9.4二元函數(shù)的極值教案

1、9.4二元函數(shù)的極值教案9.4二元函數(shù)的極值教案9.4二元函數(shù)的極值教案山東理工職業(yè)學(xué)院教案首頁(yè) 學(xué)年 第 學(xué)期課程名稱 高等數(shù)學(xué)任課教師授課班級(jí)授課時(shí)間第 周第 周第 周第 周第 周第 周星期星期星期星期星期星期第 節(jié)第 節(jié)第 節(jié)第 節(jié)第 節(jié)第 節(jié) 月 日 月 日 月 日 月 日 月 日 月 日授課課題9.4二元函數(shù)的極值教學(xué)目的了解二元函數(shù)極值與條件極值的概念，掌握二元函數(shù)極值存在的必要條件，了解二元函數(shù)極值存在的充分條件，會(huì)求二元函數(shù)的極值；會(huì)用拉格朗日乘數(shù)法求條件極值。教學(xué)重點(diǎn)二元函數(shù)的極值，拉格朗日乘數(shù)法教學(xué)難點(diǎn)拉格朗日乘數(shù)法教學(xué)用具備 注回顧舊知引入新課新授課新授課課堂練習(xí)小結(jié)布置

2、作業(yè)前面我們學(xué)習(xí)過(guò)一元函數(shù)的極值問(wèn)題，進(jìn)而求得實(shí)際問(wèn)題中的最大值和最小值.類似的，二元函數(shù)的最大值、最小值與極值也有密切聯(lián)系，下面我們就探討二元函數(shù)的極值求法.一二元函數(shù)極值定義定義1 設(shè)函數(shù)在點(diǎn)某一鄰域內(nèi)有定義，如果對(duì)于該鄰域內(nèi)異于的點(diǎn)都有，則稱函數(shù)在點(diǎn)處有極大值，點(diǎn)稱為函數(shù)的極大值點(diǎn)；同理，如果都有，則稱函數(shù)在點(diǎn)處有極小值，點(diǎn)稱為函數(shù)的極小值點(diǎn)。極大值和極小值統(tǒng)稱為極值，使函數(shù)取得極值的點(diǎn)稱為極值點(diǎn).例如，函數(shù)在點(diǎn)處有極小值.因?yàn)辄c(diǎn)處的任一鄰域內(nèi)異于的點(diǎn)，都有.從圖形上看，點(diǎn)是開(kāi)口向上的旋轉(zhuǎn)拋物面的頂點(diǎn).又如，函數(shù)在點(diǎn)處有極大值.因?yàn)辄c(diǎn)處的任一鄰域內(nèi)異于的點(diǎn)，都有.從圖形上看，點(diǎn)是單位球面

3、的上半球面頂點(diǎn).二極值存在的條件設(shè)函數(shù)在點(diǎn)處取得極值，如果將函數(shù)中的變量固定，令，則函數(shù)是一元函數(shù)，它在處取得極值，由一元函數(shù)極值存在的必要條件可得.由此得到如下定理：定理1(極值的必要條件) 設(shè)函數(shù)在點(diǎn)處取得極值，且函數(shù)在該點(diǎn)的偏導(dǎo)數(shù)存在，則，.使，同時(shí)成立的點(diǎn)稱為函數(shù)的駐點(diǎn).由定理1可知，具有偏導(dǎo)數(shù)的函數(shù)，其極值點(diǎn)必定為駐點(diǎn).反之，函數(shù)的駐點(diǎn)不一定是極值點(diǎn).例如，函數(shù)在駐點(diǎn)的任何鄰域內(nèi)函數(shù)值可取正值，也可取負(fù)值，而.可見(jiàn)定理1只給出了二元函數(shù)具有極小值的必要條件.為判斷二元函數(shù)的駐點(diǎn)是否為極值點(diǎn)，有如下定理：定理2(極值的充分條件) 設(shè)函數(shù)在點(diǎn)的某領(lǐng)域內(nèi)有連續(xù)二階偏導(dǎo)數(shù)，且點(diǎn)是函數(shù)的駐點(diǎn)，

4、記，則(1)當(dāng)時(shí)，點(diǎn)是極值點(diǎn)，且當(dāng)時(shí)，點(diǎn)為極大值點(diǎn)，且當(dāng)時(shí)，點(diǎn)為極小值點(diǎn).(2)當(dāng)時(shí)，點(diǎn)不是極值點(diǎn).(3)當(dāng)時(shí)，點(diǎn)可能是極值點(diǎn)，也可能不是極值點(diǎn). 例1 求函數(shù)的極值. 解： 解方程組得駐點(diǎn). 故在點(diǎn)處有： 所以為函數(shù)的極大值點(diǎn). 同理在點(diǎn)處有： 所以不是函數(shù)極值點(diǎn). 例2 用鐵皮做一個(gè)體積為的無(wú)蓋長(zhǎng)方體箱子，問(wèn)箱子的尺寸為多少時(shí)才能使鐵皮最省？解：設(shè)箱子的長(zhǎng)寬分別為故箱子的高為所以箱子的表面積為 求偏導(dǎo)數(shù) 解方程組 得唯一解 所以當(dāng)長(zhǎng)寬高均為時(shí)用料最省.三條件極值與拉格朗日數(shù)乘法 在前面研究的極值問(wèn)題中，所考慮的二元函數(shù)的自變量都是相互獨(dú)立的，這些自變量除了受到函數(shù)定義域的限制外，別無(wú)其他附

5、加條件，這類極值問(wèn)題成為無(wú)條件極值.然而，在許多實(shí)際問(wèn)題中函數(shù)的自變量除了受到定義域的限制外，常常還要受到其他附加條件的限制，比如例2中，若設(shè)箱子的長(zhǎng)、寬、高分別為、，則箱子的表面積，此時(shí)還有一個(gè)約束條件，這類極值問(wèn)題稱為條件極值.例2中的解法是將它轉(zhuǎn)化為無(wú)條件極值問(wèn)題來(lái)求解，但很多實(shí)際問(wèn)題中這種轉(zhuǎn)化無(wú)法順利進(jìn)行，因此還需要其他方法.下面介紹一種求條件極值的方法拉格朗日數(shù)乘法.求函數(shù)在附加條件的情況下的極值問(wèn)題，可采用以下步驟：以常數(shù)(稱為拉格朗日乘數(shù))乘以后與相加，得拉格朗日函數(shù)(2)求出對(duì)、的一階偏導(dǎo)數(shù)，(3)解方程組 所得點(diǎn)即為函數(shù)在條件下的可能極值點(diǎn).至于所求點(diǎn)是否為極值點(diǎn)，一般可由問(wèn)題的實(shí)際意義判斷.例3 求在時(shí)的條件極值.解：記， 作拉格朗日函數(shù)： 求偏導(dǎo)數(shù)：, 解方程組 得，對(duì)應(yīng)的函數(shù)值，由幾何直觀知，函數(shù)在，時(shí)有極