人教版導與練總復習數學一輪教學課件：第三章第二節(jié)第一課時　利用導數研究函數的單調性

1、第2節(jié)導數在研究函數中的應用課程標準要求1.結合實例,借助幾何直觀了解函數的單調性與導數的關系;能利用導數研究函數的單調性;對于多項式函數,能求不超過三次的多項式函數的單調區(qū)間.2.借助函數的圖象,了解函數在某點取得極值的必要條件和充分條件;能利用導數求某些函數的極大值、極小值以及給定閉區(qū)間上不超過三次的多項式函數的最大值、最小值;體會導數與單調性、極值、最大(小)值的關系.必備知識課前回顧 回歸教材 夯實四基知識梳理1.函數的單調性與導數的關系一般地,函數f(x)的單調性與導函數f(x)的正負之間具有如下的關系:(1)在某個區(qū)間(a,b)上,如果 ,那么函數y=f(x)在區(qū)間(a,b)上 .

2、(2)在某個區(qū)間(a,b)上,如果 ,那么函數y=f(x)在區(qū)間(a,b)上 .f(x)0單調遞增f(x)0在(a,b)上成立”是“f(x)在(a,b)上單調遞增”的充分不必要條件.如f(x)=x3在定義域上是增函數,但是其導數f(x)=3x20.2.函數的極值與導數的關系(1)極值的定義:函數y=f(x)在點x=a的函數值f(a)比它在點x=a附近其他點的函數值都小,f(a)=0,而且在點x=a附近的左側f(x)0.類似地,函數y=f(x)在點x=b的函數值f(b)比它在點x=b附近其他點的函數值都大, f(b)=0,而且在點x=b附近的左側f(x)0,右側f(x)0,右側f(x)0,那么f

3、(x0)是 值;如果在x0附近的左側f(x)0,那么f(x0)是 值.極小釋疑對于可導函數f(x),f(x0)=0是函數f(x)在x=x0處有極值的必要不充分條件.如f(x)=x3在定義域上是增函數,其導數f(0)=0,但是x=0卻不是其極值點.3.函數的最值與導數一般地,求函數y=f(x)在區(qū)間a,b上的最大值與最小值的步驟如下:(1)求函數y=f(x)在區(qū)間(a,b)上的 ;(2)將函數y=f(x)的各極值與端點處的函數值f(a),f(b)比較,其中 的一個是最大值, 的一個是最小值.極值最大最小釋疑(1)若函數f(x)在開區(qū)間(a,b)內只有一個極值點,則相應的極值點一定是函數的最值點.

4、(2)極值有可能是最值,但最值只要不在區(qū)間端點處取得,其必定是極值.對點自測1.函數f(x)的定義域為R,導函數f(x)的圖象如圖所示,則函數f(x)( )A.無極大值點、有四個極小值點B.有三個極大值點、一個極小值點C.有兩個極大值點、兩個極小值點D.有四個極大值點、無極小值點C解析:導函數的圖象與x軸的四個交點都是極值點,第一個與第三個是極大值點,第二個與第四個是極小值點.故選C.AB3.函數f(x)=ln x-x在區(qū)間(0,e上的最大值為( )A.1-eB.-1C.-eD.0解析:由f(x)=(4-x)ex4.故選D.4.函數f(x)=(5-x)ex的單調遞減區(qū)間是( )A.(-,4)B

5、.(0,4)C.(1,5) D.(4,+)D5.已知函數f(x)=x3+ax2+4x+8在R上單調遞增,則實數a的取值范圍是.第一課時利用導數研究函數的單調性考點一不含參數的函數的單調性關鍵能力課堂突破 類分考點 落實四翼B AB題后悟通求函數的單調區(qū)間的方法:(1)確定函數y=f(x)的定義域;(2)求導數f(x);(3)解不等式f(x)0,解集在定義域內的部分為單調遞增區(qū)間;(4)解不等式f(x)0分類討論.考點三導數與函數單調性關系的應用角度一利用導數研究導函數圖象解析:對于A選項,由函數y=f(x)的圖象可知,f(0)=0,但函數y=f(x)在x=0處的切線斜率不存在,不滿足題意;對于

6、B選項,由函數y=f(x)的圖象可知,函數y=f(x)存在增區(qū)間,但B選項的圖中,函數y=f(x)為減函數,不滿足 題意;對于C選項,由函數y=f(x)的圖象可知,函數y=f(x)在R上為增函數,滿足題意;對于D選項,由函數y=f(x)的圖象可知,函數y=f(x)有兩個單調區(qū)間,但D選項的圖中,函數y=f(x)有三個單調區(qū)間,不滿足題意.故選C.解題策略函數圖象與其導函數圖象的關系:導函數f(x)圖象在x軸上方時對應的自變量的取值區(qū)間為原函數f(x)圖象上升部分對應的區(qū)間(遞增區(qū)間),導函數f(x)圖象在x軸下方時對應的自變量的取值區(qū)間為原函數f(x)圖象下降部分對應的區(qū)間(遞減區(qū)間).角度二

7、利用導數構造函數解不等式解題策略1.根據已知條件中導數的符號比較大小,其關鍵在于利用題目條件構造輔助函數,把比較大小的問題轉化為先利用導數研究函數的單調性,進而根據單調性比較大小.2.根據原函數與導函數的關系構造不等式的方法:(1)若已知f(x)+f(x)的符號,常構造函數g(x)=exf(x);而涉及f(x)+nf(x)的符號,則構造函數g(x)=enxf(x);(3)對于xf(x)+nf(x)0型,構造F(x)=xnf(x),則F(x)=xn-1xf(x)+ nf(x)(注意對xn-1的符號進行討論),特別地,當n=1時,xf(x)+f(x)0,構造F(x)=xf(x),則F(x)=xf(

8、x)+f(x)0;角度三利用導數比較函數值的大小解題策略根據函數解析式或函數特征研究與函數值大小有關的問題,需要先結合導數的工具性作用確定函數的單調區(qū)間后研究函數值的大小.角度四利用函數單調性求取值范圍解題策略1.已知函數單調性求參數范圍(1)已知可導函數f(x)在區(qū)間D上單調遞增,則在區(qū)間D上f(x)0恒成立;(2)已知可導函數f(x)在區(qū)間D上單調遞減,則在區(qū)間D上f(x)0恒成立;(3)已知可導函數f(x)在區(qū)間D上存在增區(qū)間,則f(x)0在區(qū)間D上有解;(4)已知可導函數f(x)在區(qū)間D上存在減區(qū)間,則f(x)0在區(qū)間D上有解.2.已知函數在所給區(qū)間上不單調,則轉化為導函數在區(qū)間上存在

9、變號零點,通常利用分離變量法求解參變量的范圍.針對訓練1.函數y=f(x)的導函數y=f(x)的圖象如圖所示,則函數y=f(x)的圖象可能是()解析:設導函數y=f(x)與x軸交點的橫坐標從左往右依次為x1,x2,x3,由導函數y=f(x)的圖象易得當x(-,x1)(x2,x3)時,f(x)0(其中x10 x21, f(0)=2 020,則不等式exf(x)ex+2 019的解集為()A.(-,0) B.(-,0)(2 019,+)C.(2 019,+) D.(0,+)解析:設g(x)=exf(x)-ex,則g(x)=exf(x)+exf(x)-ex=exf(x)+f(x)-1.因為f(x)+

10、f(x)1,ex0,所以g(x)=exf(x)+f(x)-10,所以g(x)是R上的增函數.又g(0)=f(0)-1=2 019,所以g(x)2 019的解集為(0,+),即不等式exf(x)ex+2 019的解集為(0,+).故選D.備選例題例2 若函數f(x)=ex-ln x-mx在區(qū)間(1,+)上單調遞增,則實數m的取值范圍是()A.(-,e-1)B.(-,e-1C.(-,e+1)D.(-,e+1例3 已知函數f(x)=xex-e(ln x+x),求f(x)的單調區(qū)間.當1ae時,令ex=a,得x=ln a(0,1),由f(x)0得ln ax0得0 x1,所以f(x)在(0,ln a),(1,+)上單調遞增,在(ln a,1)上單調遞減.當a=e時,令ex=a,得x=ln a=1,所以f(x)0,故f(x)在(0,+)上單調遞增.當ae時,令ex=a,得x=l