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文檔簡介

1、圓錐曲線中的定點問題定點問題是常見的出題形式,化解這類問題的關(guān)鍵就是引進變的參數(shù)表示直線方程、 量積、比例關(guān)系等,根據(jù)等式的恒成立、數(shù)式變換等尋找不受參數(shù)影響的量。直線過定點問 題通法,是設(shè)出直線方程,通過韋達定理和已知條件找出k和m的一次函數(shù)關(guān)系式,代入直線方程即可。技巧在于:設(shè)哪一條直線?如何轉(zhuǎn)化題目條件?圓錐曲線是一種很有趣的載 體,自身存在很多性質(zhì),這些性質(zhì)往往成為出題老師的參考。如果大家能夠熟識這些常見的結(jié)論,那么解題必然會事半功倍。下面總結(jié)圓錐曲線中幾種常見的幾種定點模型:模型一:“手電筒”模型 TOC o 1-5 h z HYPERLINK l bookmark49 o Curr

2、ent Document 22x y例題、(07山東)已知橢圓C : 1若直線l: y kx m與橢圓C相交于A, 43B兩點(A, B不是左右頂點),且以AB為直徑的圓過橢圓 C的右頂點。求證:直線l過定 點,并求出該定點的坐標(biāo)。 HYPERLINK l bookmark4 o Current Document y kx m2 22解:設(shè) A(xi, yi), B(x2, y2),由 22 得(3 4k )x 8mkx 4(m3) 0 ,3x 4y 1264m2k2 16(3 4k2)(m2 3)0, 3 4k2 m2 0yiy2x12 x2 21, yy2%x22(x1 x2) 4 0,3

3、(m2 4k2)3 4k21,8mk4(m2 3) TOC o 1-5 h z xi x22,xi x2 23 4k23 4k2 HYPERLINK l bookmark65 o Current Document 22y1 y2 (kx1 m) (kx2 m) k x1x2 mk(x1 x2) mQ以AB為直徑的圓過橢圓的右頂點 D(2,0),且kAD kBD3(m2 4k2) 4(m2 3) 16mk =2 4 0, 3 4k 3 4k 3 4k TOC o 1-5 h z k22整理得:7m 16mk 4k 0,解得:m12k, m2,且滿足3 4k m 0當(dāng)m2k時,l:y k(x 2)

4、,直線過定點(2,0),與已知矛盾; HYPERLINK l bookmark59 o Current Document 2k ,22當(dāng)m 時,l : y k(x 一),直線過te點(一,0) 777Word資料2小綜上可知,直線l過7E點,7E點坐標(biāo)為 (一,0).7 TOC o 1-5 h z 方法總結(jié):本題為“弦對定點張直角”的一個例子:圓錐曲線如橢圓上任意一點P2 2 2 2、做相互垂直的直線交圓錐曲線于(參考百AB,則AB必過定點(竺一肥,竺一舁)。a b a b度文庫文章:“圓錐曲線的弦對定點張直角的一組性質(zhì)”)模型拓展:本題還可以拓展為 “手電筒”模型:只要任意一個限定 AP與B

5、P條件(如kAP?kBP 定值,kAP kBP 定值),直線AB依然會過定點(因為三條直線形似手電筒,固名曰手電筒模型)。(參考優(yōu)酷視頻資料尼爾森數(shù)學(xué)第一季第13節(jié))此模型解題步驟:Stepl :設(shè)AB直線y kx m ,聯(lián)立曲線方程得根與系數(shù)關(guān)系,求出參數(shù)范圍;Step2 :由AP與BP關(guān)系(如kAP ?kBP1),得一次函數(shù)k f (m)或者m f (k);Step3 :將k f(m)或者m ”女)代入丫 kx m,得y k(x x定)y定。遷移訓(xùn)練2練習(xí)1 :過拋物線 M: y 2 Px上一點P (1,2)作傾斜角互補的直線 PA與PB,交M 于A、B兩點,求證:直線 AB過定點。(注:

6、本題結(jié)論也適用于拋物線與雙曲線)2練習(xí)2:過拋物線M: y2Px的頂點任意作兩條互相垂直的弦OA、OB,求證:交拋物線的對稱軸上一定點。(經(jīng)典例題,多種解法) 22練習(xí)3:過2x y 1上的點作動弦 AB、AC且kAB?kAC 3,證明BC恒過定點。11、(本題參考答案:(一,)5 52 .一 一練習(xí):4 :設(shè)A、B是軌跡C : y 2 px( P 0)上異于原點O的兩個不同點,直線OA和OB的傾斜角分別為和,當(dāng),變化且時,證明直線 AB恒過定點,并求出該定點的坐標(biāo)。(參考答案2 P,2 p)【答案】設(shè)A為,必,B x2,y2,由題意得Xi,X2 0 ,又直線OA,OB的傾斜角 ,滿足故0,所

7、以直線 AB的斜率存在,否則, OA,OB直線的傾斜角22之和為 *從而設(shè)AB方程為y kx b ,顯然x1 y, x2 -y2-,2p2pWord資料.22_將 y kx b 與 y 2px(P 0)聯(lián)立消去 x,得 ky 2 py 2pb 02 Pb上k2p由韋達te理知 y1 y2, y1 y2k/口, x z 、 tan tan2 P(y1 y2)一,得 1 = tan tan( )=號441 tan tany1y2 4p將式代入上式整理化簡可得:1 ,所以 b 2p 2pk, b 2pkC2c2c0, y18x1, y28x2.yy2x1 1x2 1yy22 c2 c HYPERLI

8、NK l bookmark16 o Current Document y18 y288( Yi y2) 丫佻“2 Yi)08 YiY20直線PQ方程為:y Yi Xy1 (x Xi ) x2 XiyYiI2、(8x Yi )Y2 Yi2y(Y2 Yi) Yi(Y2 Yi) 8x Yiy(y2 y1) 8 8x y 0, x 1此時,直線AB的方程可表示為 y kx 2p 2pk即k(x 2p) y 2p所以直線AB恒過定點2p,2 P .練習(xí)5: (2013年高考陜西卷(理)已知動圓過定點 A(4,0),且在y軸上截得的弦 MN 的長為8.(I )求動圓圓心的軌跡C的方程;(n)已知點B(-1

9、,0),設(shè)不垂直于x軸的直線l與軌跡C交于不同的兩點 P, Q,若x軸是PBQ的角平分線,證明直線l過定點.【答案】 解:(IA)(4,0),設(shè)圓心C(x,y),MN線段的中點為E,由幾何圖像知ME MN,CA2 CM 2 ME2 EC222222(x 4) y 4 x y 8x(n )點 B(-1,0),設(shè)p(xi, y1),Q(x2,y2),由題知 y y2 0, yy2所以,直線PQ過定點(1,0)uuruuiruuu uuu練習(xí)6:已知點B 1,0 ,C 1,0 ,P是平面上一動點,且滿足|PC| |BC| PB CB(1)求點P的軌跡C對應(yīng)的方程;(2)已知點A(m,2)在曲線C上,

10、過點A作曲線C的兩條弦AD和AE,且AD AE ,判斷:直線DE是否過定點?試證明你的結(jié)論【解】(1)設(shè) P(x, y)代入 |PC| |BC| PB CB得 v(x 1)2 y2 1 x,化簡得 y2 4x.(5 分)Word資料將A(m,2)代入y2 4x得m 1,點A的坐標(biāo)為(1,2). 22設(shè)直線DE的方程為x my t代入y4x,得y 4mt 4t 0,設(shè)D(xi, yi), E(x2, y2)則yi y 4m, yi y 4t,( 4m)2 16t 0(*)AD AE(xi 1)(x2 1) (yi 2)2 2)xix2 區(qū)x?) 1 yi y2 2(yi v2 4222y_ 左(

11、W4 442y2、yi y2 2(yi y2 )4(yi y2)2162(yi y) 2yi y24yi y2,、2,、2、立 (4m)2( 4t) ( 4t) 2(4m)16452( yiV2)55 0化簡得t22222即t6t 9 4m 8m 4即(t 3)4(m 1) t 326t 5 4m22(m 1)8mt 2m 5或t2m 1,代入(*)式檢驗均滿足0直線DE的方程為x m(y 2) 5或x m(y 2) 1直線DE過定點(5, 2).(定點(1,2)不滿足題意)2練習(xí)7:已知點A ( 1, 0), B (1, 1)和拋物線.C: y4x , O為坐標(biāo)原點,過點A的動直線l交拋物線

12、C于M、P,直線MB交拋物線C于另一點Q,如圖.uuuu UULT(I)證明:OM OP為定值;(II)若 POM的面積為-,求向量OM與OP的夾角;2(出)證明直線 PQ恒過一個定點.22解:(I)設(shè)點 M (, yi), P(,y2), P、M、A 三點共 44第22題線,kAMkDM,即Tyi4yi2 yi4y22 y24 TOC o 1-5 h z 即乙 -, y1y24 HYPERLINK l bookmark177 o Current Document 22OM OP 江 2 y1y25.44(II)設(shè)/POM = ,則 |OM | |OP| cos 5.Word資料-5S rom

13、 - , |OM | |OP | sin5.由此可得 tan a=1.又(0, ),45 ,故向量OM與OP勺夾角為45 .2,y3(出)設(shè)點 Q(二, y3), M、B、Q 三點共線,kBQ kQM ,4即y 當(dāng)/,即與1-, 與 1y 2 y3 4% y3 TOC o 1-5 h z 444(y3 1)(y1v3 y2 4,即y4 必yz 4 0.L L L L 11分 HYPERLINK l bookmark32 o Current Document 444,八yy24,即y1,一 y3 y3 4 0,y2y2y2即 4(y2 y3)y2y3 4 0.(*)ky2y 4kPQ 22,在莊

14、 y2y344V2直線PQ的萬程是y V2(x斗y2 V3 4y3) y2 y34x.即(y y2)(y2、3) 4x y2,即y(y2由(*)式,y2y34(y2 V3) 4,代入上式,得(y 4)(y2心)4(x 1).由此可知直線 PQ過定點E (1, 4)模型二:切點弦恒過定點 TOC o 1-5 h z 222例題:有如下結(jié)論: 圓x y r上一點P(x0, y0)處的切線方程為2xy yy r2,類比也有結(jié)論:“橢圓 吃 4 1(a b 0)上一點P(x0,y)處的 a b2切線方程為 當(dāng) 警 1”,過橢圓C: y2 1的右準(zhǔn)線l上任意一點M弓橢圓C a2b24的兩條切線,切點為

15、A、B.(1)求證:直線 AB恒過一定點;(2)當(dāng)點M在的縱坐標(biāo)為1時,求 ABMMJ面積?!窘狻?1)設(shè) M (匕3,t)(t R), A(Xi y。B(x2,y2),則 MA的方程為 yy 14Word資料丁點M在MA上,Xi tyi 1 同理可得X2 ty2 133由知AB的方程為 x ty 1,即x V3(1 ty)3易知右焦點F( J3,0)滿足式,故 AB恒過橢圓C的右焦點F (J3,0)2(2)把AB的方程X 3(1 y)代入y2 1,化簡得7y 6y| AB|1 3312871671_. .ABM 的面積 S - | AB | d 2又M16 321到AB的距離d1 02 33

16、方法點評:切點弦的性質(zhì)雖然可以當(dāng)結(jié)論用,但是在正式的考試過程中直接不能直接引用,可以用本題的書寫步驟替換之,大家注意過程。方法總結(jié):什么是切點弦?解題步驟有哪些?參考:PPT圓錐曲線的切線及切點弦方程,百度文庫參考:“尼爾森數(shù)學(xué)第一季_3下”,優(yōu)酷視頻拓展:相交弦的蝴蝶特征一一蝴蝶定理,資料練習(xí)1: (2013年廣東省數(shù)學(xué)(理)卷)已知拋物線C的頂點為原點,其焦點F 0,c c 0到直線l :x3、2y 2 0的距離為 .設(shè)P為直線l上的點,過點P作拋物 2線C的兩條切線PA, PB淇中A, B為切點.(I )求拋物線C的方程;(n)當(dāng)點P X0, y0為直線l上的定點時,求直線AB的方程;(

17、m )當(dāng)點P在直線l上移動時,求AF BF的最小值.Word資料一2, 0 c 23池【答案】(I )依題意,設(shè)拋物線C的方程為x2 4cy,由1_k二1 二一結(jié)合c 0,解222得c 1.所以拋物線C的方程為x2 4y.21 2 一一 1(n )拋物線C的萬程為x 4y,即y x,求導(dǎo)得y -x 4222、rx1x2設(shè) A xi,y , B x2,y2 (其中 y ,y2),44一八,11則切線PA,PB的斜率分別為一x1, x2, 222所以切線PA : y y1 x x,即y x 222y1,即 x1x 2y 2y1 0同理可得切線 PB的方程為x2x 2y 2y20因為切線PA,PB均

18、過點P x0,y,所以xg。 2y0 2y,0 , x2x02 y 02 y 2所以x1, y1x2,y2為方程x0 x 2y0 2y 0的兩組解.所以直線 AB的方程為x0 x 2y 2y00.(m )由拋物線定義可知 AF y1 1, BF y2 1,所以 AF BF y11y2 1V1 y2V1y21聯(lián)立方程xx 2y 2y0 x2 4y0,消去x整理得y222y0 x。 y y。0由一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系可得2-y, y2x。2 y0,yy22 y。所以 AF BF y* y V2/221y0 x02 y。1又點P x0,y0在直線l上,所以x。 y。2,22_2_所以 y0 x。

19、 2y。 1 2y。 2y。 5 2y。所以當(dāng)y。1 ,一時,AF BF取得最小值,且最小值為22py p 0 ,點練習(xí)2: (2013年遼寧數(shù)學(xué)(理)如圖,拋物線C1:x2 4y,C2:x2Word資料M %,yo在拋物線C2上,過M作Ci的切線,切點為A,B( M為原點O時,A, B重合于-1O)x0 1夜,切線MA.的斜率為.2(I)求p的值;(II)當(dāng)M在C2上運動時,求線段AB中點N的軌跡方.A,B重合于O時,中點為O .2 ,就可以了,否則就不存在。y ki(x y ki(x 2),由 x2 4y2解:設(shè)M(Xi,yi), N(X2,y2),直線AiM 的斜率為ki,則直線AM 的

20、方程為2) 一 一 2 2、22消 y 整理得(i 4ki )x 16k2x i6k1 4Q 2和Xi是方程的兩個根,2xi16kl2 44kl2則xi2 8k22 , yi 1 4ki24ki2 2,4 ki即點M的坐標(biāo)為(2 ,21 4kl2 1 4k2),同理,設(shè)直線A2N的斜率為k2,則得點28k2 24k2、N的坐標(biāo)為 (,2-)i 4k: i 4k2Qypki(t2),yp k2(t 2)kkik2k22 一,Q直線MN的萬程為: tyyix xy2yix2 x x2y1 xy2 陽一-2X一山,將點 M、y y2N的坐標(biāo)代入,化簡后得:又 Qt 2,4,,2Q橢圓的焦點為 t(3

21、,0)4;33故當(dāng)t4.3二-時,3MN過橢圓的焦點。方法總結(jié):本題由點Ai(-2,0)的橫坐標(biāo)2是方程(i2 24ki )x216k2x i6ki 4 0 的一個根,結(jié)合韋達定理,得到點M的橫縱坐標(biāo):xi4ki,yi2 ;其頭由1 4ki2Word資料 TOC o 1-5 h z HYPERLINK l bookmark111 o Current Document y k2(x 2)2 22 22 消 y 整理得(1 4k2)x16k2X 16k2 4 0,得到 2x2x 4y42x2y24k16k2 42T很快。不過如果看到:將2x,1 2中的心用k2換下來,1 4 k;1 4k24k2萬

22、),如果在解題時,能看到28匕 2x1前的系數(shù)2用一2換下來,就得點 N的坐標(biāo)(2 7,1 4k; 1 4k這一點,計算量將減少,這樣真容易出錯,但這樣減少計算量。本題的關(guān)鍵是看到點 k kc2雙重身份:點 P即在直線 AM上也在直線 A2N上,進而得到 -一2 一,由直線 MN k1 k2t的方程 L1 紅1得直線與x軸的交點,即橫截距 x x2 y1 x1y2 ,將點M、N的坐 x x1 x2 x1y1 y2,一r 44標(biāo)代入,化簡易得 x 4 ,由4 t tt 2。出解出t4.33到此不要忘了考察4.3“是否滿足方法2:先猜想過定點,設(shè)弦MN的方程,得出A1M、A2N方程,進而得出與T交

23、點Q、S,兩坐標(biāo)相減=0.如下:設(shè)lMN : x my 73,聯(lián)立橢圓方程,整理: (4 m2) y2 26my 1 0;求出范圍; 設(shè)M (xy。, N (x2,y2),得直線方程: TOC o 1-5 h z y1y2Iaim : y -(x 2),lA2N;y -(x 2);x1 2x2 2若分別于1T相較于Q、S:易得Q (t,1-(t 2),S(t,(t 2) HYPERLINK l bookmark14 o Current Document x1 2x22yQyS整理-1-(t 2) -2-(t 2)x1 2x2 24myy2 2(t .3)(v y?) ( . 3t 4)( y

24、y2) (Xi 2)(x2 2)韋達定理代入-1-m7( 3t 4) ( . 3t 4)(y yz)(x1 2)( x2 2) 4 m顯然,當(dāng)t 4衛(wèi)時,猜想成立。 3方法總結(jié):法2計算量相對較小,細心的同學(xué)會發(fā)現(xiàn),這其實是上文“切點弦恒過定點”的一Word資料個特例而已。因此,法2采用這類題的通法求解,就不至于思路混亂了。相較法1,未知數(shù)更少,思 路更明確。x2 y練習(xí)1: (10江蘇)在平面直角坐標(biāo)系 xoy中,如圖,已知橢圓g+g=1的左右頂點為 A,B , 右焦點為 F,設(shè)過點 T(t,m)的直線 TA,TB與橢圓分別交于點 M(x1,y1), N(x2,y2),其中 m0,y 10,

25、y 20)的焦點F和橢圓I +1=1的右焦點重合,直線l過點F交拋物線于A, B兩點.(1)求拋物線C的方程;(2)若直經(jīng)線l交y軸于點M,且MA=mAF, M B = nBF,對任意的直線l, m + n是否為定值?若是,求出 m + n的值;否則,說明理由.知識分析:涉及到多點共線問題,一般用定比分點或者向量法,用自動點表示出 因動點,在將題設(shè)條件轉(zhuǎn)化為方程,最后帶入曲線方程求解即可;另一種方法就是直線 與圓錐曲線的通法韋達定理求解,但是計算量相對較大解(1) .橢圓的右焦點 F(1,0) , p=2,即拋物線方程為y2=4x.(2)法一 由已知,得直線l的斜率一定存在且不為零,所以設(shè) l

26、: y=k(x 1)(kw 0) ,l與y軸交于M(0 , k).y= k x- 1 ,由 y2=4x,設(shè) A(xi, yi), B(x2, y2),則 k2x2-2(k2+ 2)x+ k2 = 0,所以= 4(k2+2)2-4k4= 16(k2+1)0 ,2k2+4x1 + x2 =k-, XiX2 = 1.Xi又因為 MA = mAF ,所以(X1,y1 + k) = m(1 -Xi, y1).所以 Xi = m(1 Xi),即 m =-1 XiX2X1X2同理可得n=,所以m + n= +1 X21 Xi 1 X22k2+4X1 + X22x1x2k2.=_ . 2,1 Xi + X2+

27、 X1X22 k + 41 k2 +11.故對任意的直線l, m + n為定值1.法二 設(shè) A(Xi, y1),B(x2, y2) , M(0, y0)Word資料由 MA = mAF ,得(xi, yi y()= m (1 Xi, yi),所以yi =yoi + m由 M B = nBF,彳導(dǎo)(X2, y2-yo)= n(i -X2, y2),n X2 = -,i + n 所以yoy2=im -將 A(xi, yi), B(X2, y2)代入拋物線 C 的方程,整理得 4m2 + 4m - y2= 0,4 n2+ 4n- y2 =0,所以m , n是方程4x2+4x y2 = 0的根,故m

28、+ n = i.所以對任意直線l, m + n為 定值i.練習(xí)i:(05全國I)已知橢圓的中心為犍原儲O,焦點在x軸上,斜率為1且過橢 圓右焦點F的直線交橢圓于 A、B兩點,OA OB與a (3, i)共線。(I)求橢圓的離心率; ujunnuuumR),證明22為定(n)設(shè)M為橢圓上任意一點,且 OM OA OB ( 值.22i(a b 0),F(c,0)22c,代入。-yy a b解:設(shè)橢圓方程為、。 a b則直線AB的方程為y x,2 ,2、 2 C22 22, 2(a b )x 2a cx a c a b令 A ( Xi,y1),B(x2,y2),貝UxiX22a2c -22,X1X2

29、a b2 2 a c2 aa2b2廠由 OA OB (Xi X2,yiy2),a (3, i),OA ob與a共線,得3(yiy) (xi X2) 0,又 yiXic, y2X2c,3(xi x2 2c) (xi x2) 0,3xix2 c.2即產(chǎn)三生,所以a2 3b2.a2 b22c .a2 b2 6a3Word資料(II)證明:(1)2知a2 3b2,所以橢圓與 a2yr 1 可化為 x2 3y2 3b2. b2設(shè) OM (x,y),由已知得(x, y) (xi,y1)(X2, y2),x1x2yxix2.M(x,y)在橢圓上,(xix2)2 3( yiy2)23b2.即 2(x; 3y;

30、)2 (x2 3y2) 2 (x1x2 3yly2) 3b2.3c 23 2,21 2由(1)知 x x2, a c , b c .2222 22, 2a c a bx1x22,2a bxx2 3y1y2x1x2 3(x1 c)(x2 c)4x1x2 3(x12x2)c 3c- 2 一3c =0, TOC o 1-5 h z 3 29 2-c-c22又 x; 3yl2 3b2,x2 3y; 3b2,代入得 2練習(xí)2:已知a_22及b 0 ,設(shè)橢圓C1 :24 a b1的公共點分別為A、B, P、Q分別是橢圓G和雙曲線C2上不同于A、B的兩個動點,且滿足:ULLTuuuruuuuuuAQBQ(A

31、PBP),其中| | 1 .記直線AQ、BQ、AP、BP的斜率分別為k1、k2、底、k4,若 k+k2=5,求 k3+k4.【答案】易知公共點 A、B坐標(biāo)為A( a,0)、B(a,0),令 P(x1,y1),Q(x2, y2)uuuruun則 AQ (x2 a,yz)、BQ &uuua, y2) AP (x1 a,y1)uuuBP (x1 aa)uuur uuuQ AQ BQuuu uuu(AP BP),得(x2,y2)(x/)因為P、Q分別在橢圓、雙曲線上Word資料2 xi W x2 -2 ayi2b22y22 xi-2a2 2x2a2左1 b222yi2xi2 12 1 a由于kik25

32、.y2x2 a 5, x2 a即有22-2Kyi22 a2xiyi2 xi5.2xi22a1帶入.得2xiyi2xi=5.又因為kak4yixi ayixi a2xy122x akak4(方法不唯一)練習(xí)3:已知點4x的焦點,點P是準(zhǔn)線l上的動點,直線PF交拋物線C于A, B兩點,若點P的縱坐標(biāo)為m (m0),點D為準(zhǔn)線l與x軸的交點.(I)求直線UHT(m)設(shè) AFPF的方程;(n)求 DABUUU ULMUUUFB , APPB ,求證的面積S范圍;為定值.解:(I)由題知點P,F的坐標(biāo)分別為(1,m) , (1,0),于是直線PF的斜率為所以直線PF的方程為my (x 1),即為mx 2

33、y m4x,(n)設(shè)A, B兩點的坐標(biāo)分別為(x1,yi),(x2,y2),由ml(x得1),2 22m x (2 m216)x m 0,所以xix22m2 162- , x#2 m1 .于是 | AB | xi又2.24m-2 m16Word資料點D到直線mx 2y m 0的距離d2|m|,所以m 4c 1S |AB|d22_1 4(m4) 2|m|2 m2、m2 44 ,所以 DAB的面積S范圍是(4,).uur uuu(m)由(n)及 AF FB ,uuu uuuAP PB,得(1 Xi,yi)(X2i,y2),(1x), my1)(x2 1,y2 m),1 x1x2 11 x1X2(x21 ).所以所以1 x1x2 1X12x1x2x2 1(x2 1)(x2 1)22x y練習(xí)4:如圖,A為橢圓 亞臺 1(a b 0)上的一個動點,弦 AB、AC分別過焦點F1、F2,當(dāng)AC垂直于x軸時

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