2022高考總復(fù)習(xí) 數(shù)學(xué)(人教A理一輪)7.5　數(shù)學(xué)歸納法

1、高考總復(fù)習(xí)優(yōu)化設(shè)計(jì)GAO KAO ZONG FU XI YOU HUA SHE JI7.5數(shù)學(xué)歸納法第七章2022內(nèi)容索引0102必備知識(shí) 預(yù)案自診關(guān)鍵能力 學(xué)案突破必備知識(shí) 預(yù)案自診【知識(shí)梳理】 1.數(shù)學(xué)歸納法的定義一般地,證明一個(gè)與正整數(shù)n有關(guān)的命題,可按下列步驟進(jìn)行:(1)(歸納奠基)證明當(dāng)n取第一個(gè)值n0(n0N*)時(shí)命題成立;(2)(歸納遞推)假設(shè)n=k(kn0,kN*)時(shí)命題成立,證明當(dāng)n=時(shí)命題也成立.只要完成這兩個(gè)步驟,就可以斷定命題對(duì)從n0開始的所有正整數(shù)n都成立.上述證明方法叫做數(shù)學(xué)歸納法.k+1 2.數(shù)學(xué)歸納法的框圖表示 【考點(diǎn)自診】 1.判斷下列結(jié)論是否正確,正確的畫“

2、”,錯(cuò)誤的畫“”.(1)用數(shù)學(xué)歸納法證明問(wèn)題時(shí),第一步是驗(yàn)證當(dāng)n=1時(shí)結(jié)論成立.()(2)所有與正整數(shù)有關(guān)的數(shù)學(xué)命題都必須用數(shù)學(xué)歸納法證明.()(3)不論是等式還是不等式,用數(shù)學(xué)歸納法證明時(shí),由n=k到n=k+1時(shí),項(xiàng)數(shù)都增加了一項(xiàng).()(4)用數(shù)學(xué)歸納法證明等式“1+2+22+2n+2=2n+3-1”,驗(yàn)證n=1時(shí),左邊式子應(yīng)為1+2+22+23.()(5)用數(shù)學(xué)歸納法證明凸n邊形的內(nèi)角和公式時(shí),n0=3.()A.1B.1+2 C.1+2+3 D.1+2+3+4答案 D解析 在等式1+2+3+(n+3)= (nN*)中,當(dāng)n=1時(shí),n+3=4,而等式左邊是起始為1的連續(xù)的正整數(shù)的和,故n=1

3、時(shí),等式左邊的項(xiàng)為1+2+3+4,故選D.答案 C解析 因?yàn)槎噙呅蔚倪厰?shù)最少是3,即三角形,故在應(yīng)用數(shù)學(xué)歸納法證明凸n邊形的對(duì)角線為 n(n-3)條時(shí),第一步驗(yàn)證n等于3,故選C.4.(2020上海實(shí)驗(yàn)學(xué)校期中)已知f(k)=k+(k+1)+(k+2)+2k(kN* ),則()A.f(k+1)-f(k)=2k+2B.f(k+1)-f(k)=3k+3C.f(k+1)-f(k)=4k+2D.f(k+1)-f(k)=4k+3答案 B解析 由題得f(k+1)=k+1+(k+2)+(k+3)+2k+2k+1+2(k+1),f(k)=k+(k+1)+(k+2)+2k,所以f(k+1)-f(k)=-k+2k

4、+1+2k+2=3k+3.故選B.關(guān)鍵能力 學(xué)案突破考點(diǎn)1用數(shù)學(xué)歸納法證明等式【例1】 已知函數(shù)f(n)=-1+3-5+(-1)n(2n-1)(n N*).(1)求f(n+1)-f(n);(2)用數(shù)學(xué)歸納法證明f(n)=(-1)nn.(1)解 f(n)=-1+3-5+(-1)n(2n-1)(n N*),f(n+1)-f(n)=(-1)n+1(2n+1).(2)證明 (i)n=1時(shí),f(1)=-1成立.(ii)假設(shè)n=k N*時(shí)成立,即f(k)=(-1)kk.則n=k+1時(shí),f(k+1)=f(k)+(-1)k+1(2k+1)=(-1)kk+(-1)k+1(2k+1)=(-1)k+1(2k+1-k

5、)=(-1)k+1(k+1).n=k+1時(shí)也成立.綜上可得,對(duì)于任意nN+,f(n)=(-1)nn.解題心得用數(shù)學(xué)歸納法證明等式的注意點(diǎn)(1)用數(shù)學(xué)歸納法證明等式問(wèn)題,要“先看項(xiàng)”,弄清等式兩邊的構(gòu)成規(guī)律,等式兩邊各有多少項(xiàng),初始值n0是多少.(2)由n=k時(shí)等式成立,推出n=k+1時(shí)等式成立,一要找出等式兩邊的變化(差異),明確變形目標(biāo);二要充分利用歸納假設(shè),進(jìn)行合理變形,正確寫出證明過(guò)程.(3)不利用歸納假設(shè)的證明,就不是數(shù)學(xué)歸納法.考點(diǎn)2利用數(shù)學(xué)歸納法證明不等式(1)證明 數(shù)學(xué)歸納法由條件a2及x1=a知,當(dāng)n=1時(shí),x12成立;假設(shè)當(dāng)n=k(kN+)時(shí),不等式成立,則當(dāng)n=k+1(k

6、N*)時(shí),因?yàn)橛蓷l件及由知,不等式xn2對(duì)于所有的正整數(shù)n成立.解題心得1.當(dāng)遇到與正整數(shù)n有關(guān)的不等式證明時(shí),若用其他辦法不容易證,則可考慮應(yīng)用數(shù)學(xué)歸納法.2.證明的關(guān)鍵是:由n=k時(shí)命題成立證n=k+1時(shí)命題也成立,在歸納假設(shè)使用后可運(yùn)用比較法、綜合法、分析法、放縮法等來(lái)加以證明,充分應(yīng)用基本不等式、不等式的性質(zhì)等放縮技巧,使問(wèn)題得以簡(jiǎn)化.對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練2(2020上海高三專題練習(xí))設(shè)實(shí)數(shù)c0,整數(shù)p1,n N*.證明:當(dāng)x-1,且x0時(shí),(1+x)p1+px.證明 當(dāng)p=2時(shí),(1+x)2=1+2x+x21+2x,原不等式成立;假設(shè)p=k(k2,k N*)時(shí),不等式(1+x)k1+kx成立.當(dāng)

7、p=k+1時(shí),(1+x)k+1=(1+x)(1+x)k(1+x)(1+kx)=1+(k+1)x+kx21+(k+1)x.所以p=k+1時(shí),原不等式成立.綜合,知當(dāng)x-1,且x0時(shí),對(duì)一切整數(shù)p1,不等式(1+x)p1+px均成立.考點(diǎn)3歸納猜想證明(多考向探究)考向1與函數(shù)有關(guān)的證明【例3】 設(shè)函數(shù)f(x)=ln (1+x),g(x)=xf(x),x0,其中f(x)是f(x)的導(dǎo)函數(shù).(1)令g1(x)=g(x),gn+1(x)=g(gn(x),n N*,求gn(x)的表達(dá)式;(2)若f(x)ag(x)恒成立,求實(shí)數(shù)a的取值范圍.思考與函數(shù)有關(guān)的證明是何時(shí)使用數(shù)學(xué)歸納法?解題心得一般的若函數(shù)涉

8、及解決探索性問(wèn)題、存在性問(wèn)題或與正整數(shù)有關(guān)的命題中,常常利用特值探索一下結(jié)論,再進(jìn)行猜想、證明.此時(shí)往往用到數(shù)學(xué)歸納法.對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練3已知函數(shù)f(x)=x2-x+1,記f1(x)=f(x),當(dāng)n2時(shí),fn(x)= (f(x).(1)求證:f2(x)在(1,+)上為增函數(shù);(2)對(duì)于任意nN* ,判斷fn(x)在(1,+)上的單調(diào)性,并證明.證明 (1)因?yàn)閒2(x)=f(f(x)=f(x2-x+1),所以f2(x)=(2x-1)f(x2-x+1),因?yàn)閤1,所以2x-10,x2-x+11,所以f(x2-x+1)=2(x2-x+1)-10,所以f2(x)0,所以f2(x)在(1,+)上為增函數(shù).(2

9、)對(duì)于任意xN* ,f(x)在(1,+)上單調(diào)遞增.證明如下:當(dāng)n=1時(shí),結(jié)論顯然成立;假設(shè)當(dāng)n=k時(shí)結(jié)論也成立,即fk(x)在(1,+)上為增函數(shù),所以fk(x)0在(1,+)上恒成立.當(dāng)n=k+1時(shí),fk+1(x)=fk(f(x)=fk(x2-x+1),所以fk+1(x)=(2x-1)fk(x2-x+1).又當(dāng)x1時(shí),2x-10,x2-x+11,所以fk(x2-x+1)0在(1,+)上恒成立,所以fk+1(x)=(2x-1)fk(x2-x+1)0在(1,+)上恒成立,所以 (x)在(1,+)上為增函數(shù).由得證,對(duì)于任意n N*,fn(x)在(1,+)上均為增函數(shù).考向2與數(shù)列有關(guān)的證明【例4】 觀察以下等式:13=1213+23=(1+2)213+23+33=(1+2+3)213+23+33+43=(1+2+3+4)2(1)請(qǐng)用含n的等式歸納猜想出一般性結(jié)論,并用數(shù)學(xué)歸納法加以證明.(2)設(shè)數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn,且an=n3+n,求S10.解 (1)猜想13+23+33+n3=(1+2+3+n)2.當(dāng)n=1時(shí),左邊=1,右邊=1,等式成立;假設(shè)n=k時(shí),13+23