人教版導與練總復習數(shù)學一輪教學課件：第五章第4節(jié)　數(shù)列求和及綜合應用

1、第4節(jié)數(shù)列求和及綜合應用課程標準要求1.掌握等差、等比數(shù)列的前n項和公式.2.掌握特殊的非等差、等比數(shù)列的幾種常見的求和方法.必備知識課前回顧 回歸教材 夯實四基關(guān)鍵能力課堂突破 類分考點 落實四翼必備知識課前回顧 回歸教材 夯實四基知識梳理(2)分組求和法:若一個數(shù)列的通項公式是由若干個等差或等比或可求和的數(shù)列組成的,則求和時可用分組求和法,分別求和而后相加減.(3)裂項相消法:把數(shù)列的通項拆成兩項之差,在求和時中間的一些項可以相互抵消(注意消項規(guī)律),從而求得前n項和.(4)錯位相減法:如果一個數(shù)列的各項是由一個等差數(shù)列和一個等比數(shù)列的對應項之積構(gòu)成的,那么求這個數(shù)列的前n項和即可用錯位相

2、減法求解.(5)倒序相加法:如果一個數(shù)列an與首末兩端等“距離”的兩項的和相等或等于同一個常數(shù),那么求這個數(shù)列的前n項和即可用倒序相加法求解.(6)并項求和法:一個數(shù)列的前n項和中,可兩兩結(jié)合求解,則稱之為并項求和.形如an=(-1)nf(n)類型,可采用兩項合并求解.2.數(shù)列應用題的常見模型(1)等差模型:當增加(或減少)的量是一個固定量時,該模型是等差模型,增加(或減少)的量就是公差.(2)等比模型:當后一個量與前一個量的比是一個固定的數(shù)時,該模型是等比模型,這個固定的數(shù)就是公比.(3)遞推模型:找到數(shù)列中任一項與它前面項之間的遞推關(guān)系式,可由遞推關(guān)系入手解決實際問題,該模型是遞推模型.等

3、差模型、等比模型是該模型的兩個特例.重要結(jié)論對點自測BAB4.數(shù)列an的前n項和為Sn,已知Sn=1-2+3-4+(-1)n-1n,則S17=.解析:S17=1-2+3-4+5-6+15-16+17=1+(-2+3)+(-4+5)+(-6+7)+(-14+15)+(-16+17)=1+1+1+1=9.答案:95.已知數(shù)列an的前n項和為Sn且an=n2n,則 Sn=.答案:(n-1)2n+1+2考點一數(shù)列求和關(guān)鍵能力課堂突破 類分考點 落實四翼角度一 分組轉(zhuǎn)化法解題策略分組求和法的常見類型(1)若an=bncn,且bn,cn為等差或等比數(shù)列,可采用分組法求an的前n項和.角度二 裂項相消法例1

4、-2 已知數(shù)列an是遞增的等比數(shù)列,且a1+a4=9,a2a3=8.(1)求數(shù)列an的通項公式;例1-2 已知數(shù)列an是遞增的等比數(shù)列,且a1+a4=9,a2a3=8.解題策略(1)利用裂項相消法求和時,應注意抵消后并不一定只剩下第一項和最后一項,也有可能前面剩兩項,后面也剩兩項.角度三 錯位相減法例1-3 已知an為等差數(shù)列,前n項和為Sn(nN*),bn是首項為2的等比數(shù)列,且公比大于0,b2+b3=12,b3=a4-2a1,S11=11b4.(1)求an和bn的通項公式;解:(1)設等差數(shù)列an的公差為d,等比數(shù)列bn的公比為q.由已知b2+b3=12,得b1(q+q2)=12,而b1=

5、2,所以q2+q-6=0.又因為q0,解得q=2.所以bn=2n.由b3=a4-2a1,可得3d-a1=8,由S11=11b4,可得a1+5d=16,聯(lián)立,解得a1=1,d=3,由此可得an=3n-2.所以數(shù)列an的通項公式為an=3n-2,數(shù)列bn的通項公式為bn=2n.例1-3 已知an為等差數(shù)列,前n項和為Sn(nN*),bn是首項為2的等比數(shù)列,且公比大于0,b2+b3=12,b3=a4-2a1,S11=11b4.(2)求數(shù)列a2nb2n-1的前n項和(nN*).解題策略(1)一般地,如果數(shù)列an是等差數(shù)列,bn是等比數(shù)列,求數(shù)列anbn的前n項和時,可采用錯位相減法求和,一般是和式兩

6、邊同乘以等比數(shù)列bn的公比,然后作差求解.(2)在寫出“Sn”與“qSn”的表達式時應特別注意將兩式“錯項對齊”以便下一步準確寫出“Sn-qSn”的表達式.針對訓練 (1)已知數(shù)列an滿足a1=1,an+1an=2n (nN*),則S2 018等于()A.22 018-1B.321 009-3C.321 009-1D.321 008-2(3)已知等差數(shù)列an的公差是1,且a1,a3,a9成等比數(shù)列.求數(shù)列an的通項公式;考點二數(shù)列與函數(shù)、不等式的綜合問題解題策略解決數(shù)列與函數(shù)、不等式的綜合問題的關(guān)鍵是從題設中提煉出數(shù)列的基本條件,綜合函數(shù)與不等式的知識求解;數(shù)列是特殊的函數(shù),以數(shù)列為背景的不等

7、式證明問題及以函數(shù)為背景的數(shù)列的綜合問題體現(xiàn)了在知識交匯上命題的特點.考點三數(shù)列中的創(chuàng)新題角度一 選擇一個條件角度二 選擇多個條件解題策略正確解決本題的關(guān)鍵是從三個條件中選擇兩個合并在題目中,確定出數(shù)列an的通項公式,從而完成新數(shù)列的數(shù)列求和.針對訓練1.已知正項數(shù)列an的前n項和為Sn,且4Sn=(an+1)2.(1)求數(shù)列an的通項公式;解:(1)因為4Sn=(an+1)2,所以當n=1時,4a1=4S1=(a1+1)2,解得a1=1.當n2時,4Sn-1=(an-1+1)2,又4Sn=(an+1)2,所以兩式相減得4an=(an+1)2-(an-1+1)2,可得(an+an-1)(an-

8、an-1-2)=0,因為an0,所以an-an-1=2,所以數(shù)列an是首項為1,公差為2的等差數(shù)列,所以an=2n-1,故數(shù)列an的通項公式為an=2n-1.2.(2021山東威海高三上學期期中考試)在a1+a3=b3,b2+S5=-b4,a1+a9=-4.這三個條件中任選兩個,補充在下面的問題中.若問題中的m存在,求出m的值;若不存在,請說明理由.設等差數(shù)列an的前n項和為Sn,bn是各項均為正數(shù)的等比數(shù)列,設前n項和為Tn,若 , ,且b1=2,T4=5T2.是否存在大于2的正整數(shù)m,使得4S1,S3,Sm成等比數(shù)列?備選例題例1 在數(shù)列an中,a1=1,a2=2,an+2-an=1+(-

9、1)n,那么S100的值為()A.2 500 B.2 600 C.2 700 D.2 800例2 已知等差數(shù)列an的公差為2,且a4是a2與a8的等比中項,則an等于()A.-2nB.2nC.2n-1D.2n+1例3 設y=f(x)是一次函數(shù),若f(0)=1,且f(1),f(4),f(13)成等比數(shù)列,則f(2)+f(4)+f(2n) 等于()A.n(2n+3)B.n(n+4)C.2n(2n+3)D.2n(n+4)解析:由題意可設f(x)=kx+1(k0),則(4k+1)2=(k+1)(13k+1),解得k=2,f(2)+f(4)+f(2n)=(22+1)+(24+1)+(22n+1)=n(2

10、n+3).故選A.例4 (2021江蘇鹽城高三考前熱身)在對任意n1滿足Sn+1+Sn-1=2(Sn+1);Sn+1-2=Sn+an;Sn=nan+1-n(n+1).這三個條件中任選一個,補充在下面問題中.問題:已知數(shù)列an的前n項和為Sn,a2=4,若數(shù)列an是等差數(shù)列,求出數(shù)列an的通項公式;若數(shù)列an不是等差數(shù)列,請說明理由.解:若選擇條件:因為對任意n1,nN*,滿足Sn+1+Sn-1=2(Sn+1),所以Sn+1-Sn=Sn-Sn-1+2,即an+1-an=2,因為無法確定a1的值,所以a2-a1不一定等于2,所以數(shù)列an不一定是等差數(shù)列.若選擇條件:由Sn+1-2=Sn+an,則Sn+1-Sn-an=2,即an+1-an=2,nN*,因為a2=4,所以a1=2,所以數(shù)列an是等差數(shù)列,公差為2,因此數(shù)列an的通項公式為an=2n.若選擇條件:因為Sn=nan+1-n(n+1),所以Sn-1=(n-1)an-