線BM與平面PCO所成角的正弦值是()A.55B.255C.8585D.885854.如圖所示,已知四棱錐P-ABCD中,底面ABCD是菱

2、形,且PA平面ABCD,PA=AD=AC,點F為PC的中點,則二面角C-BF-D的正切值為()A.36B.34C.33D.2335.若直線l的方向向量a=(-2,3,1),平面的一個法向量n=(4,0,1),則直線l與平面所成角的正弦值為.6.(2020黑龍江伊春三中模擬)如圖,正三棱柱ABC-A1B1C1的所有棱長都相等,E,F,G分別為AB,AA1,A1C1的中點,則B1F與平面GEF所成角的正弦值為.7.在四棱錐P-ABCD中,側面PAD底面ABCD,底面ABCD為直角梯形,BCAD,ADC=90,BC=CD=12AD=1,PA=PD,E,F分別為AD,PC的中點.(1)略;(2)若PE

3、=EC,求二面角F-BE-A的余弦值.8.(2020浙江余姚中學模擬)如圖所示,菱形ABCD中,ABC=60,AC與BD相交于點O,AE平面ABCD,CFAE,AB=AE=2.(1)求證:BD平面ACFE;(2)當直線FO與平面BED所成的角為45時,求異面直線OF與BE所成角的余弦值的大小.綜合提升組9.已知在正四面體A-BCD中,E為棱AD的中點,則CE與平面BCD的夾角的正弦值為()A.32B.23C.12D.3310.(2020湖北十堰調研)如圖,在三棱錐P-ABC中,M為AC的中點,PAPC,ABBC,AB=BC,PB=2,AC=2,PAC=30.(1)證明:BM平面PAC;(2)求

4、二面角B-PA-C的余弦值.11.已知空間幾何體ABCDE中,BCD與CDE均為邊長為2的等邊三角形,ABC為腰長為13的等腰三角形,平面CDE平面BCD,平面ABC平面BCD.(1)略;(2)求直線BE與平面AEC所成角的正弦值.12.(2020江蘇,22)在三棱錐A-BCD中,已知CB=CD=5,BD=2,O為BD的中點,AO平面BCD,AO=2,E為AC的中點.(1)求直線AB與DE所成角的余弦值;(2)若點F在BC上,滿足BF=14BC,設二面角F-DE-C的大小為,求sin 的值.創(chuàng)新應用組13.(2020河南重點中學聯(lián)考)如圖所示,在四棱錐P-ABCD中,底面ABCD為平行四邊形,

5、平面PAD平面ABCD,PAD是邊長為4的等邊三角形,BCPB,E是AD的中點.(1)求證:BEPD;(2)若直線AB與平面PAD所成角的正弦值為154,求平面PAD與平面PBC所成的銳二面角的余弦值.參考答案課時規(guī)范練44空間幾何中的向量方法1.B設直線l與平面所成的角為,直線l與平面的法向量的夾角為.則sin =|cos |=|cos 120|=12.又因為090,所以=30.2.B兩平面的一個單位法向量n0=-22,0,22,故兩平面間的距離d=|OAn0|=22.3.D以O為原點,分別以OA,AB,OP為x軸,y軸,z軸正方向,建立空間直角坐標系,如圖所示.由題可知O(0,0,0),P

6、(0,0,2),B(1,2,0),C(-1,2,0),則OP=(0,0,2),OC=(-1,2,0),M是PC的中點,M-12,1,1,BM=-32,-1,1.設平面PCO的一個法向量n=(x,y,z),直線BM與平面PCO所成角為,則nOP=2z=0,nOC=-x+2y=0,可取n=(2,1,0),sin =|cos|=|BMn|BM|n|=41745=88585.故選D.4.D如圖所示,設AC與BD交于點O,連接OF.以O為坐標原點,OB,OC,OF所在直線分別為x軸,y軸,z軸建立空間直角坐標系O-xyz.設PA=AD=AC=1,則BD=3,所以O(0,0,0),B32,0,0,F0,0

7、,12,C0,12,0,OC=0,12,0,易知OC為平面BDF的一個法向量,由BC=-32,12,0,FB=32,0,-12,可得平面BCF的一個法向量為n=(1,3,3).所以cos=217,sin=277,所以tan=233.故二面角C-BF-D的正切值為233.5.23834由題意,得直線l與平面所成角的正弦值為|an|a|n|=71417=23834.6.35設正三棱柱的棱長為2,取AC的中點D,連接DG,DB,分別以DA,DB,DG所在的直線為x軸,y軸,z軸建立空間直角坐標系,如圖所示,則B1(0,3,2),F(1,0,1),E12,32,0,G(0,0,2),B1F=(1,-3

8、,-1),EF=12,-32,1,GF=(1,0,-1).設平面GEF的法向量為n=(x,y,z),則EFn=0,GFn=0,即12x-32y+z=0,x-z=0,取x=1,則z=1,y=3,故n=(1,3,1)為平面GEF的一個法向量,所以|cos|=|1-3-1|55=35,所以B1F與平面GEF所成角的正弦值為35.7.解由題意可知PE平面ABCD,BEAD,如圖所示,PE=EC=ED2+DC2=2,以E為原點,EA,EB,EP所在直線分別為x軸,y軸,z軸建立空間直角坐標系,則E(0,0,0),A(1,0,0),B(0,1,0),F-12,12,22.平面ABE法向量可取n=(0,0,

9、1),平面FBE中,EB=(0,1,0),EF=-12,12,22.設平面FBE的一個法向量為m=(a,b,c),則mEB=0,mEF=0,即b=0,-12a+12b+22c=0.取c=1,得m=(2,0,1),cos=13=33.由圖得二面角F-BE-A的平面角為鈍角,所以二面角F-BE-A的余弦值為-33.8.(1)證明因為四邊形ABCD是菱形,所以BDAC.因為AE平面ABCD,BD平面ABCD,所以BDAE.又因為ACAE=A,所以BD平面ACFE.(2)解以O為原點,OA,OB所在直線分別為x軸,y軸,過點O且平行于CF的直線為z軸(向上為正方向),建立空間直角坐標系,則B(0,3,

10、0),D(0,-3,0),E(1,0,2),F(-1,0,a)(a0),OF=(-1,0,a).設平面EBD的法向量為n=(x,y,z),則有nOB=0,nOE=0,即3y=0,x+2z=0,令z=1,則n=(-2,0,1),由題意得sin 45=|cos|=|OFn|OF|n|=|2+a|a2+15=22,解得a=3或a=-13(舍去).所以OF=(-1,0,3),BE=(1,-3,2),cos=-1+6108=54,故異面直線OF與BE所成角的余弦值為54.9.B作AO平面BCD于點O,則O是BCD的中心,以O為坐標原點,直線OD為y軸,直線OA為z軸建立空間直角坐標系,如圖所示.設AB=

11、2,則O(0,0,0),A0,0,263,C1,-33,0,E0,33,63,OA=0,0,263,CE=-1,233,63,cos=OACE|OA|CE|=432633=23.CE與平面BCD的夾角的正弦值為23.10.(1)證明因為PAPC,ABBC,所以MP=MB=12AC=1,又MP2+MB2=BP2,所以MPMB.因為AB=BC,M為AC的中點,所以BMAC,又ACMP=M,所以BM平面PAC.(2)解取MC的中點O,連接PO,取BC的中點E,連接EO,則OEBM,從而OEAC.因為PAPC,PAC=30,所以MP=MC=PC=1.又O為MC的中點,所以POAC.由(1)知BM平面P

12、AC,OP平面PAC,所以BMPO.又BMAC=M,所以PO平面ABC.以O為坐標原點,OA,OE,OP所在直線分別為x軸,y軸,z軸,建立空間直角坐標系,如圖所示,由題意知A32,0,0,B12,1,0,P0,0,32,BP=-12,-1,32,BA=(1,-1,0),設平面APB的法向量為n=(x,y,z),則nBP=-12x-y+32z=0,nBA=x-y=0,令x=1,得n=(1,1,3)為平面APB的一個法向量,易得平面PAC的一個法向量為m=(0,1,0),cos=55,由圖知二面角B-PA-C為銳角,所以二面角B-PA-C的余弦值為55.11.解(2)以CD中點O為坐標原點,OD

13、所在直線為x軸,OB所在直線為y軸,OE所在直線為z軸,建立空間直角坐標系.C(-1,0,0),E(0,0,3),B(0,3,0),A-12,32,23,BE=(0,-3,3),設n=(x,y,z)平面AEC,則nCE=x+3z=0,nEA=-12x+32y+3z=0,令z=1,得n=(-3,-3,1).設直線BE與平面AEC所成角為,則sin =|cos|=43613=22613.即所求角的正弦值為22613.12.解(1)連接OC,因為CB=CD,O為BD中點,所以COBD.又AO平面BCD,所以AOOB,AOOC.以OB,OC,OA為基底,建立空間直角坐標系O-xyz.因為BD=2,CB

14、=CD=5,AO=2,所以B(1,0,0),D(-1,0,0),C(0,2,0),A(0,0,2).因為E為AC的中點,所以E(0,1,1).則AB=(1,0,-2),DE=(1,1,1),所以|cos|=|ABDE|AB|DE|=|1+0-2|53=1515.因此,直線AB與DE所成角的余弦值為1515.(2)因為點F在BC上,BF=14BC,BC=(-1,2,0).所以BF=14BC=-14,12,0.又DB=(2,0,0),故DF=DB+BF=74,12,0.設n1=(x1,y1,z1)為平面DEF的一個法向量,則DEn1=0,DFn1=0,即x1+y1+z1=0,74x1+12y1=0

15、,取x1=2,得y1=-7,z1=5,所以n1=(2,-7,5).設n2=(x2,y2,z2)為平面DEC的一個法向量,又DC=(1,2,0),則DEn2=0,DCn2=0,即x2+y2+z2=0,x2+2y2=0,取x2=2,得y2=-1,z2=-1,所以n2=(2,-1,-1).故|cos |=|n1n2|n1|n2|=|4+7-5|786=1313.所以sin =1-cos2=23913.13.(1)證明因為PAD是等邊三角形,E是AD的中點,所以PEAD.又平面PAD平面ABCD,平面PAD平面ABCD=AD,PE平面PAD,所以PE平面ABCD,所以PEBC,PEBE.又BCPB,P

16、BPE=P,所以BC平面PBE,所以BCBE.又BCAD,所以ADBE.又ADPE=E,且AD,PE平面PAD,所以BE平面PAD,所以BEPD.(2)解由(1)得BE平面PAD,所以BAE就是直線AB與平面PAD所成的角.因為直線AB與平面PAD所成角的正弦值為154,即sinBAE=154,所以cosBAE=14.所以cosBAE=AEAB=2AB=14,解得AB=8,則BE=AB2-AE2=215.由(1)得EA,EB,EP兩兩垂直,所以以E為坐標原點,EA,EB,EP所在直線分別為x軸,y軸,z軸,建立如圖所示的空間直角坐標系,則點P(0,0,23),A(2,0,0),D(-2,0,0