概率統(tǒng)計簡明教程第八章假設(shè)檢驗

1、 第八章假設(shè)檢驗統(tǒng)計推斷的另一個問題是假設(shè)檢驗，即在總體的分布未知或總體的分布形式已知但參數(shù)未知的情況下，為推斷總體的某些性質(zhì)，提出關(guān)于總體的某種假設(shè)，然后根據(jù)抽樣得到的樣本觀測值，運用統(tǒng)計分析的方法，對所提的假設(shè)作出接受還是拒絕的決策，這一決策的過程稱之為假設(shè)檢驗.假設(shè)檢驗分為參數(shù)假設(shè)檢驗和非參數(shù)假設(shè)檢驗,僅涉及總體分布的未知參數(shù)的假設(shè)檢驗稱為參數(shù)假設(shè)檢驗,不同于參數(shù)假設(shè)檢驗的稱作非參數(shù)假設(shè)檢驗.本章介紹假設(shè)檢驗的基本概念以及正態(tài)總體參數(shù)的顯著性檢驗.1假設(shè)檢驗的基本概念1.1假設(shè)檢驗的思想與方法下面我們通過例子說明假設(shè)檢驗的基本思想和方法.例1D1某化肥廠用自動打包機包裝化肥，其均值為10

2、0kg,根據(jù)經(jīng)驗知每包凈重X（單位：kg）服從正態(tài)分布，標(biāo)準(zhǔn)差為1kg.某日為檢驗自動打包機工作是否正常,隨機地抽取9包,重量如下:99.3,98.7,100.5,101.2,98.3,99.7,99.5,102.1,100.5試問這一天自動打包機工作是否正常?本例的問題是如何根據(jù)樣本值來判斷自動打包機是否工作正常,即要看總體均值是否為為此我們給出假設(shè)H:1000現(xiàn)用樣本值來檢驗假設(shè)H是否成立,H成立意味著自動打包機工作正常00否則認(rèn)為自動打包機工作不正常.在假設(shè)檢驗問題中,我們把與總體有關(guān)的假設(shè)稱之為統(tǒng)計假設(shè)把待檢驗的假設(shè)稱之為原假設(shè)記為H與原假設(shè)0H相對應(yīng)的假設(shè)稱為備擇假設(shè)記為H本例中的備

3、擇假設(shè)為01H:100用樣本值來檢驗假設(shè)H成立稱為接受H即拒絕H否1001則稱為接受H即拒絕H10如何檢驗H:100成立與否我們知道，樣本均值X是的無偏0估計自然地希望用X這一統(tǒng)計量來進行判斷在H為真的條件下X的0觀測值X應(yīng)在附近即x00比較小也就是說,要選取一個適當(dāng)?shù)某?shù)k,使得k是一個小概率事件我們稱這樣的小概率為顯著性水平記為1一般地取等注意到當(dāng)巴 # #為真時,統(tǒng)計量X100UN,1/五對于給定的顯著性水平令XlOOI：n # 于是ku.設(shè)統(tǒng)計量U的觀測值為u如果2/pnKjnuu.2則意味著概率為的小概率事件發(fā)生了根據(jù)實際推斷原理（個小概率事件在一次試驗中幾乎不可能發(fā)生），我們拒絕化

4、否則接受H0在本例中若取u.u1.96/20.025Xoo/Jn99.8lOO1/的0.61.96,因此，接受原假設(shè)H即自動打包機工作正常O從本例中可以看出假設(shè)檢驗的基本思想是：為驗證原假設(shè)H是否成O立我們首先假定H是成立的然后在H成立的條件下利用觀測到的樣OO本提供的信息如果能導(dǎo)致一個不合理的現(xiàn)象出現(xiàn)即一個概率很小的事件在一次試驗中發(fā)生了,我們有理由認(rèn)為事先的假定是不正確的從假而拒絕H，因為實際推斷原理認(rèn)為,一個小概率事件在一次試驗中是幾乎不可能0發(fā)生的.如果沒有出現(xiàn)不合理的現(xiàn)象,則樣本提供的信息并不能否定事先假定的正確性從而我們沒有理由拒絕H,即接受H00為了利用提供的信息,我們需要適當(dāng)?shù)?/p>

5、構(gòu)造一個統(tǒng)計量,稱之為檢驗統(tǒng)計量，如例的檢驗統(tǒng)計量是U丁利用檢驗統(tǒng)計量我們可以KJn確定一個由小概率事件對應(yīng)的檢驗統(tǒng)計量的取值范圍,稱這一范圍為假設(shè)檢驗的拒絕域記為W，如例的拒絕域為Wu當(dāng)uW時2我們拒絕H當(dāng)uW時接受H001.2假設(shè)檢驗的兩類錯誤由于假設(shè)檢驗是依據(jù)實際推斷原理和一個樣本值作出判斷的,因此，所作的判斷可以會出現(xiàn)錯誤如原假設(shè)H客觀上是真的我們?nèi)杂锌赡芤?的概率作出拒絕H的判斷從而犯了“棄真”的錯誤這種錯誤稱為第一類0錯誤犯這個錯誤的概率不超過給定的顯著性水平為簡單起見，記P拒絕HH成立()00另外，當(dāng)原假設(shè)H客觀上是假的由于隨機性而接受H這就犯了“取00偽”的錯誤這種錯誤稱為第二

6、類錯誤犯第二類錯誤的概率記為b，即PH受HH成立.()01在檢驗一個假設(shè)時，人們總是希望犯這兩類錯誤的概率都盡量小但當(dāng)樣本容量n確定后,不可能同時做到犯這兩類錯誤的概率都很小,因此,通常我們的做法是利用事前給定的顯著性水平來限制第一類錯誤,力求使犯第二類錯誤的概率b盡量小這類假設(shè)檢驗稱為顯著性檢驗為明確起見，我們把兩類錯誤列于表中表8.假1設(shè)檢驗的兩類錯誤真實情況判斷H成立0H成立1拒絕H0犯第一類錯誤判斷正確接受H0判斷正確犯第二類錯誤3假設(shè)檢驗的步驟從例1.中1可以看出假設(shè)檢驗的一般步驟為(1)根據(jù)實際問題提出原假設(shè)H和備擇假設(shè)H;01(2)確定檢驗統(tǒng)計量Z;(3)對于給定的顯著性水平,并

7、在H為真的假定下利用檢驗統(tǒng)計量0確定拒絕域W;(4)由樣本值算出檢驗統(tǒng)計量的觀測值z,當(dāng)zW時，拒絕H.當(dāng)0zW時,接受H.0需要說明的是：原假設(shè)和備擇假設(shè)的建立主要根據(jù)具體問題來決定.通常把沒有把握不能輕易肯定的命題作為備擇假設(shè)，而把沒有充分理由不能輕易否定的命題作為原假設(shè).在對參數(shù)的假設(shè)檢驗中形如H:H:的假設(shè)檢驗稱0010為雙邊檢驗.在實際問題中,有些被檢驗的參數(shù)，如電子元件的壽命越大越好而一些指標(biāo)如原材料的消耗越低越好,因此，需要討論如下形式的假設(shè)檢驗:H:00H1:0(1.)5或H:,H:(1.)60010我們稱(1.為5右)邊檢驗,為.左6邊)檢驗左邊檢驗和右邊檢驗統(tǒng)稱為單邊檢驗.

8、2單個正態(tài)總體的均值與方差的假設(shè)檢驗設(shè)X,X，,X是來自正態(tài)總體N的-個樣本樣本均值為12nX樣本方差為S22.1單個正態(tài)總體均值的假設(shè)檢驗2已知時關(guān)于的假設(shè)檢驗為檢驗假設(shè)H:H:0010構(gòu)造檢驗統(tǒng)計量UN(0,1)當(dāng)Ho為真時檢驗統(tǒng)計量U的觀測值u不應(yīng)偏大或偏小,故對給 # 定的顯著性水平令P骯得拒絕域為Wu2當(dāng)U的觀測值滿足U動.則拒絕Ho即認(rèn)為均值與0有顯著差異；否則接受H即認(rèn)為與無顯著差異00對假設(shè)0010取檢驗統(tǒng)計量為X/Jn可得此假設(shè)檢驗的拒絕域為W()類似地,我們可得假設(shè)檢驗H:H:0010的拒絕域為W()口.X在上述檢驗中我們都用到統(tǒng)計量U來確定檢驗的拒絕域*n這種方法稱為U檢

9、驗例2.1設(shè)某廠生產(chǎn)的一種電子元件的壽命(單位：小時)XN(,40000)，從過去較長一段時間的生產(chǎn)情況來看，此電子元件的平均壽命不超過1500小時，現(xiàn)在采用新工藝后，在所生產(chǎn)的電子元件中抽取25只，測得平均壽命x=1675小時.問采用新工藝后，電子元件的壽命是否有顯著提高（顯著性水平=0.05）？解:建立假設(shè)H:1500H:150001已知n25,200 xu.u1.6450.05U的觀測值為X4.375u0.05E因此，拒絕H0，接受H,即認(rèn)為采用新工藝后，電子元件的壽命有顯著提高12未知時關(guān)于的假設(shè)檢驗作單個總體均值的U檢驗，要求總體標(biāo)準(zhǔn)差已知，但在實際應(yīng)用中，2往往并不知道，我們自然想

10、到用2的無偏估計s2代替它，構(gòu)造檢驗統(tǒng)計量為TXot（）S/W考慮假設(shè)H:H:0010對給定的顯著性水平有TOC o 1-5 h zpy：t.嶋,（）5s/n2因此，檢驗的拒絕域為Wt（）2當(dāng)檢驗統(tǒng)計量T的觀測值t二滿足t則拒絕H即認(rèn)s/4n20為均值與有顯著差異否則接受H即認(rèn)為與無顯著差異000類似地假設(shè)檢驗H:H:的拒絕域為0010W斗.（）假設(shè)檢驗H:H:的拒絕域為0010W斗.（）稱上述檢驗方法為t檢驗.例2.2健康成年男子脈搏平均為72次/分，高考體檢時，某校參加體檢的26名男生的脈搏平均為74.2次/分，標(biāo)準(zhǔn)差為6.2次/分，問此26名男生每分鐘脈搏次數(shù)與一般成年男子有無顯著差異(

11、=0.05)？解:建立假設(shè)H:,72H01:72已知n26,x74.2,s6.20115t輕2.06/20.025V0故接受H0計算T的觀測值：tc1.81由于s/Jn即認(rèn)為此26名男生每分鐘脈搏次數(shù)與一般成年男子無顯著差別單個正態(tài)總體方差的假設(shè)檢驗已知時關(guān)于2的假設(shè)檢驗為檢驗假設(shè)H:H:0010選取檢驗統(tǒng)計量為丄(XM)2.2i0i當(dāng)H為真時檢驗統(tǒng)計量2不應(yīng)偏大或偏小即對給定顯著性水平有0Pkk12一般地取kk其拒絕域為11/22/2W或1/2/2H:10H:2210類似地,我們可以討論左邊檢驗H:2200和右邊檢驗H:2200的拒絕域(見表8.2).未知時關(guān)于的假設(shè)檢驗欲檢驗假設(shè)H:H:0

12、010選取檢驗統(tǒng)計量為BlS22202nl當(dāng)H為真時檢驗統(tǒng)計量2不應(yīng)偏大或偏小即對給定顯著性水平有0PBkBkl2一般地取kk因此拒絕域為TOC o 1-5 h zll/22/2Wli或.11/2/2以上的檢驗方法稱為2檢驗.例2.3某廠生產(chǎn)一種電子產(chǎn)品,此產(chǎn)品的某個指標(biāo)服從正態(tài)分布N2現(xiàn)從中抽取容量為n.8的一個樣本，測得樣本均值X61.125,樣本方差s293.268.取顯著性水平0.05,試就60和未知這兩種情況檢驗假設(shè)282. # #解檢驗假設(shè)H:82,H:82為檢驗統(tǒng)計量由s293.268算出1未知取202g.26810.201282又亠1.690和l/20.97516.013/20

13、.025即l0.20l2不在拒絕域內(nèi)故接受H:28201n已知取(X)2為檢驗統(tǒng)計量2i0i2,18017.535120.97520.025 /2 注意到，(xM)2(xx)&)(xix)Bn(xiiiiii和(xBx)2B(nBl)s2由xB61.125和s2B93.268可算出檢驗統(tǒng)計ii量的觀測值為B2丄(xB60)20.3281即它不在拒絕域內(nèi)故接受82iiH:2820兩個正態(tài)總體均值差與方差比的假設(shè)檢驗設(shè)XN,2yN,2從總體X和Y中分別獨立地取1122出樣本X,X，,X和Y,Y，,Y樣本均值依次記為X和Y樣本方差12n12m依次記為S2和S212兩個正態(tài)總體均值差的假設(shè)檢驗2與2已

14、知時關(guān)于的假設(shè)檢驗1212現(xiàn)檢驗假設(shè)H:H:012112由第六章定理可知在H成立的條件下檢驗統(tǒng)計量UjY-N2n12mXYm%可得拒絕域為2給定顯著性水平令P常用的情況是O即原假設(shè)為Ho:吧例3.1某苗圃采用兩種育苗方案作育苗試驗,已知苗高服從正態(tài)分布在兩組育苗試驗中,苗高的標(biāo)準(zhǔn)差分別為18,20.現(xiàn)都取60株苗12作為樣本,測得樣本均值分別為X59.34厘米和y49.16厘米.取顯著性水平為0.05,試判斷這兩種育苗方案對育苗的高度有無顯著性影響解:建立假設(shè)H:H:012112由題中給出的數(shù)據(jù)我們算出統(tǒng)計量U的觀測值為 #/2 # /2 #2.9359.3449.161826020260另0

15、.05uu1.96因u2.931.96故拒絕.20.025H0:12,認(rèn)為這兩種育苗方案對育苗的高度有顯著性影響22與2未知但.222時關(guān)于的假設(shè)檢驗121212現(xiàn)檢驗假設(shè)H:H:012112由第六章定理可知在H成立的條件下檢驗統(tǒng)計量0TOC o 1-5 h zXYT”一tm2（）S.1n1mwim2其中S21wnm2給定顯著性水平使得P耳tHm2得到拒絕域為Wt.m2（）2類似地我們可得關(guān)于的單邊假設(shè)檢驗的拒絕域見表例3.2在針織品漂白工藝中12,要考慮溫度對針織品斷裂強力的影響,為比較70和80的影響有無顯著性差異.在這兩個溫度下,分別重復(fù)做了8次試驗,得到斷裂強力的數(shù)據(jù)如下（單位:牛頓）

16、70D:20.5,18.8,19.8,20.9,21.5,21.0,21.2,19.580口:17.7,20.3,20.0,18.8,19.0,20.1,20.2,19.1由長期生產(chǎn)的數(shù)據(jù)可知,針織品斷裂強力服從正態(tài)分布,且方差不變,問這兩種溫度的斷裂強力有無顯著差異（顯著性水平0.05）解設(shè)XY分別表示和C的斷裂強力因此XNYN,建立假設(shè)12H:H:012112XY為檢驗統(tǒng)計量nm8由題中給出的數(shù)據(jù)可以計 #/2 # #/2 #x20.4,y19.4,s0.928w檢驗統(tǒng)計量的觀測值為xys1nlm2.16 #/2 # /2 #故拒絕原假設(shè)即又tm2t142.1450因/20.025認(rèn)為這兩

17、種溫度的斷裂強力有顯著差異.3.2兩個正態(tài)總體方差比的假設(shè)檢驗i和已知時檢驗假設(shè)H:H:12012112現(xiàn)檢驗假設(shè)H:22,H:22由第六章的定理可知，在012112H成立的條件下取檢驗統(tǒng)計量0m(X)2i1FF(n,m),n(Y)2i2i給定顯著性水平使pFkk12一般地取kF,F,m注意到1l/22/!mh一因此拒絕域為1/2Fm,n/2/21和未知時檢驗假設(shè)H0:l2H1: #/2 #現(xiàn)檢驗假設(shè)H:22,H:2z由第六章的定理可知，在012112H成立的條件下取檢驗統(tǒng)計量S2F茁F(nl,ml),2給定顯著性水平使PFkk12一般地取kF,mkFm拒絕域為11/22*/2 #/2 # /

18、2 #上述檢驗方法稱為F檢驗.例根據(jù)本節(jié)例3.2的數(shù)據(jù)，檢驗70DO80時針織品斷裂強力的方差是否相等(顯著性水平為0.05)?3.) #/2 # #/2 #解建立假設(shè)H:H:012112 /2 #由數(shù)據(jù),檢驗統(tǒng)計量的觀測值為f舊-08856-I-,2又F,mF,74.99,TOC o 1-5 h z/80.085F漏!,-1廠749-(m-/20.025顯然有17-0.20注-1.07-4.99-F-,7因此，接受HF,7S20.02500.0858即認(rèn)為C和C時針織品斷裂強力的方差是相等的表正態(tài)總體參數(shù)的顯著性檢驗列表顯著性水平為-原假設(shè)H0檢驗統(tǒng)計量備擇假設(shè)H1拒絕域單uU-20U-X-

19、00已-00u個知00u1u2正-2未-0-0-T0S/Jn00ttt-1-1-態(tài)知00t-t.2-1總-已知-2-20-2-201-(X-)22i0i-2-20-2-20-120201/2或體/222b00未2B1IS22知00122020012或常?兩口.XYuu2,12U12乂1nm12u2212uu已122個知12ttm,2正2,12121一XYT12t.m,22；112未12SJ-wynm12Ittm,2/2知但12相態(tài)等,1212m(X)2212FF,m212i1Fn(Y)2i2212FF,m1總2i已知21222122FF,m或12FF,m22222FF,m體,1212122廠.

20、S222FF,m12F亠S2121222222FF,m121212未或知FFm/2習(xí)題八1在正常情況下，某煉鋼廠的鐵水含碳量()XN(4.55,2)一日測得爐鐵水含碳量如下：，44.4，4804.，442.4，54.47在顯著性水平0.05下，試問該日鐵水含碳量得均值是否有明顯變化2根據(jù)某地環(huán)境保護法規(guī)定，傾入河流的廢物中某種有毒化學(xué)物質(zhì)含量不得超過該地區(qū)環(huán)保組織對某廠連日傾入河流的廢物中該物質(zhì)的含量的記錄為：x,.,x經(jīng)計算得知115x48X2156.26iiii試判斷該廠是否符合環(huán)保法的規(guī)定(該有毒化學(xué)物質(zhì)含量服從正態(tài)分布)3某廠生產(chǎn)需用玻璃紙作包裝，按規(guī)定供應(yīng)商供應(yīng)的玻璃紙的橫向延伸率不

21、應(yīng)低于已知該指標(biāo)服從正態(tài)分布N(,.2),5.5從近期來貨中抽查了個樣品，得樣本均值X55.06,試問在0.05水平上能否接受這批玻璃紙？4某紡織廠進行輕漿試驗，根據(jù)長期正常生產(chǎn)的累積資料，知道該廠單臺布機的經(jīng)紗斷頭率（每小時平均斷經(jīng)根數(shù)）的數(shù)學(xué)期望為9.7根3，標(biāo)準(zhǔn)差為1.6根0.現(xiàn)在把經(jīng)紗上漿率降低20，%抽取20臺0布機進行試驗，結(jié)果平均每臺布機的經(jīng)紗斷頭率為9.8根9，如果認(rèn)為上漿率降低后均方差不變，問斷頭率是否受到顯著影響（顯著水平a）?5某廠用自動包裝機裝箱，在正常情況下，每箱重量服從正態(tài)分布N（100,2）某日開工后，隨機抽查箱重量如下（單位：斤）：，98.，1900，1500，919，99.，1700，1000，929.，1500問包9裝機工作是否正常，即該日每箱重量的數(shù)學(xué)期望與10是0否有顯著差異?（顯著性水平a）.某自動機床加工套