電路課件：第15章 電路方程的矩陣形式

1、第15章 電路方程的矩陣形式割集15.1關(guān)聯(lián)矩陣、回路矩陣、割集矩陣15.2矩陣A、Bf 、Qf 之間的關(guān)系15.3*回路電流方程的矩陣形式15.4結(jié)點電壓方程的矩陣形式15.5列表法15.7*割集電壓方程的矩陣形式15.6*首 頁本章重點重點 關(guān)聯(lián)矩陣、割集矩陣、基本回路矩 陣和基本割集矩陣的概念 回路電流方程、結(jié)點電壓方程和割 集電壓方程的矩陣形式返 回15.1 割集下 頁上 頁割集Q 連通圖G中支路的集合，具有下述性質(zhì)：把Q中全部支路移去，圖分成二個分離部分。任意放回Q 中一條支路，仍構(gòu)成連通圖。876543219割集：(1 9 6) (2 8 9)(3 6 8) (4 6 7) (5

2、7 8)(3 6 5 8 7) , (3 6 2 8)是割集嗎？問題返 回基本割集只含有一個樹枝的割集。割集數(shù)n-1 連支集合不能構(gòu)成割集。下 頁上 頁注意876543219屬于同一割集的所有支路的電流應(yīng)滿足KCL。當(dāng)一個割集的所有支路都連接在同一個結(jié)點上，則割集的KCL方程變?yōu)榻Y(jié)點上的KCL方程 。返 回下 頁上 頁注意對應(yīng)一組線性獨立的KCL方程的割集稱為獨立割集 ，基本割集是獨立割集，但獨立割集不一定是單樹支割集。 返 回15.2 關(guān)聯(lián)矩陣、回路矩陣、割集矩陣 圖的矩陣表示是指用矩陣描述圖的拓?fù)湫再|(zhì)，即KCL和KVL的矩陣形式。有三種矩陣形式：下 頁上 頁1. 圖的矩陣表示結(jié)點支路關(guān)聯(lián)矩

3、陣回路支路回路矩陣割集支路割集矩陣返 回下 頁上 頁2. 關(guān)聯(lián)矩陣A 用矩陣形式描述結(jié)點和支路的關(guān)聯(lián)性質(zhì)。n個結(jié)點b條支路的圖用nb的矩陣描述：Aa=n b支路b結(jié)點 n每一行對應(yīng)一個結(jié)點，每一列對應(yīng)一條支路。矩陣Aa的每一個元素定義為：注意ajkajk=1 支路 k 與結(jié)點 j 關(guān)聯(lián)，方向背離結(jié)點；ajk= -1 支路 k 與結(jié)點 j 關(guān)聯(lián)，方向指向結(jié)點；ajk =0 支路 k 與結(jié)點 j 無關(guān)。返 回下 頁上 頁例1特點每一列只有兩個非零元素，一個是+1，一個是-1，Aa的每一列元素之和為零。Aa=12341 2 3 4 5 6 支結(jié)-1 -1 1 0 0 00 0 -1 -1 0 11

4、0 0 1 1 00 1 0 0 -1 -1矩陣中任一行可以從其他n-1行中導(dǎo)出，即只有n-1行是獨立的。返 回下 頁上 頁Aa=12341 2 3 4 5 6 支結(jié)-1 -1 1 0 0 00 0 -1 -1 0 11 0 0 1 1 00 1 0 0 -1 -1降階關(guān)聯(lián)矩陣A特點 A的某些列只具有一個+1或一個1，這樣的列對應(yīng)與劃去結(jié)點相關(guān)聯(lián)的一條支路。被劃去的行對應(yīng)的結(jié)點可以當(dāng)作參考結(jié)點。Aa=(n-1) b支路b結(jié)點n-1返 回下 頁上 頁關(guān)聯(lián)矩陣A的作用用關(guān)聯(lián)矩陣A表示矩陣形式的KCL方程；設(shè):以結(jié)點為參考結(jié)點A i =-1 -1 1 0 0 00 0 -1 -1 0 11 0 0

5、0 1 0n-1個獨立方程矩陣形式的KCL: A i = 0返 回下 頁上 頁用矩陣AT表示矩陣形式的KVL方程。設(shè):返 回下 頁上 頁2. 回路矩陣B獨立回路與支路的關(guān)聯(lián)性質(zhì)可以用回路矩陣B描述。B=l b支路b獨立回路 l注意每一行對應(yīng)一個獨立回路，每一列對應(yīng)一條支路。矩陣B的每一個元素定義為：bij1 支路 j 在回路 i 中，且方向一致；-1 支路 j 在回路 i中，且方向相反；0 支路 j 不在回路 i 中。返 回下 頁上 頁例1123取網(wǎng)孔為獨立回路，順時針方向 給定B可以畫出對應(yīng)的有向圖。123B =1 2 3 4 5 6 支回0 1 1 0 0 10 0 0 -1 1 -11

6、-1 0 0 -1 0注意基本回路矩陣Bf 獨立回路對應(yīng)一個樹的單連枝回路得基本回路矩陣Bf返 回支路排列順序為先連支后樹支，回路順序與連支順序一致。 下 頁上 頁 連支電流方向為回路電流方向；規(guī)定例選 2、5、6為樹，連支順序為1、 3 、 4 。1231123B =1 3 4 2 5 6 支回1 0 0 -1 -1 00 1 0 1 0 10 0 1 0 -1 1BtBl= 1 Bt 返 回下 頁上 頁回路矩陣B的作用用回路矩陣B表示矩陣形式的KVL方程；設(shè) ulut B u =1 0 0 -1 -1 00 1 0 1 0 10 0 1 0 -1 1l個獨立KVL方程矩陣形式的KVL： B

7、 u = 0返 回 Bf u = 0ul+Btut=0ul= - Btut設(shè)：連支電壓可以用樹支電壓表示。用回路矩陣BT表示矩陣形式的KCL方程下 頁上 頁注意獨立回路電流返 回下 頁上 頁1231矩陣形式的KCL： B T il = i 注意樹支電流可以用連支電流表出。返 回下 頁上 頁3. 基本割集矩陣Qf 割集與支路的關(guān)聯(lián)性質(zhì)可以用割集矩陣描述，這里主要指基本割集矩陣。Q=(n-1)b支路b割集數(shù)注意每一行對應(yīng)一個基本割集,每一列對應(yīng)一條支路.矩陣Q的每一個元素定義為：qij1 支路 j 在割集 i 中，且與割集方向一致；-1 支路 j 在割集 i中，且與割集方向相反；0 支路 j 不在

8、割集 i 中。返 回下 頁上 頁規(guī)定割集方向為樹支方向； 支路排列順序先樹支后連支；割集順序與樹支次序一致。基本割集矩陣Qf例1選 1、2、3支路為樹Q1: 1, 4, 5 Q2: 2, 5, 6 Q3: 3, 4 , 6返 回QlQt下 頁上 頁Qf=1 2 3 4 5 6 支割集Q1Q2Q31 0 0 1 1 0 0 1 0 0 -1 -1 0 0 1 1 0 -11基本割集矩陣Qf的作用用基本割集矩陣Qf表示矩陣形式的KCL方程。設(shè)返 回矩陣形式的KCL： Qf i =0下 頁上 頁 Qf i =1 0 0 1 1 0 0 1 0 0 -1 -1 0 0 1 1 0 -11n-1個獨立K

9、CL方程返 回設(shè)樹枝電壓（或基本割集電壓）：ut= u1 u2 u3 T用QfT表示矩陣形式的KVL方程矩陣形式的KVL： Qf Tut =u下 頁上 頁返 回連支電壓可以用樹支電壓表示。下 頁上 頁注意小結(jié)QABKCLKVLA i =0B T il =iul= - BtutBu=0Qfi=0QT ut=u返 回對同一有向圖，支路排列次序相同時，滿足： 三個矩陣從不同角度表示同一網(wǎng)絡(luò)的連接性質(zhì)，它們之間自然存在著一定的關(guān)系。15.3* 矩陣A、Bf 、Qf 之間的關(guān)系1. A與B 之間的關(guān)系下 頁上 頁返 回對同一有向圖，任選一樹，按先樹枝后連枝順序有： 2. Bf 與Qf 之間的關(guān)系下 頁上

10、 頁對同一有向圖，支路排列次序相同時，滿足： 返 回 對同一有向圖，任選一樹，按先樹枝后連枝順序?qū)懗鼍仃嚕?3. A與Qf 之間的關(guān)系下 頁上 頁返 回下 頁上 頁例已知：1 2 3 4 5 Bf =1 0 1 0 0 -1 1 0 1 0-1 0 0 0 1求基本割集矩陣，并畫出網(wǎng)絡(luò)圖。解1返 回15.4 回路電流方程的矩陣形式 反映元件性質(zhì)的支路電壓和支路電流關(guān)系的矩陣形式是網(wǎng)絡(luò)矩陣分析法的基礎(chǔ)。 1.復(fù)合支路下 頁上 頁規(guī)定標(biāo)準(zhǔn)支路Zk (Yk)+-+-返 回下 頁上 頁復(fù)合支路特點支路的獨立電壓源和獨立電流源的方向與支路電壓、電流的方向相反； 支路電壓與支路電流的方向關(guān)聯(lián)； 支路的阻抗

11、（或?qū)Ъ{）只能是單一的電阻、電容、電感，而不能是它們的組合。Zk (Yk)+-+-返 回 復(fù)合支路定義了一條支路最多可以包含的不同元件數(shù)及連接方法，但允許缺少某些元件。下 頁上 頁注意(ZkYk）(ZkYk）+-返 回下 頁上 頁Zk (Yk)=0+-Zk (Yk)+-Zk (Yk)=0Zk (Yk)=0返 回2.支路阻抗矩陣形式 電路中電感之間無耦合下 頁上 頁如有b條支路，則有：Zk (Yk)+-+-返 回設(shè)Z=diagZ1 Z2Zb支路電流列向量支路電壓列向量電壓源的電壓列向量電流源的電流列向量下 頁上 頁阻抗矩陣返 回整個電路的支路電壓、電流關(guān)系矩陣：bb階對角陣下 頁上 頁返 回下

12、頁上 頁電路中電感之間有耦合M*+-+-*+-+-返 回下 頁上 頁返 回下 頁上 頁如1支路至g支路間均有互感Z不是對角陣返 回下 頁上 頁返 回電路中有受控電壓源下 頁上 頁 Z的非主對角元素將有與受控電壓源的控制系數(shù)有關(guān)的元素。Zk (Yk)+-+-+-返 回例下 頁上 頁寫出圖示電路的阻抗矩陣返 回 +R1R51/jCjL2R6 -jL3M3.回路電流方程的矩陣形式回路電流il (b-n+1)1階下 頁上 頁支路方程：返 回回路電壓源向量回路阻抗陣，主對角線元素為自阻抗，其余元素為互阻抗?；芈肪仃嚪匠滔?頁上 頁返 回從已知網(wǎng)絡(luò)，寫出回路分析法的步驟：求出列出回路方程求出由KCL解出根

13、據(jù)支路方程解出下 頁上 頁小結(jié)返 回例下 頁上 頁用矩陣形式列出電路的回路電流方程。解做出有向圖，選支路1，2，5為樹枝。15243121 2 3 4 5 12 +R11/jC5jL4R2 -jL3返 回下 頁上 頁把上式各矩陣代入回路電流方程的矩陣形式返 回1.支路導(dǎo)納矩陣形式下 頁上 頁15.5 結(jié)點電壓方程的矩陣形式電路中不含互感和受控源Zk (Yk)+-+-返 回下 頁上 頁返 回bb階對角陣下 頁上 頁返 回下 頁上 頁電路中電感之間有耦合M*+-+-*+-+-返 回下 頁上 頁返 回下 頁上 頁電路中有受控電源Zk (Yk)+-+-返 回下 頁上 頁Zk (Yk)+-+-返 回考慮

14、b個支路時：下 頁上 頁若：kjkjg返 回下 頁上 頁若：kjjkjYb返 回KCL下 頁上 頁2.結(jié)點電壓方程的矩陣形式支路方程：KVL返 回Yn結(jié)點導(dǎo)納陣獨立電源引起的流入結(jié)點的電流列向量下 頁上 頁返 回結(jié)點分析法的步驟第一步：把電路抽象為有向圖下 頁上 頁5V13A1A+-0.550.521小結(jié)123456返 回第二步：形成矩陣A123A=1 2 3 4 5 6 1 1 0 0 0 1 0 -1 1 1 0 0 0 0 -1 0 1 -1下 頁上 頁123456第三步：形成矩陣Y第四步：形成US、ISUS= -5 0 0 0 0 0 TIS=0 0 0 -1 3 0 T返 回第五步：

15、用矩陣乘法求得結(jié)點方程下 頁上 頁返 回例下 頁上 頁用矩陣形式列出電路的結(jié)點電壓方程。解做出有向圖5243130返 回iS5guauaG5C3G4+ -*ML2L1下 頁上 頁5243130注意g的位置iS5guauaG5C3G4+ -*ML2L1返 回代入下 頁上 頁返 回下 頁上 頁*15.6 割集電壓方程的矩陣形式 割集電壓是指由割集劃分的兩分離部分之間的一種假想電壓。以割集電壓為電路獨立變量的分析法稱為割集電壓法。 復(fù)合支路用導(dǎo)納表示的支路方程：Zk (Yk)+-+-返 回結(jié)合以上方程有：下 頁上 頁以樹支電壓為未知量返 回 割集導(dǎo)納矩陣，主對角線元素為相應(yīng)割集各支路的導(dǎo)納之和，總為

16、正；其余元素為相應(yīng)兩割集之間共有支路導(dǎo)納之和。割集電流源向量下 頁上 頁割集矩陣方程返 回下 頁上 頁注意 割集電壓法是結(jié)點電壓法的推廣，或者說結(jié)點電壓法是割集電壓法的一個特例。若選擇一組獨立割集，使每一割集都由匯集在一個結(jié)點上的支路構(gòu)成時，割集電壓法便成為結(jié)點電壓法。小結(jié)割集分析法的步驟：選定一個樹，寫出計算，列出割集方程求出，由KVL解出根據(jù)支路方程解出返 回例下 頁上 頁以運算形式列出電路的割集電壓方程的矩陣形式，設(shè)動態(tài)元件的初始條件為零。解做出有向圖，選支路1，2，3為樹枝。15243Ut1Ut2Ut3R1C5L4R2L3返 回下 頁上 頁用拉氏變換表示時，有： 代入割集方程：返 回下 頁上 頁*15.7 列表法1. 矩陣分析法的局限性回路電