專題09動(dòng)態(tài)幾何定值問(wèn)題(原卷版)

1、 專題九動(dòng)態(tài)幾何定值問(wèn)題【考題研究】數(shù)學(xué)因運(yùn)動(dòng)而充滿活力，數(shù)學(xué)因變化而精彩紛呈。動(dòng)態(tài)題是近年來(lái)中考的的一個(gè)熱點(diǎn)問(wèn)題，以運(yùn)動(dòng)的觀點(diǎn)探究幾何圖形的變化規(guī)律問(wèn)題，稱之為動(dòng)態(tài)幾何問(wèn)題，隨之產(chǎn)生的動(dòng)態(tài)幾何試題就是研究在幾何圖形的運(yùn)動(dòng)中，伴隨著出現(xiàn)一定的圖形位置、數(shù)量關(guān)系的變“與 不變”性的試題，就其運(yùn)動(dòng)對(duì)象而言，有點(diǎn)動(dòng)、線動(dòng)、面動(dòng)三大類，就其運(yùn)動(dòng)形式而言，有軸對(duì)稱（翻折） 、平移、旋轉(zhuǎn)（中心對(duì)稱、滾動(dòng)）等，就問(wèn)題類型而言，有函數(shù)關(guān)系和圖象問(wèn)題、面積問(wèn)題、最值問(wèn)題、和差問(wèn)題、定值問(wèn)題和存在性問(wèn)題等。解這類題目要 以靜制動(dòng)”，即把動(dòng)態(tài)問(wèn)題，變?yōu)殪o態(tài)問(wèn)題來(lái)解，而靜態(tài)問(wèn)題又是動(dòng)態(tài)問(wèn)題的特殊情況。以動(dòng)態(tài)幾何問(wèn)題為

2、基架而精心設(shè)計(jì)的考題，可謂璀璨奪目、精彩四射?！窘忸}攻略】動(dòng)態(tài)幾何形成的定值和恒等問(wèn)題是動(dòng)態(tài)幾何中的常見(jiàn)問(wèn)題，其考點(diǎn)包括線段（和差）為定值問(wèn)題；角度（和差）為定值問(wèn)題；面積（和差）為定值問(wèn)題；其它定值問(wèn)題。解答動(dòng)態(tài)幾何定值問(wèn)題的方法，一般有兩種：第一種是分兩步完成：先探求定值.它要用題中固有的幾何量表示 .再證明它能成立.探求的方法，常用特殊位置定值法，即把動(dòng)點(diǎn)放在特殊的位置，找出定值的表達(dá)式，然后寫(xiě)出證明第二種是采用綜合法，直接寫(xiě)出證明.【解題類型及其思路】在中考中，動(dòng)態(tài)幾何形成的定值和恒等問(wèn)題命題形式主要為解答題。在中考?jí)狠S題中，動(dòng)態(tài)幾何之定值（恒等）問(wèn)題的重點(diǎn)是線段（和差）為定值問(wèn)題，問(wèn)

3、題的難點(diǎn)在于準(zhǔn)確應(yīng)用適當(dāng)?shù)亩ɡ砗头椒ㄟM(jìn)行探究。【典例指引】類型一【線段及線段的和差為定值】【典例指引1】已知： ABC是等腰直角三角形，/BAC=90。，將4ABC繞點(diǎn)C順時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)得到 ABC, 記旋轉(zhuǎn)角為 %當(dāng)90v /V 180時(shí)，作ADXAC,垂足為D, AD與BC交于點(diǎn)E.圖1S2(1)如圖1,當(dāng)/CAD=15。時(shí)，作/AEC的平分線EF交BC于點(diǎn)F.寫(xiě)出旋轉(zhuǎn)角”的度數(shù)；求證：EAEC=EF；(2)如圖2,在(1)的條件下，設(shè)P是直線AD上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，連接PA, PF,若AB=戊,求線段PA+PF的最小值.(結(jié)果保留根號(hào))【舉一反三】如圖(1),已知/ MON =90,點(diǎn)P為射線O

4、N上一點(diǎn)，且OP=4 , B、C為射線OM和ON上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)(OC OP),過(guò)點(diǎn)P作PA BC ,垂足為點(diǎn) A,且PA=2 ,聯(lián)結(jié)BP .Im倍力S PAC 1八(1)若- 彳時(shí)，求tan BPO的值；S3邊形 ABOP 2(2)設(shè)PC x, 2 y求y與x之間的函數(shù)解析式，并寫(xiě)出定義域；BC(3)如圖(2),過(guò)點(diǎn)A作BP的垂線，垂足為點(diǎn) H ,交射線ON于點(diǎn)Q,點(diǎn)B、C在射線OM和ON上運(yùn)動(dòng) 時(shí)，探索線段OQ的長(zhǎng)是否發(fā)生變化？若不發(fā)生變化， 求出它的值。若發(fā)生變化，試用含x的代數(shù)式表示OQ 的長(zhǎng).類型二【線段的積或商為定值】【典例指引2】如圖，矩形ABCD中，AB 2,BC 5, BP 1,

5、 mpn 900 ,將 MPN繞點(diǎn)P從PB 處開(kāi)始按順時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)， PM交邊AB (或AD )于點(diǎn)E , PN交邊AD (或CD )于點(diǎn)F .當(dāng)PN旋轉(zhuǎn) 至PC處時(shí)， MPN的旋轉(zhuǎn)隨即停止.(1)特殊情形：如圖 ，發(fā)現(xiàn)當(dāng)PM過(guò)點(diǎn)A時(shí)，PN也恰好過(guò)點(diǎn)D ,此時(shí) ABP是否與 PCD相似？并 說(shuō)明理由；PEPF(2)類比探究：如圖，在旋轉(zhuǎn)過(guò)程中， 匚三的值是否為定值？若是，請(qǐng)求出該定值；若不是，請(qǐng)說(shuō)明理由；(3)拓展延伸：設(shè) AE t時(shí)，EPF的面積為S,試用含t的代數(shù)式表示S;在旋轉(zhuǎn)過(guò)程中，若t 1時(shí)，求對(duì)應(yīng)的 EPF的面積；在旋轉(zhuǎn)過(guò)程中，當(dāng)EPF的面積為4.2時(shí)，求對(duì)應(yīng)的t的值.【舉一反三】

6、如圖1,已知直線y=a與拋物線y1 2、一 X交于A、B兩點(diǎn)(A在B的左側(cè)，交y軸于點(diǎn)C 4(1)若AB = 4,求a的值 一.一 1.一 一一(2)若拋物線上存在點(diǎn) D(不與A、B重合)，使CD AB ,求a的取值范圍 22于M、如圖2,直線y=kx+2與拋物線交于點(diǎn) E、F,點(diǎn)P是拋物線上的動(dòng)點(diǎn)，延長(zhǎng)PE、PF分別交直線y=-N兩點(diǎn)，MN交y軸于Q點(diǎn)，求QM QN的值。類型三【角及角的和差定值】【典例指引3】如圖，在4ABC中，Z ABC 60, /BACv60,以AB的同側(cè))，連接CD.(1)若/ABC 90, /BAC 30,求 / BDC 的度數(shù)；(2)當(dāng)/BAC 2/BDC時(shí)，請(qǐng)判

7、斷 ABC的形狀并說(shuō)明理由；(3)當(dāng)/ BCD等于多少度時(shí)，/ BAC 2 / BDC恒成立.AB為邊作等邊4ABD (點(diǎn)CD在邊【舉一反三】 如圖1,拋物線W : y ax2 2的頂點(diǎn)為點(diǎn) A,與x軸的負(fù)半軸交于點(diǎn) D,直線AB交拋物線 W于另一點(diǎn)C ,點(diǎn)B的坐標(biāo)為1,0 .(1)求直線AB的解析式；(2)過(guò)點(diǎn)C作CE x軸，交x軸于點(diǎn)E,若AC平分 DCE,求拋物線 W的解析式；-41(3)若a將拋物線 W向下平移m m 0個(gè)單位得到拋物線 W1 ,如圖2,記拋物線W,的頂點(diǎn)為A,與x軸負(fù)半軸的交點(diǎn)為 D1，與射線BC的交點(diǎn)為C1.問(wèn)：在平移的過(guò)程中，tan D1C1B是否恒為定值？若是，

8、請(qǐng)求出tan DQ1B的值；若不是，請(qǐng)說(shuō)明理由.類型四【三角形的周長(zhǎng)為定值】【典例指引4】如圖，現(xiàn)有一張邊長(zhǎng)為 2J2的正方形ABCD,點(diǎn)P為正方形 AD邊上的一點(diǎn)(不與點(diǎn) A、點(diǎn)D重合)，將正方形紙片折疊，使點(diǎn) B落在P處，點(diǎn)C落在G處，PG交DC于H,折痕為EF,連接BP, BH.(1)求證：EPBEBP;(2)求證：APBBPH ;(3)當(dāng)點(diǎn)P在邊AD上移動(dòng)時(shí)，4PDH的周長(zhǎng)是否發(fā)生變化？不變化，求出周長(zhǎng)，若變化，說(shuō)明理由；(4)設(shè)AP為x,四邊形EFGP的面積為S,求出S與x的函數(shù)關(guān)系式.【舉一反三】如圖，在等腰直角三角形 ABC中，ZC=90, AB = 8 J2 ,點(diǎn)。是AB的中點(diǎn)

9、.將一個(gè)邊長(zhǎng)足 夠大的RtADEF的直角頂點(diǎn)E放在點(diǎn)。處，并將其繞點(diǎn) O旋轉(zhuǎn)，始終保持 DE與AC邊交于點(diǎn)G , EF與 BC邊交于點(diǎn)H.(1)當(dāng)點(diǎn)G在AC邊什么位置時(shí)，四邊形 CGOH是正方形.(2)等腰直角三角ABC的邊被RtA DEF覆蓋部分的兩條線段 CG與CH的長(zhǎng)度之和是否會(huì)發(fā)生變化，如不發(fā)生變化，請(qǐng)求出 CG與CH之和的值：如發(fā)生變化，請(qǐng)說(shuō)明理由.類型五【三角形的面積及和差為定值】【典例指引5】綜合與實(shí)踐：矩形的旋轉(zhuǎn)問(wèn)題情境：在綜合與實(shí)踐課上，老師讓同學(xué)們以 矩形的旋轉(zhuǎn)”為主題開(kāi)展數(shù)學(xué)活動(dòng).具體要求：如圖 1,將長(zhǎng)與寬都相 等的兩個(gè)矩形紙片 ABCD和EFGH疊放在一起，這時(shí)對(duì)角線

10、 AC和EG互相重合.固定矩形 ABCD ,將矩形EFGH繞AC的中點(diǎn)O逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)，直到點(diǎn) E與點(diǎn)B重合時(shí)停止，在此過(guò)程中開(kāi)展探究活動(dòng). 操作發(fā)現(xiàn)：(1)雄鷹小組初步發(fā)現(xiàn)：在旋轉(zhuǎn)過(guò)程中，當(dāng)邊 AB與EF交于點(diǎn)M,邊CD與GH交于點(diǎn)N,如圖2、圖3 所示，則線段 AM與CN始終存在的數(shù)量關(guān)系是 .(2)雄鷹小組繼續(xù)探究發(fā)現(xiàn)：在旋轉(zhuǎn)開(kāi)始后，當(dāng)兩個(gè)矩形紙片重疊部分為四邊形QMRN時(shí)，如圖3所示，四邊形QMRN為菱形，請(qǐng)你證明這個(gè)結(jié)論.(3)雄鷹小組還發(fā)現(xiàn)在問(wèn)題(2)中的四邊形 QMRN中/MQN與旋轉(zhuǎn)角/ AOE存在著特定的數(shù)量關(guān)系， 請(qǐng)你寫(xiě)出這一關(guān)系，并說(shuō)明理由.實(shí)踐探究：(4)在圖3中，隨著

11、矩形紙片EFGH的旋轉(zhuǎn)，四邊形QMRN的面積會(huì)發(fā)生變化.若矩形紙片的長(zhǎng)為 2+J2，寬為J2,請(qǐng)你幫助雄鷹小組探究當(dāng)旋轉(zhuǎn)角ZAOE為多少度時(shí)，四邊形 QMRN的面積最大？最大面積是多少？(直接寫(xiě)出答案)E【舉一反三】如圖1,矩形ABCD中，E是AD的中點(diǎn)，以點(diǎn)E直角頂點(diǎn)的直角三角形 EFG的兩邊EF , EG分別過(guò)點(diǎn)B,C, ZF = 30.(1)求證：BE=CE(2)將 EFG繞點(diǎn)E按順時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)，當(dāng)旋轉(zhuǎn)到 EF與AD重合時(shí)停止轉(zhuǎn)動(dòng).若EF, EG分別與AB,BC相交于點(diǎn)M, N.(如圖2)求證：ABEMA CEN;若AB = 2,求4BMN面積的最大值；當(dāng)旋轉(zhuǎn)停止時(shí)，點(diǎn) B恰好在FG上(

12、如圖3),求sin / EBG的值.【新題訓(xùn)練】1 .已知在平行四邊形 ABCD中，AB=6, BC=10, /BAD=120, E為線段BC上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)(不與 B, C重合)，過(guò)E作直線AB的垂線，垂足為 F, FE與DC的延長(zhǎng)線相交于點(diǎn) G,(1)如圖1,當(dāng)AELBC時(shí)，求線段BE、CG的長(zhǎng)度.(2)如圖2,點(diǎn)E在線段BC上運(yùn)動(dòng)時(shí)，連接 DE, DF, BEF與4CEG的周長(zhǎng)之和是否是一個(gè)定值，若是請(qǐng)求出定值，若不是請(qǐng)說(shuō)明理由.(3)如圖2,設(shè)BE=x, ADEF的面積為y,試求出y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式.如圖，邊長(zhǎng)為8的正方形OABC的兩邊在坐標(biāo)軸上，以點(diǎn) C為頂點(diǎn)的拋物線經(jīng)過(guò)點(diǎn) A,點(diǎn)P是

13、拋物線上 點(diǎn)A、C間的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)(含端點(diǎn))，過(guò)點(diǎn)P作PFLBC于點(diǎn)F,點(diǎn)D、E的坐標(biāo)分別為(0, 6), (-4, 0),連接 PD, PE, DE.(1)求拋物線的解析式;(2)小明探究點(diǎn)P的位置是發(fā)現(xiàn)：當(dāng)點(diǎn) P與點(diǎn)A或點(diǎn)C重合時(shí)，PD與PF的差為定值，進(jìn)而猜想：對(duì)于任意一點(diǎn)P, PD與PF的差為定值，請(qǐng)你判定該猜想是否正確，并說(shuō)明理由;(3)請(qǐng)直接寫(xiě)出4PDE周長(zhǎng)的最大值和最小值.如圖，四邊形 ABCD 中，AD / BC, /ABC=90.(1)直接填空：/ BAD = (2)點(diǎn)P在CD上，連結(jié)AP, AM平分/DAP, AN平分/FAB, AM、AN分別與射線 BP交于點(diǎn)M、N.設(shè)求/

14、BAN的度數(shù)(用含a的代數(shù)式表示).若ANLBM,試探究/AMB的度數(shù)是否為定值？若為定值，請(qǐng)求出該定值；若不為定值，請(qǐng)用 a的代數(shù).將在同一平面內(nèi)如圖放置的兩塊三角板繞公共頂點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)，連接BC, DE.探究Saabc與Saadc的比是否為定值.（1）兩塊三角板是完全相同的等腰直角三角板時(shí)，Saabc ： Saade是否為定值？如果是，求出此定值，如果不是，說(shuō)明理由.（圖）一塊是等腰直角三角板，另一塊是含有30。角的直角三角板時(shí)，Saabc： Saade是否為定值？如果是，求出此定值，如果不是，說(shuō)明理由.（圖）（3）兩塊三角板中，ZBAE+ZCAD=180, AB=a, AE=b, AC=m,

15、 AD = n （a, b, m, n 為常數(shù)），Saabc： S/xade是否為定值？如果是，用含 a, b, m, n的式子表示此定值（直接寫(xiě)出結(jié)論，不寫(xiě)推理過(guò)程），如果不是，說(shuō)明理由.（圖）.（解決問(wèn)題）如圖1,在 ABC中，AB AC 10, CG AB于點(diǎn)G .點(diǎn)P是BC邊上任意一點(diǎn)，過(guò) 點(diǎn)P作PE AB , PF AC ,垂足分別為點(diǎn) E ,點(diǎn)F .(1)若 PE 3, PF 5,則 ABP 的面積是, CG 且 PE BC,(2)猜想線段PE , PF , CG的數(shù)量關(guān)系，并說(shuō)明理由.PG的值.(3)(變式探究)如圖2,在 ABC中，若AB AC BC 10,點(diǎn)P是 ABC內(nèi)任意

16、一點(diǎn),PF AC , PG AB ,垂足分別為點(diǎn)E ,點(diǎn)F ,點(diǎn)G ,求PE PF(4)(拓展延伸)如圖3,將長(zhǎng)方形 ABCD沿EF折疊，使點(diǎn)D落在點(diǎn)B上，點(diǎn)C落在點(diǎn)C處，點(diǎn)P為折痕EF上的任意一點(diǎn)，過(guò)點(diǎn) P作PG BE , PH BC,垂足分別為點(diǎn)8, CF 3,直接寫(xiě)出PG PH的值.P1B圖3.如圖，已知銳角 ABC中，AB、AC邊的中垂線交于點(diǎn) O(1)若/ A= e (0 “V 90),求/ BOC;(2)試判斷/ ABO+/ACB是否為定值；若是，求出定值，若不是，請(qǐng)說(shuō)明理由. OO的直徑AB= 15cm,有一條定長(zhǎng)為9cm的動(dòng)弦，CD在弧AB上滑動(dòng)(點(diǎn)C和A、點(diǎn)D與B不重合)，且

17、 CELCD 交 AB 于 E, DFLCD 交 AB于 F.(1)求證：AE=BF（2）在動(dòng)弦CD滑動(dòng)過(guò)程中，四邊形 CDFE的面積是否為定值，若是定值，請(qǐng)給出證明，并求這個(gè)定值, 若不是，請(qǐng)說(shuō)明理由.如圖，動(dòng)點(diǎn)M在以。為圓心，血 為直徑的半圓弧上運(yùn)動(dòng)（點(diǎn) M不與點(diǎn)4 B及軸 的中點(diǎn)F重合），連接0n .過(guò)點(diǎn)a/作neids于點(diǎn),以ee為邊在半圓同側(cè)作正方形 bcde ,過(guò)加點(diǎn)作二o的切線交 射線DC于點(diǎn)X ,連接BAF、SX.（1）探究：如左圖，當(dāng) a1動(dòng)點(diǎn)在石上運(yùn)動(dòng)時(shí)；判斷四1二是否成立？請(qǐng)說(shuō)明理由；設(shè) 絲二二 二匕 六是否為定值？若是，求出該定值，若不是，請(qǐng)說(shuō)明理由；設(shè)上U3N=）,值

18、是否為定值？若是，求出該定值，若不是，請(qǐng)說(shuō)明理由；（2）拓展：如右圖，當(dāng)動(dòng)點(diǎn) 3/在手丑上運(yùn)動(dòng)時(shí)；分別判斷（1）中的三個(gè)結(jié)論是否保持不變？如有變化，請(qǐng)直接寫(xiě)出正確的結(jié)論.（均不必說(shuō)明理由）.如圖，已知。的半徑為2, AB為直徑，CD為弦.AB與CD交于點(diǎn)M ,將Cd沿著CD翻折后, 點(diǎn)A與圓心O重合，延長(zhǎng)OA至P ,使AP OA,鏈接PC .（1）求CD的長(zhǎng).(2)求證：PC是。的切線.(3 )點(diǎn)G為ADB的中點(diǎn)，在PC延長(zhǎng)線上有一動(dòng)點(diǎn) Q ,連接QG交AB于點(diǎn)E ,交？C于點(diǎn)F ( F與B、C不重合).則GE GF為一定值.請(qǐng)說(shuō)明理由，并求出該定值.在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)A和點(diǎn)B分別在x軸的

19、正半軸和y軸的正半軸上，且 OA=6, OB=8 ,點(diǎn)D是AB的中點(diǎn).(1)直接寫(xiě)出點(diǎn)D的坐標(biāo)及AB的長(zhǎng);(2)若直角/ NDM繞點(diǎn)D旋轉(zhuǎn)，射線DP分別交x軸、y軸于點(diǎn)P、N,射線DM交x軸于點(diǎn)M,連接MN .當(dāng)點(diǎn)P和點(diǎn)N分別在x軸的負(fù)半軸和y軸的正半軸時(shí)，若 PDMsmon,求點(diǎn)N的坐標(biāo);在直角ZNDM繞點(diǎn)D旋轉(zhuǎn)的過(guò)程中，/DMN的大小是否會(huì)發(fā)生變化？請(qǐng)說(shuō)明理由.11.如圖, AOB 中，A ( 8, 0),B (0, 32), AC平分/OAB,交y軸于點(diǎn)C,點(diǎn)P是x軸上一點(diǎn),3OP經(jīng)過(guò)點(diǎn)A、C,與x軸于點(diǎn)D,過(guò)點(diǎn)C作CELAB,垂足為E, EC的延長(zhǎng)線交x軸于點(diǎn)F,(1) OP的半徑為;

20、(2)求證：EF為。P的切線；(3)若點(diǎn)H是CD上一動(dòng)點(diǎn)，連接 OH、FH ,當(dāng)點(diǎn)值，求其值；若不是定值，請(qǐng)說(shuō)明理由.H在CD上運(yùn)動(dòng)時(shí)，試探究 OH是否為定值？若為定FH12.如圖，在菱形 ABCD中，Z ABC=60, AB=2.過(guò)點(diǎn)A作對(duì)角線BD的平行線與邊 CD的延長(zhǎng)線相交于點(diǎn)E. P為邊BD上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)(不與端點(diǎn) B, D重合)，連接PA, PE, AC.(1)求證：四邊形 ABDE是平行四邊形；(2)求四邊形ABDE的周長(zhǎng)和面積；(3)記4ABP的周長(zhǎng)和面積分別為 Ci和Si, APDE的周長(zhǎng)和面積分別為 C2和S2,在點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)過(guò)程中, 試探究下列兩個(gè)式子的值或范圍：C1+C2,S

21、1+S2,如果是定值的，請(qǐng)直接寫(xiě)出這個(gè)定值；如果不是定值的，請(qǐng)直接寫(xiě)出它的取值范圍.如圖，在eO中，圓心O關(guān)于弦AB的對(duì)稱點(diǎn)C恰好在eO上，連接AC、BC、BO、AO. (1)求證：四邊形AOBC是菱形；(2)如圖，若點(diǎn)Q是優(yōu)弧AmB (不含端點(diǎn)A、B)上任意一點(diǎn)，連接 CQ交AB于點(diǎn)P, e O的半徑為2.3試探究線段CP與CQ的積CP CQ是否為定值？若是，求出該定值；若不是，請(qǐng)說(shuō)明理由;求CPPO的取值范圍.如圖，拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)為 C (0, 8),并且經(jīng)過(guò)A (8, 0),點(diǎn)P是拋物線上點(diǎn) A, C間的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)(含 端點(diǎn))，過(guò)點(diǎn)P作直線y=8的垂線，垂足為點(diǎn) F,點(diǎn)D, E的坐標(biāo)分別為(0, 6), (4, 0),連接