多元生存狀況剩余壽命的關(guān)系兩個體最后生存狀態(tài)的生命函數(shù)課件

1、本章中英文單詞對照多元生命函數(shù)連生狀況最后生存狀況繼承年金Multiple life functionJoint-life statusLast-survivor statusReversionary annuities多重生命函數(shù)的定義及作用多元生命函數(shù)的定義：涉及多個生命剩余壽命的函數(shù)。作用養(yǎng)老金給付場合合伙人聯(lián)保場合遺產(chǎn)稅計(jì)算場合第七章連生狀況多元生命場合凈保費(fèi)的厘定多元生命函數(shù)最后生存狀況多元生命函數(shù)簡介在特殊死亡律假定下求值多元剩余壽命的聯(lián)合分布聯(lián)合密度函數(shù)聯(lián)合分布函數(shù)多元剩余壽命的聯(lián)合分布邊際生存函數(shù)第七章連生狀況多元生命場合凈保費(fèi)的厘定多元生命函數(shù)最后生存狀況多元生命函數(shù)簡介在特

2、殊死亡律假定下求值連生狀況連生狀況定義：當(dāng)所有成員都活著時的狀況，稱為連生狀況。當(dāng)有一個成員死亡時，連生狀況就結(jié)束了。簡記連生狀況為：連生狀況剩余壽命等于：連生狀況剩余壽命的性質(zhì)：求連生狀況的剩余壽命實(shí)質(zhì)上就是m個生命的最小次序統(tǒng)計(jì)量兩個體連生狀況的生命函數(shù)分布函數(shù)生存函數(shù)例7.1兩個40歲的人，剩余壽命相互獨(dú)立，已知:計(jì)算兩個人中先死的人，是在第5第10年間死亡的概率。 例7.1解兩個體連生狀況的生命函數(shù)密度函數(shù)死亡效力函數(shù)例7.2假定（60）和（65）的壽命相互獨(dú)立，且都服從 的de Moivre分布，計(jì)算（1）（2）例7.2解兩個體連生狀況的生命函數(shù)兩獨(dú)立個體至少有一個在第K年死亡的概率

3、連生狀況整值剩余壽命為k的概率兩個體連生狀態(tài)的生命函數(shù)剩余壽命期望例 7.3假定：不抽煙的人的死亡力是同年齡抽煙的人的死亡力的一半。不抽煙的人數(shù)滿足如下方程有一對夫妻丈夫（65）不抽煙，妻子（55）抽煙，求他們還能共同生活的期望時間。例7.3解第七章連生狀況多元生命場合凈保費(fèi)的厘定多元生命函數(shù)最后生存狀況多元生命函數(shù)簡介在特殊死亡律假定下求值最后生存狀況最后生存狀況定義：只要有一個成員活著時的狀況，稱為最后生存狀況。只有當(dāng)所有成員都死亡時，最后生命狀況才算結(jié)束。簡記為：最后生存狀況的剩余壽命等于：最后生存狀況的剩余壽命的性質(zhì)：最后生存狀況的剩余壽命實(shí)際上就是m個生命的剩余壽命的最大次序統(tǒng)計(jì)量兩

4、個體最后生存狀況的生命函數(shù)分布函數(shù) 等價公式兩個體最后生存狀況的生命函數(shù)生存函數(shù) 等價公式兩個體最后生存狀況的生命函數(shù)密度函數(shù) 等價公式兩個體最后生存狀況的生命函數(shù)死亡效力函數(shù)例7.4假定（60）和（65）的壽命相互獨(dú)立，且都服從 的de Moivre分布，計(jì)算（1）（2）例7.4解兩個體最后生存狀況的生命函數(shù)最后生存狀況整值剩余壽命為k的概率等價公式多元生存狀況剩余壽命的關(guān)系 兩個體最后生存狀態(tài)的生命函數(shù)剩余壽命期望聯(lián)合生命狀況剩余壽命協(xié)方差分析例7.5公司剛購入兩臺設(shè)備，它們的剩余壽命相互獨(dú)立，分別服從 和 的de Moivre分布。假如只要有一臺設(shè)備能正常運(yùn)作，公司就不會購進(jìn)新設(shè)備，計(jì)算

5、公司再次購買新設(shè)備的期望時間。 例7.5解第七章連生狀況多元生命場合凈保費(fèi)的厘定多元生命函數(shù)最后生存狀況多元生命函數(shù)簡介在特殊死亡律假定下求值壽險(xiǎn)躉繳純保費(fèi)的確定原理聯(lián)合生命狀況下壽險(xiǎn)躉繳保費(fèi)的確定連生狀況最后生存狀況聯(lián)合生命狀況下生存年金的確定原理連生狀況最后生存狀況連生狀況和最后死亡狀況的關(guān)系例7.6例7.4續(xù)，假定計(jì)算例7.6答案（1）例7.6答案（2）單重次順位函數(shù) 在n年之內(nèi)，(x) 先于(y)死亡單重次順位函數(shù) 在n年之內(nèi)， (y) 后于(x)死亡 順位保險(xiǎn)例7.7例7.4續(xù)求例7.7答案（1）例7.7答案（2）例7.8假定有一(20)歲女性，一(50)歲男性已知求兩者中第一個死亡

6、者的期望壽命例7.8答案繼承年金繼承年金的定義：在聯(lián)合生命狀態(tài)中，只有在其中一個生命（v）死亡之后，另一個生命（u）才能開始獲得年金。這種年金叫做繼承年金，簡記為 。終身繼承年金定期繼承年金例7.9例7.9解例7.10兩個小孩玩電腦游戲。該游戲只允許一人操作。現(xiàn)在是(x)在玩，(y)在旁邊等待。(x)走后，(y)才能開始玩，通常他每小時可以獲得10000點(diǎn)游戲積分。已知(x)每小時離開的恒定效力等于0.7，而(y)每小時離開的恒定效力等于0.6。求這次(y)可能獲得的游戲積分期望值。 例7.10解第七章連生狀況多元生命場合凈保費(fèi)的厘定多元生命函數(shù)最后生存狀況多元生命函數(shù)簡介在特殊死亡律假定下求

7、值Gomperz假定下 目的：尋找能替代連生狀態(tài)的單個生命狀態(tài)w，即已知在Gomperz假定下有 ，則在兩生命獨(dú)立假定下有由這個等式可求出w，于是Makeham假定下 由于Makeham假定的死亡效力函數(shù)含有常數(shù)項(xiàng)，所以無法用單個生命狀態(tài)替換連生狀態(tài)，但是可以考慮用兩個同年齡的連生狀態(tài)（w，w）作替換，即已知在Makeham假定下有 ，則在兩生命獨(dú)立假定下有由這個等式可求出，于是 例7.11假定生命表服從Makeham分布且多元生命狀態(tài)20:30可以被W:W代替。假定多元生命狀態(tài)10:W可以被Z:Z代替求Z.例7.11解均勻分布假定在均勻分布假定下，躉繳凈保費(fèi)和生存年金具有單生命狀態(tài)下近似的性

8、質(zhì)課堂案例補(bǔ)充例7.12已知（60）（70）的壽命服從的de Moivres 分布，剩余壽命相互獨(dú)立。令 代表最后死亡事件發(fā)生在10年后的概率， 代表第一個死亡事件發(fā)生在5年之后，10年之內(nèi)的概率，求 的值。 例7.12答案例7.13給定不同生命剩余壽命相互獨(dú)立計(jì)算40歲人活到75歲的概率 例7.13解例7.14設(shè)計(jì)算例7.14解例7.15有一保單設(shè)計(jì)如下：（x）（y）都活著時每年支付1若（x）先死，每年支付額減為1/2若（y）先死，每年支付額減為1/3若（x）（y）都死亡，給付結(jié)束。寫出該保單精算現(xiàn)值的表達(dá)式例7.15解例7.16一對夫婦投保一份終身連續(xù)生存年金。夫妻都活著時，每年給付1只有一人活著時，每年給付2/3夫妻兩人的剩余期望壽命均服從 的恒定死亡力分布，且求此年金的躉繳保費(fèi)。 例7.16解例7.17一種生存年金規(guī)定：前20