隨機(jī)變量及其分布(浙大第四版)-PPT課件(PPT 123頁)

1、1關(guān)鍵詞：隨機(jī)變量 概率分布函數(shù) 離散型隨機(jī)變量 連續(xù)型隨機(jī)變量 隨機(jī)變量的函數(shù)第二章 隨機(jī)變量及其分布第1頁，共123頁。1 隨機(jī)變量常見的兩類試驗(yàn)結(jié)果：示數(shù)的降雨量； 候車人數(shù)； 發(fā)生交通事故的次數(shù)示性的明天天氣（晴，云）； 化驗(yàn)結(jié)果（陽性，陰性） 2第2頁，共123頁。3esxX=X(e)為S上的單值函數(shù)，X為實(shí)數(shù) 中心問題：將試驗(yàn)結(jié)果數(shù)量化第3頁，共123頁。4第4頁，共123頁。常見的兩類隨機(jī)變量離散型的連續(xù)型的一般的，若I是一個實(shí)數(shù)集合，XI 記為事件B5第5頁，共123頁。6例：擲硬幣3次，出現(xiàn)正面的次數(shù)記為X.樣本點(diǎn)TTT TTH THT HTT HHT HTH THH HHH

2、X的值0 1 1 1 2 2 2 3X0 1 2 3p1/8 3/8 3/8 1/8第6頁，共123頁。7 定義：取值至多可數(shù)的隨機(jī)變量為離散型的隨機(jī)變量。概率分布(分布律)為2 離散型隨機(jī)變量及其分布第7頁，共123頁。概率分布8第8頁，共123頁。例：某人騎自行車從學(xué)校到火車站，一路上要經(jīng)過3個獨(dú)立的交通燈，設(shè)各燈工作獨(dú)立，且設(shè)各燈為紅燈的概率為p，0p0,q0)則稱X服從參數(shù)為p的0-1分布，或兩點(diǎn)分布.若X的分布律為：一、01分布14第14頁，共123頁。15記為它的分布律還可以寫為第15頁，共123頁。對于一個隨機(jī)試驗(yàn)，如果它的樣本空間只包含兩個元素，即 ，我們總能在S上定義一個服從

3、（01）分布的隨機(jī)變量。 來描述這個隨機(jī)試驗(yàn)的結(jié)果。 16第16頁，共123頁。17檢查產(chǎn)品的質(zhì)量是否合格，對新生嬰兒的性別進(jìn)行登記，檢驗(yàn)種子是否發(fā)芽以及前面多次討論過的“拋硬幣”試驗(yàn)都可以用（01）分布的隨機(jī)變量來描述 。第17頁，共123頁。一個隨機(jī)試驗(yàn),設(shè)A是一隨機(jī)事件,且P(A)=p,(0p1).若僅考慮事件A發(fā)生與否, 定義一個服從參數(shù)為p的0-1分布的隨機(jī)變量:來描述這個隨機(jī)試驗(yàn)的結(jié)果。只有兩個可能結(jié)果的試驗(yàn)，稱為Bernoulli試驗(yàn)。 18第18頁，共123頁。19二、二項(xiàng)分布即每次試驗(yàn)結(jié)果互不影響在相同條件下重復(fù)進(jìn)行n重貝努利試驗(yàn)：設(shè)試驗(yàn)E只有兩個可能的結(jié)果： ,p(A)=p

4、,0p1,將E獨(dú)立地重復(fù)進(jìn)行n次，則稱這一串重復(fù)的獨(dú)立試驗(yàn)為n重貝努利試驗(yàn)。第19頁，共123頁。獨(dú)立重復(fù)地拋n次硬幣，每次只有兩個可能的結(jié)果:正面，反面，將一顆骰子拋n次，設(shè)A=得到1點(diǎn)，則每次試驗(yàn)只有兩個結(jié)果：20第20頁，共123頁。21 從52張牌中有放回地取n次，設(shè)A=取到紅牌，則每次只有兩個結(jié)果：第21頁，共123頁。22設(shè)A在n重貝努利試驗(yàn)中發(fā)生X次，則并稱X服從參數(shù)為p的二項(xiàng)分布，記第22頁，共123頁。推導(dǎo)：以n=3為例,設(shè)Ai= 第i次A發(fā)生 23第23頁，共123頁。例：有一大批產(chǎn)品，其驗(yàn)收方案如下：先作第一次檢驗(yàn),從中任取10件，經(jīng)檢驗(yàn)無次品接受這批產(chǎn)品，次品數(shù)大于2拒

5、收；否則作第二次檢驗(yàn)，從中任取5件，僅當(dāng)5件中無次品便接受這批產(chǎn)品，設(shè)產(chǎn)品的次品率為p求這批產(chǎn)品能被接受的概率.24第24頁，共123頁。25解：設(shè)A=接受該批產(chǎn)品。 設(shè)X為第一次抽得的次品數(shù)，Y為第2次抽得的次品數(shù).則XB(10,p)，YB(5,p)，且X=i與Y=j獨(dú)立。第25頁，共123頁。26 例：設(shè)隨機(jī)變量第26頁，共123頁。27第27頁，共123頁。泊松分布(Poisson分布)若隨機(jī)變量X的概率分布律為稱X服從參數(shù)為的泊松分布，記28第28頁，共123頁。29求(1)隨機(jī)觀察1個單位時(shí)間，至少有3人候車的概率； (2)隨機(jī)獨(dú)立觀察5個單位時(shí)間，恰有4個單位時(shí)間至少有3人候車的概

6、率。例：設(shè)某汽車?？空締挝粫r(shí)間內(nèi)候車人數(shù) 第29頁，共123頁。30第30頁，共123頁。31第31頁，共123頁。32第32頁，共123頁。33 例：某地區(qū)一個月內(nèi)每200個成年人中有1個會患上某種疾病，設(shè)各人是否患病相互獨(dú)立。若該地區(qū)一社區(qū)有1000個成年人，求某月內(nèi)該社區(qū)至少有3人患病的概率。第33頁，共123頁。34第34頁，共123頁。35第35頁，共123頁。稱X服從超幾何分布超幾何分布若隨機(jī)變量X的概率分布律為36第36頁，共123頁。37例：一袋中有a個白球，b個紅球，abN,從中不放回地取n個球，設(shè)每次取到各球的概率相等，以X表示取到的白球數(shù)，則X服從超幾何分布。 第37頁，

7、共123頁。稱X服從參數(shù)p的幾何分布幾何分布若隨機(jī)變量X的概率分布律為38第38頁，共123頁。39 例：從生產(chǎn)線上隨機(jī)抽產(chǎn)品進(jìn)行檢測，設(shè)產(chǎn)品的次品率為p，0p1，若查到一只次品就得停機(jī)檢修，設(shè)停機(jī)時(shí)已檢測到X只產(chǎn)品，則X服從參數(shù)p的幾何分布。第39頁，共123頁。稱X服從參數(shù)為(r,p)的巴斯卡分布.巴斯卡分布若隨機(jī)變量X的概率分布律為40第40頁，共123頁。41 例：獨(dú)立重復(fù)地進(jìn)行試驗(yàn)，每次試驗(yàn)的結(jié)果為成功或失敗，每次試驗(yàn)中成功的概率均為p，0p0,q0,q+p=1.pX01qp46第46頁，共123頁。47解：01q1第47頁，共123頁。48第48頁，共123頁。49第49頁，共12

8、3頁。50第50頁，共123頁。51例：設(shè)一物體在A,B兩點(diǎn)間移動，A,B之間距離3個單位。該物體落在A,B間任一子區(qū)間的概率與區(qū)間長度成正比。設(shè)它離A點(diǎn)的距離為X ，求X的分布函數(shù)。第51頁，共123頁。52第52頁，共123頁。與離散型隨機(jī)變量的分布函數(shù)不同53第53頁，共123頁。4 連續(xù)型隨機(jī)變量及其概率密度定義:對于隨機(jī)變量X的分布函數(shù) 若存在非負(fù)的函數(shù) 使對于任意實(shí)數(shù) 有： 則稱X為連續(xù)型隨機(jī)變量， 54第54頁，共123頁。55第55頁，共123頁。56 與物理學(xué)中的質(zhì)量線密度的定義相類似第56頁，共123頁。57思考題：答：都不一定。第57頁，共123頁。 例：設(shè)X的概率密度為

9、 (1)求常數(shù)c的值； (2) 寫出X的概率分布函數(shù)； (3)要使 求k的值。58第58頁，共123頁。59解：第59頁，共123頁。60第60頁，共123頁。幾個重要的連續(xù)量均勻分布定義：X具有概率密度稱X在區(qū)間(a,b)上服從均勻分布，記為XU(a,b)61第61頁，共123頁。62第62頁，共123頁。例：（1）在區(qū)間(-1,2)上隨機(jī)取一數(shù)X，試寫出X的概率密度。并求 的值；（2）若在該區(qū)間上隨機(jī)取10個數(shù)，求10個數(shù)中恰有兩個數(shù)大于0的概率。63第63頁，共123頁。64解：（1） X為在區(qū)間(-1,2)上均勻分布（2）設(shè)10個數(shù)中有Y個數(shù)大于0，則：第64頁，共123頁。例：杭州某

10、長途汽車站每天從早上6點(diǎn)（第一班車）開始，每隔30分鐘有一班車開往上海。王先生在早上6:20過X分鐘到達(dá)車站，設(shè)X服從（0，50）上的均勻分布，（1）求王先生候車時(shí)間不超過15分鐘的概率；（2）如果王先生一月中有兩次按此方式獨(dú)立地去候車，求他一次候車不超過15分鐘，另一次候車大于10分鐘的概率。65第65頁，共123頁。666:20 6:30 6:45 7:00 7:10解： （1）P(候車時(shí)間不超過15鐘)=25/50=0.5(2) P(候車時(shí)間大于10分鐘)=30/50=3/56:30 6:50P(一次候車時(shí)間不超過15分鐘，另一次大于10分鐘)第66頁，共123頁。指數(shù)分布 其中0為常數(shù)

11、，則稱X服從參數(shù)為的指數(shù)分布。記為定義：設(shè)X的概率密度為67第67頁，共123頁。68X具有如下的無記憶性：第68頁，共123頁。69第69頁，共123頁。70第70頁，共123頁。71正態(tài)分布定義：設(shè)X的概率密度為 其中 為常數(shù)，稱X服從參數(shù)為 的正態(tài)分布(Gauss分布)，記為第71頁，共123頁?？梢则?yàn)證：72第72頁，共123頁。73第73頁，共123頁。74第74頁，共123頁。正態(tài)概率密度函數(shù) 75第75頁，共123頁。76第76頁，共123頁。77第77頁，共123頁。稱為位置參數(shù)(決定對稱軸位置) 為尺度參數(shù)(決定曲線分散性)78第78頁，共123頁。X的取值呈中間多，兩頭少，

12、對稱的特性。當(dāng)固定時(shí)，越大，曲線的峰越低，落在附近的概率越小，取值就越分散，即是反映X的取值分散性的一個指標(biāo)。 在自然現(xiàn)象和社會現(xiàn)象中，大量隨機(jī)變量服從或近似服從正態(tài)分布。79第79頁，共123頁。正態(tài)分布下的概率計(jì)算80第80頁，共123頁。81第81頁，共123頁。82第82頁，共123頁。 例：83第83頁，共123頁。例：用天平稱一實(shí)際重量為 的物體，天平的讀數(shù)為隨機(jī)變量 ，設(shè) 時(shí)，（1）求讀數(shù)與 的誤差小于0.005的概率；（2）求讀數(shù)至少比 多0.0085的概率。84第84頁，共123頁。85第85頁，共123頁。86第86頁，共123頁。例：一批鋼材(線材)長度(1)若=100，

13、=2，求這批鋼材長度小于97.8cm的概率；(2)若=100，要使這批鋼材的長度至少有90%落在區(qū)間(97,103)內(nèi)，問至多取何值？87第87頁，共123頁。88第88頁，共123頁。例：設(shè)一天中經(jīng)過一高速公路某一入口的重型車輛數(shù)X近似服從 ，已知有25的天數(shù)超過400輛，有33的天數(shù)不到350輛，求89第89頁，共123頁。90第90頁，共123頁。91 例：一銀行服務(wù)需要等待，設(shè)等待時(shí)間X（分鐘）的概率密度為某人進(jìn)了銀行，且打算過會兒去辦另一件事，于是先等待，如果超過15分鐘還沒有等到服務(wù)就離開，設(shè)他實(shí)際的等待時(shí)間為Y，(1)求Y的分布函數(shù);(2)問Y是離散型隨機(jī)變量嗎？連續(xù)型隨機(jī)變量嗎

14、？第91頁，共123頁。92第92頁，共123頁。5 隨機(jī)變量函數(shù)的分布例如，若要測量一個圓的面積，總是測量其半徑，半徑的測量值可看作隨機(jī)變量X，若 則Y服從什么分布？問題：已知隨機(jī)變量X的概率分布， 且已知Y=g(X)，求Y的概率分布。93第93頁，共123頁。Xpi0.2-1010.50.3例：已知X具有概率分布 且設(shè)Y=X2，求Y的概率分布。94第94頁，共123頁。95即找出(Y=0)的等價(jià)事件(X=0)；(Y=1)的等價(jià)事件(X=1)與(X=-1)的和事件解：Y的所有可能取值為0,1第95頁，共123頁。例：設(shè)隨機(jī)變量X具有概率密度求 的概率密度。96第96頁，共123頁。97解：分

15、記X,Y的分布函數(shù)為第97頁，共123頁。98Y在區(qū)間(0,16)上均勻分布。第98頁，共123頁。 一般，若已知X的概率分布，Y=g(X)，求Y的概率分布的過程為：關(guān)鍵是找出等價(jià)事件。99第99頁，共123頁。例：設(shè) Y=2X,Z=X2,求Y,Z的概率分布。X-110100第100頁，共123頁。101Z01pY-220p解：Y的可能取值為-2,0,2 Z的可能取值為0,1(Y=-2)的等價(jià)事件為(X=-1)(Z=1)的等價(jià)事件為(X=1)(X=-1)故得：第101頁，共123頁。例：102第102頁，共123頁。103第103頁，共123頁。104第104頁，共123頁。例如：XU(-1, 2)，求105第105頁，共123頁。106第106頁，共123頁。107例如：XN(0, 1)，求第107頁，共123頁。108第108頁，共123頁。xh(y),yy0y=g(x)y109第109頁，共123頁。110第110頁，共1