3-33區(qū)間估計(jì)-PPT課件

1、第三節(jié) 區(qū)間估計(jì)四、大樣本置信區(qū)間五、兩個(gè)正態(tài)總體下的置信區(qū)間一、置信區(qū)間的定義二、置信區(qū)間的求法 樞軸量法三、單個(gè)正態(tài)總體參數(shù)的置信區(qū)間問(wèn)題: 想象你經(jīng)營(yíng)一個(gè)食品商店.問(wèn)能否根據(jù)下面的市場(chǎng)調(diào)查結(jié)果進(jìn)行決策:(1) 點(diǎn)估計(jì): 軟飲料的每日平均需求量是 300 瓶;(2) 軟飲料的每日平均需求量是每日 300 50 瓶.一、 區(qū)間估計(jì)的定義滿足 定義1: 設(shè)是一個(gè)待估參數(shù)，對(duì)給定的 (01)，若由樣本 X1, X2, Xn 確定的兩個(gè)統(tǒng)計(jì)量則稱區(qū)間 是的置信水平(置信度)為1- 的置信區(qū)間(confidence interval).分別稱為(雙側(cè))置信下限和置信上限. 注1: 對(duì)參數(shù)作區(qū)間估計(jì)，

2、就是要設(shè)法找出兩個(gè)只依賴于樣本的界限(構(gòu)造統(tǒng)計(jì)量) 一旦有了樣本，就把估計(jì)在區(qū)間 內(nèi) .注2: 置信水平 1- 的頻率解釋: 在很多次的區(qū)間估計(jì)的觀測(cè)值中, 至少有 100 (1- )% 次包含. 置信區(qū)間 (95% 的置信區(qū)間)重復(fù)構(gòu)造出 的 20 個(gè)置信區(qū)間點(diǎn)估計(jì)值注3: 要求以很大的可能被包含在區(qū)間內(nèi)，即概率 要盡可能大 .也就是要求估計(jì)盡量可靠. 估計(jì)的精度要盡可能的高. 即要求區(qū)間長(zhǎng)度 盡可能短.可靠度與精度是一對(duì)矛盾，一般是在保證可靠度的條件下盡可能提高精度.（）（）（）（）置信區(qū)間過(guò)寬,雖然包含真值,但抽樣誤差過(guò)大:置信區(qū)間也有可能不覆蓋真值：實(shí)際工作時(shí)的情形，只有一次抽樣：置信

3、度高,則結(jié)論更可靠置信區(qū)間的意義：估計(jì)抽樣誤差有時(shí)在實(shí)際中常用的還有單側(cè)置信區(qū)間:則稱 是的置信水平為 1- 的(單側(cè))置信下限. 定義3: 設(shè) 是統(tǒng)計(jì)量, 若對(duì)給定的(0 1)，對(duì)任意的,有則稱 是的置信水平為1- 的(單側(cè))置信上限. 定義4: 設(shè) 是統(tǒng)計(jì)量, 若對(duì)給定的(01), 對(duì)任意的, 有思考: 如果一條廣告說(shuō)，某藥品的有效率為80%，其誤差為正負(fù)3%，你相信這條廣告嗎？這條廣告的發(fā)布者隱瞞了什么信息？在求置信區(qū)間時(shí)最常用的方法是樞軸量法. 步驟如下:二、置信區(qū)間的求法-樞軸量法1、設(shè)法構(gòu)造一個(gè)樣本和的函數(shù) G = G( X1 ,., Xn ,) , 使得 G 的分布為已知（即不依

4、賴于未知參數(shù)）. 稱 G 為樞軸量.2、適當(dāng)?shù)剡x擇兩個(gè)常數(shù) c、d, 使對(duì)給定的(0 1), 有3、將 進(jìn)行不等式變形化為 , 則有最后的 就是的水平為1- 的置信區(qū)間.注: （常用點(diǎn)估計(jì)） 總體均值 的點(diǎn)估計(jì)為 ; 總體方差2 的點(diǎn)估計(jì)為 S 2 ； 總體方差 的點(diǎn)估計(jì)為 S 。求參數(shù) 的置信度為 的置信區(qū)間. 例如: 設(shè) X1, Xn 是取自 的樣本， 1、明確問(wèn)題,是求哪個(gè)參數(shù)的置信區(qū)間?置信水平是多少？2、尋找未知參數(shù)的一個(gè)良好估計(jì).解：三、單個(gè)正態(tài)總體的置信區(qū)間 選 的點(diǎn)估計(jì)為 , 3、尋找一個(gè)待估參數(shù)和樣本的函數(shù)，要求其分布為已知.4、對(duì)于給定的置信水平, 根據(jù)G 的分布，確定一個(gè)

5、區(qū)間, 使得G取值于該區(qū)間的概率為置信水平. N(0, 1)對(duì)給定的置信水平1- ，查正態(tài)分布表得使 5、變形可得未知參數(shù)的置信區(qū)間.變形為也可簡(jiǎn)記為于是所求的置信度為1-的置信區(qū)間為注：我們總是希望置信區(qū)間盡可能短. 在概率密度為單峰且對(duì)稱的情形，一般當(dāng) c =-d 時(shí)求得的置信區(qū)間的長(zhǎng)度為最短.在概率密度不對(duì)稱的情形，如 分布，F(xiàn)分布，習(xí)慣上仍取對(duì)稱(即等尾）的分位點(diǎn)來(lái)計(jì)算未知參數(shù)的置信區(qū)間.注1: 滿足置信度要求的 c, d 通常不唯一.若有可能, 應(yīng)選擇平均長(zhǎng)度 達(dá)到最短的 c 與 d , 這在 G 的分布為單峰且對(duì)稱分布通常容易實(shí)現(xiàn). c =-d/2/2注2: 實(shí)際中, 選平均長(zhǎng)度最

6、短的 c, d 很難實(shí)現(xiàn). 因此常選擇這樣的 c, d, 使得兩個(gè)尾部概率各為/2, 即:這樣的置信區(qū)間稱為等尾置信區(qū)間. 這是在G的分布為偏態(tài)分布場(chǎng)合常采用的方法. 如:由確定故 的置信區(qū)間為(2)推導(dǎo) 選取樞軸量(3)推導(dǎo) 選取樞軸量得 2 的置信區(qū)間為 則由單個(gè)正態(tài)總體置信區(qū)間常用公式(1) 方差 2已知, 的置信區(qū)間(2) 方差 2未知 , 的置信區(qū)間 (3) 當(dāng) 未知時(shí), 方差 2 的置信區(qū)間注：兩邊開(kāi)方即得到 的置信區(qū)間(4) 當(dāng) 已知時(shí), 方差 2 的 置信區(qū)間（這種情況在實(shí)際中很少）取樞軸量 ，得 2 的置信度為 置信區(qū)間為 由概率總體均值的區(qū)間估計(jì)(例題分析)【 例1 】一家

7、食品生產(chǎn)企業(yè)以生產(chǎn)袋裝食品為主，為對(duì)食品質(zhì)量進(jìn)行監(jiān)測(cè)，企業(yè)質(zhì)檢部門經(jīng)常要進(jìn)行抽檢，以分析每袋重量是否符合要求?，F(xiàn)從某天生產(chǎn)的一批食品中隨機(jī)抽取了25袋，測(cè)得每袋重量如下表所示。已知產(chǎn)品重量的分布服從正態(tài)分布，且總體標(biāo)準(zhǔn)差為10g。試估計(jì)該批產(chǎn)品平均重量的置信區(qū)間，置信水平為95%。解：已知N(，102)，n = 25, 1- = 95%， u1-/2=1.96。根據(jù)樣本數(shù)據(jù)計(jì)算得： 。由于是正態(tài)總體，且方差已知?？傮w均值 在 1- 置信水平下的置信區(qū)間為 該食品平均重量的置信區(qū)間為101.44g109.28g?！纠?】已知某種燈泡的壽命服從正態(tài)分布，現(xiàn)從一批燈泡中隨機(jī)抽取16只，測(cè)得其使用壽命

8、(單位：h)如下。建立該批燈泡平均使用壽命95%的置信區(qū)間?？傮w均值的區(qū)間估計(jì)(例題分析)解：已知 N(，2)，n=16, 1- = 95%，t1-/2=2.131 根據(jù)樣本數(shù)據(jù)計(jì)算得： ， 總體均值 在1- 置信水平下的置信區(qū)間為該種燈泡平均使用壽命的置信區(qū)間為1476.8h1503.2h。【例3】一家食品生產(chǎn)企業(yè)以生產(chǎn)袋裝食品為主，現(xiàn)從某天生產(chǎn)的一批食品中隨機(jī)抽取了25袋，測(cè)得每袋重量如下表所示。已知產(chǎn)品重量的分布服從正態(tài)分布。以95%的置信水平建立該種食品重量方差的置信區(qū)間 。總體方差的區(qū)間估計(jì)(例題分析)解:已知n25，1-95% ,根據(jù)樣本數(shù)據(jù)計(jì)算得 s2 =93.21 2置信度為9

9、5%的置信區(qū)間為 該企業(yè)生產(chǎn)的食品總體重量標(biāo)準(zhǔn)差的置信區(qū)間為7.54g13.43g。估計(jì)總體均值時(shí)樣本量的確定 (例題分析)【例4】擁有工商管理學(xué)士學(xué)位的大學(xué)畢業(yè)生年薪的標(biāo)準(zhǔn)差大約為2000元，假定想要估計(jì)年薪95%的置信區(qū)間，希望邊際誤差為400元，應(yīng)抽取多大的樣本量？解: 已知 =2000，E=400, 1-=95%， u1-/2=1.96 應(yīng)抽取的樣本量為即應(yīng)抽取97人作為樣本。 四、大樣本置信區(qū)間 若總體 X 的分布未知, 但樣本容量很大, 由中心極限定理, 可近似地視為對(duì)給定的置信度1 - , 則 EX 的置信區(qū)間可取為若2 未知, 則 EX 的置信區(qū)間可取為總體均值的區(qū)間估計(jì)(例題

10、分析)【例5】一家保險(xiǎn)公司收集到由36個(gè)投保人組成的隨機(jī)樣本，得到每個(gè)投保人的年齡(單位：周歲)數(shù)據(jù)如下表。試建立投保人年齡90%的置信區(qū)間. 解：已知n=36, 1- = 90%，u1-/2=1.645。根據(jù)樣本數(shù)據(jù)計(jì)算得： ， 總體均值 在1- 置信水平下的置信區(qū)間為投保人平均年齡的置信區(qū)間為37.37歲41.63歲五. 總體比率的置信區(qū)間 (大樣本)總體比率 Population Proportion : p樣本比率 Sample Proportion: 如果是大樣本，則： 其中 q = (1-p)因此總體比率的置信區(qū)間置信度為(1-)的置信區(qū)間為：由于 p 和 q 都是未知的，因此置信

11、區(qū)間近似為： 例6：某城市想要估計(jì)下崗職工中女性所占的比例，隨機(jī)抽取了100名下崗職工，其中65人為女性。試估計(jì)該城市下崗職工中女性比例，并指出估計(jì)誤差。置信水平要求為95%。已知 n=100, = 0.05, 置信區(qū)間為：65% 9.35%下崗職工中女性比例為65%。估計(jì)誤差為9.35%。置信區(qū)間的內(nèi)涵：區(qū)間 置信度降低置信度可以使置信區(qū)間變窄（誤導(dǎo)讀者）例題：一項(xiàng)有10000個(gè)人回答調(diào)查，同意某種觀點(diǎn)的人的比例為70%（有7000人同意），可以算出總體中同意該觀點(diǎn)的比例的95%置信區(qū)間為（0.691,0.709)；另一個(gè)調(diào)查者調(diào)查了50個(gè)人。他聲稱有70%的比例反對(duì)該種觀點(diǎn)，并說(shuō)總體中反對(duì)

12、該觀點(diǎn)的置信區(qū)間也是（0.691,0.709)；所以，第二個(gè)調(diào)查的置信區(qū)間的置信度僅為11%。例題：如果在置信度不變的情況下，你要使目前所得到的置信區(qū)間的長(zhǎng)度減少一半，樣本量應(yīng)增加到目前樣本量的多少倍？如果保持置信區(qū)間的長(zhǎng)度不變，樣本量的增加會(huì)使什么發(fā)生變化？因此由于：樣本量應(yīng)增加到目前樣本量的4倍。如果保持置信區(qū)間的長(zhǎng)度不變，樣本量的增加會(huì)使置信度增加。來(lái)自現(xiàn)實(shí)世界的數(shù)據(jù)量越大，我們對(duì)現(xiàn)實(shí)世界的了解就越清楚為取自總體 N ( 1 12 ) 的樣本,為取自總體 N ( 2 22 ) 的樣本,置信度為 1 ,以下分別討論兩均值差和兩方差比的置信區(qū)間.分別表示兩樣本的均值與方差.五、兩個(gè)正態(tài)總體的

13、置信區(qū)間的置信區(qū)間為(1) 已知時(shí), 的置信區(qū)間(一)(2) 未知, 但的置信區(qū)間為相互獨(dú)立的簡(jiǎn)單隨機(jī)樣本.則設(shè)與分別是來(lái)自正態(tài)總體與的兩個(gè)總體均值之差的估計(jì)(例題分析)【例6】為估計(jì)兩種方法組裝產(chǎn)品所需時(shí)間的差異，分別對(duì)兩種不同的組裝方法各隨機(jī)安排12名工人，每個(gè)工人組裝一件產(chǎn)品所需的時(shí)間(單位：min)下如表。假定兩種方法組裝產(chǎn)品的時(shí)間服從正態(tài)分布，且方差相等。試以95%的置信水平建立兩種方法組裝產(chǎn)品所需平均時(shí)間差值的置信區(qū)間。21解: 根據(jù)樣本數(shù)據(jù)計(jì)算得 合并估計(jì)量為兩種方法組裝產(chǎn)品所需平均時(shí)間之差的置信區(qū)間為0.14min7.26min。(二) 方差比的置信區(qū)間 ( 1 , 2 未知)

14、為兩個(gè)總體方差比的區(qū)間估計(jì)(例題分析)【例7】為了研究男女學(xué)生在生活費(fèi)支出(單位：元)上的差異，在某大學(xué)各隨機(jī)抽取25名男學(xué)生和25名女學(xué)生，得到下面的結(jié)果 男學(xué)生： 女學(xué)生： 試以90%置信水平估計(jì)男女學(xué)生生活費(fèi)支出方差比的置信區(qū)間。 解:根據(jù)自由度 n1=25-1=24 ，n2=25-1=24，查得 F/2(24)=1.98， F1-/2(24)=1/1.98=0.505 12 /22 置信度為90%的置信區(qū)間為男女學(xué)生生活費(fèi)支出方差比的置信區(qū)間為0.471.84 。例8 某廠利用兩條自動(dòng)化流水線罐裝番茄醬. 現(xiàn)分別 從兩條流水線上抽取了容量分別為 13 與 17 的兩個(gè)相互獨(dú)立的樣本 與

15、已知假設(shè)兩條流水線上罐裝的番茄醬的重量都服從正態(tài)分布, 其均值分別為 1與 2 , 若不知它們的方差是否相同, 求它們的方差比的置信度為0.95的置信區(qū)間.(1) 若它們的方差相同,求均值差的置信度為0.95 的置信區(qū)間;解查表得由公式 的置信區(qū)間為(1) 取樞軸量(2) 樞軸量為查表得 由公式得方差比 的置信區(qū)間為單側(cè)置信區(qū)間設(shè)燈泡壽命服從正態(tài)分布. 求燈泡壽命均值的置信水平為 0.95 的同等單側(cè)置信下限.例9 從一批燈泡中隨機(jī)抽取 5 只作壽命試驗(yàn)，測(cè)得壽命 X（單位：小時(shí)）如下：1050，1100，1120，1250，1280方差 未知,解： 的點(diǎn)估計(jì)取為樣本均值 , 對(duì)給定的置信水平

16、 確定分位點(diǎn)使即 由樣本值得1065 小時(shí)。即的置信水平為1-的單側(cè)置信下限為的置信水平為0.95的單側(cè)置信下限是查表得EXCEL中命令說(shuō)明： “=NORMSDIST(z)” 表示 N(0,1) 的分布函數(shù)值“=CHIDIST(x,deg_freedom)”表示卡方分布x 的概率“=TDIST(x,deg_freedom,tails)”表示t 分布x 的概率“=FDIST(x,deg_freedom1, deg_freedom2)” 表示F分布x 的概率“tails”取值為1或2EXCEL中命令說(shuō)明： “=NORMSDIST(z)” 表示 N(0,1) 的分布函數(shù)值“=CHIDIST(x,de

17、g_freedom)”表示卡方分布x 的概率“=TDIST(x,deg_freedom,tails)”表示t 分布x 的概率“=FDIST(x,deg_freedom1, deg_freedom2)” 表示F分布x 的概率“tails”取值為1或2EXCEL中命令說(shuō)明： “=NORMSINV(0.95)” 表示 N(0,1) 的0.95 分位數(shù)“=CHIINV(0.05, n)”表示卡方分布的0.95 分位數(shù)“=TINV(0.1, n)”表示 t 分布的 0.95 分位數(shù)“=FINV(0.05,m, n)” 表示 F 分布的0.95 分位數(shù)重要知識(shí)點(diǎn)：參數(shù)估計(jì)點(diǎn)估計(jì)矩估計(jì)點(diǎn)估計(jì)的評(píng)價(jià)標(biāo)準(zhǔn)：無(wú)偏性區(qū)間估計(jì)最大似然估計(jì)樞軸量法正態(tài)分布總體情形重要結(jié)論：矩估計(jì)三部曲求解總體矩（一般來(lái)說(shuō)，有幾個(gè)參數(shù)就求幾階矩，得到的一定是參數(shù)的函數(shù)）用樣本矩